甘肅省天水市第三中學(xué)2024屆高三周考數(shù)學(xué)試題二_第1頁
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文檔簡介

甘肅省天水市第三中學(xué)2024屆高三周考數(shù)學(xué)試題二注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù),使得成立的概率為等差數(shù)列的公差,且,若,則的最小值為()A.8 B.9 C.10 D.112.若復(fù)數(shù)滿足(是虛數(shù)單位),則()A. B. C. D.3.羽毛球混合雙打比賽每隊(duì)由一男一女兩名運(yùn)動員組成.某班級從名男生,,和名女生,,中各隨機(jī)選出兩名,把選出的人隨機(jī)分成兩隊(duì)進(jìn)行羽毛球混合雙打比賽,則和兩人組成一隊(duì)參加比賽的概率為()A. B. C. D.4.如圖,將兩個(gè)全等等腰直角三角形拼成一個(gè)平行四邊形,將平行四邊形沿對角線折起,使平面平面,則直線與所成角余弦值為()A. B. C. D.5.已知雙曲線:的焦點(diǎn)為,,且上點(diǎn)滿足,,,則雙曲線的離心率為A. B. C. D.56.對兩個(gè)變量進(jìn)行回歸分析,給出如下一組樣本數(shù)據(jù):,,,,下列函數(shù)模型中擬合較好的是()A. B. C. D.7.已知f(x),g(x)都是偶函數(shù),且在[0,+∞)上單調(diào)遞增,設(shè)函數(shù)F(x)=f(x)+g(1-x)-|f(x)-g(1-x)|,若a>0,則()A.F(-a)≥F(a)且F(1+a)≥F(1-a)B.F(-a)≥F(a)且F(1+a)≤F(1-a)C.F(-a)≤F(a)且F(1+a)≥F(1-a)D.F(-a)≤F(a)且F(1+a)≤F(1-a)8.已知函數(shù)的圖像上有且僅有四個(gè)不同的關(guān)于直線對稱的點(diǎn)在的圖像上,則的取值范圍是()A. B. C. D.9.如圖,雙曲線的左,右焦點(diǎn)分別是直線與雙曲線的兩條漸近線分別相交于兩點(diǎn).若則雙曲線的離心率為()A. B.C. D.10.如圖,棱長為的正方體中,為線段的中點(diǎn),分別為線段和棱上任意一點(diǎn),則的最小值為()A. B. C. D.11.已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,始邊與軸的正半軸重合,終邊經(jīng)過點(diǎn),則()A. B. C. D.12.已知拋物線:的焦點(diǎn)為,過點(diǎn)的直線交拋物線于,兩點(diǎn),其中點(diǎn)在第一象限,若弦的長為,則()A.2或 B.3或 C.4或 D.5或二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若an0,a1=1,且2Sn=an(an+t),n∈N*,則S10=_____.14.(5分)已知橢圓方程為,過其下焦點(diǎn)作斜率存在的直線與橢圓交于兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),則面積的取值范圍是____________.15.已知集合A=,B=,若AB中有且只有一個(gè)元素,則實(shí)數(shù)a的值為_______.16.邊長為2的正方形經(jīng)裁剪后留下如圖所示的實(shí)線圍成的部分,將所留部分折成一個(gè)正四棱錐.當(dāng)該棱錐的體積取得最大值時(shí),其底面棱長為________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,已知直線(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)點(diǎn)的極坐標(biāo)為,直線與曲線的交點(diǎn)為,求的值.18.(12分)已知,函數(shù).(1)若,求的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)若,求的值.19.(12分)在底面為菱形的四棱柱中,平面.(1)證明:平面;(2)求二面角的正弦值.20.(12分)己知等差數(shù)列的公差,,且,,成等比數(shù)列.(1)求使不等式成立的最大自然數(shù)n;(2)記數(shù)列的前n項(xiàng)和為,求證:.21.(12分)已知橢圓:()的左、右焦點(diǎn)分別為和,右頂點(diǎn)為,且,短軸長為.(1)求橢圓的方程;(2)若過點(diǎn)作垂直軸的直線,點(diǎn)為直線上縱坐標(biāo)不為零的任意一點(diǎn),過作的垂線交橢圓于點(diǎn)和,當(dāng)時(shí),求此時(shí)四邊形的面積.22.(10分)在平面直角坐標(biāo)系中,有一個(gè)微型智能機(jī)器人(大小不計(jì))只能沿著坐標(biāo)軸的正方向或負(fù)方向行進(jìn),且每一步只能行進(jìn)1個(gè)單位長度,例如:該機(jī)器人在點(diǎn)處時(shí),下一步可行進(jìn)到、、、這四個(gè)點(diǎn)中的任一位置.記該機(jī)器人從坐標(biāo)原點(diǎn)出發(fā)、行進(jìn)步后落在軸上的不同走法的種數(shù)為.(1)分別求、、的值;(2)求的表達(dá)式.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】

由題意,本題符合幾何概型,只要求出區(qū)間的長度以及使不等式成立的的范圍區(qū)間長度,利用幾何概型公式可得概率,即等差數(shù)列的公差,利用條件,求得,從而求得,解不等式求得結(jié)果.【題目詳解】由題意,本題符合幾何概型,區(qū)間長度為6,使得成立的的范圍為,區(qū)間長度為2,故使得成立的概率為,又,,,令,則有,故的最小值為11,故選:D.【題目點(diǎn)撥】該題考查的是有關(guān)幾何概型與等差數(shù)列的綜合題,涉及到的知識點(diǎn)有長度型幾何概型概率公式,等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,屬于基礎(chǔ)題目.2、B【解題分析】

利用復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算化簡,由此求得.【題目詳解】依題意,所以.故選:B【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)模的計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.3、B【解題分析】

根據(jù)組合知識,計(jì)算出選出的人分成兩隊(duì)混合雙打的總數(shù)為,然后計(jì)算和分在一組的數(shù)目為,最后簡單計(jì)算,可得結(jié)果.【題目詳解】由題可知:分別從3名男生、3名女生中選2人:將選中2名女生平均分為兩組:將選中2名男生平均分為兩組:則選出的人分成兩隊(duì)混合雙打的總數(shù)為:和分在一組的數(shù)目為所以所求的概率為故選:B【題目點(diǎn)撥】本題考查排列組合的綜合應(yīng)用,對平均分組的問題要掌握公式,比如:平均分成組,則要除以,即,審清題意,細(xì)心計(jì)算,考驗(yàn)分析能力,屬中檔題.4、C【解題分析】

利用建系,假設(shè)長度,表示向量與,利用向量的夾角公式,可得結(jié)果.【題目詳解】由平面平面,平面平面,平面所以平面,又平面所以,又所以作軸//,建立空間直角坐標(biāo)系如圖設(shè),所以則所以所以故選:C【題目點(diǎn)撥】本題考查異面直線所成成角的余弦值,一般采用這兩種方法:(1)將兩條異面直線作輔助線放到同一個(gè)平面,然后利用解三角形知識求解;(2)建系,利用空間向量,屬基礎(chǔ)題.5、D【解題分析】

根據(jù)雙曲線定義可以直接求出,利用勾股定理可以求出,最后求出離心率.【題目詳解】依題意得,,,因此該雙曲線的離心率.【題目點(diǎn)撥】本題考查了雙曲線定義及雙曲線的離心率,考查了運(yùn)算能力.6、D【解題分析】

作出四個(gè)函數(shù)的圖象及給出的四個(gè)點(diǎn),觀察這四個(gè)點(diǎn)在靠近哪個(gè)曲線.【題目詳解】如圖,作出A,B,C,D中四個(gè)函數(shù)圖象,同時(shí)描出題中的四個(gè)點(diǎn),它們在曲線的兩側(cè),與其他三個(gè)曲線都離得很遠(yuǎn),因此D是正確選項(xiàng),故選:D.【題目點(diǎn)撥】本題考查回歸分析,擬合曲線包含或靠近樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)越多,說明擬合效果好.7、A【解題分析】試題分析:由題意得,F(xiàn)(x)=2g(1-x),f(x)≥g(1-x)∴F(-a)=2g(1+a),f(a)=f(-a)≥g(1+a)2f(-a),f(a)=f(-a)<g(1+a),∵a>0,∴(a+1)2-(a-1)∴若f(a)>g(1+a):F(-a)=2g(1+a),F(xiàn)(a)=2g(1-a),∴F(-a)>F(a),若g(1-a)≤f(a)≤g(1+a):F(-a)=2f(-a)=2f(a),F(xiàn)(a)=2g(1-a),∴F(-a)≥F(a),若f(a)<g(1-a):F(-a)=2f(-a)=2f(a),F(xiàn)(a)=2f(a),∴F(-a)=F(a),綜上可知F(-a)≥F(a),同理可知F(1+a)≥F(1-a),故選A.考點(diǎn):1.函數(shù)的性質(zhì);2.分類討論的數(shù)學(xué)思想.【思路點(diǎn)睛】本題在在解題過程中抓住偶函數(shù)的性質(zhì),避免了由于單調(diào)性不同導(dǎo)致1-a與1+a大小不明確的討論,從而使解題過程得以優(yōu)化,另外,不要忘記定義域,如果要研究奇函數(shù)或者偶函數(shù)的值域、最值、單調(diào)性等問題,通常先在原點(diǎn)一側(cè)的區(qū)間(對奇(偶)函數(shù)而言)或某一周期內(nèi)(對周期函數(shù)而言)考慮,然后推廣到整個(gè)定義域上.8、D【解題分析】

根據(jù)對稱關(guān)系可將問題轉(zhuǎn)化為與有且僅有四個(gè)不同的交點(diǎn);利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性從而得到的圖象;由直線恒過定點(diǎn),通過數(shù)形結(jié)合的方式可確定;利用過某一點(diǎn)曲線切線斜率的求解方法可求得和,進(jìn)而得到結(jié)果.【題目詳解】關(guān)于直線對稱的直線方程為:原題等價(jià)于與有且僅有四個(gè)不同的交點(diǎn)由可知,直線恒過點(diǎn)當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減;在上單調(diào)遞增由此可得圖象如下圖所示:其中、為過點(diǎn)的曲線的兩條切線,切點(diǎn)分別為由圖象可知,當(dāng)時(shí),與有且僅有四個(gè)不同的交點(diǎn)設(shè),,則,解得:設(shè),,則,解得:,則本題正確選項(xiàng):【題目點(diǎn)撥】本題考查根據(jù)直線與曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)確定參數(shù)范圍的問題;涉及到過某一點(diǎn)的曲線切線斜率的求解問題;解題關(guān)鍵是能夠通過對稱性將問題轉(zhuǎn)化為直線與曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題,通過確定直線恒過的定點(diǎn),采用數(shù)形結(jié)合的方式來進(jìn)行求解.9、A【解題分析】

易得,過B作x軸的垂線,垂足為T,在中,利用即可得到的方程.【題目詳解】由已知,得,過B作x軸的垂線,垂足為T,故,又所以,即,所以雙曲線的離心率.故選:A.【題目點(diǎn)撥】本題考查雙曲線的離心率問題,在作雙曲線離心率問題時(shí),最關(guān)鍵的是找到的方程或不等式,本題屬于容易題.10、D【解題分析】

取中點(diǎn),過作面,可得為等腰直角三角形,由,可得,當(dāng)時(shí),最小,由,故,即可求解.【題目詳解】取中點(diǎn),過作面,如圖:則,故,而對固定的點(diǎn),當(dāng)時(shí),最?。藭r(shí)由面,可知為等腰直角三角形,,故.故選:D【題目點(diǎn)撥】本題考查了空間幾何體中的線面垂直、考查了學(xué)生的空間想象能力,屬于中檔題.11、A【解題分析】

由已知可得,根據(jù)二倍角公式即可求解.【題目詳解】角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,始邊與軸的正半軸重合,終邊經(jīng)過點(diǎn),則,.故選:A.【題目點(diǎn)撥】本題考查三角函數(shù)定義、二倍角公式,考查計(jì)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.12、C【解題分析】

先根據(jù)弦長求出直線的斜率,再利用拋物線定義可求出.【題目詳解】設(shè)直線的傾斜角為,則,所以,,即,所以直線的方程為.當(dāng)直線的方程為,聯(lián)立,解得和,所以;同理,當(dāng)直線的方程為.,綜上,或.選C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查直線和拋物線的位置關(guān)系,弦長問題一般是利用弦長公式來處理.出現(xiàn)了到焦點(diǎn)的距離時(shí),一般考慮拋物線的定義.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、55【解題分析】

由求出.由,可得,兩式相減,可得數(shù)列是以1為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列,即求.【題目詳解】由題意,當(dāng)n=1時(shí),,當(dāng)時(shí),由,可得,兩式相減,可得,整理得,,即,∴數(shù)列是以1為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列,.故答案為:55.【題目點(diǎn)撥】本題考查求數(shù)列的前項(xiàng)和,屬于基礎(chǔ)題.14、【解題分析】

由題意,,則,得.由題意可設(shè)的方程為,,聯(lián)立方程組,消去得,恒成立,,,則,點(diǎn)到直線的距離為,則,又,則,當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號.故面積的取值范圍是.15、2【解題分析】

利用AB中有且只有一個(gè)元素,可得,可求實(shí)數(shù)a的值.【題目詳解】由題意AB中有且只有一個(gè)元素,所以,即.故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查集合的交集運(yùn)算,集合交集的運(yùn)算本質(zhì)是存同去異,側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).16、【解題分析】

根據(jù)題意,建立棱錐體積的函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值即可.【題目詳解】設(shè)底面邊長為,則斜高為,即此四棱錐的高為,所以此四棱錐體積為,令,令,易知函數(shù)在時(shí)取得最大值.故此時(shí)底面棱長.故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題考查棱錐體積的求解,涉及利用導(dǎo)數(shù)研究體積最大值的問題,屬綜合中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解題分析】

(1)由公式可化極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程;(2)把點(diǎn)極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo),直線的參數(shù)方程是過定點(diǎn)的標(biāo)準(zhǔn)形式,因此直接把參數(shù)方程代入曲線的方程,利用參數(shù)的幾何意義求解.【題目詳解】解:(1),則,∴,所以曲線的直角坐標(biāo)方程為,即(2)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為,易知.設(shè)對應(yīng)參數(shù)分別為將與聯(lián)立得【題目點(diǎn)撥】本題考查極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化,考查直線參數(shù)方程,解題時(shí)可利用利用參數(shù)方程的幾何意義求直線上兩點(diǎn)間距離問題.18、(1);(2).【解題分析】

(1)利用三角恒等變換思想化簡函數(shù)的解析式為,然后解不等式,可得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)由得出,并求出的值,利用兩角差的正弦公式可求出的值.【題目詳解】(1)當(dāng)時(shí),,由,得,因此,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為;(2),,,,,,.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵,屬中等題.19、(1)證明見解析;(2)【解題分析】

(1)由已知可證,即可證明結(jié)論;(2)根據(jù)已知可證平面,建立空間直角坐標(biāo)系,求出坐標(biāo),進(jìn)而求出平面和平面的法向量坐標(biāo),由空間向量的二面角公式,即可求解.【題目詳解】方法一:(1)依題意,且∴,∴四邊形是平行四邊形,∴,∵平面,平面,∴平面.(2)∵平面,∴,∵且為的中點(diǎn),∴,∵平面且,∴平面,以為原點(diǎn),分別以為軸、軸、軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,,,,∴設(shè)平面的法向量為,則,∴,取,則.設(shè)平面的法向量為,則,∴,取,則.∴,設(shè)二面角的平面角為,則,∴二面角的正弦值為.方法二:(1)證明:連接交于點(diǎn),因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?,所以為中點(diǎn),又因?yàn)樗倪呅螢榱庑?,所以為中點(diǎn),∴在中,且,∵平面,平面,∴平面(2)略,同方法一.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查線面平行的證明,考查空間向量法求面面角,意在考查直觀想象、邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),屬于中檔題.20、(1);(2)證明見解析【解題分析】

(1)根據(jù),,成等比數(shù)列,有,結(jié)合公差,,求得通項(xiàng),再解不等式.(2)根據(jù)(1),用裂項(xiàng)相消法求和,然后研究其單調(diào)性即可.【題目詳解】(1)由題意,可知,即,∴.又,,∴,∴.∴,∴,故滿足題意的最大自然數(shù)為.(2),∴...從而當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,且,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,且,所以,由,知不等式成立.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查等差數(shù)列的基本運(yùn)算和裂

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