云南省中央民大附中2024屆高三統(tǒng)一測試（一）數(shù)學試題

云南省中央民大附中2024屆高三統(tǒng)一測試（一）數(shù)學試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖所示，正方體的棱，的中點分別為，，則直線與平面所成角的正弦值為（）A． B． C． D．2．已知函數(shù)，若,且，則的取值范圍為（）A． B． C． D．3．元代數(shù)學家朱世杰的數(shù)學名著《算術啟蒙》是中國古代代數(shù)學的通論，其中關于“松竹并生”的問題：松長五尺，竹長兩尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而長等.下圖是源于其思想的一個程序圖，若，，則輸出的（）A．3 B．4 C．5 D．64．已知正項等比數(shù)列的前項和為，則的最小值為（）A． B． C． D．5．已知斜率為2的直線l過拋物線C：的焦點F，且與拋物線交于A，B兩點，若線段AB的中點M的縱坐標為1，則p＝（）A．1 B． C．2 D．46．若函數(shù)f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)滿足f(1)＝，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是()A．(－∞，2] B．[2，＋∞)C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]7．函數(shù)的部分圖像如圖所示，若，點的坐標為，若將函數(shù)向右平移個單位后函數(shù)圖像關于軸對稱，則的最小值為（）A． B． C． D．8．如圖，設為內(nèi)一點，且，則與的面積之比為A． B．C． D．9．關于函數(shù)有下述四個結論：（）①是偶函數(shù)；②在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)；③在上的最大值為2；④在區(qū)間上有4個零點.其中所有正確結論的編號是（）A．①②④ B．①③ C．①④ D．②④10．已知函數(shù)的最小正周期為,為了得到函數(shù)的圖象,只要將的圖象()A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度11．已知命題,；命題若，則，下列命題為真命題的是（）A． B． C． D．12．已知復數(shù)和復數(shù)，則為A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．“直線l1：與直線l2：平行”是“a＝2”的_______條件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”）．14．拋物線的焦點坐標為______.15．已知實數(shù)，對任意，有，且，則______.16．能說明“若對于任意的都成立，則在上是減函數(shù)”為假命題的一個函數(shù)是________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）等差數(shù)列中，．（1）求的通項公式；（2）設，記為數(shù)列前項的和，若，求．18．（12分）如圖1，四邊形是邊長為2的菱形，，為的中點，以為折痕將折起到的位置，使得平面平面，如圖2.（1）證明：平面平面；（2）求點到平面的距離.19．（12分）已知.（1）求不等式的解集；（2）若存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍20．（12分）如圖，四棱錐中，底面是邊長為的菱形，，點分別是的中點．（1）求證：平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值．21．（12分）在平面直角坐標系xOy中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以平面直角坐標系的原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為．（1）求曲線的極坐標方程；（2）設和交點的交點為，求的面積．22．（10分）如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，平面，是棱上的一點，滿足平面.（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）設，，若為棱上一點，使得直線與平面所成角的大小為30°，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

以D為原點，DA，DC，DD1分別為軸，建立空間直角坐標系，由向量法求出直線EF與平面AA1D1D所成角的正弦值．【題目詳解】以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，設正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2，則，，，取平面的法向量為，設直線EF與平面AA1D1D所成角為θ，則sinθ＝|，直線與平面所成角的正弦值為.故選C．【題目點撥】本題考查了線面角的正弦值的求法，也考查數(shù)形結合思想和向量法的應用，屬于中檔題．2、A【解題分析】分析：作出函數(shù)的圖象，利用消元法轉化為關于的函數(shù)，構造函數(shù)求得函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可得到結論.詳解：作出函數(shù)的圖象，如圖所示，若，且，則當時，得，即，則滿足，則，即，則，設，則，當，解得，當，解得，當時，函數(shù)取得最小值，當時，；當時，，所以，即的取值范圍是，故選A.點睛：本題主要考查了分段函數(shù)的應用，構造新函數(shù)，求解新函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)研究新函數(shù)的單調(diào)性和最值是解答本題的關鍵，著重考查了轉化與化歸的數(shù)學思想方法，以及分析問題和解答問題的能力，試題有一定的難度，屬于中檔試題.3、B【解題分析】分析：根據(jù)流程圖中的可知，每次循環(huán)的值應是一個等比數(shù)列，公比為；根據(jù)流程圖中的可知，每次循環(huán)的值應是一個等比數(shù)列，公比為，根據(jù)每次循環(huán)得到的的值的大小決定循環(huán)的次數(shù)即可.詳解：記執(zhí)行第次循環(huán)時，的值記為有，則有；記執(zhí)行第次循環(huán)時，的值記為有，則有.令，則有，故，故選B.點睛：本題為算法中的循環(huán)結構和數(shù)列通項的綜合，屬于中檔題，解題時注意流程圖中蘊含的數(shù)列關系（比如相鄰項滿足等比數(shù)列、等差數(shù)列的定義，是否是求數(shù)列的前和、前項積等）.4、D【解題分析】

由，可求出等比數(shù)列的通項公式，進而可知當時，；當時，，從而可知的最小值為，求解即可.【題目詳解】設等比數(shù)列的公比為，則，由題意得，，得，解得，得.當時，；當時，，則的最小值為.故選：D.【題目點撥】本題考查等比數(shù)列的通項公式的求法，考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查學生的計算求解能力，屬于中檔題.5、C【解題分析】

設直線l的方程為x＝y(tǒng)，與拋物線聯(lián)立利用韋達定理可得p．【題目詳解】由已知得F（，0），設直線l的方程為x＝y(tǒng)，并與y2＝2px聯(lián)立得y2﹣py﹣p2＝0，設A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中點C（x0，y0），∴y1+y2＝p，又線段AB的中點M的縱坐標為1，則y0（y1+y2）＝，所以p=2,故選C．【題目點撥】本題主要考查了直線與拋物線的相交弦問題，利用韋達定理是解題的關鍵，屬中檔題．6、B【解題分析】由f(1)=得a2=,∴a=或a=-(舍),即f(x)=(.由于y=|2x-4|在(-∞,2]上單調(diào)遞減,在[2,+∞)上單調(diào)遞增,所以f(x)在(-∞,2]上單調(diào)遞增,在[2,+∞)上單調(diào)遞減,故選B.7、B【解題分析】

根據(jù)圖象以及題中所給的條件，求出和，即可求得的解析式，再通過平移變換函數(shù)圖象關于軸對稱，求得的最小值.【題目詳解】由于，函數(shù)最高點與最低點的高度差為，所以函數(shù)的半個周期，所以，又，，則有，可得，所以，將函數(shù)向右平移個單位后函數(shù)圖像關于軸對稱，即平移后為偶函數(shù)，所以的最小值為1，故選：B.【題目點撥】該題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)圖象求出函數(shù)的解析式是解決該題的關鍵，要求熟練掌握函數(shù)圖象之間的變換關系，屬于簡單題目.8、A【解題分析】

作交于點，根據(jù)向量比例，利用三角形面積公式，得出與的比例，再由與的比例，可得到結果.【題目詳解】如圖，作交于點，則，由題意，，，且，所以又，所以，，即，所以本題答案為A.【題目點撥】本題考查三角函數(shù)與向量的結合，三角形面積公式，屬基礎題，作出合適的輔助線是本題的關鍵.9、C【解題分析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、最值和零點對四個結論逐一分析，由此得出正確結論的編號.【題目詳解】的定義域為.由于，所以為偶函數(shù)，故①正確.由于，，所以在區(qū)間上不是單調(diào)遞增函數(shù)，所以②錯誤.當時，，且存在，使.所以當時，；由于為偶函數(shù)，所以時，所以的最大值為，所以③錯誤.依題意，，當時，，所以令，解得，令，解得.所以在區(qū)間，有兩個零點.由于為偶函數(shù)，所以在區(qū)間有兩個零點.故在區(qū)間上有4個零點.所以④正確.綜上所述，正確的結論序號為①④.故選：C【題目點撥】本小題主要考查三角函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、最值和零點，考查化歸與轉化的數(shù)學思想方法，屬于中檔題.10、A【解題分析】

由的最小正周期是，得，即，因此它的圖象向左平移個單位可得到的圖象．故選A．考點：函數(shù)的圖象與性質(zhì)．【名師點睛】三角函數(shù)圖象變換方法：11、B【解題分析】解：命題p：?x＞0，ln（x+1）＞0，則命題p為真命題，則￢p為假命題；取a=﹣1，b=﹣2，a＞b，但a2＜b2，則命題q是假命題，則￢q是真命題．∴p∧q是假命題，p∧￢q是真命題，￢p∧q是假命題，￢p∧￢q是假命題．故選B．12、C【解題分析】

利用復數(shù)的三角形式的乘法運算法則即可得出．【題目詳解】z1z2＝（cos23°+isin23°）?（cos37°+isin37°）＝cos60°+isin60°＝．故答案為C．【題目點撥】熟練掌握復數(shù)的三角形式的乘法運算法則是解題的關鍵，復數(shù)問題高考必考，常見考點有：點坐標和復數(shù)的對應關系，點的象限和復數(shù)的對應關系，復數(shù)的加減乘除運算，復數(shù)的模長的計算.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、必要不充分【解題分析】

先求解直線l1與直線l2平行的等價條件，然后進行判斷.【題目詳解】“直線l1：與直線l2：平行”等價于a＝±2，故“直線l1：與直線l2：平行”是“a＝2”的必要不充分條件．故答案為：必要不充分.【題目點撥】本題主要考查充分必要條件的判定，把已知條件進行等價轉化是求解這類問題的關鍵，側重考查邏輯推理的核心素養(yǎng).14、【解題分析】

變換得到，計算焦點得到答案.【題目詳解】拋物線的標準方程為，，所以焦點坐標為．故答案為：【題目點撥】本題考查了拋物線的焦點坐標，屬于簡單題.15、-1【解題分析】

由二項式定理及展開式系數(shù)的求法得，又，所以，令得：，所以，得解．【題目詳解】由，且，則，又，所以，令得：，所以，故答案為：．【題目點撥】本題考查了二項式定理及展開式系數(shù)的求法，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平．16、答案不唯一，如【解題分析】

根據(jù)對基本函數(shù)的理解可得到滿足條件的函數(shù).【題目詳解】由題意，不妨設，則在都成立，但是在是單調(diào)遞增的，在是單調(diào)遞減的，說明原命題是假命題.所以本題答案為，答案不唯一，符合條件即可.【題目點撥】本題考查對基本初等函數(shù)的圖像和性質(zhì)的理解，關鍵是假設出一個在上不是單調(diào)遞減的函數(shù)，再檢驗是否滿足命題中的條件，屬基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】

（1）由基本量法求出公差后可得通項公式；（2）由等差數(shù)列前項和公式求得，可求得．【題目詳解】解：（1）設的公差為，由題設得因為，所以解得，故．（2）由（1）得．所以數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以，由得，解得．【題目點撥】本題考查求等差數(shù)列的通項公式和等比數(shù)列的前項和公式，解題方法是基本量法．18、（1）證明見解析（2）【解題分析】

（1）由題意可證得，，所以平面，則平面平面可證；（2）解法一：利用等體積法由可求出點到平面的距離；解法二：由條件知點到平面的距離等于點到平面的距離，過點作的垂線，垂足，證明平面，計算出即可.【題目詳解】解法一：（1）依題意知，因為，所以.又平面平面，平面平面，平面，所以平面.又平面，所以.由已知，是等邊三角形，且為的中點，所以.因為，所以.又，所以平面.又平面，所以平面平面.（2）在中，，，所以.由（1）知，平面，且，所以三棱錐的體積.在中，，，得，由（1）知，平面，所以，所以，設點到平面的距離，則三棱錐的體積，得.解法二：（1）同解法一；（2）因為，平面，平面，所以平面.所以點到平面的距離等于點到平面的距離.過點作的垂線，垂足，即.由（1）知，平面平面，平面平面，平面，所以平面，即為點到平面的距離.由（1）知，，在中，，，得.又，所以.所以點到平面的距離為.【題目點撥】本題主要考查空間面面垂直的的判定及點到面的距離，考查學生的空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力.求點到平面的距離一般可采用兩種方法求解：①等體積法；②作(找)出點到平面的垂線段，進行計算即可.19、（1）.（2）.【解題分析】試題分析：（Ⅰ）通過討論x的范圍，得到關于x的不等式組，解出取并集即可；（Ⅱ）求出f（x）的最大值，得到關于a的不等式，解出即可．試題解析：（1）不等式等價于或或，解得或，所以不等式的解集是；（2），，，解得實數(shù)的取值范圍是．點睛：含絕對值不等式的解法有兩個基本方法，一是運用零點分區(qū)間討論，二是利用絕對值的幾何意義求解．法一是運用分類討論思想，法二是運用數(shù)形結合思想，將絕對值不等式與函數(shù)以及不等式恒成立交匯、滲透，解題時強化函數(shù)、數(shù)形結合與轉化化歸思想方法的靈活應用，這是命題的新動向．20、（1）見解析；（2）.【解題分析】

（1）取的中點，連接，通過證明，即可證得；（2）建立空間直角坐標系，利用向量的坐標表示即可得解.【題目詳解】（1）證明：取的中點，連接．是的中點，，又，四邊形是平行四邊形．，又平面平面，平面．（2），，同理可得：，又平面．連接，設，則，建立空間直角坐標系．設平面的法向量為，則，則，取．直線與平面所成角的正