甘肅省靖遠縣第二中學2023-2024學年高二上學期12月期末考試數(shù)學模擬試題

高二年級上學期期末考試模擬卷（120分鐘150分）考試范圍：選擇性必修第一冊一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知數(shù)列的通項公式為，則該數(shù)列的第項為（）A.1B.C.-1D.2.若直線不經(jīng)過第一象限，則實數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.3.圓的圓心在直線上，且和軸相切于點，則圓的標準方程為（）A.B.C.D.4.某科技小組有6名學生，其中男生4人，女生2人，現(xiàn)從中選出3人去參觀展覽，則至少有一名女生人選的不同選法種數(shù)為（）A.12B.16C.18D.245.的展開式中，含的項的系數(shù)是（）A.-20B.5C.15D.356.以橢圓的焦點為頂點，頂點為焦點的雙曲線的漸近線的傾斜角的正弦值為（）A.B.C.D.7.已知為拋物線的焦點，過的直線交拋物線于點，，且點在點的下方.若直線的斜率為，則（）A.5B.4C.D.38.已知等差數(shù)列的前5項和為105，且.對任意的，將數(shù)列中不大于的項的個數(shù)記為，則數(shù)列的前項和等于（）A.B.C.D.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.若直線被兩平行直線與直線所截的線段的長為，則直線的傾斜角為（）A.B.C.D.10.用種不同的顏色涂圖中的矩形，要求相鄰的矩形涂色不同，不同的涂色方法總種數(shù)記為，則（）A.B.C.D.11.如圖，在直角坐標系中，坐標軸將邊長為4的正方形分割成四個小正方形.若大圓為正方形的外接圓，四個小圓分別為四個小正方形的內(nèi)切圓，則下列方程是圖中某個圓的方程的是（）A.B.C.D.12.設(shè)橢圓的左?右焦點分別為是上的動點，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.的最大值為C.離心率D.以線段為直徑的圓與直線相切三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若，則實數(shù)__________.14.在等差數(shù)列中，前五項和為10，最后五項之和為90，前項之和為180，則項數(shù)__________.15.已知實數(shù)滿足，則的最小值為__________.16.已知圓，點在拋物線上運動，過點作圓的切線，切點分別為，則的最小值為__________.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.（10分）已知.（1）求直線的全體方向向量和一個法向量；（2）若點在線段（包括端點）上移動，求直線的斜率的取值范圍.18.（12分）設(shè)數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.19.（12分）課外活動小組共13人，其中男生8人，女生5人，并且男?女生各有一名隊長，現(xiàn)從中選5人參加某項活動，依下列條件各有多少種選法？（用數(shù)字做答）（1）至少有一名隊長參加該活動；（2）至多有兩名女生參加該活動.20.（12分）已知雙曲線是上的任意一點.（1）設(shè)點的坐標為，求的最小值；（2）若分別為雙曲線的左?右焦點，，求的面積.21.（12分）在平面直角坐標系中，已知圓和圓.（1）若直線過原點，且被圓截得的弦長為6，求直線的方程.（2）是否存在點滿足過點的無窮多對互相垂直的直線和，它們分別與圓和圓相交，且直線被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由.22.（12分）已知橢圓的左頂點為，過作兩條互相垂直的直線且分別與橢圓交于兩點（異于點），設(shè)直線的斜率為為坐標原點.（1）用表示點的坐標.（2）求證：直線過定點.（3）求的面積的取值范圍.高二年級上學期期末考試模擬卷1.A當為奇數(shù)時，；當為偶數(shù)時，，.綜上所述，.2.C直線方程可化為，因為直線不經(jīng)過第一象限，所以，解得.所以實數(shù)的取值范圍是.3.B因為圓心在直線上，故設(shè)圓心，又因為圓和軸相切于點，所以，即，則半徑，故圓的標準方程為.4.B分兩類：一類是選1個女生，則有種；另一類是選2個女生，則有種.所以不同選法種數(shù)共有.5.D二項式的展開式中的通項，含的項的系數(shù)為.6.D橢圓焦點坐標為，頂點坐標為，故，由，得到雙曲線的方程為，漸近線的方程為，設(shè)傾斜角為，得，故.7.B如圖，設(shè)在拋物線的準線上的射影分別為交拋物線的準線于點.設(shè)，由直線的斜率為，可得，且，即，化簡得，可得.8.C設(shè)數(shù)列的公差為，前項和為.由，得，解得，因此.對任意的，若，則.因此，所以數(shù)列是首項為1，公比為7的等比數(shù)列，故.9.AD兩平行直線間的距離為，由圖（圖略）可知直線與直線的夾角為，因為直線的傾斜角為，所以直線的傾斜角為或.10.AD當時，分四步：第一步，涂處，有6種涂色方案；第二步，涂處，有5種涂色方案；第三步，涂處，有5種涂色方案；第四步，涂處，有4種涂色方案.不同的涂色方法共種數(shù)為，所以，同理.11.ABC由題可知小正方形邊長為2，則內(nèi)切圓半徑為1，可得第一象限的小圓的圓心為，方程為，即；第二象限的小圓的圓心為，方程為，即；第三象限的小圓的圓心為，方程為，即；第四象限的小圓的圓心為，方程為，即.12.ACD由橢圓，可得，可得，所以焦點為，根據(jù)橢圓的定義知，所以A項正確；的最大值為，所以項錯誤；橢圓的離心率為，所以項正確；由原點到直線的距離，知以線段為直徑的圓與直線相切，所以項正確.13.，又，所以，即有.14.18因為，所以，所以，即.因為，解得.15.9因為表示點到點的距離的平方，所以的最小值為點到直線的距離，即，所以的最小值為9.16.根據(jù)題意，可知，且.由幾何性質(zhì)可得四邊形的面積為Rt面積的2倍，所以，即.易知，當為原點時，取得最小值2，故的最小值為.17.解：（1）由斜率公式知直線的斜率為，所以直線的全體方向向量為（為任意的非零實數(shù)）.直線的方程為，化簡得，所以直線的一個法向量為.（2）結(jié)合圖象（圖略）可知，當點為點時，直線的斜率最大，直線的斜率為，當點為點時，直線的斜率最小，由（1）知直線的斜率為，所以直線的斜率的取值范圍為.18.解：（1）當時，①，②，①-②，得，化簡得.顯然也滿足上式，故.（2）由（1）得，于是③，④，③-④，得，即.19.解：（1）至少有一名隊長含有兩種情況：有一名隊長和有兩名隊長.故共有825（種）情況，或采用排除法有種情況.（2）至多有兩名女生含有三種情況：有兩名女生?只有一名女生?沒有女生.故共有種情況.20.解：（1）設(shè)點的坐標為，則，因為，所以當時，取得最小值.（2）由雙曲線的定義知①由余弦定理得②根據(jù)①②可得，所以.21.解：（1）當直線的斜率不存在時，直線即是軸，此時直線被圓截得的弦長為，滿足題意.當直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，由直線被圓截得的弦長為6得.所以直線的方程為和.（2）存在滿足條件的點，點坐標為或.理由如下：設(shè)，因為直線被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等，兩圓半徑相等，所以圓心到直線與到直線的距離相等，當兩直線斜率存在且不等于0時，設(shè)直線的方程分別為，即.故有，整理得或，關(guān)于的方程有無窮多解，所以或，解得點的坐標為或.當兩直線斜率一個為0，另一個不存在時，點的坐標和也適合.綜上可知，存在點滿足過點的無窮多對互相垂直的直線和，它們分別與圓和圓相交，且直線被圓截得的弦長與直線被圓截得的