吉林省“BEST合作體”2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

吉林省“BEST合作體”2022-2023學(xué)年度上學(xué)期期末考試高二數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.展開式中項(xiàng)系數(shù)為（）A.5 B. C.10 D.【答案】B【解析】【分析】求出展開式的通項(xiàng)，再令未知數(shù)的指數(shù)等于，即可得解.【詳解】展開式的通項(xiàng)為，令，則，所以項(xiàng)系數(shù)為.故選：B.2.雙曲線與雙曲線具有相同的（）A.焦點(diǎn) B.實(shí)軸長 C.離心率 D.漸近線【答案】D【解析】【分析】依次分析兩條曲線的焦點(diǎn)，實(shí)軸長，離心率，漸近線等即可得答案.【詳解】解：將雙曲線化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，所以，對(duì)于雙曲線，，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，實(shí)軸長為，離心率為，漸近線方程為；對(duì)于雙曲線，，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，實(shí)軸長為，離心率為，漸近線方程為；故雙曲線與雙曲線具有相同的漸近線.故選：D3.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A.7 B. C. D.10【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為公式解決即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以，解得，所?故選：B.4.直線被圓截得的弦長為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用配方法求得圓心與半徑，再結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式與弦長公式進(jìn)行求解即可.【詳解】由，得，所以圓的圓心為，半徑為，圓心到直線，即的距離為，所以所求弦長為.故選：B5.數(shù)學(xué)與建筑的結(jié)合造就建筑藝術(shù)，如圖，吉林大學(xué)的校門是一拋物線形水泥建筑物，若將校門輪廓（忽略水泥建筑的厚度）近似看成拋物線的一部分，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，校門最高點(diǎn)到地面距離約為18米，則校門位于地面寬度最大約為（）A.18米 B.21米 C.24米 D.27米【答案】C【解析】【分析】將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)求出的值，即可得到拋物線方程，再令求出的值，即可得解.【詳解】解：拋物線，即，因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，所以，所以拋物線即為，令，則，解得，所以校門位于地面寬度最大約為米.故選：C6.某校選派4名干部到兩個(gè)街道服務(wù)，每人只能去一個(gè)街道，每個(gè)街道至少1人，有多少種方法（）A.10 B.14 C.16 D.18【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意對(duì)人數(shù)的分配情況進(jìn)行分類討論，運(yùn)算求解即可.【詳解】由題意可得：若每個(gè)街道分配的人數(shù)不一致，則其中一個(gè)街道分配1人，另一個(gè)街道分配3人，則不同的分配方法有種；若每個(gè)街道分配的人數(shù)一致，則兩個(gè)街道均分配2人，則不同的分配方法有種；故共有種.故選：B.7.若數(shù)列滿足：，且，則數(shù)列的前5項(xiàng)和為（）A.7 B.10 C.19 D.22【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意求，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意可得：，故前5項(xiàng)和為.故選：D.8.中國結(jié)是一種手工編制工藝品，它有著復(fù)雜奇妙的曲線，卻可以還原成單純的二維線條，其中的數(shù)字“8”對(duì)應(yīng)著數(shù)學(xué)曲線中的雙紐線.在xOy平面上，把與定點(diǎn)距離之積等于的動(dòng)點(diǎn)的軌跡稱為雙紐線.曲線C是當(dāng)時(shí)的雙紐線，P是曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列是關(guān)于曲線C的四個(gè)結(jié)論，正確的個(gè)數(shù)是（）①曲線C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱②曲線C上滿足的P有且只有一個(gè)③曲線C上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離都不超過4④若直線與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意求軌跡方程.將代入曲線方程即可判斷①；根據(jù)點(diǎn)P在y軸上，解得點(diǎn)P的坐標(biāo)即可判斷②；根據(jù)曲線方程可得，結(jié)合即可判斷③；直線與曲線聯(lián)立，根據(jù)方程的解即可判斷④.【詳解】設(shè)，則，根據(jù)雙紐線的定義可得：，即，對(duì)①：曲線C上任一點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，用替換方程中的得：即也在曲線C上，所以曲線C關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，故①正確；對(duì)②：若曲線C上點(diǎn)P滿足，則點(diǎn)P在y軸上，即，把代入曲線方程得：，解得，即點(diǎn)P滿足，則，所以這樣的點(diǎn)僅有一個(gè)，故②正確；對(duì)③：若，則，即，則，當(dāng)，即不是坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，即；當(dāng)時(shí)，則；綜上所述：曲線C上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離都不超過4，故③正確；對(duì)④：∵直線與曲線C一定有公共點(diǎn)，若直線與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)，將代入方程中，方程無非零解，聯(lián)立方程，消去整理得，可得無非零解，則，解得或，故④正確.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）根據(jù)方程，化簡(jiǎn)可得，結(jié)合不等式分析運(yùn)算；（2）再處理直線與曲線的交點(diǎn)問題時(shí)，一般通過聯(lián)立方程分析判斷.二、多選題9.方程表示的曲線可能為（）A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線【答案】ABC【解析】【分析】對(duì)于ABC，取的特殊值即可判斷；對(duì)于D，結(jié)合拋物線方程的特點(diǎn)即可判斷.【詳解】對(duì)于方程，對(duì)于A，取，得，此時(shí)方程表示的曲線為圓，故A正確；對(duì)于B，取，得，此時(shí)方程表示的曲線為橢圓，故B正確；對(duì)于C，取，得，此時(shí)方程表示的曲線為雙曲線，故C正確；對(duì)于D，而拋物線的方程中必有一個(gè)或，顯然不管取何取，但方程無法得到或，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.10.南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法.商功》中出現(xiàn)了如圖所示的形狀，后人稱之為“三角垛”.“三角垛”最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，，以此類推.設(shè)從上到下各層球數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，則（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】分析】根據(jù)題意分析可得：.對(duì)A、B：直接代入檢驗(yàn)即可；對(duì)C：利用累加法可得，即可得結(jié)果；對(duì)D：利用裂項(xiàng)相消法運(yùn)算求解.【詳解】根據(jù)題意可知從第二層起，某一層的球數(shù)比上一層的球數(shù)多的數(shù)量剛好是其層數(shù)，即，即，對(duì)A：因?yàn)?，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：因?yàn)?，所以，故B正確；對(duì)C：因?yàn)?，，，且，所以上述各式相加得，故；?jīng)檢驗(yàn)：滿足，所以，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：由選項(xiàng)C可知，則，故D正確.故選：BD.11.已知橢圓M：（）的左?右焦點(diǎn)分別為，，若橢圓M與坐標(biāo)軸分別交于A，B，C，D四點(diǎn)，且從，，A，B，C，D這六點(diǎn)中，可以找到三點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)等邊三角形，則下列選項(xiàng)中可以是橢圓M的離心率的有（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】【分析】對(duì)所有可能的等邊三角形分類討論，得的關(guān)系，從而求得離心率.【詳解】不妨設(shè)為長軸端點(diǎn)，為短軸端點(diǎn)，已知關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，相應(yīng)的三角形只取其中一個(gè)即可；首先可能是等邊三角形，因?yàn)?，所以，此時(shí)不可能是等邊三角形，不合題意；若為等邊三角形，則，所以選項(xiàng)B有可能;若為等邊三角形，則,所以選項(xiàng)A有可能;若為等邊三角形，則；綜上可知，可以是橢圓M的離心率的有選項(xiàng)A和B.故選：AB.12.在橢圓中，其所有外切矩形的頂點(diǎn)在一個(gè)定圓上，稱此圓為該橢圓的蒙日?qǐng)A.該圓由法國數(shù)學(xué)家Monge（1746-1818）最先發(fā)現(xiàn).若橢圓，則下列說法正確的有（）A.橢圓外切矩形面積的最小值為48B.橢圓外切矩形面積的最大值為48C.點(diǎn)為蒙日?qǐng)A上任意一點(diǎn)，點(diǎn)，，當(dāng)取最大值時(shí)，D.若橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，，過橢圓上一點(diǎn)和原點(diǎn)作直線與蒙日?qǐng)A相交于點(diǎn)，，則【答案】ACD【解析】【分析】先求得橢圓的蒙日?qǐng)A方程，然后利用外切矩形的面積結(jié)合二次函數(shù)求最值可判斷A，B選項(xiàng)，利用兩角和的正切公式，橢圓的定義，向量運(yùn)算的轉(zhuǎn)化來判斷C，D選項(xiàng)【詳解】對(duì)于，：如圖，設(shè)對(duì)于橢圓上任意點(diǎn)，過點(diǎn)作橢圓的切線交圓于，兩點(diǎn)，，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)分別為，，則橢圓的一個(gè)外切矩形為，則，由圖象易知，圓心到直線的距離，所以.又，所以外切矩形為的面積，因此對(duì)，錯(cuò).對(duì)于：當(dāng)與圓相切且切點(diǎn)在圓下方時(shí)，最大，，對(duì).對(duì)于，，①②得，，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】本題解題的關(guān)鍵一方面結(jié)合題目要求求出蒙日?qǐng)A方程，建立參數(shù)間的關(guān)系式來表示面積進(jìn)而利用函數(shù)求最值問題，另一方面結(jié)合橢圓定義式，向量的運(yùn)算推導(dǎo)的關(guān)系，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想三、填空題13.若三個(gè)點(diǎn)，，中恰有兩個(gè)點(diǎn)在雙曲線C：上，則雙曲線C的漸近線方程為___________.【答案】【解析】【分析】利用雙曲線的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,得到點(diǎn)，在雙曲線上，即可求出，進(jìn)而求出雙曲線的漸近線方程.【詳解】因?yàn)槿齻€(gè)點(diǎn)，，中恰有兩個(gè)點(diǎn)在雙曲線上，又雙曲線的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以點(diǎn)，在雙曲線上，所以，解得，所以其漸近線方程為：.故答案：.14.設(shè)為正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)積，若，則___________．【答案】32【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式基本量計(jì)算求出首項(xiàng)和公比，再計(jì)算出前10項(xiàng)積即可.【詳解】由，得，因?yàn)闉檎?xiàng)等比數(shù)列，所以，解得：，又，解得：，所以．故答案為：3215.的展開式中，的系數(shù)為______.【答案】30【解析】【分析】表示5個(gè)因式的乘積，在這5個(gè)因式中，有2個(gè)因式選，其余的3個(gè)因式中有一個(gè)選，剩下的兩個(gè)因式選，即可得到含的項(xiàng)，即可算出答案.【詳解】表示5個(gè)因式的乘積，在這5個(gè)因式中，有2個(gè)因式選，其余的3個(gè)因式中有一個(gè)選，剩下的兩個(gè)因式選，即可得到含的項(xiàng)，故含的項(xiàng)系數(shù)是故答案為：30【點(diǎn)睛】本題考查的是利用分步計(jì)數(shù)原理處理多項(xiàng)式相乘的問題，較簡(jiǎn)單.16.已知直線l與橢圓在第二象限交于A，B兩點(diǎn)，直線l與x軸、y軸分別交于C，D兩點(diǎn)，且，則直線l的方程為________________．【答案】【解析】【分析】令的中點(diǎn)為，利用點(diǎn)差法得到，再設(shè)直線求出的坐標(biāo)，從而結(jié)合得到關(guān)于、的方程，解之即可.【詳解】依題意，不妨設(shè)點(diǎn)在點(diǎn)的左邊，記的中點(diǎn)為，如圖，設(shè)，，則，，所以，即，所以，即，設(shè)直線，則，，令得，令得，即，，因?yàn)?，所以，即點(diǎn)為的中點(diǎn)，故，所以，解得或（舍去），又，即，解得或（舍去），所以直線，即.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.四、解答題17.書架第1層放有4本不同的計(jì)算機(jī)書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放2本不同的體育書.（1）從書架的第1、2、3層各取1本書，有多少種不同的取法？（2）從書架上任取兩本不同學(xué)科的書，有多少種不同的取法？【答案】（1）種；（2）種.【解析】【分析】（1）應(yīng)用分步乘法求不同的取法；（2）應(yīng)用分類加法求不同的取法.【小問1詳解】從書架的第1、2、3層各取1本書，可以分成3個(gè)步驟完成：第1步從第1層取1本計(jì)算機(jī)書，有4種方法，第2步從第2層取1本文藝書，有3種方法，第3步從第3層取1本體育書，有2種方法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同取法的種數(shù)是.【小問2詳解】第1類方法是4本不同的計(jì)算機(jī)書和3本不同的文藝書中各選取1本，有種方法第2類方法是4本不同的計(jì)算機(jī)書和2本不同的體育書各選取1本，有種方法，第3類方法是3本不同的文藝書和2本不同的體育書各選取1本，有種方法根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，不同取法的種數(shù)是.18.過點(diǎn)做圓的兩條切線．分別與圓相切于A，B兩點(diǎn)．（1）求切線方程；（2）求線段AB的長度．【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）利用直線與圓相切有，分類討論所求切線斜率存在與否，結(jié)合點(diǎn)線距離公式即可得解；（2）結(jié)合圖像，利用兩點(diǎn)距離公式得到，再利用平面幾何的知識(shí)與三角形面積公式求得，從而得解.【小問1詳解】因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓外，又圓的圓心為，半徑為，當(dāng)所求切線斜率不存在時(shí)，切線方程為，易得圓心到直線的距離為，滿足題意；當(dāng)所求切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，即，因?yàn)閳A心到直線距離，即，解得，所以切線方程為，即，綜上：切線方程為為或.【小問2詳解】由（1）可作出切線與圓的圖形如下，易得，，則在中，，，所以，由平面幾何的知識(shí)易知，且是的中點(diǎn)，由三角形面積公式得，則，所以.19.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列滿足，．（1）證明是等差數(shù)列；（2）是否存在常數(shù)a、b，使得對(duì)一切正整數(shù)n都有成立．若存在，求出a、b的值；若不存在，說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）存在，.【解析】【分析】(1)由數(shù)列的前n項(xiàng)和為，可求得，，再由等比數(shù)列的定義證明即可.(2)根據(jù)題意可求得，，代入中得，只需滿足以即可，從而求解的值即可.【小問1詳解】解：證明：因?yàn)閿?shù)列的前n項(xiàng)和為，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，滿足，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，，所以，，所以是等差數(shù)列；【小問2詳解】解：因?yàn)椋裕詳?shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以；所以，要使對(duì)一切正整數(shù)n都有成立．即，即，所以，解得.故存在常數(shù)，當(dāng)時(shí)，對(duì)一切正整數(shù)n都有成立.20.已知拋物線焦點(diǎn)為F，點(diǎn)在拋物線上，.（1）求拋物線方程；（2）過焦點(diǎn)F直線l與拋物線交于MN兩點(diǎn)，若MN最小值為4，且是鈍角，求直線斜率范圍.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意列式求解，即可得結(jié)果；（2）設(shè)，與拋物線聯(lián)立，根據(jù)題意結(jié)合弦長公式可求得，再結(jié)合數(shù)量積以及韋達(dá)定理運(yùn)算求解，注意數(shù)量積的符號(hào)與向量夾角之間的關(guān)系.【小問1詳解】由題意可得：，解得或，故拋物線方程為或.【小問2詳解】拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)，聯(lián)立方程，消去x得，則，可得，解得，此時(shí)，則，若直線過點(diǎn)，則，解得，若是鈍角，則，且三點(diǎn)不共線，∵，則，解得或，注意到，故直線斜率范圍為.【點(diǎn)睛】方法定睛：與圓錐曲線有關(guān)的取值范圍問題的三種解法（1）數(shù)形結(jié)合法：利用待求量的幾何意義，確定出極端位置后數(shù)形結(jié)合求解．（2）構(gòu)建不等式法：利用已知或隱含的不等關(guān)系，構(gòu)建以待求量為元的不等式求解．（3）構(gòu)建函數(shù)法：先引入變量構(gòu)建以待求量為因變量的函數(shù)，再求其值域．21.已知數(shù)列；數(shù)列是等比數(shù)列，成等差數(shù)列.（1）求、通項(xiàng)公式；（2）若前n項(xiàng)和滿足，求證.【答案】（1），（2）證明