云南昆明市黃岡實驗學校2024屆高三學生學業(yè)調研抽測（第一次）數(shù)學試題

云南昆明市黃岡實驗學校2024屆高三學生學業(yè)調研抽測（第一次）數(shù)學試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若復數(shù)是純虛數(shù)，則()A．3 B．5 C． D．2．M、N是曲線y=πsinx與曲線y=πcosx的兩個不同的交點,則|MN|的最小值為()A．π B．π C．π D．2π3．復數(shù)（i是虛數(shù)單位）在復平面內對應的點在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．設且，則下列不等式成立的是（）A． B． C． D．5．關于圓周率π，數(shù)學發(fā)展史上出現(xiàn)過許多很有創(chuàng)意的求法，如著名的浦豐實驗和查理斯實驗．受其啟發(fā)，我們也可以通過設計下面的實驗來估計的值：先請全校名同學每人隨機寫下一個都小于的正實數(shù)對；再統(tǒng)計兩數(shù)能與構成鈍角三角形三邊的數(shù)對的個數(shù)；最后再根據(jù)統(tǒng)計數(shù)估計的值，那么可以估計的值約為（）A． B． C． D．6．已知焦點為的拋物線的準線與軸交于點，點在拋物線上，則當取得最大值時，直線的方程為（）A．或 B．或 C．或 D．7．設，且，則（）A． B． C． D．8．在平行六面體中，M為與的交點，若,，則與相等的向量是（）A． B． C． D．9．函數(shù)的對稱軸不可能為（）A． B． C． D．10．已知集合A＝{0，1}，B＝{0，1，2}，則滿足A∪C＝B的集合C的個數(shù)為（）A．4 B．3 C．2 D．111．已知函數(shù)，若關于的不等式恰有1個整數(shù)解，則實數(shù)的最大值為（）A．2 B．3 C．5 D．812．小明有3本作業(yè)本，小波有4本作業(yè)本，將這7本作業(yè)本混放在-起，小明從中任取兩本.則他取到的均是自己的作業(yè)本的概率為()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某校高三年級共有名學生參加了數(shù)學測驗（滿分分），已知這名學生的數(shù)學成績均不低于分，將這名學生的數(shù)學成績分組如下：，，，，，，得到的頻率分布直方圖如圖所示，則下列說法中正確的是________（填序號）．①；②這名學生中數(shù)學成績在分以下的人數(shù)為；③這名學生數(shù)學成績的中位數(shù)約為；④這名學生數(shù)學成績的平均數(shù)為．14．已知數(shù)列的首項，函數(shù)在上有唯一零點，則數(shù)列|的前項和__________.15．已知向量，，，則__________.16．已知雙曲線（，）的左，右焦點分別為，，過點的直線與雙曲線的左，右兩支分別交于，兩點，若，，則雙曲線的離心率為__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知點為圓：上的動點，為坐標原點，過作直線的垂線（當、重合時，直線約定為軸），垂足為，以為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系.（1）求點的軌跡的極坐標方程；（2）直線的極坐標方程為，連接并延長交于，求的最大值.18．（12分）我國在2018年社保又出新的好消息，之前流動就業(yè)人員跨地區(qū)就業(yè)后，社保轉移接續(xù)的手續(xù)往往比較繁瑣，費時費力.社保改革后將簡化手續(xù)，深得流動就業(yè)人員的贊譽.某市社保局從2018年辦理社保的人員中抽取300人，得到其辦理手續(xù)所需時間（天）與人數(shù)的頻數(shù)分布表：時間人數(shù)156090754515（1）若300名辦理社保的人員中流動人員210人，非流動人員90人，若辦理時間超過4天的人員里非流動人員有60人，請完成辦理社保手續(xù)所需時間與是否流動人員的列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認為“辦理社保手續(xù)所需時間與是否流動人員”有關.列聯(lián)表如下流動人員非流動人員總計辦理社保手續(xù)所需時間不超過4天辦理社保手續(xù)所需時間超過4天60總計21090300（2）為了改進工作作風，提高效率，從抽取的300人中辦理時間為流動人員中利用分層抽樣，抽取12名流動人員召開座談會，其中3人要求交書面材料，3人中辦理的時間為的人數(shù)為，求出分布列及期望值.附：0.100.050.0100.0052.7063.8416.6357.87919．（12分）在一次電視節(jié)目的答題游戲中，題型為選擇題，只有“A”和“B”兩種結果，其中某選手選擇正確的概率為p，選擇錯誤的概率為q，若選擇正確則加1分，選擇錯誤則減1分，現(xiàn)記“該選手答完n道題后總得分為”.（1）當時，記，求的分布列及數(shù)學期望；（2）當，時，求且的概率.20．（12分）秉持“綠水青山就是金山銀山”的生態(tài)文明發(fā)展理念，為推動新能源汽車產(chǎn)業(yè)迅速發(fā)展，有必要調查研究新能源汽車市場的生產(chǎn)與銷售.下圖是我國某地區(qū)年至年新能源汽車的銷量（單位：萬臺）按季度（一年四個季度）統(tǒng)計制成的頻率分布直方圖.（1）求直方圖中的值，并估計銷量的中位數(shù)；（2）請根據(jù)頻率分布直方圖估計新能源汽車平均每個季度的銷售量（同一組數(shù)據(jù)用該組中間值代表），并以此預計年的銷售量.21．（12分）已知曲線C的極坐標方程是.以極點為平面直角坐標系的原點,極軸為x軸的正半軸,建立平面直角坐標系,直線l的參數(shù)方程是:（是參數(shù)）.（1）若直線l與曲線C相交于A、B兩點,且,試求實數(shù)m值.（2）設為曲線上任意一點，求的取值范圍.22．（10分）為了打好脫貧攻堅戰(zhàn)，某貧困縣農(nóng)科院針對玉米種植情況進行調研，力爭有效地改良玉米品種，為農(nóng)民提供技術支援，現(xiàn)對已選出的一組玉米的莖高進行統(tǒng)計，獲得莖葉圖如圖（單位：厘米），設莖高大于或等于180厘米的玉米為高莖玉米，否則為矮莖玉米．（1）求出易倒伏玉米莖高的中位數(shù)；（2）根據(jù)莖葉圖的數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表：抗倒伏易倒伏矮莖高莖（3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，是否可以在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，認為抗倒伏與玉米矮莖有關？附：，0.0500.0100.0013.8416.63510.828

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

先由已知，求出，進一步可得，再利用復數(shù)模的運算即可【題目詳解】由z是純虛數(shù)，得且，所以，.因此，.故選：C.【題目點撥】本題考查復數(shù)的除法、復數(shù)模的運算，考查學生的運算能力，是一道基礎題.2、C【解題分析】

兩函數(shù)的圖象如圖所示,則圖中|MN|最小,設M(x1,y1),N(x2,y2),則x1=,x2=π,|x1-x2|=π,|y1-y2|=|πsinx1-πcosx2|=π+π=π,∴|MN|==π.故選C.3、B【解題分析】

利用復數(shù)的四則運算以及幾何意義即可求解.【題目詳解】解：，則復數(shù)（i是虛數(shù)單位）在復平面內對應的點的坐標為：，位于第二象限.故選：B.【題目點撥】本題考查了復數(shù)的四則運算以及復數(shù)的幾何意義，屬于基礎題.4、A【解題分析】項，由得到，則，故項正確；項，當時，該不等式不成立，故項錯誤；項，當，時，，即不等式不成立，故項錯誤；項，當，時，，即不等式不成立，故項錯誤．綜上所述，故選．5、D【解題分析】

由試驗結果知對0～1之間的均勻隨機數(shù)，滿足，面積為1，再計算構成鈍角三角形三邊的數(shù)對，滿足條件的面積，由幾何概型概率計算公式，得出所取的點在圓內的概率是圓的面積比正方形的面積，即可估計的值．【題目詳解】解：根據(jù)題意知，名同學取對都小于的正實數(shù)對，即，對應區(qū)域為邊長為的正方形，其面積為，若兩個正實數(shù)能與構成鈍角三角形三邊，則有，其面積；則有，解得故選：．【題目點撥】本題考查線性規(guī)劃可行域問題及隨機模擬法求圓周率的幾何概型應用問題.線性規(guī)劃可行域是一個封閉的圖形，可以直接解出可行域的面積；求解與面積有關的幾何概型時，關鍵是弄清某事件對應的面積，必要時可根據(jù)題意構造兩個變量，把變量看成點的坐標，找到試驗全部結果構成的平面圖形，以便求解.6、A【解題分析】

過作與準線垂直，垂足為，利用拋物線的定義可得，要使最大，則應最大，此時與拋物線相切，再用判別式或導數(shù)計算即可.【題目詳解】過作與準線垂直，垂足為，，則當取得最大值時，最大，此時與拋物線相切，易知此時直線的斜率存在，設切線方程為，則.則，則直線的方程為.故選：A.【題目點撥】本題考查直線與拋物線的位置關系，涉及到拋物線的定義，考查學生轉化與化歸的思想，是一道中檔題.7、C【解題分析】

將等式變形后，利用二次根式的性質判斷出，即可求出的范圍.【題目詳解】即故選：C【題目點撥】此題考查解三角函數(shù)方程，恒等變化后根據(jù)的關系即可求解，屬于簡單題目.8、D【解題分析】

根據(jù)空間向量的線性運算，用作基底表示即可得解.【題目詳解】根據(jù)空間向量的線性運算可知因為,，則即，故選：D.【題目點撥】本題考查了空間向量的線性運算，用基底表示向量，屬于基礎題.9、D【解題分析】

由條件利用余弦函數(shù)的圖象的對稱性，得出結論．【題目詳解】對于函數(shù)，令，解得，當時，函數(shù)的對稱軸為，，.故選：D.【題目點撥】本題主要考查余弦函數(shù)的圖象的對稱性，屬于基礎題．10、A【解題分析】

由可確定集合中元素一定有的元素，然后列出滿足題意的情況，得到答案.【題目詳解】由可知集合中一定有元素2，所以符合要求的集合有，共4種情況，所以選A項.【題目點撥】考查集合并集運算，屬于簡單題.11、D【解題分析】

畫出函數(shù)的圖象，利用一元二次不等式解法可得解集，再利用數(shù)形結合即可得出.【題目詳解】解：函數(shù)，如圖所示當時，，由于關于的不等式恰有1個整數(shù)解因此其整數(shù)解為3，又∴，，則當時，，則不滿足題意；當時，當時，，沒有整數(shù)解當時，，至少有兩個整數(shù)解綜上，實數(shù)的最大值為故選：D【題目點撥】本題主要考查了根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍，屬于較難題.12、A【解題分析】

利用計算即可，其中表示事件A所包含的基本事件個數(shù)，為基本事件總數(shù).【題目詳解】從7本作業(yè)本中任取兩本共有種不同的結果，其中，小明取到的均是自己的作業(yè)本有種不同結果，由古典概型的概率計算公式，小明取到的均是自己的作業(yè)本的概率為.故選：A.【題目點撥】本題考查古典概型的概率計算問題，考查學生的基本運算能力，是一道基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、②③【解題分析】

由頻率分布直方圖可知，解得，故①不正確；這名學生中數(shù)學成績在分以下的人數(shù)為，故②正確；設這名學生數(shù)學成績的中位數(shù)為，則，解得，故③正確；④這名學生數(shù)學成績的平均數(shù)為，故④不正確．綜上，說法正確的序號是②③．14、【解題分析】

由函數(shù)為偶函數(shù)，可得唯一零點為，代入可得數(shù)列的遞推關系式，再進行配湊轉換為等比數(shù)列，最后運用分部求和可得答案.【題目詳解】因為為偶函數(shù)，在上有唯一零點，所以，∴，∴，∴為首項為2，公比為2的等比數(shù)列.所以，.故答案為：【題目點撥】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的零點,同時也考查了由遞推關系式求數(shù)列的通項,考查了數(shù)列的分部求和，屬于中檔題.15、3【解題分析】

由題意得，，再代入中，計算即可得答案.【題目詳解】由題意可得，，∴，解得，∴.故答案為：.【題目點撥】本題考查向量模的計算，考查函數(shù)與方程思想、轉化與化歸思想，考查運算求解能力，求解時注意向量數(shù)量積公式的運用.16、【解題分析】

設，由雙曲線的定義得出：，由得為等腰三角形，設，根據(jù)，可求出，得出，再結合焦點三角形，利用余弦定理：求出和的關系，即可得出離心率.【題目詳解】解：設，由雙曲線的定義得出：，，由圖可知：，又，即，則，為等腰三角形，，設，，則，，即，解得：，則，，解得：，，解得：，，在中，由余弦定理得：，即：，解得：，即.故答案為：.【題目點撥】本題考查雙曲線的定義的應用，以及余弦定理的應用，求雙曲線離心率.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解題分析】

（1）設的極坐標為，在中，有，即可得結果；（2）設射線：，，圓的極坐標方程為，聯(lián)立兩個方程，可求出，聯(lián)立可得，則計算可得，利用三角函數(shù)的性質可得最值.【題目詳解】（1）設的極坐標為，在中，有，點的軌跡的極坐標方程為；（2）設射線：，，圓的極坐標方程為，由得：，由得：，，，當，即時，，的最大值為.【題目點撥】本題考查極坐標方程的應用，考查三角函數(shù)性質的應用，是中檔題.18、（1）列聯(lián)表見解析，有；（2）分布列見解析，.【解題分析】

（1）根據(jù)題意，結合已知數(shù)據(jù)即可填寫列聯(lián)表，計算出的觀測值，即可進行判斷；（2）先計算出時間在和選取的人數(shù)，再求出的可取值，根據(jù)古典概型的概率計算公式求得分布列，結合分布列即可求得數(shù)學期望.【題目詳解】（1）因為樣本數(shù)據(jù)中有流動人員210人，非流動人員90人，所以辦理社保手續(xù)所需時間與是否流動人員列聯(lián)表如下：辦理社保手續(xù)所需時間與是否流動人員列聯(lián)表流動人員非流動人員總計辦理社保手續(xù)所需時間不超過4天453075辦理社保手續(xù)所需時間超過4天16560225總計21090300結合列聯(lián)表可算得.有95%的把握認為“辦理社保手續(xù)所需時間與是否流動人員”有關.（2）根據(jù)分層抽樣可知時間在可選9人，時間在可以選3名，故，則，，，，可知分布列為0123可知.【題目點撥】本題考查獨立性檢驗中的計算，以及離散型隨機變量的分布列以及數(shù)學期望，涉及分層抽樣，屬綜合性中檔題.19、（1）見解析，0（2）【解題分析】

（1）即該選手答完3道題后總得分,可能出現(xiàn)的情況為3道題都答對,答對2道答錯1道,答對1道答錯2道,3道題都答錯,進而求解即可；（2）當時,即答完8題后,正確的題數(shù)為5題,錯誤的題數(shù)是3題,又,則第一題答對,第二題第三題至少有一道答對,進而求解.【題目詳解】解:（1）的取值可能為,,1,3,又因為,故,,,,所以的分布列為：13所以（2）當時,即答完8題后,正確的題數(shù)為5題,錯誤的題數(shù)是3題,又已知,第一題答對,若第二題回答正確,則其余6題可任意答對3題；若第二題回答錯誤,第三題回答正確,則后5題可任意答對題，此時的概率為（或）.【題目點撥】本題考查二項分布的分布列及期望,考查數(shù)據(jù)處理能力,考查分類討論思想.20、（1），中位數(shù)為；（2）新能源汽車平均每個季度的銷售量為萬臺，以此預計年的銷售量約為萬臺.【解題分析】

（1）根據(jù)頻率分布直方圖中所有矩形面積之和為可