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文檔簡介
2004年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題
【第一試】一、選擇題(本題滿分36分,每小題6分)1、設(shè)銳角q使關(guān)于x的方程有重根,則q的弧度數(shù)為A.
B。
C。
D。
答:[
]2、已知M=,N=,若對于所有的,均有則的取值范圍是A.[]
B。()C。()
D。[]答:[
]3、不等式>0的解集是A.[2,3]
B。(2,3)
C。[2,4]
D。(2,4)
答:[
]4、設(shè)O點在△ABC內(nèi)部,且有,則△ABC的面積與△AOC的面積之比為A.2
B。
C。3
D。
答:[
]
5、設(shè)三位數(shù),若以為三條邊的長可以構(gòu)成一個等腰(含等邊)三角形,則這樣的三位數(shù)有A.45個
B。81個C。165個
D。216個
答:[
]6、頂點為P的圓錐的軸截面是等腰直角三角形,A是底面圓周上的點,B是底面圓內(nèi)的點,O為底面圓的圓心,AB⊥OB,垂足為B,OH⊥PB,垂足為H,且PA=4,C是PA的中點,則當(dāng)三棱錐O—HPC的體積最大時,OB的長是A.
B。
C。
D。
答:[
]
二、填空題(本題滿分54分,每小題9分)7、在平面直角坐標(biāo)系中,函數(shù)在一個最小正周期長的區(qū)間上的圖像與函數(shù)的圖像所圍成的封閉圖形的面積是_____________。8、設(shè)函數(shù)滿足,且對任意的,都有=,則。
9、如圖,正方體中,二面角的度數(shù)是______________。
10、設(shè)是給定的奇質(zhì)數(shù),正整數(shù)使得也是一個正整數(shù),則=________________。
11、已知數(shù)列滿足關(guān)系式且,則的值是______。
12、在平面直角坐標(biāo)系中,給定兩點M(-1,2)和N(1,4),點P在X軸上移動,當(dāng)∠MPN取最大值時,點P的橫坐標(biāo)是___________。
三、解答題(本題滿分60分,每小題20分)
13、一項“過關(guān)游戲”規(guī)則規(guī)定:在第關(guān)要拋擲一顆骰子次,如果這次拋擲所出現(xiàn)的點數(shù)之和大于,則算過關(guān)。問:
(Ⅰ)某人在這項游戲中最多能過幾關(guān)?
(Ⅱ)他連過前三關(guān)的概率是多少?
(注:骰子是一個在各面上分別有1,2,3,4,5,6點數(shù)的均勻正方體。拋擲骰子落地靜止后,向上一面的點數(shù)為出現(xiàn)點數(shù)。)
14、在平面直角坐標(biāo)系中,給定三點A(0,),B(-1,0),C(1,0)。點P到直線BC的距離是該點到直線AB、AC距離的等比中頂。
(Ⅰ)求點P的軌跡方程;
(Ⅱ)若直線L經(jīng)過△ABC的內(nèi)心(設(shè)為D),且與P點的軌跡恰好有3個公共點,求L的斜率的取值范圍。
(Ⅱ)證明有,使得對都有<。
三、(本題滿分50分)對于整數(shù)≥4,求出最小的整數(shù),使得對于任何正整數(shù),集合的任一個元子集中,均有至少3個兩兩互素的元素。
參考答案
第一試
一、選擇題(本題滿分36分,每小題6分)1、解:因方程有重根,故
得,于是。
故選B。
2、解:相當(dāng)于點(0,b)在橢圓上或它的內(nèi)部。
故選A。3、解:原不等式等價于設(shè)
解得。即。
故選C。
4、解:如圖,設(shè)D,E分別是AC,BC邊的中點,則由(1)(2)得,,即共線,且,故選C。
5、解:a,b,c要能構(gòu)成三角形的邊長,顯然均不為0。即(1)若構(gòu)成等邊三角形,設(shè)這樣的三位數(shù)的個數(shù)為,由于三位數(shù)中三個數(shù)碼都相同,所以,。(2)若構(gòu)成等腰(非等邊)三角形,設(shè)這樣的三位數(shù)的個數(shù)為,由于三位數(shù)中只有2個不同數(shù)碼。設(shè)為a、b,注意到三角形腰與底可以置換,所以可取的數(shù)碼組(a,b)共有。但當(dāng)大數(shù)為底時,設(shè)a>b,必須滿足。此時,不能構(gòu)成三角形的數(shù)碼是a987654321b4,32,14,32,13,213,211,21,211
共20種情況。同時,每個數(shù)碼組(a,b)中的二個數(shù)碼填上三個數(shù)位,有種情況。故。
綜上,。
6、解:。C是PA中點,最大,也即最大。此時,,故選D。
二、填空題(本題滿分54分,每小題9分)7、解:,它的最小正周期為,振幅為。由的圖像與的圖像圍成的封閉圖形的對稱性,可將這圖形割補(bǔ)成長為、寬為的長方形,故它的面積是。
8、解:=即。
9、解:連結(jié),垂足為E,延長CE交于F,則,連結(jié)AE,由對稱性知是二面角的平面角。連結(jié)AC,設(shè)AB=1,則中,,
在的補(bǔ)角,。
10、解:設(shè),從而是平方數(shù),設(shè)為
。(負(fù)值舍去)
11、解:設(shè)
即故數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列,。。
12、解:經(jīng)過M、N兩點的圓的圓心在線段MN的垂直平分線y=3-x上,設(shè)圓心為S(a,3-a),則圓S的方程為:
對于定長的弦在優(yōu)弧上所對的圓周角會隨著圓的半徑減小而角度增大,所以,當(dāng)取最大值時,經(jīng)過M,N,P三點的圓S必與X軸相切于點P,即圓S的方程中的a值必須滿足解得
a=1或a=-7。
即對應(yīng)的切點分別為,而過點M,N,的圓的半徑大于過點M,N,P的圓的半徑,所以,故點P(1,0)為所求,所以點P的橫坐標(biāo)為1。
三、解答題(本題滿分60分,每小題20分)
13、解:由于骰子是均勻的正方體,所以拋擲后各點數(shù)出現(xiàn)的可能性是相等的。(Ⅰ)因骰子出現(xiàn)的點數(shù)最大為6,而,因此,當(dāng)時,n次出現(xiàn)的點數(shù)之和大于已不可能。即這是一個不可能事件,過關(guān)的概率為0。所以最多只能連過4關(guān)。
.......5分(Ⅱ)設(shè)事件為“第n關(guān)過關(guān)失敗”,則對立事件為“第n關(guān)過關(guān)成功”。第n關(guān)游戲中,基本事件總數(shù)為個。第1關(guān):事件所含基本事件數(shù)為2(即出現(xiàn)點數(shù)為1和2這兩種情況),過此關(guān)的概率為:。第2關(guān):事件所含基本事件數(shù)為方程當(dāng)a分別取2,3,4時的正整數(shù)解組數(shù)之和。即有(個)。過此關(guān)的概率為:。
........10分第3關(guān):事件所含基本事件為方程當(dāng)a分別取3,4,5,6,7,8時的正整數(shù)解組數(shù)之和。即有(個)。過此關(guān)的概率為:。
.........15分故連過前三關(guān)的概率為:。
........20分(說明:第2,3關(guān)的基本事件數(shù)也可以列舉出來)
14、解:(Ⅰ)直線AB、AC、BC的方程依次為。點到AB、AC、BC的距離依次為。依設(shè),,即,化簡得點P的軌跡方程為圓S:
......5分(Ⅱ)由前知,點P的軌跡包含兩部分圓S:
①與雙曲線T:
②因為B(-1,0)和C(1,0)是適合題設(shè)條件的點,所以點B和點C在點P的軌跡上,且點P的軌跡曲線S與T的公共點只有B、C兩點。的內(nèi)心D也是適合題設(shè)條件的點,由,解得,且知它在圓S上。直線L經(jīng)過D,且與點P的軌跡有3個公共點,所以,L的斜率存在,設(shè)L的方程為
③(i)當(dāng)k=0時,L與圓S相切,有唯一的公共點D;此時,直線平行于x軸,表明L與雙曲線有不同于D的兩個公共點,所以L恰好與點P的軌跡有3個公共點。......10分(ii)當(dāng)時,L與圓S有兩個不同的交點。這時,L與點P的軌跡恰有3個公共點只能有兩種情況:
情況1:直線L經(jīng)過點B或點C,此時L的斜率,直線L的方程為。代入方程②得,解得。表明直線BD與曲線T有2個交點B、E;直線CD與曲線T有2個交點C、F。故當(dāng)時,L恰好與點P的軌跡有3個公共點。
......15分
情況2:直線L不經(jīng)過點B和C(即),因為L與S有兩個不同的交點,所以L與雙曲線T有且只有一個公共點。即方程組有且只有一組實數(shù)解,消去y并化簡得該方程有唯一實數(shù)解的充要條件是
④或
⑤解方程④得,解方程⑤得。綜合得直線L的斜率k的取值范圍是有限集。
......20分
15
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