2021-2022 學(xué)年江蘇省無錫市高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

2021-2022學(xué)年江蘇省無錫市高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題線與直線垂直則實(shí)數(shù)a的值（ ）﹣2【答案】B

3

C．1 D．1﹣20a的值．【詳解】∵直線l1：ax+2y＝0與直線l2：2x+（2a+2）y+1＝0垂直，∴a×2+2×（2a+2 0 a 2故選：B．

）＝，求得

＝﹣，3ABCD﹣A1B1C1D1BD＝a＝b，＝c，則＝（ ）aa2

+1b+c2

a1b+c222

a+

b+c

a

b+c2 2 2 2【答案】B【分析】利用向量三角形法則、平行四邊形法則、向量共線定理即可得出．【詳解】如圖所示，∵DM＝DD+=DD+1=DD+1+1 1 1 2 1 2＝cDA＝－bDC＝a，1 1∴＝2a 2b+c，故選：B．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)（0,4）關(guān)于直線x－y+1＝0的對(duì)稱點(diǎn)為（ ）A．(－1,2) B．(2,－1) C．(1,3) D．(3,1)第1頁共18頁【答案】D【分析】設(shè)出點(diǎn)(0,4)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)題意列出方程組，解方程組即可．【詳解】解：設(shè)點(diǎn)(0,4)關(guān)于直線x－y+1＝0的對(duì)稱點(diǎn)是(a,b),ab+4+1=02 2

a=3則b

，解得： ，b=1 =1 a故選：D．已知點(diǎn)B是A（3，4，5）在坐標(biāo)平面xOy內(nèi)的射影，則|OB|＝（ ）34412A． B． C．5 D．534412【答案】C（3，，|OB．B是點(diǎn)，，y3，0，+4+42+02

＝5．故選：C．已知圓

：(x5)2y3)29，圓C

x2y24x2y902系為（ ）2外離【答案】C外切 C．相交 D．內(nèi)切【分析】求出兩圓的圓心和半徑，根據(jù)圓心距與半徑和與差的關(guān)系，判斷圓與圓的位置關(guān)系．【詳解】圓(x5)2y3)29的圓心為C(5,3，半徑r

=3，141 114圓C2

：x2y24x2y90x22y+1)214C

(2,半徑= ，2)2+2)2+1

5，顯然

35

+3，即14141414

+，所以圓C1與圓C2相交.故選：Cy2已知m是2與8的等比中項(xiàng)，則圓錐曲線x2﹣ ＝1的離心率是（ ）m53A． 或3 B．532

2

3或52【答案】A第2頁共18頁【分析】利用等比數(shù)列求出m，然后求解圓錐曲線的離心率即可．【詳解】解：m是2與8的等比中項(xiàng)，可得m＝±4，y2 c當(dāng)m=4時(shí)圓錐曲線為雙曲線x2﹣ ＝1,它的離心率為：e 5,4 ay2 y2 3當(dāng)m=-4時(shí)，圓錐曲線x2﹣ ＝1為橢圓x2 1，離心率： ，m 4 2故選：A．7 x2 y2 1橢圓 45 20

OB若△ABF是則直線AB的斜率為（ ）43【答案】A

34

45

54【分析】分情況討論當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，可求面積，檢驗(yàn)是否滿足條件，當(dāng)直ABAB△ABF2的面積2S＝2SABFk．2x2 y2【詳解】由橢圓 則焦點(diǎn)分別為F1(－5,0)，F(xiàn)2(5,0)，不妨取F(5,0)．45 20①當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，直線AB為此時(shí)AB＝4 5，1S＝1

AB?5＝14 55，不符合題意；2②可設(shè)直線AB的方程y＝kx， y由

y2 (4+9k2)x2＝180， 15 ∴xA＝6 5 ，yA＝65k ，49k2 49k2∴△ABF24

S＝2

＝2×12

×5×

6 5k49k

＝20，∴k＝±3．

第3頁共18頁8．1202年，意大利數(shù)學(xué)家斐波那契出版了他的《算盤全書11一雄131Fnn12(n＞2)，1,Fn為偶數(shù) 1．設(shè)數(shù)列{an}滿足：an＝0,F為奇數(shù)，則數(shù)列前36 A．11【答案】B

B．12 C．13 D．18【分析】由奇數(shù)+奇數(shù)＝偶數(shù)，奇數(shù)+偶數(shù)＝奇數(shù)可知，數(shù)列{Fn}中F3，F(xiàn)6，F(xiàn)9，F(xiàn)12，，1,Fn為偶數(shù) F3nan＝0F為奇數(shù){an} 和．【詳解】由奇數(shù)+奇數(shù)＝偶數(shù)，奇數(shù)+偶數(shù)＝奇數(shù)可知，數(shù)列{Fn}中F3，F(xiàn)6，F(xiàn)9，F(xiàn)12，，F(xiàn)3n為偶數(shù)，其余項(xiàng)都為奇數(shù)，∴前36項(xiàng)共有12項(xiàng)為偶數(shù)，∴數(shù)列{an}的前36項(xiàng)和為12×1+24×0＝12.故選：B．二、多選題關(guān)于無窮數(shù)列以下說法正確的是（ ）an列{an}為正項(xiàng)等比數(shù)列，{ an1a列{an}為等差數(shù)列，則{ }也是等差數(shù)列anSn列{an}的前n為Sn，且{ }是等差數(shù)列，則{an}Sn{an}7的倍數(shù)的項(xiàng)，組成的新數(shù)列一定是等差數(shù)列【答案】AD【分析】利用等比數(shù)列的定義可判斷A，利用特例可判斷B，利用Sn與an的關(guān)系可判斷C，利用等差數(shù)列的性質(zhì)可判斷D.對(duì)于

ananan1a anan1

即{ }n1aq也是等比數(shù)列，aq第4頁共18頁1a對(duì)于B，設(shè)an＝n，數(shù)列{an}為等差數(shù)列，但{an

}不是等差數(shù)列，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn，且{ Sn}是等差數(shù)列，不妨設(shè)=+q，則nS =p2n22pqnq2當(dāng)n2時(shí)，nnna =Snn

=p2n2+2n+q2p2n2+2q(n)+q2=2p2n+2qp2， n1

=

=p2+2pq+q2，n ∴當(dāng)n2時(shí)，aa =2pn

=3p2+2pq，

=p2+2pq+q2，a

=2p2q2不一定等于2p2，12∴{an}不一定為等差數(shù)列，C錯(cuò)誤；12對(duì)于D{an}d7數(shù)的項(xiàng)，組成的新數(shù)列為a7n}，)7d，則組成的新數(shù)列一定是等差數(shù)列，D故選：AD．關(guān)于曲線C：x2+y2=2x+2y，下列說法正確的是（ ）曲線C圍成圖形的面積為8曲線C所表示的圖形有且僅有2條對(duì)稱軸曲線C所表示的圖形是中心對(duì)稱圖形曲線C是以2為半徑的圓【答案】AC【分析】根據(jù)曲線解析式特征畫出圖形，逐一判斷各選項(xiàng)即可.【詳解】曲線C：x2+y2=2x+2y如圖所示：第5頁共18頁2對(duì)于A：圖形在各個(gè)象限的面積相等，在第一象限中的圖形，是以為圓心， 為2半徑的圓的一半加一個(gè)直角三角形所得，S1

1

2212222C圍成圖形的面積為S4S182對(duì)于Cxyyxyx四條，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由圖可知，曲線CC正確；對(duì)于D，曲線CD.故選：AC正四棱錐P所有棱長(zhǎng)均為2OEF分別為側(cè)棱PA,的中點(diǎn)，則（ ）A．3夾角的余弦值為36平面//平面3所成角的余弦值為33【答案】BCDA和CB和D運(yùn)用空間向量法結(jié)合相關(guān)公式即可判斷.【詳解】于A，因?yàn)?，P所以不會(huì)平行于故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA為x軸，OB為y軸，OP為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O，則B2,0，A

2,0,0，2E

,0,

22，22 2D0,2,0，2BE

,2,2

，2,22 2|

||

3 ，故B3|||| 34 6正確；對(duì)于C，由題意得EF//AB//CD，平面平面，第6頁共18頁所以CD//平面OEF，//平面，又因?yàn)槠矫妫?D所以平面OEF//平面PDC，故C正確；對(duì)于D得B=, 2, 2，C= 2,0, 2，D=, 2, 2設(shè)平面Cn=x,y,z， nPB= 2y 2z= 則 ，取x=1，得n=1，nPC= 2x 2z=0設(shè)直線PD與平面PBC所成角為，由圖可知0,，則sin= |n

2 2=2 2= 6，|||n| 2 3 3所以直線與平面所成角的余弦值為cos= 1故選：BCD．

6)2＝3

3，故D正確．3x x 點(diǎn)P在雙曲線 =1，，分別是左、右焦點(diǎn)，若的面積為16 920，則下列判斷正確的有（ ）20APx20

3 B．=3C．△PFF

為鈍角三角形

D．FPF=12 1 2 3【答案】BC第7頁共18頁【解析】根據(jù)雙曲線的方程、定義與性質(zhì)，結(jié)合三角形的面積求出P的坐標(biāo)，結(jié)合兩點(diǎn)的距離公式、斜率公式以及余弦定理，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可.【詳解】由雙曲線方程得a4，b3，則c5由△20，12c|2

110|2

，得|y

|4，即點(diǎn)P到x軸的距離為4，故A錯(cuò)誤，將|y|4代入雙曲線方程得|

，根據(jù)對(duì)稱性不妨設(shè)P

，4)，P則|

P 3 3(20(205)2+33由雙曲線的定義知|PF1||PF2|2a8，則|

|8+1337，3 3則|PF1

|+|

|13+3750，故B正確，3 3 3在△PFF

|

>2c

|13，12 1 3 1 340 則kF2

>020 5 PFF為鈍角，5 213則△PF1F2為鈍角三角形，故C正確，|PF

|2+||2|FF|2 (|||

|)2+2||||

64100+213373 31 F 11

2 12 1 2

1 2 2|PF1

||| 2|

||PF2|

213373 31

1

189121337 1337 2，9則F

錯(cuò)誤，1 2 3BCBC．“.三、填空題知u＝，+babb線l，n＝（，，平面α若l⊥α，則5a+b＝ ．第8頁共18頁【答案】36【分析】根據(jù)方向向量和平面法向量的定義即可得出u//n，然后即可得出a

a

3，然后求出a，b的值，進(jìn)而求出5a+b的值．2 3【詳解】∵l⊥α，∴u//n，ab ab

3∴ 3，解得a ,b ，2 3 2 2∴5ab75336．2 2故答案為：36．：y＝2（p00p＝ ．【答案】2【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合拋物線的定義，即可求解．2＝p＞0（00＞02，∴由拋物線的定義可得，1故答案為：2．

p2，解得p＝2．22Cx2a2

﹣y2＝1（a＞0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線C上的（不是頂點(diǎn)F1作∠F1PF2|F1F2|＝6|OH|，則雙曲線C的方程為 ．【答案】8x2﹣y2＝1F1HOHa，b，c的關(guān)系，可得雙曲線方程．【詳解】解：延長(zhǎng)F1H與PF2，交于K，連接OH，由題意可得PH為邊KF1的垂直平分線，第9頁共18頁則|PF1|＝|PK|，1HKF1|OH|＝21由雙曲線的定義可得|PF1|﹣|PF2|＝|PK|﹣|PF2|＝|F2K|＝2a，則|OH|＝a，又|F1F2|＝6|OH|，所以2c＝6a，即c＝3a，b＝c2a2＝2 2a，x2又雙曲線C：a21

﹣y2＝1，知b＝1，所以a＝ ，所以雙曲線的方程為8x2﹣y2＝1．2 2故答案為：8x2﹣y2＝1．四、雙空題石子）1，兩點(diǎn)（或兩個(gè)小石子）2，三點(diǎn)（或三個(gè)小石子）3，…n1+4+9+…+n2＝n(n1)(2n1)6家楊輝所著的《詳解九章算法?商功》中，后人稱為“三角垛”．“三角垛”的最上層有1個(gè)球有3個(gè)球有6個(gè)三角有0第6層有 個(gè)球，這“三角垛共有 個(gè)球．【答案】 21 1540【分析】根據(jù)題中給出的圖形，結(jié)合題意找到各層球的數(shù)列與層數(shù)的關(guān)系，得到a 123 n＝n(n)，由此可求an 2 6

的值，以及前20層的總球數(shù)．【詳解】，a221a2312,anan1n123 n，

123

n＝n(n2

＝1n21n2 2所

＝67＝21，2第10頁共18頁

＝a+a+a+a

+??+a

1 12+22+32+??+202）+1

（1+2+3+??+20）20 1 2 3

20＝2（ 21×20(20+1)(220+1) 1 20(20＝ + 26 22

＝1540．2故答案為：21；1540．五、解答題定義：設(shè)1,2,3px1+y2+z3組,y,zp在基底1,2,3下的坐標(biāo)．已知a,b,babap在基底baba為1,2,3．p在基底b下的坐標(biāo)；p在基底b下的模．【答案】(1)6,1,673(2)73p在基底a+b,ab,a+2下的坐標(biāo)為1,2,3b下的坐標(biāo)；2p在基底a,b,(1)p在基底a+b,ab,a+下的坐標(biāo)為則pb2(ab3(a2c6ab6c，p在基底a,b,下的坐標(biāo)為,6.(2)p在基底a,b,下的坐標(biāo)為,6，所以向量p在基底b,下的模為p 62+(1)2+

73.Cx2+y22x2y70CxA，B兩點(diǎn)．y＝xC所截得的弦長(zhǎng)；MA，BM的方程．第11頁共18頁7【答案】(1)2 ；7)(x2+(y

=12.【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合垂徑定理，以及點(diǎn)到直線的距離公式，即可求解．（2）根據(jù)已知圓的方程，令y＝0，結(jié)合韋達(dá)定理，求出圓心的橫坐標(biāo)，即可求出圓心，再結(jié)合勾股定理，即可求出半徑．(1)∵Cx2+y22x2y70，∴(x2+(y+

=9，即圓心為(－1,1)，半徑r＝3，∵直線y＝x，即x－y＝0，2=|11|2=+(1)2∴圓心(－1,1)到直線x－+(1)2r2d297∴線圓r2d297(2)設(shè)（，y（22，2∵Cx2+y22x2y70CxA，B兩點(diǎn)，2∴x2－2x－7＝0，(x+x)4xx21 212+x2=x2=(x+x)4xx21 212∴x＝x21，2∵圓心在直線y＝x+1上，

＝4 ，∴圓心為(1,2)，++(422)2

=2 ，3故圓M的方程為(x2+(y3

=12．{an}n{bn}y＝322x1Sa1＝b4， ，數(shù)列{Sn

}的前n項(xiàng)和為Tn．從①S4＝20，②S3＝2a3，③3a3﹣a5＝b2這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到上面問題的橫線上并作答．求數(shù)列{an}，{bn}第12頁共18頁是否存在正整數(shù)k，得Tk＞15，且bk 1 k存在，請(qǐng)說明理由．

＞？若存在，求出滿足題意的16 8

值；若不an，bn5n.(2)不存在，理由見解析.，＝32b＝25﹣a

，設(shè)等差數(shù)2x 1列{an}的公差為d，選①S4＝20ndan；若選②S3＝2a3ndan；若選③3a3﹣a5＝b2，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式公式可求出d，從而得到an；2n＝n(1+an)n（n，

1＝1

1，再利用裂項(xiàng)相消法求出211 >

Sn n n+11 k+1 16

15 1Tn＝1﹣ n+1 25k> 8

Tk16bk8．(1)點(diǎn)，ny＝32∴b=2＝25﹣∴a＝b

＝25﹣＝，2x設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，

n 2n 1 4若選①S

S＝4243d＝20d＝2，4 4 2∴an＝2+2（n﹣1）＝2n；若選②S3＝2a3，則S3＝a1+a2+a3＝2a3，∴a1+a2＝a3，∴2+2+d＝2+2d，解得d＝2，∴an＝2+2（n﹣1）＝2n；33a5＝b2（1+d+4）2﹣2＝8，∴2a1+2d＝8，即2×2+2d＝8，∴d＝2，∴an＝2+2（n﹣1）＝2n；(2)S＝n(1+an)＝n(2+2n)＝n+，2 2∴1＝ 1 ＝11 ，Sn n(1+n) n n+1∴Tn 1 1 + 11）+……+（1

1 ，＝（﹣2）（2 3

n n+1

n+1第13頁共18頁15 1Tk16bk8，1 >15 k+1

k>∴25k>

，即k

，此不等式無解，Tk15bk1．16 8E3,03,0，且過點(diǎn)31EABDlDx軸．2 2 E的標(biāo)準(zhǔn)方程；若點(diǎn)Q在橢圓EAQ與lNBQ與xM2是否為定值？若是，請(qǐng)求出定值；若不是，請(qǐng)說明理由．x2x【答案】(1) +y2=14(2)22先根據(jù)焦點(diǎn)形式設(shè)出橢圓方程和焦距，根據(jù)橢圓經(jīng)過

31和半焦距為223易得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2設(shè)Qx0,0Q,QNM橫坐

+2

，即可求得答案．(1)由焦點(diǎn)坐標(biāo)可知，橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，x2 y2E：2+2

=

>b

0，焦距為

>0，a b因?yàn)闄E圓E經(jīng)過點(diǎn)

31，焦點(diǎn)為F3,0F

3,02 1 22 3a2

+1b2

=1，c2=a2b2=

32=3，解得a24,b21，第14頁共18頁x2x所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為 y21；4(2)設(shè)Q(0,0)

2x0y2x

>

>0)，4 0 0 0D(2,0)，則直線lx2，由已知得，直線AQ,BQ斜率均存在，Ny01 2(0)N則直線AQ:y

x1x2y

1，x0BQy

y01x1，令y0得xx

x0 ，y10因?yàn)辄c(diǎn)QDN

02(y01)1，OM ，x y

y01x24y24則OM2DN 0 0 2 0 0 2，y01 (y0x2 2 2又因?yàn)?/p>

0y21x

4022．4 0 0 022.ABCDAB=1，BC=2，∠ABC=60°ACEF為正方ABCD⊥ACEF．證明：AB⊥CF；CBEFBEFADF夾角的正弦值．【答案】(1)證明見解析；(2) 3；2(3) 7.4【分析】(1)利用余弦定理計(jì)算AC，再證明ABAC即可推理作答.AAB，AC，AFx，y，z軸非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系，CBEF的距離.第15頁共18頁(1)在中，AB=1，BC=2，∠ABC=60°，由余弦定理AC2=AB2+BC22ABBCcosABC得，2=+22212cos60=3即AC= 3有2+AB2=4=2則=，即ABAC，因平面面ACEF，平面平面=，于是得平面，又平面，所以ABCF.

平面ABCD，(2)ACEF(1)ABAC兩兩垂直，A圖，A(0,0,0),B(1,0,0),C(0, 3,0),F(0,0, 3),D(1, 3,0),E(0, 3, 3)，F(xiàn)E=(0, 3,0),BF=(1,0, 3)的一個(gè)法向量n(x1，nFE= 31=0則 ，令=1，得n=( 3,0,1)，nBF=1+ 31=0而BC=3,0)，于是得點(diǎn)C到平面BEF的距離d

|nBC|= |1 3| = 3，|n| ( 3)2+12 2所以點(diǎn)C到平面BEF的距離為3.2(3)由(2)知，AF=(0,0, 3),AD=3,0)，設(shè)平面的一個(gè)法向量m=(x2,y2,z2)，mAF= 3z2=0則 ，令y2=1，得m=(3,1,0)，mAD=2+ 3y2=0第16頁共18頁3cosm,n= mn =3

3 3

= BEFADF夾角為，(0, 2

|m||n| ( 3)2+12 ( 3)2+