2024高考復習A版數(shù)學考點考法講解：拋物線及其性質(zhì)

高考

數(shù)學平面解析幾何拋物線及其性質(zhì)基礎(chǔ)篇考點一拋物線的定義及標準方程1.定義:把平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)的距離相等的

點的軌跡叫做拋物線,定點F叫做拋物線的焦點,定直線l叫做拋物線的準

線.2.標準方程:焦點在x軸上:y2=±2px(p>0);焦點在y軸上:x2=±2py(p>0).考點二拋物線的幾何性質(zhì)標準方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)圖形

范圍x≥0,y∈Rx≤0,y∈Rx∈R,y≥0x∈R,y≤0準線x=-

x=

y=-

y=

焦點

對稱性關(guān)于x軸對稱關(guān)于y軸對稱頂點(0,0)離心率e=1焦半徑長x0+

-x0+

y0+

-y0+

焦點弦長x0+x1+p-(x0+x1)+py0+y1+p-(y0+y1)+p其中P(x0,y0),Q(x1,y1)是拋物線上兩動點,且PQ過焦點F,線段PF稱為拋物線

的焦半徑,線段PQ稱為拋物線的焦點弦.考點三直線與拋物線的位置關(guān)系1.直線與拋物線的位置關(guān)系設(shè)直線l:y=kx+b,拋物線y2=2px(p>0),直線與拋物線交點的個數(shù)等價于方程

組

解的個數(shù),也等價于方程ky2-2py+2bp=0解的個數(shù).1)當k≠0時,若Δ>0,則直線和拋物線相交,有兩個公共點;若Δ=0,則直線和

拋物線相切,有一個公共點;若Δ<0,則直線和拋物線相離,無公共點.2)當k=0時,直線y=b與拋物線y2=2px(p>0)相交,有一個公共點.3)特別地,當直線l的斜率不存在時,設(shè)l:x=m,則當m>0時,l與拋物線相交,有

兩個公共點;當m=0時,l與拋物線相切,有一個公共點;當m<0時,l與拋物線

相離,無公共點.2.焦點弦的性質(zhì)以拋物線y2=2px(p>0)為例,設(shè)AB是過拋物線焦點F的一條弦,AB所在直線

的傾斜角為θ,A(x1,y1),B(x2,y2),A、B在準線上的射影為A1、B1,則有以下結(jié)

論:1)x1x2=

,y1y2=-p2;2)若A位于x軸上方,B位于x軸下方,則|AF|=

,|BF|=

;3)|AB|=x1+x2+p=

,拋物線的通徑長為2p,通徑是最短的焦點弦;4)S△AOB=

;5)

+

=

為定值;6)以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切;7)以AF(或BF)為直徑的圓與y軸相切.3.弦中點AB為拋物線的一條弦,其中點為M(x0,y0).1)若拋物線為y2=2px,則kAB=

;2)若拋物線為x2=2py,則kAB=

.(其中p≠0,y0≠0)綜合篇考法一利用拋物線的定義解題

例1

(2022廣東茂名調(diào)研五,14)已知圓C:x2+y2+6x+8y+21=0,點A是圓C上

任一點,拋物線y2=8x的準線為l,設(shè)拋物線上任意一點Р到直線l的距離

為m,則m+|PA|的最小值為

.解析由圓C:x2+y2+6x+8y+21=0可得圓心C(-3,-4),r=2.設(shè)y2=8x的焦點為F,則F(2,0),l:x=-2,

過點P作PH⊥l于點H,則|PH|=m,由拋物線的定義可知|PH|=|PF|,所以m+|

PA|=|PH|+|PA|=|PF|+|PA|≥|FC|-r=|FC|-2=

-2=

-2,當且僅當P,F,C(P在線段FC上)三點共線時等號成立,所以m+|PA|的最小值為

-2.答案

-2考法二直線與拋物線的位置關(guān)系問題

例2

(多選)(2022遼寧名校聯(lián)盟聯(lián)考,12)已知拋物線C:x2=2py(p>0)的準線

l的方程為y=-1,過C的焦點F的直線與C交于A,B兩點,以A,B為切點分別作

C的兩條切線,且兩切線交于點M,則下列結(jié)論正確的是

(

)A.C的方程為x2=2yB.∠AMB=90°C.M恒在l上D.|MF|2=|AF|·|BF|解析由題意得-

=-1,所以p=2,因此C的方程為x2=4y,A項錯誤;由題意可知直線AB的斜率存在,F(0,1),設(shè)AB的方程為y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),由

得x2-4kx-4=0,所以x1+x2=4k,x1x2=-4.由y=

x2得y'=

x,所以AM的斜率為kAM=

x1,所以AM的方程為y-y1=

x1(x-x1),即y-

=

x1(x-x1)①,同理BM的斜率為kBM=

x2,所以BM的方程為y-

=

x2(x-x2)②,所以kAMkBM=

x1x2=-1,即AM⊥BM,所以∠AMB=90°,B項正確;由①②得(x2-x1)y=

x1x2(x2-x1),因為x1≠x2,所以y=-1,將y=-1分別代入①②得x=

=2k,所以點M的坐標為(2k,-1),又C的準線l的方程為y=-1,所以M恒在l上,C項正確;當AB的斜率k不

為零時,kMF=

=-

,所以kAB