初中數(shù)學特殊平行四邊形解答題專項訓練含答案

初中數(shù)學特殊平行四邊形解答題專項訓練含答案

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一、解答題(共15題)

,__…,ZADB=ZABD=-ABDC_

1、如圖，在四邊形3CQ中，AD//BC,NC=90。，2,萬交BC

于點E,過點E作EF1BD,垂足為F,且EF=EC.

(1)求證：四邊形出灰)是菱形；

(2)若AD=4,求出如的面積.

2、如圖，在等腰直角三角形3c中，乙4c8=90。，AC=BC=2^5,邊長為2的正方形

ZSFG的對角線交點與點C重合，連接加，BE.

(1)求證：ZACD納BCE；

(2)當點O在“BC內(nèi)部，且ZADC=90。時，設(shè)公與工相交于點M,求期的長;

(3)將正方形DEFG繞點C旋轉(zhuǎn)一周，當點A、D、下三點在同一直線上時，請直接

寫出題的長.

G

3、如圖（1）,在菱形ABCD中，ZABC=60°，點E在邊CD上（不與點C,D

重合），連結(jié)四，交8〃于點少.

（1）如圖（2）,若點"在BC邊上，且龐=CM,連結(jié)AM,EM.求證：三角形

AEM為等邊三角形；

DF_

（2）設(shè)而"，求tanZAFB的值（用x的代數(shù)式表示）；

DF

=x

（3）如圖（3）,若點G在線段BF上，且FG=2BG,連結(jié)AG、CG,BF,

立

四邊形AGCE的面積為S1,“BG的面積為S2，求應(yīng)的最大值.

%

trcBMCBC

<S1）（B2）<H3>

4、如圖，在4ABC中，點D為邊BC的中點，點E在△ABC內(nèi)，AE平分ZBAC,

CE1AE點F在AB上，且BF=DE

（1）求證：四邊形BDEF是平行四邊形

（2）線段AB,BF,AC之間具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？證明你所得到的結(jié)論

5、在矩形ABCD^,AB=\,BC=a，點、￡是邊8c上一動點，連接AE,將△曲E沿

幺后翻折，點8的對應(yīng)點為點B'.

(1)如圖，設(shè)BE=X,BC=6在點E從5點運動到。點的過程中.

①座'+3最小值是,此時x=

②點夕的運動路徑長為

(2)如圖，設(shè)BS=5a,當點5的對應(yīng)點夕落在矩形3C。的邊上時，求。的值.

6、如圖，矩形力靦的對角線然、8〃相交于點0,BE//AC,AEHBD.

(1)求證：四邊形A0BE是菱形；

(2)若乙4。8=60。，AC=4,求菱形加切的面積.

7、如圖，菱形ABCD的對角線AC和BD交于點O,點G在射線OD上，且GD=3OD,

過點G作GS〃⑵交射線0C于點E,過點E作OE的垂線，與過點G作OG的垂線

交于點P,得到矩形OEFG.射線AD交線段GF于點H,將AGZW沿直線AH折疊,

BD_

得到當點M在矩形OEFG的邊上時，AC=.

8、如圖，已知/△/阿中，/ABC=90°，先把△48。繞點8順時針旋轉(zhuǎn)90°至

&DBE后,再把△ABC沿射線平移至XFEG,DF、FG相交于點H.

（1）判斷線段DE、FG的位置關(guān)系，并說明理由；

（2）連結(jié)Q7,求證：四邊形CBEG是正方形.

9、已知四邊形48（小為凸四邊形，點"、N、P、0分別為43、BC、CD、DA±

的點（不與端點重合），下列說法正確的是（填序號）

①對于任意凸四邊形ABCD,一定存在無數(shù)個四邊形MNPO是平行四邊形；

②如果四邊形ABCD為任意平行四邊形，那么一定存在無數(shù)個四邊形MNPQ是矩形；

③如果四邊形ABCD為任意矩形，那么一定存在一個四邊形為正方形；

④如果四邊形ABCD為任意菱形，那么一定存在一個四邊形為正方形.

10、如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC,BD相交于點O,DH±AB于點H,

連OH接，求證：ZDHO=ZDCO.

11、如圖①，在正方形ABCD中，點￡為BC邊上任意一點(點￡不與6、C重合),

點/在線段/后上，過點下的直線分別交、CD于點、M、N.

(1)求證：MN=AE

(2)如圖②，當點尸為中點時，其他條件不變，連接正方形的對角線BD、MN與

BD交于點G,連接跖.求證：BF=FG.

12、對于平面直角坐標系》。y中的圖形"，N,給出如下定義：如果點P為圖形M上

任意一點，點。為圖形N上任意一點，那么稱線段尸。長度的最小值為圖形M,/V的

“近距離”，記作.(MM),特別地，當圖形"與圖形1存在公共點時，圖形"，"的

“近距離”為0.若圖形M,/V的“近距離”小于或等于1,則稱圖形M,N互

為“可及圖形”

若圖形"為邊長等于2的正方形ABCD,其對角線的交點記為正方形的中心G.

(1)當正方形48⑦的頂點分別為：*(T1),B(TT),C(LT),Q(L1)

①如果點笛切，尸(3,4),那么?㈤正方形加8)=

d(F,正方形=

②如果直線y=x+&與正方形ABCD互為“可及圖形”，求的取值范圍;

(2)將(1)中正方形沿x軸方向平移，設(shè)直線y=-x+6與X軸交于點M，與y軸

交于點N,如果正方形46切和NMNO互為“可及圖形”，直接寫出正方形中心G的

橫坐標m的取值范圍.

13、如圖，四邊形98是菱形，對角線AC,皿相交于點0,^BOC=LCEB.

(1)求證：四邊形。履C是矩形；

(2)若乙4夙7=120。，3=6,求矩形。烈。的周長.

14、在正方形ABCD中，AB=8,AC與BD交于點0,N是AO的中點，點M在BC

邊上，且8"=6,P為對角線BD上一個動點，求PM-PN的最大值.

BMC

15、如圖，DB是口498的對角線.

(1)尺規(guī)作圖(請用28鉛筆)：作線段8D的垂直平分線EF,交AB,DB,QC分

別于E,O,F,連接DE,BF(保留作圖痕跡，不寫作法).

(2)試判斷四邊形。廢序的形狀并說明理由.

============參考答案============

一、解答題

1、(1)見解析；(2)4道

【分析】

(1)先利用角平分線判定定理證得N1=N2,再由已知角的等量關(guān)系推出ZZ5D=Z1,并

可得ABHDE,則可證明四邊形斯屈D是平行四邊形，最后由=得AB=AD,

即可證得結(jié)論；

(2)由菱形的性質(zhì)可得DE=BE=AD=4,再根據(jù)角的等量關(guān)系求出N2=30。，則可利用

三角函數(shù)求得CD=DE8$30。=2上,此題得解.

【詳解】

(1)證明：如圖，

ECJ.DC,

又EFA.BD,且EF=EC,

???DE為的角平分線，

Z.Z1=Z2,

4DB='/BDC

???2,

：.乙4Z）3=N1,

?.?ZADB=ZABD9

：.乙血）=N1,

???ABUDE,

又?/AD//BC,

???四邊形曲即是平行四邊形，

丁ZADB=ZABD,

?，.AB=AD,

四邊形應(yīng)陽。是菱形.

（2）解：由（1）得四邊形加直）是菱形,

DE=BE=AD=4,

?/AD//BC,ZC=90°,

ZADC=90°,

又Z1=Z2=Z24D5,

.?.Z2=30°,

CD=DEcQs300=2y/3,

.$皿=；履如<x4x2/=4的

【點睛】

此題主要考查了菱形的判定與性質(zhì)，熟練掌握特殊四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2、(1)見詳解；(2)1^；(3)如T或如+1

【分析】

(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)得ZACD=ABCE,AC=BC,CD;

CE,進而即可得到結(jié)論；

(2)先求出DC二貶,AD=3也,再證明4AM的KMG,進而即可求解；

(3)分兩種情況：①當點D在線段AE上時，過點C作CM±AE,②當點￡在

線段AD上時，過點C作CM±AD,分別求解，即可.

【詳解】

解：(1)在等腰直角三角形3c中，AC=BC,4以=90。，在正方形DEFGdp,

CD=CE,ZDCE=90°,

AZDCE-ZBCD=ZACB-ZBCD,即：ZACD=ZBCE,

/.VACD^VBCE；

(2)?；正方形DMG的邊長為2,

：.DC=GC=24-&=及,

'：ZADC=90°,

：.AD=耐汽可=3(

VZGDE=ZADC=90°,

.*.ZADM=ZCDE=45°,

AZADM=ZCGM=45°，即：AD//CG,

AD_AM372_AM

：.詬一西，即：~2y/5-AM,

3

/.AM=2

(3)①當點〃在線段AE上時，過點C作CM±AE,如圖,

???正方形加尸G的邊長為2,

：.CM=^=2-2=1,AI/=力2扃一一如,

，AD=AM-DM二V19-1；

②當點E在線段AD上時，過點C作CM±AD，如圖,

同理可得：CM=Z7#=24-2=1,AM=力"-J2向-P=如,

AD=AM+DM=V19+1.

綜上所述：AM=V19-1或719+1

B

【點睛】

本題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定定理，相似三角

形的判定和性質(zhì)，勾股定理，畫出圖形，添加合適的輔助線，是解題的關(guān)鍵.

s/3+y/3x19

3、(1)證明見解析；(2)3-3x；(3)7

【分析】

(1)如圖，連接4C證明都為等邊三角形，可得=再證明

從而可得答案；

(2)如圖，記公出。交于點。，設(shè))=a，0F=8,四邊形為菱形，乙姆C=60。,表示

Q4=—OB=—(a---=-----=x—=---

3'利用BFa+2b'則b1-x'再利用三角函數(shù)的定義可得答案;

(3)如圖，設(shè)由=想證明皿旗加州,$皿=了再表示S3=S2=*，SS=F，結(jié)

n

7S=%V_弋_巳4?%

合菱形的軸對稱的性質(zhì)可得："3-表示S/可得S23X尸可得

4%+%

—=—―-——=-3,+3x+4,

"2

3〃再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案.

【詳解】

證明：（1）如圖，連接血

?.,菱形ABCD中，ZABC=60°,

\AB=BC=CD=AD,?ABC?ADCBAD=7BCD1201EBAC=?CAD?ACB60?,

\都為等邊三角形，

AC=AD,

QDE=CM,?ACM?ADE60?,

\VACM^VADE,

\AM=AE,1MAC7EAD,

\?MAC?CAE7CAE7RAD60?,

.?.△4度是等邊三角形

(2)如圖，記交于點。，

設(shè)3=氏。9=瓦四邊形.8為菱形，ZZ5C=60°,

\ACABD,OB=OD=a+b,?ABO30?,

\OA=^-OB=^-(a+by

Q-=X,

BFa+2b

1a+2b二1+竺

xaa

b_\1a_2x

凄一區(qū).展則g-匚?

vtan?j4F5

b3

需蕓=聾

(3)如圖，設(shè)瑞國=%

???四邊形如CO是平行四邊形,

\VDFE^BFAf

n

=/,

S\1BFA

,:FG=2BG,

,用U3G=&=不7,凡IGF

根據(jù)菱形的軸對稱的性質(zhì)可得：&C/=57'

Q瞿嚼f

'SpAFD=x4=2,

XX

...nnn,2nAn,n

4?+〃

\員5——=-3x2+3x+4,

3x2

隊

Qa=-3＜。，所以W有最大值，

311119

x=f/2\=5-3?-3?-4=-

當2?(3)2時，最大值為：424

【點睛】

本題考查的是菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，相似三角

形的判定與性質(zhì)，列二次函數(shù)關(guān)系式，二次函數(shù)的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，靈活運用以

上知識解題是解本題的關(guān)鍵.

*.BF=-(AB-AC),,w

4、(1)見解析；(2)2、,理由見解析

【分析】

(1)延長CE交AB于點G,證明^ASG=^AEC,得E為中點，通過中位線證明DE

〃AB,結(jié)合BF=DE,證明BDEF是平行四邊形

1

(2)通過BDEF為平行四邊形，證得BF=DE=2BG,再根據(jù)^ASG=^AEC,得AC=AG,

BF=^(AB-AC)

用AB-AG=BG,可證

【詳解】

(1)證明：延長CE交AB于點G

VAE±CE

ZAEG=ZAEC=90'

在&4EG和HiAEC

'Z.GAE=Z.CAE

<AE=AE

ZAEG=ZAEC

：.txAEG=LAEC

.\GE=EC

VBD=CD

ADE為ACGS的中位線

ADE//AB

VDE=BF

...四邊形BDEF是平行四邊形

(2)BF=-2(，AB-AC)

理由如下：

：四邊形BDEF是平行四邊形

/.BF=DE

VD,E分別是BC,GC的中點

1_

ABF=DE=2BG

,/AAEG=tiAEC

.*.AG=AC

工工

BF=2(AB-AG)=2(AB-AC).

【點睛】

本題主要考查了平行四邊形的證明，中位線的性質(zhì)，全等三角形的證明等綜合性內(nèi)容，作好

適當?shù)妮o助線，是解題的關(guān)鍵.

也2=5&也

5、（1）①2,7；②號"；（2）或a~~

【分析】

（1）①由題意，當點歹恰好在直線〃'上時，鹿'+辦有最小值，然后求出答案即可;

②先證明點歹在以A為圓心，1為半徑的圓上，再求出ZBAB'=2ZBAC=t20°,然后根據(jù)

弧長公式，即可求出答案；

（2）分兩種情況，①當點夕落在AD邊上時，四邊形的E夕為正方形，然后求出答案;

②當點￡落在W邊上時，證明利用相似三角形的性質(zhì)，即可求出答案.

【詳解】

解：（1）①連接B'C,如圖1,

由折疊的性質(zhì)得：AB'=AB=\,ZAB'E=AB,

'：四邊形ABCD是矩形，

ZAB'E=ZB=90°,

：.B'E±AB'；

當點歲恰好在直線〃'上時，謖'+C?有最小值,

AB'+B'C=AC=〃序+犯2=#+（我2=2,

AB=-AC

：.2,B'C=1,

：.ZACB=3Q°,AB'=B'C,

：.ABAC=90°-30°=60°,AE=CE,

：.^EAC=Z.ACB=30°,

/.Za4E=30°,

BE=^AB=J^

：.33；

皂

故答案為：2,3；

②當點￡從8到點C的過程中，AB'=\,

???點夕在以A為圓心，1為半徑的圓上，

由①知，44C=6。。，

ZBAB'=2ZBAC=120°,

儂’1_2

...點9的運動路徑長為：一玩一一胃；

2

yjr

故答案為：3；

（2）當點夕落在皿邊上時（如圖），四邊形9為正方形,

B'D

/.BE=AB=\,

I"I

5

Ct——

解得3；

當占

----1，、、、夕落在CD邊上時（如圖），

由折疊得B'E=BE=a,AB=AB=1

CE=-a…r-

5,BD=-a?

由△（?酩-△D8為得,

2_____

CE_DB'I

57~

a=±—

解得3,

a>0,

°二吏

3,

a="、a=吏

3或3;

【點睛】

本題是四邊形綜合題目，考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、正方形的判定和性質(zhì)、含30度

直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、弧長公式等知識，熟練掌握所學

的知識，正確進行分析題意是解題的關(guān)鍵.

6、(1)證明過程見解答；(2)2g

【分析】

(1)根據(jù)應(yīng)'〃，AE//BD,可以得到四邊形AOBE是平行四邊形，然后根據(jù)矩形

的性質(zhì)，可以得到OA=OB,由菱形的定義可以得到結(jié)論成立；

(2)根據(jù)ZAOB=60°,AC=4：,可以求得菱形/磔邊OA上的高，然后根據(jù)菱形

的面積=底x高，代入數(shù)據(jù)計算即可.

【詳解】

解：(1)證明：:BE//AC,AE//BD,

四邊形AOBE是平行四邊形，

四邊形ABCD是矩形，

1_工

/.AC=BD,OA=OC=2AC,OB=OD=2BD,

/.OA=OB,

/.四邊形AOBE是菱形；

(2)解：作跖_L處于點F,

四邊形ABCD是矩形，AC=4,

/.AC=BD=4,OA=OC=2AC,OB=OD=2BD,

OA=OB=2,

VZAOB=60°

2x避=4

:.BF=OB?sin乙AOB=2,

/.菱形AOBE的面積是：OA*BF=2x^3=2g.

【點睛】

本題考查菱形的判定、矩形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確菱形的判定方法，知道菱形的面

積=底x高或者是對角線乘積的一半.

7、血或2

【分析】

由菱形和平行線的性質(zhì)得出ZABD=ZCBD=ZADB=ZDGE=ZCDB=ZHDG,由折疊的性質(zhì)得

DG=DM,GH=MH,ZHDG=ZHDM,分兩種情況討論：①若點M在EF上；②

若點M在0E上；由銳角三角函數(shù)定義、相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理解答即可.

【詳解】

解：???四邊形ABCD是菱形，

/.ZABD=ZCBD=ZADB=ZCDB,AC±BD,

VGE//CD,

.,.ZDGE=ZCDB,

/.ZABD=ZCBD=ZADB=ZCDB=ZDGE=ZHDG,

由折疊的性質(zhì)得：DG=DM,GH=MH,ZHDG=ZHDM,

①若點M在EF上，如圖1所示:

設(shè)BD=20B=20D=2b,AC=2OA=2OC=2kb,

.*.DG=DM=30D=3b,OG=DG+OD=3b+b=4b,

OA_kb_

VtanZADB=歷一了~=k,

OE_GH_MH

：.OG~~DG~~DM=k,

.,.0E=k0G=4kb,GH=HM=3kb,

FH=0E-GH=4kb-3kb=kb,

過點D作DN±EF于點N,

VZFHM+ZFMH=ZFMH+ZDMN,

：.ZFHM=ZDMN,

'：ZF=ZDNM=90°,

.,.△MFH^ADNM,

FH_MHkb_3kb

：.,即礪廠拓

/.MN=b,

VDM2=DN2+MN2,

A(3b)2=(4kb)2+b2,

解得：k=E,或k=-5(不合題意舍去)，

OAV2

Z.0D=~2,

BD_20D_0D

：.AC--204~~0A~；

②若點M在OE上，如圖2所示:

設(shè)ZGDH=ZADO=ZABO=ZODC=a,OD=x,

則DG=3x,0G=4x,

VZM0G=ZDGH=90°,

/.GH=DG*tana=3x*tana,

OC=OD?tanQ二x?tana,

由折疊性質(zhì)知，DG=DM=3x,GM±DH,

???ZOGM+ZMGH=ZMGH+ZGHD=900,

：.ZOGM=ZGHD,

/.△OGM^AGHD,

OM_OG

~GD^GH9

GDOG_3x-4/_4x

0M=GH3x?tanatana,

由勾股定理得，OD2+0M2=DM2,

.X、(』=(3X)2

??tana,

解得：tana=0

...為=應(yīng)

BD_20D_0D_y/2

：.~^~~2OA~~0A~~2

BD0

綜上所述，而的值為：血或下，

V2

故答案為：血或2.

【點睛】

本題考查了折疊的性質(zhì)、菱形與矩形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾

股定理、三角函數(shù)定義等知識；熟練掌握折疊的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

8、(1)FGA.ED,理由詳見解析；(2)詳見解析

【分析】

(1)由旋轉(zhuǎn)及平移的性質(zhì)可得到ZDEB+ZGFE=90°,可得出結(jié)論；

(2)由旋轉(zhuǎn)和平移的性質(zhì)可得BE=CB,CG〃BE,從而可證明四邊形CBEG是矩形,

再結(jié)合CB=BE可證明四邊形CBEG是正方形.

【詳解】

(1)FG1.ED.

理由如下：

VAABC繞點、8順時針旋轉(zhuǎn)90°至△〃施后，

AZDEB=4ACB,

,：把△ABC沿射線平移至△FEG,

：.乙GFEA,

VZABC=90°,

AZA+ZACB=90°

/.4DEB+4GFE=90°,

AZFHE=90°,

，F(xiàn)G，ED；

(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)和平移可得ZGEF=90°,ZCBE=90°,CG//EB,CB=BE,

'：CG//EB,

：./BCG=4CBE=9Q°,

AZBCG=90°,

/.四邊形BCGE是矩形，

,?CB=BE,

...四邊形CBEG是正方形.

【點睛】

本題主要考查旋轉(zhuǎn)和平移的性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)和平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，即旋轉(zhuǎn)或平移前后，

對應(yīng)角、對應(yīng)邊都相等.

9、④

【分析】

根據(jù)平行四邊形，矩形，菱形，正方形的判定和性質(zhì)，逐一判斷各個選項，即可.

【詳解】

解：①對于任意凸四邊形/交9,當點"、N、P、0分別為A5、BC、CD、DA

上的中點時，四邊形肱懷。是平行四邊形，故原說法錯誤；

②如果四邊形ABCD為任意平行四邊形，那么一定存在無數(shù)個四邊形MNPQ是平行四邊形，

故原說法錯誤；

③如果四邊形ABCD為任意矩形，不一定存在一個四邊形為正方形，故原說法錯誤；

④如果四邊形力比?為任意菱形，那么一定存在一個四邊形為正方形，原說法正確.

故答案是：④.

【點睛】

本題主要考查四邊形綜合，熟練掌握平行四邊形，矩形，菱形，正方形的判定和性質(zhì)，是解

題的關(guān)鍵.

10、證明見解析.

【詳解】

試題分析：根據(jù)菱形的對角線互相平分可得OD=OB,再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜

邊的一半可得OH=OB,然后根據(jù)等邊對等角求出ZOHB=ZOBH,根據(jù)兩直線平行，內(nèi)

錯角相等求出ZOB

H=ZODC,然后根據(jù)等角的余角相等證明即可.

試題解析：???四邊形ABCD是菱形，

.*.OD=OB,ZCOD=90°,

VDH1AB,

.*.OH=2BD=OB,

/.ZOHB=ZOBH,

又VAB/7CD,

ZOBH=ZODC,

在RtACOD中，ZODC+ZDCO=90°,

在RtADHB中，ZDHO+ZOHB=90°,

/.ZDHO=ZDCO.

考點：菱形的性質(zhì).

11、(1)見詳解；(2)見詳解

【分析】

(1)作輔助線，構(gòu)建平行四邊形PMND,再證明△ABEDAP,即可得出結(jié)論；

(2)連接AG,EG、CG,構(gòu)建全等三角形和直角三角形，證明AG=EG=CG,再

根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理得ZAGE=90°，在燈△ABE和Rt△AGE中，利用直角

11

三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得BF=2AE,FG=2AE,則BF=FG.

【詳解】

證明：（1）如圖，過點D悴PD〃MN交.AB千P,則/APD=ZAMN,

'：正方形ABCD,

：.AB=AD,AB//DC,/DAB=4B=90°

，四邊形PMND是平行四邊形且PD=MN,

VZB=90°,

二N物￡+ABEA=90°,

?.?初V，于產(chǎn)，

/BAE+/AMN=90°,

：./BEA=ZAMN=AAPD,

又YAB=AD,4B=4DAP=90°,

.*.△ABEDAP(AAS),

：.AE=PD=MN.

(2)如圖，連接AG,EG、CG,

由正方形的軸對稱性XABG9ACBG,

/.AG=CG,AGAB=AGCB,

YMV_L熊于9，F(xiàn)為AE中點，

Z.AG=EG,

：.EG=CG,4GEC=/GCE,

：./GAB=ZGEC,

由圖可知乙GEB+4GEC=180°,

：.ZGEB+ZGAB=180°,

又Y四邊形ABEG的內(nèi)角和為360°,ZABE=90°,

AZAGE=90°,

在Rt△ABE和Rt△AGE中，AE為斜邊，F(xiàn)為AE的中點，

BF=2AE,FG=2AE,

：.BF=FG.

【點睛】

本題是四邊形的綜合題，考查了正方形、全等三角形，在有中點和直角三角形的前提條件下，

可以利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半來證明兩條線段相等.

12、(1)①2,.②—2-<2+-J2-(2)4-陽48+V^或

【分析】

(1)①根據(jù)近距離的定義，直接求解即可；②設(shè)直線^=犬+力與x軸、y軸的交點

分別是H,4，線段施的中點為0,連接陽，則AQ就是直線V=x+6與正方形ABCD

的近距離，當AQ=1時，列出關(guān)于b的方程，進而即可求解；

(2)分兩種情況：①設(shè)在直線丁=-*+6上存在一點Pkx,-x+6)與正方形

A，B，C，D)的近距離為1,即D'P=\,延長/'〃'交直線y=-x+6于點7,過點

尸作"J.7,可得x-(勿+l)=-x+6T=2,從而求出加的值；②若正方形繆

和NMW9可及的點在邊上時，此時正方形力版的邊長與的近距離為1,則點G

與〃干的距離為2,進而求出m的范圍即可.

【詳解】

解：(1)①:正方形4BC0,小此MTT),CUT,01。"(°’/，小⑷,

AD//x軸,

.?.點4°’力與力〃的最近距離為：即“，正方形題切=￡

如圖，連接DF,由圖可知：點F與正方形ABCD的最近距離就是DF的長，

...DF=「-I)?+(4-a=上,即：一(凡正方形/衣⑺^而.

故答案是：L呵

②如圖，設(shè)直線了=x+8與X軸、夕軸的交點分別是〃，4,線段斷的中點為0,

連接AQ,則AQ就是直線""A與正方形ABCD的近距離，

〃z6\zO6

x(-Iz)x(

i2

--

。z22x

x(z)

2

+[--1)=1廠

當40=1時，I2J12J,解得：b=2+42,,

同理，當直線＞=x+8與y軸交于負半軸時，線'=入+6與正方形ABCD的近距離為1時,

b=-2-^2,

直線y=x+3與正方形ABC?；椤翱杉皥D形”，b的取值范圍為:

—2-X3工2+?

(2)如圖，設(shè)在直線y=-x+6上存在一點p(X,-x+6)與正方形A‘B'C'D'

的近距離為1,即〃'尸=1,延長交直線y=-x+6于點T,過點尸作分，

VZPTD'=ZNMO=45°,，'尸_LMN,

：.&。尸7是等腰直角三角形，

在

,：G(m,0),

近5一吏

x-(m+1)=-x+6-1=2,解得：m=4-0,x=2,

當正方形A‘B'C'D'移至點M的右側(cè)時，存在一點G，與點G關(guān)于M點對稱,

,?M(6,0),

:.G'(8+0，0),

當4-應(yīng)工切M8+0時，正方