2023年河北阜平高考數(shù)學(xué)五模試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

考生請注意：

1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.如圖所示的“數(shù)字塔”有以下規(guī)律：每一層最左與最右的數(shù)字均為2,除此之外每個(gè)數(shù)字均為其兩肩的數(shù)字之積，則

該“數(shù)字塔”前10層的所有數(shù)字之積最接近(lg2=0.3)()

2

22

242

2882

21664162

A.1(pooB.IO400C.IO500D.1O600

2.已知集合4={刈》>-1},集合6={x|x(x+2)<0},那么AU8等于()

A.{x|x>-2}B.{x|-l<x<0}C.{x|x>-l}D.{x|-l<x<2}

3.已知全集。=口，集合A={x|y=lg(l-x)})

A.(l,+oo)B.(0,1)C.(0,+oo)D.[l,+oo)

4.(f—2x—3)(x+2)5的展開式中，V項(xiàng)的系數(shù)為()

A.-23B.17C.20D.63

5.設(shè)機(jī)，〃為直線，a、夕為平面，則m」a的一個(gè)充分條件可以是()

A.a工0,aC\/3=n,mlnB.a//尸,m

C.al.j39mlIpD.〃ua,m_\_n

6.xvl是XH—<-2的()條件

x

A,充分不必要B,必要不充分C.充要D.既不充分也不必要

7.已知拋物線C:y2=2Pxs>0)的焦點(diǎn)為尸，過點(diǎn)尸的直線I與拋物線。交于A,3兩點(diǎn)(設(shè)點(diǎn)A位于第一象限),

過點(diǎn)A,3分別作拋物線。的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為點(diǎn)A，BI,拋物線C的準(zhǔn)線交x軸于點(diǎn)K,若萼*=2,則

直線/的斜率為

A.1B.0C.2夜D.6

8.已知a,0表示兩個(gè)不同的平面，1為a內(nèi)的一條直線，則“a〃0是“1〃0”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

9.設(shè)坂，￡是非零向量.若萬同=怛1=；5+5）^,則（）

A.五（5+習(xí)=0B.1.（6-K=0C.（a+b）-c=0D.（a-h）-c=Q

22

10.設(shè)片，居分別是雙曲線*?-￡=&>0/>0）的左右焦點(diǎn)若雙曲線上存在點(diǎn)P,使/々P月=60。，且歸國=2|明,

則雙曲線的離心率為（）

A.6B,2C.V5D.76

22

11.已知直線/：y=2x+10過雙曲線'一去=1（。〉Q,b>0）的一個(gè)焦點(diǎn)且與其中一條漸近線平行，則雙曲線的方

程為（）

,>22222

廠y―1R*>—1

-------------=1D*--------------=1D.三上=1

520205916

12.趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，大約在公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時(shí)，介紹了“勾股圓方圖”,

亦稱“趙爽弦圖”（以弦為邊長得到的正方形是由4個(gè)全等的直角三角形再加上中間的一個(gè)小正方形組成的）.類比“趙

爽弦圖”.可類似地構(gòu)造如下圖所示的圖形，它是由3個(gè)全等的三角形與中間的一個(gè)小等邊三角形拼成一個(gè)大等邊三角

形.設(shè)。R=2A尸=2,若在大等邊三角形中隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自小等邊三角形（陰影部分）的概率是（）

3B.迺C.義D.跡

13132626

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.執(zhí)行以下語句后，打印紙上打印出的結(jié)果應(yīng)是：

H-T

x4-4

WHof<10

x<-x+2i

i4-i+3

BadWhile

Print*jr="jt

22

14.已知雙曲線。:q-與=1（。>0/>0）的左、右焦點(diǎn)和點(diǎn)P（2"力）為某個(gè)等腰三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則雙曲線C的離

a

心率為.

15.已知同=2億￡在坂方向上的投影為布，則￡與坂的夾角為.

y<2x+\,

16.若變量x,），滿足約束條件2x+y<4,則z=x-2y的最大值為.

y+2>0,

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）等差數(shù)列｛aj（〃eN*）中，1,a2,4分別是下表第一、二、三行中的某一個(gè)數(shù)，且其中的任何兩個(gè)數(shù)

不在下表的同一列.

第一列第二列第三列

第一行582

第二行4312

第三行1669

（1）請選擇一個(gè)可能的｛q,a2M3｝組合，并求數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式；

（2）記（1）中您選擇的｛4｝的前〃項(xiàng)和為S,,判斷是否存在正整數(shù)左，使得q,ak,S&+2成等比數(shù)列，若有，請

求出女的值；若沒有，請說明理由.

18.（12分）在直角坐標(biāo)系中，已知圓（尤—。產(chǎn)+⑶-l）2=〃+i,以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)

系，已知直線。sin（6+f]=痣平分圓M的周長.

4

（1）求圓M的半徑和圓M的極坐標(biāo)方程；

（2）過原點(diǎn)作兩條互相垂直的直線4,，2,其中4與圓M交于。，A兩點(diǎn)，4與圓M交于0,8兩點(diǎn)，求△045面積

的最大值.

19.（12分）數(shù)列｛風(fēng)｝滿足卬=,??+2??+1=0,其前〃項(xiàng)和為S,,,數(shù)列［今J的前"項(xiàng)積為有

（1）求S“和數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式；

1

（2）設(shè)，'=否席麗W求｛5｝的前〃項(xiàng)和7“，并證明：對任意的正整數(shù)⑶左，均有黑〉（.

20.（12分）如圖所示，在四棱錐。一ABC。中，AB//CD,AZ>=A5=」CD,NZM5=60。，點(diǎn)瓦F分別為CD,AP

2

的中點(diǎn).

（1）證明：PC〃面BEF；

（2）若PA_LPD,且Q4=PD,面A4￡）_L面ABC。，求二面角尸一座一A的余弦值.

21.（12分）已知函數(shù)/（x）=e*（or+l）,asR.

（1）求曲線y=/（x）在點(diǎn)例（。,7（0））處的切線方程；

（2）求函數(shù)“X）的單調(diào)區(qū)間；

（3）判斷函數(shù)“X）的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

22.（10分）第7屆世界軍人運(yùn)動會于2019年10月18日至27日在湖北武漢舉行，賽期10天，共設(shè)置射擊、游泳、

田徑、籃球等27個(gè)大項(xiàng)，329個(gè)小項(xiàng).共有來自100多個(gè)國家的近萬名現(xiàn)役軍人同臺競技.前期為迎接軍運(yùn)會順利召開,

武漢市很多單位和部門都開展了豐富多彩的宣傳和教育活動，努力讓大家更多的了解軍運(yùn)會的相關(guān)知識，并倡議大家

做文明公民.武漢市體育局為了解廣大民眾對軍運(yùn)會知識的知曉情況，在全市開展了網(wǎng)上問卷調(diào)查，民眾參與度極高，

現(xiàn)從大批參與者中隨機(jī)抽取200名幸運(yùn)參與者，他們得分（滿分1（）0分）數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：

組別130,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)L90J00)

頻數(shù)5304050452010

（1）若此次問卷調(diào)查得分整體服從正態(tài)分布，用樣本來估計(jì)總體，設(shè)〃，b分別為這200人得分的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差

（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間中點(diǎn)值作為代表），求〃，的值（〃，b的值四舍五入取整數(shù)），并計(jì)算P（51<X<93）；

（2）在（1）的條件下，為感謝大家參與這次活動，市體育局還對參加問卷調(diào)查的幸運(yùn)市民制定如下獎勵方案：得分

低于〃的可以獲得1次抽獎機(jī)會，得分不低于〃的可獲得2次抽獎機(jī)會，在一次抽獎中，抽中價(jià)值為15元的紀(jì)念品A

2I

的概率為彳，抽中價(jià)值為30元的紀(jì)念品8的概率為-.現(xiàn)有市民張先生參加了此次問卷調(diào)查并成為幸運(yùn)參與者，記y

33

為他參加活動獲得紀(jì)念品的總價(jià)值，求y的分布列和數(shù)學(xué)期望，并估算此次紀(jì)念品所需要的總金額.

(參考數(shù)據(jù)：P(〃—5<X+0.6827；P(〃—25<X<〃+25)^0.9545；

—35<X<〃+35)y0.9973.)

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.A

【解析】

結(jié)合所給數(shù)字特征，我們可將每層數(shù)字表示成2的指數(shù)的形式，觀察可知，每層指數(shù)的和成等比數(shù)列分布，結(jié)合等比

數(shù)列前〃項(xiàng)和公式和對數(shù)恒等式即可求解

【詳解】

如圖，將數(shù)字塔中的數(shù)寫成指數(shù)形式，可發(fā)現(xiàn)其指數(shù)恰好構(gòu)成“楊輝三角”，前1()層的指數(shù)之和為

29101023,023,g2300

1+2+2+...+2=2-1=1023，所以原數(shù)字塔中前10層所有數(shù)字之積為2=10，1O.

21

2,21

21222,

2123232,

2’2&2^*2421

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查與，，楊輝三角，，有關(guān)的規(guī)律求解問題，邏輯推理，等比數(shù)列前〃項(xiàng)和公式應(yīng)用，屬于中檔題

2.A

【解析】

求出集合8,然后進(jìn)行并集的運(yùn)算即可.

【詳解】

VA={x|x>-1},JB={X|-2<X<0},

:.AljB={x|x>_2}.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查一元二次不等式的解法，考查集合并集的概念和運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

3.D

【解析】

根據(jù)函數(shù)定義域的求解方法可分別求得集合A,B,由補(bǔ)集和交集定義可求得結(jié)果.

【詳解】

「A="x|l-x>0}=5=(0,+00),.,.^7A=[1,+OO)>

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查集合運(yùn)算中的補(bǔ)集和交集運(yùn)算問題，涉及到函數(shù)定義域的求解，屬于基礎(chǔ)題.

4.B

【解析】

根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，結(jié)合乘法分配律，求得的系數(shù).

【詳解】

55r

(x+2)的展開式的通項(xiàng)公式為Tr+i=C；x--2’.則

①(爐―2x—3)出(-3),則3+2)5出V,該項(xiàng)為：(-3)-Cf-2°-x5=-3x5；

②-2%-3)出(―2x),則(關(guān)+2)5出無)該項(xiàng)為：(-2)-C；-2'-X5=-20X5；

③(f-2x-3)出則(x+2)5出該項(xiàng)為：1-C；?22.爐=40/；

綜上所述：合并后的十項(xiàng)的系數(shù)為17.

故選：B

【點(diǎn)睛】

本小題考查二項(xiàng)式定理及展開式系數(shù)的求解方法等基礎(chǔ)知識，考查理解能力，計(jì)算能力，分類討論和應(yīng)用意識.

5.B

【解析】

根據(jù)線面垂直的判斷方法對選項(xiàng)逐一分析，由此確定正確選項(xiàng).

【詳解】

對于A選項(xiàng)，當(dāng)。，尸，anp=〃，加_L〃時(shí)，由于m不在平面/內(nèi)，故無法得出

對于B選項(xiàng)，由于二〃夕，〃?」￡,所以〃?J_a.故B選項(xiàng)正確.

對于C選項(xiàng)，當(dāng)C，，加//月時(shí)，〃?可能含于平面a,故無法得出

對于D選項(xiàng)，當(dāng)〃ua,〃時(shí)，無法得出

綜上所述，〃2_11的一個(gè)充分條件是“。//，，

故選：B

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查線面垂直的判斷，考查充分必要條件的理解，屬于基礎(chǔ)題.

6.B

【解析】

利用充分條件、必要條件與集合包含關(guān)系之間的等價(jià)關(guān)系，即可得出。

【詳解】

設(shè)P：x<l對應(yīng)的集合是A=(F,1),由》+,<-2解得1<0且工工一1

x

q：x+：<—2對應(yīng)的集合是3=(-8,-1)U(T,O)，所以8-A,

故x<l是x+,<-2的必要不充分條件，故選B。

X

【點(diǎn)睛】

本題主要考查充分條件、必要條件的判斷方法——集合關(guān)系法。

設(shè)/4={小62},B={x|xeq},

如果A=則P是4的充分條件；如果A則”是4的充分不必要條件；

如果則P是4的必要條件；如果5-A,則夕是4的必要不充分條件。

7.C

【解析】

根據(jù)拋物線定義，可得|Af|=|A4J,|8尸|=|38,|,

又44,〃/K〃381,所以小"=空1=2,所以5￡!=四/=2,

1n

f\BtK\\BF\〃入|gK||期|

.?.IAA|—|BB,|2m—tn1

設(shè)|BB|=tn(m>0),則|例|=2m,則cosZAFx=cosZBA4j=——=-----=-,

]IAB\2m+m3

所以sinZA&=手，所以直線/的斜率％=tanZAFx=2夜.故選C.

8.A

【解析】

試題分析：利用面面平行和線面平行的定義和性質(zhì)，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷.

解：根據(jù)題意，由于a,0表示兩個(gè)不同的平面，I為a內(nèi)的一條直線，由于“a〃0,

則根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可知，則必然a中任何一條直線平行于另一個(gè)平面，條件可以推出結(jié)論，反之不成立，

；."a〃p是“1〃0”的充分不必要條件.

故選A.

考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷；平面與平面平行的判定.

9.D

【解析】

試題分析：由題意得：若萬則("5)1=0；若萬]=_?1，則由<5同=忻1=耳S+5)?乙可知，

==故(萬一5)1=()也成立，故選D.

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積.

【思路點(diǎn)睛】幾何圖形中向量的數(shù)量積問題是近幾年高考的又一熱點(diǎn)，作為一類既能考查向量的線性運(yùn)算、坐標(biāo)運(yùn)算、

數(shù)量積及平面幾何知識，又能考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力及轉(zhuǎn)化與化歸能力的問題，實(shí)有其合理之處.解決此類問題的常

用方法是：①利用已知條件，結(jié)合平面幾何知識及向量數(shù)量積的基本概念直接求解(較易)；②將條件通過向量的線性

運(yùn)算進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再利用①求解(較難)；③建系，借助向量的坐標(biāo)運(yùn)算，此法對解含垂直關(guān)系的問題往往有很好效果.

10.A

【解析】

由|P國=2歸國及雙曲線定義得|P附和歸用(用。表示)，然后由余弦定理得出a，c的齊次等式后可得離心率.

【詳解】

由題意周=2|P閭，.?.由雙曲線定義得歸國-歸周=2a,從而得|P用=4a,|P閭=2a,

在公尸￡凡中，由余弦定理得(2c)2=(4a)2+(2a)2-2x4ax2acos60°,化簡得e=￡=J5.

a

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查求雙曲線的離心率，解題關(guān)鍵是應(yīng)用雙曲線定義用。表示出P到兩焦點(diǎn)的距離，再由余弦定理得出凡c的齊

次式.

11.A

【解析】

22

根據(jù)直線/：>=2x+10過雙曲線二—4=1（。>00>0）的一個(gè)焦點(diǎn)，得c=5,又和其中一條漸近線平行，得到

a~b~

b=2a,再求雙曲線方程.

【詳解】

22

因?yàn)橹本€/：丁=2犬+10過雙曲線鼻—左=1（4>0/>0）的一個(gè)焦點(diǎn)，

所以尸（一5,0）,所以c=5,

又和其中一條漸近線平行，

所以b=2a,

所以屋=5,b2=20>

22

所以雙曲線方程為土-2-=l.

520

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.

12.A

【解析】

根據(jù)幾何概率計(jì)算公式，求出中間小三角形區(qū)域的面積與大三角形面積的比值即可.

【詳解】

在中，AD=3，BD=1,NA￡）B=120°，由余弦定理，得A6=JAD?+BD?-2AZ>6￡）cos120°=萬，

DF2

所以布=

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了幾何概型的概率計(jì)算問題，是基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.1

【解析】

根據(jù)程序框圖直接計(jì)算得到答案.

【詳解】

程序在運(yùn)行過程中各變量的取值如下所示:

是否繼續(xù)循環(huán)ix

循環(huán)前14

第一圈是44+2

第二圈是74+2+8

第三圈是104+2+8+14

退出循環(huán)，所以打印紙上打印出的結(jié)果應(yīng)是：1

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】

本題考查了程序框圖，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和理解能力.

14.&

2

【解析】

由等腰三角形及雙曲線的對稱性可知耳心=「耳或耳心=「鳥，進(jìn)而利用兩點(diǎn)間距離公式求解即可.

【詳解】

由題設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為耳（―c,o）,6（c,0）,

因?yàn)樽蟆⒂医裹c(diǎn)和點(diǎn)P（2”,〃）為某個(gè)等腰三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，

當(dāng)月乙=「用時(shí),2c=^2a-cf+b2，由后=c?_/可得2c2+4ac一3/=0,等式兩邊同除/可得

2/+4e-3=0,解得e=~—<1（舍）：

2

當(dāng)￡鳥=P月時(shí),2c=y/（2a+c）2+b2，由h2^c2-a2可得2c2-4ac-3a2=0,等式兩邊同除/可得

2e2-4e-3=0,解得e=—1°+.,

2

故答案為:、伍+2

2

【點(diǎn)睛】

本題考查求雙曲線的離心率，考查雙曲線的幾何性質(zhì)的應(yīng)用,考查分類討論思想.

15.-

6

【解析】

由向量投影的定義可求得兩向量夾角的余弦值，從而得角的大小.

【詳解】

￡在坂方向上的投影為"cos<a,b>=瓜，:.cos<a,b>=-^==；,即夾角為己.

故答案為：f.

6

【點(diǎn)睛】

本題考查求向量的夾角，掌握向量投影的定義是解題關(guān)鍵.

16.7

【解析】

畫出不等式組表示的平面區(qū)域，數(shù)形結(jié)合，即可容易求得目標(biāo)函數(shù)的最大值.

【詳解】

作出不等式組所表示的平面區(qū)域，如下圖陰影部分所示.

觀察可知，當(dāng)直線z=x-2y過點(diǎn)C(3,—2)時(shí)，z有最大值，zmax=7.

故答案為：7.

【點(diǎn)睛】

本題考查二次不等式組與平面區(qū)域、線性規(guī)劃，主要考查推理論證能力以及數(shù)形結(jié)合思想，屬基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)見解析，/=4〃+4或?！?2〃；(2)存在，k=6.

【解析】

(1)滿足題意有兩種組合：①q=8,g=12,%=16,②%=2,4=4,%=6,分別計(jì)算即可；

(2)由(1)分別討論兩種情況，假設(shè)存在正整數(shù)使得4,4,S.+2成等比數(shù)列，即a/=4+2,解方程是否

存在正整數(shù)解即可.

【詳解】

(1)由題意可知：有兩種組合滿足條件：

①4=8,々=12,%=16,此時(shí)等差數(shù)列{a“},q=8,(1=4,

所以其通項(xiàng)公式為%=4〃+4.

②％=2,%=4,%=6,此時(shí)等差數(shù)列{4},q=2,d-2,

所以其通項(xiàng)公式為4=2〃.

(2)若選擇①，5“=2/+6〃.

則&+2=2(女+2)2+6(左+2)=2爐+14女+20.

若叫，4，S?+2成等比數(shù)列，則aJ=q.SA2，

即(4左+盯=8(2二+14左+20),整理，得%2+2比+1=二+7k+io,即5左=—9,

此方程無正整數(shù)解，故不存在正整數(shù)左，使q,4，S?2成等比數(shù)列.

若選則②，5“=，/+〃，

則S&+2=(攵+2『+(k+2)=/+5攵+6，

若為,4，S-2成等比數(shù)列，則42=4,562，

即(2&)2=2(/+5左+6),整理得「2一5左一6=0,因?yàn)椋檎麛?shù)，所以2=6.

故存在正整數(shù)左=6,使q，4,S一成等比數(shù)列.

【點(diǎn)睛】

本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前〃項(xiàng)和，涉及到等比數(shù)列的性質(zhì)，是一道中檔題.

18.(1)后，/?=2(sin^+cos0)(2)2

【解析】

n

先求出4=1,再求圓的半徑和極坐標(biāo)方程；⑵設(shè)4，：6=。,/2：6=。+金，|。4|=8,|。8|=2求出

p、=2(sina+cosa),p2=2(以圮。-5也。),再求出

S.a加=2cos2a,,2得解.

【詳解】

(D將°sin[e+?)=及化成直角坐標(biāo)方程，得x+y=2

則4+1=2,故4=1,

則圓M:(X-1)2+(J-1)2=2,即d+y2_2x_2y=0,

所以圓M的半徑為夜.

將圓M的方程化成極坐標(biāo)方程，得一2p(sin。+cos。)=0.

即圓M的極坐標(biāo)方程為p=2(sin0+cos0).

jr

(2)設(shè)I、,：。=a,l?:0=a-^—,\OA\=pv\OB|=p2,

則p、=2(sina+cosa),

兀

用a+耳代替a.可得e=2(cosa-sina),

=22

/]±/2,.\SQHB^\OA\-\OB|=2(cosa-sina)=2cos2a?2

,(SAOAB)gx2

【點(diǎn)睛】

本題主要考查直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)的互化，考查極徑的計(jì)算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.

以⑴S，T“-川，W⑵焉〉證明見解析

【解析】

(1)利用已知條件建立等量關(guān)系求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.

(2)利用裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列的和，進(jìn)一步利用放縮法求出結(jié)論.

【詳解】

⑴?”=1,a“+2a,川=0,得｛4｝是公比為一^的等比數(shù)列，]丫1

2>

b〃_1

當(dāng)〃22時(shí)，數(shù)歹！11目；］的前〃項(xiàng)積為」一,貝!I12〃+12n+l

,兩式相除得

+2/7+1幺%_1

5In-12/7+1

1

〃=2〃+1=2〃T

b得a=2幾-1,

2〃+1]2〃+1

2〃一1

又g得4=1,.?.勿=2〃-1；

1

2

_____________1______________J2.+1-J2n_1_J_J_______1]

"，2〃-142”+1(j2”+l+>/2〃-1)2J2n-lj2n+l21一2〃-1J2〃+J

.F=c-斗——J,

*,-入2(V2TT1J2

故s,“>1.

【點(diǎn)睛】

本題考查的知識要點(diǎn)：數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法及應(yīng)用，數(shù)列的前〃項(xiàng)和的應(yīng)用，裂項(xiàng)相消法在數(shù)列求和中的應(yīng)用，主

要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力，屬于中檔題.

20.(1)證明見解析(2)2叵

13

【解析】

(1)根據(jù)題意，連接AC交的于“，連接FH,利用三角形全等得"http:///PC,進(jìn)而可得結(jié)論；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量求得平面的法向量，進(jìn)而可得二面角尸-跖-A的余弦值.

【詳解】

(D證明：連接AC交BE于H,連接FH,

?「AB=CE,ZHAB=ZHCE,ZBHA=ZCHA,

:.^ABH義ACEH,

:.AH=CH旦FHIIPC,

?.?切u面FBE,PCZ面FBE，

:.PC//面FBE,

(2)取AD中點(diǎn)。，連P。，QB.由Q4=PZ),：.PO±AD

1?1面PAD1面ABCD

：.P01^ABCD,又由NZM3=6(),AD=AB

:.OB±AD

以O(shè)A,OB,OP分別為x,y,z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)AD=2,則A(1,O,O),8(0,百,0),￡>(-1,0,0),P(0,0,l),F(1,0,1),

EB=DA-(2,0,0)>BF-,

1=(0,0,1)為面的的一個(gè)法向量,

設(shè)面FBE的法向量為%=(面,%*()),

2x=O

麗?后=0o

依題意，，一2即《

BF?4=0—x0->/3y0+—z0=0

令為=百，解得Zo=6，x0=0

所以，平面FBE的法向量4=(0,J§,6),

〃],〃2_6_2\/39

cos(〃|,〃2

同?同則13

又因二面角為銳角,

故二面角F-BE-A的余弦值為獨(dú)9.

13

【點(diǎn)睛】

本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意中位線和向量法的合理運(yùn)用,

屬于基礎(chǔ)題.

21.(1)(?+l)x-y+l=O(2)答案見解析(3)答案見解析

【解析】

(1)設(shè)曲線y=/(x)在點(diǎn)M(0,八0))處的切線的斜率為攵，可求得太=r(0)=a+1,/(0)=1,利用直線的點(diǎn)斜式

方程即可求得答案；

(2)由(I)知，r(x)=e*(or+a+l),分。=0時(shí)，。>0,。<0三類討論，即可求得各種情況下的的單調(diào)區(qū)

間為；

(3)分。=0與。兩類討論，即可判斷函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【詳解】

(1)Q/(x)=e*(ax+l),

f'(x)=ex(ax+1)+aex=ex{ax+a+\),

設(shè)曲線y=/0)在點(diǎn)M(o,/(0))處的切線的斜率為k,

xx

貝!H=f'(0)=e(ax+1)+ae=e'\a+\)=a+\,

又/(0)=l,

?.?曲線y=/(x)在點(diǎn)M(0,/(O))處的切線方程為：y-l=(a+l)x,即(a+l)x—y+l=O；

(2)由(1)知，f\x)=ex{ax+a+\),

故當(dāng)a=0時(shí)，r(x)=e，>0,所以/(x)在R上單調(diào)遞增；

當(dāng)a>0時(shí)，X€(—00,-------------),f\x)<0;XG(--------------,+8),r(X)>0;

aa

???/(x)的遞減區(qū)間為(v,-空3,遞增區(qū)間為(-但，”)；

aa

當(dāng)。<0時(shí)，同理可得的遞增區(qū)間為(3,-上)，遞減區(qū)間為(-@里，+00)；

aa

綜上所述，。=0時(shí)，/(X)單調(diào)遞增為(-8,+8),無遞減區(qū)間；

當(dāng)4>0時(shí)，〃幻的遞減區(qū)間為(y，-"3,遞增區(qū)間為(一"1,xo)；

aa

當(dāng)a<0時(shí)，f(x)的遞增區(qū)間為(9，-")，遞減區(qū)間為(-3，+8)；

aa

(3)當(dāng)。=0時(shí)，/(尢)=">0恒成立，所以無零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，由、f(x)=e*(Qx+l)=O,得：x=-9只有一個(gè)零點(diǎn).

【點(diǎn)睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論思想與推理、運(yùn)算能力,

屬于中檔題.

22.(1)4=