2023屆江蘇新高考高三二模數(shù)學(xué)模擬卷(含答案)

江蘇新高考二模數(shù)學(xué)模擬卷

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào):

一、單選題(本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng))

1.已知全集￡/=/?,集合4={x|-3<%W4},B={x|2<x<5},貝iJ(Cw4)UB=()

A.{x\x<-3>2]B.{x\x<-3或x>4]

C.{x|-3<%<5}D.{x\2<%<4]

2.當(dāng)—2<m<次寸，復(fù)數(shù)z=要在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.在小ABC所在平面內(nèi)，。是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)且BD=4CD,E是AB的中點(diǎn)，設(shè)荏=a，AC=

b，則前=()

31K55I

I++

A.1a+^bB.4-Q4-63-6-4-

4.函數(shù)f(x)=sin(<ox+s)(3>0,\<p\<合的最小正周期為“，若其圖象向右平移方個(gè)單位后

關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，貝打=f。)對(duì)應(yīng)的解析式可為()

A.y=sin(2x-^)B.y=cos(2x-1)

C.y=cos?+弓)D.y=sin(2%+y)

5.在L2,…,20這20個(gè)正整數(shù)中隨機(jī)選取三個(gè)數(shù)，能構(gòu)成遞增等差數(shù)列的概率是()

A，57B，19C，38D,3

6.菠蘿眼常有兩種剔除法：用圖1甲所示的去眼刀逐個(gè)挖掉菠蘿眼，或者用圖1乙所示的三

角刀沿著菠蘿眼挖出一條一條的螺旋線.現(xiàn)有一個(gè)波蘿準(zhǔn)備去眼，假設(shè)：(1)該菠蘿為圓柱體,

菠蘿有64個(gè)菠蘿眼，都均勻的錯(cuò)位排列在側(cè)面上(如圖2甲);(2)若使用去眼刀，則挖出的每一

個(gè)菠蘿眼可看成側(cè)棱為3cm,且側(cè)棱與底面成60。夾角的正四棱錐;(3)若使用三角刀，可挖出

8根螺紋條，其側(cè)面展開(kāi)圖如圖2丙所示，設(shè)螺紋條上兩個(gè)相鄰菠蘿眼4B的距離為若

將8根螺紋條看成8個(gè)完全一樣的直三棱柱，每個(gè)直三棱柱的高為8/i(cm),其底面為等腰三角

形，該等腰三角形的底邊長(zhǎng)為1.4(sn),頂角為30。，則當(dāng)菠蘿眼的距離h接近于cm時(shí)，兩種

刀法留下的菠蘿果肉一樣多？（參考數(shù)據(jù)：V3?1.7）（）

7.設(shè)a=log23,b=3丸c=25>則（）

A.a<c<bB.a<b<cC.c<b<aD.c<a<b

8.記點(diǎn)］為點(diǎn)人到平面a的距離，給定四面體4一&公公，則滿(mǎn)足=2服《=2,3,4）的平

面a的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.5D.8

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）

9.已知4-BCD是棱長(zhǎng)均為1的三棱錐，則（）

A.直線2B與CD所成的角90。

B.直線BC與平面ACD所成的角為60°

C.點(diǎn)C到平面4BC的距離為苧

D.能容納三棱錐4-BCD的最小的球的半徑為半

10.已知a>0,b>0,且。2+6=1,則（）

A.a+Vb<V2B.1<2°-^<2

2

C.log2a+log2y/b>-1D.a—b>-1

11.已知橢圓各《=1，點(diǎn)尸為右焦點(diǎn)，直線y=kx（k*0）與橢圓交于P,Q兩點(diǎn)，直線PF與

橢圓交于另一點(diǎn)M,貝I"）

A.ZPQM周長(zhǎng)為定值B.直線PM與QM的斜率乘積為定值

C.線段PM的長(zhǎng)度存在最小值D.該橢圓離心率為：

［二T，X>2，下列敘述正

12.已知定義域?yàn)镽的奇函數(shù)/'（x）,當(dāng)x>0時(shí)，/（x）=

I%2—2%+2,0<%<2,

確的是（）

A.存在實(shí)數(shù)k,使關(guān)于x的方程f(x)=h有7個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

B.當(dāng)Xi<x2<一2時(shí),有/(與)>/(x2)

C.當(dāng)0<x〈a時(shí)，/(x)的最小值為1,則l〈aW3

D.若關(guān)于x的方程f(x)=|和/(x)=m的所有實(shí)數(shù)根之和為零，則m=-|

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.二項(xiàng)式6+七廠的展開(kāi)式的第5項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則n=.

14.過(guò)點(diǎn)P(3,-2)且與圓C：%2+、2—2%一4丫+1=0相切的直線方程為

15.已知曲線y=/一1與y=1+%3在％=&處的切線互相垂直，則&=

22

16.設(shè)過(guò)雙曲線C意一方=1(￡1>0/>0)左焦點(diǎn)尸的直線/與。交于時(shí)4兩點(diǎn)，若麗=

3前，且麗?前=0(0為坐標(biāo)原點(diǎn))，貝IJC的離心率為

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

在△ABC中，角4,B,C所對(duì)的邊為a,b,c,已知J^asinB=bcos4+b.

⑴求4

(2)若c=2,鋁=傷，求sin。?

18.(本小題12.0分)

已知矩形ABC。，AB=1,AD=V2,M為2D的中點(diǎn)，現(xiàn)分別沿BM,CM將團(tuán)ABM和團(tuán)DCM翻

折，使點(diǎn)4。重合，記為點(diǎn)P.

(1)求證：BC1PM-

(2)求直線BC與平面PMC所成角的正弦值.

P

19.(本小題12.0分)

為促進(jìn)經(jīng)濟(jì)發(fā)展，某地要求各商場(chǎng)采取多種舉措鼓勵(lì)消費(fèi).4商場(chǎng)在春節(jié)期間推出“你摸球，

我打折”促銷(xiāo)活動(dòng)，門(mén)口設(shè)置兩個(gè)盒子，甲盒內(nèi)有大小相同的1個(gè)紅球和3個(gè)黑球，乙盒內(nèi)有

大小相同的2個(gè)紅球和4個(gè)黑球，購(gòu)物滿(mǎn)一定金額的顧客可以從甲、乙兩個(gè)盒內(nèi)各任取2個(gè)

球.具體規(guī)則如下：摸出3個(gè)紅球記為一等獎(jiǎng)，沒(méi)有紅球記為二等獎(jiǎng)，2個(gè)紅球記為三等獎(jiǎng)，1

個(gè)紅球記為鼓勵(lì)獎(jiǎng)。

(1)獲得一、二、三等獎(jiǎng)和鼓勵(lì)獎(jiǎng)的折扣率分別為5折，7折、8折和9折.記隨機(jī)變量f為獲得

各獎(jiǎng)次的折扣率，求隨機(jī)變量f的分布列及期望E(f);

(2)某一時(shí)段內(nèi)有3人參加該促銷(xiāo)活動(dòng)，記隨機(jī)變量為獲得7折及以下資格的人數(shù)，求PS=2).

20.(本小題12.0分)

已知數(shù)列｛即｝滿(mǎn)足&=一^，(?+數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足瓦=

l)cin+2nan+1=0?1,bn+1=k-bn+

a九?

(1)求｛a.｝的通項(xiàng)公式；

(2)證明：當(dāng)|k|Wl時(shí)，|%|W3一霜.

21.(本小題12.0分)

如圖，過(guò)y軸左側(cè)的一點(diǎn)P作兩條直線分別與拋物線y2=4x交于4c和四點(diǎn)，并且滿(mǎn)足

PC=3PA，RD=3而.

(1)設(shè)CD的中點(diǎn)為證明PM垂直于y軸.

2

(2)若P是雙曲線±-y2=i左支上的一點(diǎn)，求4P4B面積的最小值.

4

22.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/(x)=(x—a—l)ex~1—^x2+ax.

(1)當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)若函數(shù)/(x)在(0,+8)的最小值為-5求a的最大值.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查了集合的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

先求出集合4的補(bǔ)集，再與集合8求并集.

【解答】

解：CVA=[x\x<-3>4}>B={x|2<%<5},

所以(CM)UB={x\x4-3或r>2},

故選4.

2.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算及幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

先對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，再確定實(shí)部和虛部的符號(hào)即可得解.

【解答】

解：計(jì)算可得2=平+等i,

因?yàn)閙e(-2，)，所以彗匚<0,誓>0,

故復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第二象限，

故選B.

3.【答案】C

【解析】

【分析】

本題主要考查平面向量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

先根據(jù)向量線性運(yùn)算將前用四、就表示出來(lái)，從而可得正確選項(xiàng).

【解答】

解：因?yàn)锽0=4C0,所以前正，

則前=麗+前=：說(shuō)+?睨=：荏+g(左一說(shuō))—方)=-|五+與，

乙。/(。乙JOO

故選C.

4.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查三角函數(shù)圖象的平移，函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，屬于中檔題.

先求出3,再通過(guò)平移后的圖象的對(duì)稱(chēng)性求出9=看，然后結(jié)合誘導(dǎo)公式即可得解.

【解答】

解：因?yàn)楹瘮?shù)f(X)=sin(3x+9)(3＞0,WI＜》的最小正周期為兀，

所以生=兀，得3=2,即f(x)=sin(2x+s)(|如＜勺，

將函數(shù)/(x)=sin(2x+/)的圖象向右平移/個(gè)單位，

可得y=sin[2(x-2)+＜p]的圖象且關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，

所以＜p—與=]+卜7,kCZ,

又附＜三所以R屋，

即/Q)=sin(2x+2)=cos(2x+1-^)=cos(2x-卞，

故選B.

5.【答案】C

【解析】

【分析】

本題主要考查古典概型概率計(jì)算、等差數(shù)列、組合數(shù)公式等，屬中檔題.

根據(jù)題意公差dW9,進(jìn)一步確定滿(mǎn)足題意的可能情況數(shù)，再由古典概型概率公式計(jì)算即可.

【解答】

解：三個(gè)數(shù)成遞增等差數(shù)列，設(shè)為a,a+d,a+2d,

按題意必須滿(mǎn)足a+2d<20,d<9,

若給定了d,則a可以取1,2,……,20-2d,

故三數(shù)成遞增等差數(shù)列的個(gè)數(shù)為芨=式20-2d)=10x9,

三數(shù)成遞增等差數(shù)列的概率1為0x腎9=素4，

故選C.

6.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查了棱錐及棱柱的體積，屬于中檔題.

根據(jù)棱錐及棱柱的體積的計(jì)算公式即可得到答案.

【解答】

解：欲使留下的果肉一樣多，只需兩種刀法下削掉的菠蘿果肉的體積一樣大.

若用去眼刀削菠蘿，削掉的每個(gè)菠蘿眼視為一個(gè)正四棱錐，

該椎體的高為3Xsin60°=苧，底面對(duì)角線長(zhǎng)為2x3cos60°=3,

故正四棱錐的體積為￡x￡義孥=學(xué)，

3224

菠蘿眼共有64個(gè)，故用去眼刀去掉的菠蘿果肉的體積為64x華；

若用三角刀削菠蘿削掉的每根螺紋條視為一個(gè)直三棱柱，

其底面的高為言卷=0.7x(2+V3),

底面積為x1.4x0.7x(2+V3)=0.49x(2+V3),

直三棱柱的體積為0.49x(2+遮)x8八，

故用三角刀去掉的菠蘿果肉的體積為0.49x(2+V3)x8/ix8;

由題可得：0.49x(2+b)x8hX8=64x竽，

則-翠_9x(2—)?9x(2xl.7-3)一注?1外

n~0.49x(2+73)-4x0.49?L96一—夜?羽

故選8.

7.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小、利用基函數(shù)的性質(zhì)比較大小，屬于中檔題.

利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和事函數(shù)的單調(diào)性，并借助中間量進(jìn)行比較.

【解答】

33

解:a=log23>log22y/2=c=2<(1)=所以c<1

由于35<28,所以5/。。23<8,

即/og??<|=1.6.

而b=3；=舊>1.7-

所以c<a<b,

故選。.

8.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查點(diǎn)與平面的距離問(wèn)題，考查空間想象能力和邏輯思維能力，屬于較難題.

分類(lèi)討論當(dāng)平面a與平面平行時(shí)分析可得2個(gè)，當(dāng)平面a經(jīng)過(guò)的中位線時(shí)分析可得

6個(gè)，從而得解.

【解答】

解：到點(diǎn)心、為秘4的距離相等的平面a有兩種類(lèi)型，與平面平行或者經(jīng)過(guò)么①4&的某

一條中位線.

當(dāng)平面a與平面①公4平行時(shí)，如下圖1，

設(shè)義&、44相勺4的三等分點(diǎn)分別為夕2、B3和B&,對(duì)于平面B2B3B4,

利用三角形相似可知=膂=2,平面B2B3%符合題意.

dAB

A222

在線段的延長(zhǎng)線上取G使得44=4G。=2,3,4),

對(duì)于平面C2c3c4,利用三角形相似可知歌=呼=2,

d

A242c2

平面C2c3c4符合題意.

力

圖1.

設(shè)4/3、/M4秘3人4的中點(diǎn)分別為E、F和G.

當(dāng)平面a經(jīng)過(guò)，I的中位線EF時(shí).

如下圖2：對(duì)于平面B2EF,外在線段44上且翳1=2，

利用三角形相似可知?=警=2,

又EF〃444,可得1

且E、尸分別為4人、的中點(diǎn)，

則&、&、&到平面為EF的距離相等，

因此平面B2EF符合題意.

如下圖3：對(duì)于平面殳及尸E,B3在線段414上，在線段4遇4上，

日4評(píng)3_4避4_2

且硬;一曬一，

利用三角形相似可知*=管=2,

d

A3的的

又EF〃A3A4,可得.1八；-,1,

且E、尸分別為4人、&4的中點(diǎn)，

則4、4、44到平面B384FE的距離相等，

因此平面BAjFE符合題意.

44

對(duì)于中位線EG,GF,也有類(lèi)似結(jié)論.

綜上所述，符合題意的平面共有8個(gè).

故選D

9.【答案】ACD

【解析】

【分析】

本題主要考查空間中直線與直線的位置關(guān)系、直線與平面所成的角、點(diǎn)面距離、球的內(nèi)接問(wèn)題，

屬于中檔題.

直接根據(jù)正四面體的結(jié)構(gòu)特征逐一計(jì)算或判斷即可.

【解答】

解：力-BCD是棱長(zhǎng)均為1的三棱錐，即正四面體，所以4B1CD,頂點(diǎn)到對(duì)面的距離即高/!=苧,

所以側(cè)棱與底面所成角的正弦值為半，其外接球半徑R='八=乎，

344

故選ACD

10.【答案】ABD

【解析】

【分析】

本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.

對(duì)于4利用基本不等式可判斷，對(duì)于B利用不等式的基本性質(zhì)以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷，對(duì)

于C可用特殊值法判斷，對(duì)于。直接根據(jù)不等式的基本性質(zhì)判斷即可.

【解答】

解：a?+b22aV^,二2（。2+b）2（a+四）［...（a+傷）？42,當(dāng)且僅當(dāng)a=①=苧取等號(hào)，

故A正確；

???a>0,b>0,且a2+b=1,0<a<1,0<Vh<1,-1<a-Vb<1,1<2a-^<2,

故B正確；

a2-b>-b>-1,故。正確；

取（1=秣,=則，ogza+g<—1?故C錯(cuò)誤；

故選；ABD.

11.【答案】BCD

【解析】

【分析】

本題主要考查橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)和直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于較難題.

通過(guò)k取不同值求出周長(zhǎng)即可判斷4設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)利用斜率公式化簡(jiǎn)即可判斷B,確定線段PM取

最小值的條件即可判斷C,確定a、c的值即可求出離心率從而判斷D.

【解答】

解：該橢圓中a=4,b=2V5,c=2,所以離心率為

當(dāng)線段PM垂直于x軸時(shí)，其長(zhǎng)度存在最小值型=6,

a

設(shè)M（xi，y］），P（x2ly2'）,Q（-x2,-y2）,

則在PM、QM斜率都存在的前提下有的/=三?，

22

干星"K_a-為）仇+，2）_yi-y

r?efcpM'叱~（巧』）（巧+犯）一不甘2

12-

孥_3為定值,

4

當(dāng)k=亨時(shí)，直線”等光與橢圓各*=1交于點(diǎn)（3,亨）和卜3,—苧）,

不妨取點(diǎn)P為R亨），得直線PF方程為曠=亨（尤-2），求得交點(diǎn)M為嚓）,

則|PM|=京,|QM|=苧，|PQ|=后，此時(shí)zlPQM的周長(zhǎng)為與+號(hào)Z+后，

當(dāng)上=|時(shí)，PM垂直于x軸，此時(shí)|PM|=6,\QM\=4,|P（?|=2V13.

此時(shí)/PQM的周長(zhǎng)為10+2V13.

顯然4PQM周長(zhǎng)不為定值.

故選BCD.

12.【答案】ABC

【解析】

【分析】

本題考查由函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的解析式，以及判斷方程的根的個(gè)數(shù)，以及函數(shù)零點(diǎn)的問(wèn)題，涉

及函數(shù)單調(diào)性，屬于較難題.

根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)，寫(xiě)出其解析式，畫(huà)出該函數(shù)的圖象，再結(jié)合選項(xiàng)，數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題.

【解答】

解：因?yàn)樵摵瘮?shù)是奇函數(shù)，故/Q）在R上的解析式為：

2x+l,x<-2,

—/—2x—2,-24x<0,

x

f（y=i0-=0-

八町Tx2-2%+2,0<x<2,

繪制該函數(shù)的圖象如圖所示:

Ay

3-

對(duì)兒如圖，直線％與該函數(shù)有7個(gè)交點(diǎn)，故A正確;

對(duì)B：當(dāng)/<X2<—2時(shí)，函數(shù)是減函數(shù)，有了。1)>/(犯)，故8正確:

對(duì)C：當(dāng)0<xSa時(shí)，/(x)的最小值為1,令y=l,則x=1或3,

則lWaW3,故C正確；

對(duì)D：當(dāng)八%)=|時(shí)，計(jì)算可得三個(gè)根的和為爭(zhēng)

若使得其與/(x)=加的所有零點(diǎn)之和為0,

分兩種情況，當(dāng)/(￡)=771有3個(gè)根時(shí)，易知m=-|符合題意;

23

當(dāng)/(x)=ni有且僅有1個(gè)根時(shí)，加=存石=一￡

則m=—|或巾=一|,故。錯(cuò)誤.

故選ABC.

13.【答案】6

【解析】

【分析】

本題考查了二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)二項(xiàng)式通項(xiàng)公式和展開(kāi)式的第5項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)建立方程即可得解.

【解答】

解：二項(xiàng)式弓+號(hào))"展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為7；+i=G23i.產(chǎn)汽

4y/X

由展開(kāi)式中，第5項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則耳注=0,即n=6.

14.【答案】x=3或3x+4y—l=0

【解析】

【分析】

本題考查了求圓的切線方程，屬于中檔題.

分斜率存在與否兩種情況進(jìn)行討論，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式即可得解.

【解答】

解：將圓C方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程0-I)2+(y—2>=4,得圓心C(l,2),

當(dāng)過(guò)點(diǎn)P(3,-2)的直線斜率不存在時(shí)，直線方程為x=3是圓C的切線，滿(mǎn)足題意;

當(dāng)過(guò)點(diǎn)P(3,-2)的直線斜率存在時(shí)，可設(shè)直線方程為y+2=k(x-3),

I2k+4|?,

利用圓心到直線的距離等于半徑得~n==2,解得上=_3

&+14

即此直線方程為3x+4y-1=0,

故答案為：x=3或3x4-4y-1=0.

15.【答案】一強(qiáng)

6

【解析】

【分析】

本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于容易題.

求導(dǎo)得切線斜率，根據(jù)切線垂直的斜率關(guān)系建立方程即可得解.

【解答】

解：y'=(x2-1)'=2x,則曲線y=/_i在X=沏處的切線斜率為七=月1。=2跖

32

/=(1+x),=3x,則曲線y=1+/在》=X。處的切線斜率為七=y'\x=x0=3與2,

則根據(jù)題意有七七=—1>

即6x()3——1,

得&=一.

16.【答案】V7

【解析】

【分析】

本題主要考查雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，屬中檔題.

利用雙曲線的定義結(jié)合向量知識(shí)建立關(guān)于a、c的方程即可求出離心率.

【解答】

解：如圖,

77

由^^=3^^可知/'=33MP=PN=t,MF2=t+2a,NF2=3t—2a,

由麗?麗=0可知PF?_LFN,從而MF?=NF2,

所以t=2a,/MNF2為正三角形，

在直角4FPF2中，(4Q)2+(2V5a)2=(2C)2,

所以e=y/7.

17.【答案】解：⑴由V5qsinB=bcosA+b,sinB=0,得怖=魯由正弦定理得'=511g

所以簧從而cosA+1=V^sin",即2sin(4—^)=1,

T7兀,A7Tj57rm.in_n

又一不〈4_不〈豆，則A

所以/=/

(2)解法一：由=遍知b—1=V6cosC=2b-2=2V6cosC=2b—c=V6c-cosC,

所以2sinB—sinC=V6sinC?cosC,而由(1)可得B=與—C,

所以2sin§-C)-sinC=V^sinC?cosC,cosCH0,解得sinC=苧;

解法二：由正弦定理得三二名，所以力=呻，代入得呻—i=V^osC,即2sin8—sinC

sinesinBsinesine

V6sinC-cosC?而B(niǎo)=y--C,

所以2sin(名—C)—sinC=V6sinC-cosC,cosCH0,解得sinC=—.

32

【解析】本題考查了利用正弦定理、兩角和與差的正弦公式，屬中檔題.

(1)利用正弦定理進(jìn)行變形，逆用兩角和與差的正弦公式從而得解；

(2)兩種解法都是先利用正弦定理進(jìn)行變形，再由兩角差的正弦公式展開(kāi)即可得解.

18.【答案】解：(1)證明：已知矩形4BC。，沿BM,CM將和團(tuán)DCM翻折，使點(diǎn)4。重合,

記為點(diǎn)P.

P

可得8P=AB=1,CD=CP=1.取8c的中點(diǎn)Q

BP=CP=1,BM=CM

???BC1MQ,???BC1PQ

：.MQu平面PMQ,PQu平^PMQ,MQCPQ=Q

BC_L平面PMQ

vPMu平面PMQ

???BC1PM

(2)vBP=CP=1,BC=AD=y/2

???PB2+PC2=BC2

：.PB1PC

???ABCD為矩形

PB1PM

■■■PMnPC=P,PMu平面PMC,PCu平面PMC

：.PB1.平解MC,：.PC是BC在平面PMC內(nèi)的射影，

.為直線BC與平面PMC所成角，sinzBCP=y.

【解析】本題考查直線與直線垂直的證明，求線面角等知識(shí)，屬中檔題.

(1)先利用線面垂直判定定理證得BC1平面PMQ,再由線面垂直性質(zhì)得證;

(2)先利用線面垂直判定定理證得/〃一，！得直線與平面所成角從而得解.

19.【答案】解：(1)設(shè)事件4為“從甲盒中取出i個(gè)紅球”，事件身為“從乙盒中取出/個(gè)紅球”，

r-2-i6/「2-j

則p(4)==0,1)，m)=￡2^-0=0,1,2).

記x為取出的4個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)，

則「@=0)=「(40%)=3塔4

P(x=1)=PCMJ+P(&B。)=3.譬+§卷=高

P(x=2)=PQW+PQ4/1)喑信+3.警號(hào)，

P(X=3)=P(^B2)=|.|=-L,

由題意得《的分布列為

5折7折8折9折

1137

P

3051015

mf)=5x^+7xl+8xA+9xZ=^

(2)由⑴可知，獲得7折及以下資格的概率為京+!=白

DUOOv

由題意得廣8(3,分則PS=2)=廢扁Ad=薪

【解析】本題主要考查了離散型隨機(jī)變量的分布列與期望、二項(xiàng)分布等知識(shí)，涉及古典概型、相

互獨(dú)立事件的概率乘法公式，屬中檔題.

(1)根據(jù)古典概型和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式可求得分布列進(jìn)而求出離散型隨機(jī)變量的期望;

(2)根據(jù)隨機(jī)變量〃服從二項(xiàng)分布，利用公式即可得解.

20.【答案】解：⑴由(?1+1)即+2nan+i=0并根據(jù)題意可知an。0,

則￡n±l=_^±1

人」an2n

當(dāng)n>2且nGN*時(shí),

由累乘法得言=(一炭)(一盥)(一裝|)…(-2x(：-l))=(T)'T券，

又的=-1,則冊(cè)=(-1)…聲X(J)=(-1)噂，

當(dāng)71=1時(shí)，Qi=-g也符合上式，

綜上可知，Qn=(-1)"菽九6N*.

(2)bn+]=/c?bn+Qn=/c?bn+(-l)噂，因?yàn)閷?1,所以|%+]|三人時(shí)|+卜1尸并工

\bn\+￡，即1%+11-Wnl《會(huì)，

當(dāng)n》2且neN*時(shí),由累加法得|%|一|34+最+…+舒，

設(shè)%=1+^+-+^TT>則2Sn=1+|+\+…+^2,

]__L_

gcI'?.1.1.,1n—12“一1"—1n+1

所以Srn=1+?+/+…+-一~^n=A~2o-^T'

又名=1,則一四|SSn=2一肅n|bnlS3一封，

當(dāng)n=1時(shí)，尻=1上述不等式也成立，

因此，當(dāng)網(wǎng)W1時(shí)，|%lW3-霜對(duì)n€N*恒成立.

【解析】本題考查了求數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列與不等式的問(wèn)題、數(shù)列求和問(wèn)題，屬較難題.

(1)利用累乘法即可得解；

(2)利用不等式的基本性質(zhì)進(jìn)行放縮，再由累加法和錯(cuò)位相減求和法即可得證.

21.【答案】解：⑴證明：設(shè)P(xp,yp),C(xc,yc),D(xD,yD'),

則由定=3而，~PD=3萬(wàn)，

可得4(絲弁，鋁左)，B("把，然在).

(yc=4xc

由點(diǎn)4c都在拋物線上可得4c+2yp)2_,xc+2xp，

(9=43-

化簡(jiǎn)可得尤-2yPyc+12xP-2y1=0,

同理可得弁-2ypy0+12xP-2y1=0,

故yc，為)可視為二次方程外一2ypy+12xP-2據(jù)=0的兩根，

由韋達(dá)定理可得先+%)=2yp,故=力切=由此可得PM垂直于y軸.

(2)由(1)可得yc+y°=2yp,yc-yD=12xP-2y^；由正=3方，而=3而知隊(duì)鉆=制”“

11xc+xD