2023屆江蘇新高考高三二模數學模擬卷(含答案)

江蘇新高考二模數學模擬卷

學校:姓名：班級：考號:

一、單選題(本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項)

1.已知全集￡/=/?,集合4={x|-3<%W4},B={x|2<x<5},貝iJ(Cw4)UB=()

A.{x\x<-3>2]B.{x\x<-3或x>4]

C.{x|-3<%<5}D.{x\2<%<4]

2.當—2<m<次寸，復數z=要在復平面內對應的點位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.在小ABC所在平面內，。是BC延長線上一點且BD=4CD,E是AB的中點，設荏=a，AC=

b，則前=()

31K55I

I++

A.1a+^bB.4-Q4-63-6-4-

4.函數f(x)=sin(<ox+s)(3>0,\<p\<合的最小正周期為“，若其圖象向右平移方個單位后

關于y軸對稱，貝打=f。)對應的解析式可為()

A.y=sin(2x-^)B.y=cos(2x-1)

C.y=cos?+弓)D.y=sin(2%+y)

5.在L2,…,20這20個正整數中隨機選取三個數，能構成遞增等差數列的概率是()

A，57B，19C，38D,3

6.菠蘿眼常有兩種剔除法：用圖1甲所示的去眼刀逐個挖掉菠蘿眼，或者用圖1乙所示的三

角刀沿著菠蘿眼挖出一條一條的螺旋線.現有一個波蘿準備去眼，假設：(1)該菠蘿為圓柱體,

菠蘿有64個菠蘿眼，都均勻的錯位排列在側面上(如圖2甲);(2)若使用去眼刀，則挖出的每一

個菠蘿眼可看成側棱為3cm,且側棱與底面成60。夾角的正四棱錐;(3)若使用三角刀，可挖出

8根螺紋條，其側面展開圖如圖2丙所示，設螺紋條上兩個相鄰菠蘿眼4B的距離為若

將8根螺紋條看成8個完全一樣的直三棱柱，每個直三棱柱的高為8/i(cm),其底面為等腰三角

形，該等腰三角形的底邊長為1.4(sn),頂角為30。，則當菠蘿眼的距離h接近于cm時，兩種

刀法留下的菠蘿果肉一樣多？（參考數據：V3?1.7）（）

7.設a=log23,b=3丸c=25>則（）

A.a<c<bB.a<b<cC.c<b<aD.c<a<b

8.記點］為點人到平面a的距離，給定四面體4一&公公，則滿足=2服《=2,3,4）的平

面a的個數為（）

A.1B.2C.5D.8

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）

9.已知4-BCD是棱長均為1的三棱錐，則（）

A.直線2B與CD所成的角90。

B.直線BC與平面ACD所成的角為60°

C.點C到平面4BC的距離為苧

D.能容納三棱錐4-BCD的最小的球的半徑為半

10.已知a>0,b>0,且。2+6=1,則（）

A.a+Vb<V2B.1<2°-^<2

2

C.log2a+log2y/b>-1D.a—b>-1

11.已知橢圓各《=1，點尸為右焦點，直線y=kx（k*0）與橢圓交于P,Q兩點，直線PF與

橢圓交于另一點M,貝I"）

A.ZPQM周長為定值B.直線PM與QM的斜率乘積為定值

C.線段PM的長度存在最小值D.該橢圓離心率為：

［二T，X>2，下列敘述正

12.已知定義域為R的奇函數/'（x）,當x>0時，/（x）=

I%2—2%+2,0<%<2,

確的是（）

A.存在實數k,使關于x的方程f(x)=h有7個不相等的實數根

B.當Xi<x2<一2時,有/(與)>/(x2)

C.當0<x〈a時，/(x)的最小值為1,則l〈aW3

D.若關于x的方程f(x)=|和/(x)=m的所有實數根之和為零，則m=-|

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.二項式6+七廠的展開式的第5項為常數項，則n=.

14.過點P(3,-2)且與圓C：%2+、2—2%一4丫+1=0相切的直線方程為

15.已知曲線y=/一1與y=1+%3在％=&處的切線互相垂直，則&=

22

16.設過雙曲線C意一方=1(￡1>0/>0)左焦點尸的直線/與。交于時4兩點，若麗=

3前，且麗?前=0(0為坐標原點)，貝IJC的離心率為

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

在△ABC中，角4,B,C所對的邊為a,b,c,已知J^asinB=bcos4+b.

⑴求4

(2)若c=2,鋁=傷，求sin。?

18.(本小題12.0分)

已知矩形ABC。，AB=1,AD=V2,M為2D的中點，現分別沿BM,CM將團ABM和團DCM翻

折，使點4。重合，記為點P.

(1)求證：BC1PM-

(2)求直線BC與平面PMC所成角的正弦值.

P

19.(本小題12.0分)

為促進經濟發(fā)展，某地要求各商場采取多種舉措鼓勵消費.4商場在春節(jié)期間推出“你摸球，

我打折”促銷活動，門口設置兩個盒子，甲盒內有大小相同的1個紅球和3個黑球，乙盒內有

大小相同的2個紅球和4個黑球，購物滿一定金額的顧客可以從甲、乙兩個盒內各任取2個

球.具體規(guī)則如下：摸出3個紅球記為一等獎，沒有紅球記為二等獎，2個紅球記為三等獎，1

個紅球記為鼓勵獎。

(1)獲得一、二、三等獎和鼓勵獎的折扣率分別為5折，7折、8折和9折.記隨機變量f為獲得

各獎次的折扣率，求隨機變量f的分布列及期望E(f);

(2)某一時段內有3人參加該促銷活動，記隨機變量為獲得7折及以下資格的人數，求PS=2).

20.(本小題12.0分)

已知數列｛即｝滿足&=一^，(?+數列｛%｝滿足瓦=

l)cin+2nan+1=0?1,bn+1=k-bn+

a九?

(1)求｛a.｝的通項公式；

(2)證明：當|k|Wl時，|%|W3一霜.

21.(本小題12.0分)

如圖，過y軸左側的一點P作兩條直線分別與拋物線y2=4x交于4c和四點，并且滿足

PC=3PA，RD=3而.

(1)設CD的中點為證明PM垂直于y軸.

2

(2)若P是雙曲線±-y2=i左支上的一點，求4P4B面積的最小值.

4

22.(本小題12.0分)

已知函數/(x)=(x—a—l)ex~1—^x2+ax.

(1)當a=1時，求函數f(x)的單調遞增區(qū)間；

(2)若函數/(x)在(0,+8)的最小值為-5求a的最大值.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查了集合的運算，屬于基礎題.

先求出集合4的補集，再與集合8求并集.

【解答】

解：CVA=[x\x<-3>4}>B={x|2<%<5},

所以(CM)UB={x\x4-3或r>2},

故選4.

2.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查復數的運算及幾何意義，屬于基礎題.

先對復數進行化簡，再確定實部和虛部的符號即可得解.

【解答】

解：計算可得2=平+等i,

因為me(-2，)，所以彗匚<0,誓>0,

故復數z在復平面內的對應點位于第二象限，

故選B.

3.【答案】C

【解析】

【分析】

本題主要考查平面向量的線性運算，屬于基礎題.

先根據向量線性運算將前用四、就表示出來，從而可得正確選項.

【解答】

解：因為B0=4C0,所以前正，

則前=麗+前=：說+?睨=：荏+g(左一說)—方)=-|五+與，

乙。/(。乙JOO

故選C.

4.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查三角函數圖象的平移，函數的對稱性，三角函數的誘導公式，屬于中檔題.

先求出3,再通過平移后的圖象的對稱性求出9=看，然后結合誘導公式即可得解.

【解答】

解：因為函數f(X)=sin(3x+9)(3＞0,WI＜》的最小正周期為兀，

所以生=兀，得3=2,即f(x)=sin(2x+s)(|如＜勺，

將函數/(x)=sin(2x+/)的圖象向右平移/個單位，

可得y=sin[2(x-2)+＜p]的圖象且關于y軸對稱，

所以＜p—與=]+卜7,kCZ,

又附＜三所以R屋，

即/Q)=sin(2x+2)=cos(2x+1-^)=cos(2x-卞，

故選B.

5.【答案】C

【解析】

【分析】

本題主要考查古典概型概率計算、等差數列、組合數公式等，屬中檔題.

根據題意公差dW9,進一步確定滿足題意的可能情況數，再由古典概型概率公式計算即可.

【解答】

解：三個數成遞增等差數列，設為a,a+d,a+2d,

按題意必須滿足a+2d<20,d<9,

若給定了d,則a可以取1,2,……,20-2d,

故三數成遞增等差數列的個數為芨=式20-2d)=10x9,

三數成遞增等差數列的概率1為0x腎9=素4，

故選C.

6.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查了棱錐及棱柱的體積，屬于中檔題.

根據棱錐及棱柱的體積的計算公式即可得到答案.

【解答】

解：欲使留下的果肉一樣多，只需兩種刀法下削掉的菠蘿果肉的體積一樣大.

若用去眼刀削菠蘿，削掉的每個菠蘿眼視為一個正四棱錐，

該椎體的高為3Xsin60°=苧，底面對角線長為2x3cos60°=3,

故正四棱錐的體積為￡x￡義孥=學，

3224

菠蘿眼共有64個，故用去眼刀去掉的菠蘿果肉的體積為64x華；

若用三角刀削菠蘿削掉的每根螺紋條視為一個直三棱柱，

其底面的高為言卷=0.7x(2+V3),

底面積為x1.4x0.7x(2+V3)=0.49x(2+V3),

直三棱柱的體積為0.49x(2+遮)x8八，

故用三角刀去掉的菠蘿果肉的體積為0.49x(2+V3)x8/ix8;

由題可得：0.49x(2+b)x8hX8=64x竽，

則-翠_9x(2—)?9x(2xl.7-3)一注?1外

n~0.49x(2+73)-4x0.49?L96一—夜?羽

故選8.

7.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查利用對數函數的性質比較大小、利用基函數的性質比較大小，屬于中檔題.

利用對數函數的單調性和事函數的單調性，并借助中間量進行比較.

【解答】

33

解:a=log23>log22y/2=c=2<(1)=所以c<1

由于35<28,所以5/。。23<8,

即/og??<|=1.6.

而b=3；=舊>1.7-

所以c<a<b,

故選。.

8.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查點與平面的距離問題，考查空間想象能力和邏輯思維能力，屬于較難題.

分類討論當平面a與平面平行時分析可得2個，當平面a經過的中位線時分析可得

6個，從而得解.

【解答】

解：到點心、為秘4的距離相等的平面a有兩種類型，與平面平行或者經過么①4&的某

一條中位線.

當平面a與平面①公4平行時，如下圖1，

設義&、44相勺4的三等分點分別為夕2、B3和B&,對于平面B2B3B4,

利用三角形相似可知=膂=2,平面B2B3%符合題意.

dAB

A222

在線段的延長線上取G使得44=4G。=2,3,4),

對于平面C2c3c4,利用三角形相似可知歌=呼=2,

d

A242c2

平面C2c3c4符合題意.

力

圖1.

設4/3、/M4秘3人4的中點分別為E、F和G.

當平面a經過，I的中位線EF時.

如下圖2：對于平面B2EF,外在線段44上且翳1=2，

利用三角形相似可知?=警=2,

又EF〃444,可得1

且E、尸分別為4人、的中點，

則&、&、&到平面為EF的距離相等，

因此平面B2EF符合題意.

如下圖3：對于平面殳及尸E,B3在線段414上，在線段4遇4上，

日4評3_4避4_2

且硬;一曬一，

利用三角形相似可知*=管=2,

d

A3的的

又EF〃A3A4,可得.1八；-,1,

且E、尸分別為4人、&4的中點，

則4、4、44到平面B384FE的距離相等，

因此平面BAjFE符合題意.

44

對于中位線EG,GF,也有類似結論.

綜上所述，符合題意的平面共有8個.

故選D

9.【答案】ACD

【解析】

【分析】

本題主要考查空間中直線與直線的位置關系、直線與平面所成的角、點面距離、球的內接問題，

屬于中檔題.

直接根據正四面體的結構特征逐一計算或判斷即可.

【解答】

解：力-BCD是棱長均為1的三棱錐，即正四面體，所以4B1CD,頂點到對面的距離即高/!=苧,

所以側棱與底面所成角的正弦值為半，其外接球半徑R='八=乎，

344

故選ACD

10.【答案】ABD

【解析】

【分析】

本題主要考查基本不等式的應用，屬于中檔題.

對于4利用基本不等式可判斷，對于B利用不等式的基本性質以及指數函數的單調性即可判斷，對

于C可用特殊值法判斷，對于。直接根據不等式的基本性質判斷即可.

【解答】

解：a?+b22aV^,二2（。2+b）2（a+四）［...（a+傷）？42,當且僅當a=①=苧取等號，

故A正確；

???a>0,b>0,且a2+b=1,0<a<1,0<Vh<1,-1<a-Vb<1,1<2a-^<2,

故B正確；

a2-b>-b>-1,故。正確；

?。?=秣,=則，ogza+g<—1?故C錯誤；

故選；ABD.

11.【答案】BCD

【解析】

【分析】

本題主要考查橢圓的簡單幾何性質和直線與橢圓的位置關系，屬于較難題.

通過k取不同值求出周長即可判斷4設出點的坐標利用斜率公式化簡即可判斷B,確定線段PM取

最小值的條件即可判斷C,確定a、c的值即可求出離心率從而判斷D.

【解答】

解：該橢圓中a=4,b=2V5,c=2,所以離心率為

當線段PM垂直于x軸時，其長度存在最小值型=6,

a

設M（xi，y］），P（x2ly2'）,Q（-x2,-y2）,

則在PM、QM斜率都存在的前提下有的/=三?，

22

干星"K_a-為）仇+，2）_yi-y

r?efcpM'叱~（巧』）（巧+犯）一不甘2

12-

孥_3為定值,

4

當k=亨時，直線”等光與橢圓各*=1交于點（3,亨）和卜3,—苧）,

不妨取點P為R亨），得直線PF方程為曠=亨（尤-2），求得交點M為嚓）,

則|PM|=京,|QM|=苧，|PQ|=后，此時zlPQM的周長為與+號Z+后，

當上=|時，PM垂直于x軸，此時|PM|=6,\QM\=4,|P（?|=2V13.

此時/PQM的周長為10+2V13.

顯然4PQM周長不為定值.

故選BCD.

12.【答案】ABC

【解析】

【分析】

本題考查由函數的奇偶性求函數的解析式，以及判斷方程的根的個數，以及函數零點的問題，涉

及函數單調性，屬于較難題.

根據函數是奇函數，寫出其解析式，畫出該函數的圖象，再結合選項，數形結合解決問題.

【解答】

解：因為該函數是奇函數，故/Q）在R上的解析式為：

2x+l,x<-2,

—/—2x—2,-24x<0,

x

f（y=i0-=0-

八町Tx2-2%+2,0<x<2,

繪制該函數的圖象如圖所示:

Ay

3-

對兒如圖，直線％與該函數有7個交點，故A正確;

對B：當/<X2<—2時，函數是減函數，有了。1)>/(犯)，故8正確:

對C：當0<xSa時，/(x)的最小值為1,令y=l,則x=1或3,

則lWaW3,故C正確；

對D：當八%)=|時，計算可得三個根的和為爭

若使得其與/(x)=加的所有零點之和為0,

分兩種情況，當/(￡)=771有3個根時，易知m=-|符合題意;

23

當/(x)=ni有且僅有1個根時，加=存石=一￡

則m=—|或巾=一|,故。錯誤.

故選ABC.

13.【答案】6

【解析】

【分析】

本題考查了二項式展開式的通項公式，屬于基礎題.

根據二項式通項公式和展開式的第5項為常數項建立方程即可得解.

【解答】

解：二項式弓+號)"展開式的通項公式為7；+i=G23i.產汽

4y/X

由展開式中，第5項為常數項，則耳注=0,即n=6.

14.【答案】x=3或3x+4y—l=0

【解析】

【分析】

本題考查了求圓的切線方程，屬于中檔題.

分斜率存在與否兩種情況進行討論，結合點到直線距離公式即可得解.

【解答】

解：將圓C方程化為圓的標準方程0-I)2+(y—2>=4,得圓心C(l,2),

當過點P(3,-2)的直線斜率不存在時，直線方程為x=3是圓C的切線，滿足題意;

當過點P(3,-2)的直線斜率存在時，可設直線方程為y+2=k(x-3),

I2k+4|?,

利用圓心到直線的距離等于半徑得~n==2,解得上=_3

&+14

即此直線方程為3x+4y-1=0,

故答案為：x=3或3x4-4y-1=0.

15.【答案】一強

6

【解析】

【分析】

本題考查導數的幾何意義，屬于容易題.

求導得切線斜率，根據切線垂直的斜率關系建立方程即可得解.

【解答】

解：y'=(x2-1)'=2x,則曲線y=/_i在X=沏處的切線斜率為七=月1。=2跖

32

/=(1+x),=3x,則曲線y=1+/在》=X。處的切線斜率為七=y'\x=x0=3與2,

則根據題意有七七=—1>

即6x()3——1,

得&=一.

16.【答案】V7

【解析】

【分析】

本題主要考查雙曲線的簡單幾何性質，屬中檔題.

利用雙曲線的定義結合向量知識建立關于a、c的方程即可求出離心率.

【解答】

解：如圖,

77

由^^=3^^可知/'=33MP=PN=t,MF2=t+2a,NF2=3t—2a,

由麗?麗=0可知PF?_LFN,從而MF?=NF2,

所以t=2a,/MNF2為正三角形，

在直角4FPF2中，(4Q)2+(2V5a)2=(2C)2,

所以e=y/7.

17.【答案】解：⑴由V5qsinB=bcosA+b,sinB=0,得怖=魯由正弦定理得'=511g

所以簧從而cosA+1=V^sin",即2sin(4—^)=1,

T7兀,A7Tj57rm.in_n

又一不〈4_不〈豆，則A

所以/=/

(2)解法一：由=遍知b—1=V6cosC=2b-2=2V6cosC=2b—c=V6c-cosC,

所以2sinB—sinC=V6sinC?cosC,而由(1)可得B=與—C,

所以2sin§-C)-sinC=V^sinC?cosC,cosCH0,解得sinC=苧;

解法二：由正弦定理得三二名，所以力=呻，代入得呻—i=V^osC,即2sin8—sinC

sinesinBsinesine

V6sinC-cosC?而B=y--C,

所以2sin(名—C)—sinC=V6sinC-cosC,cosCH0,解得sinC=—.

32

【解析】本題考查了利用正弦定理、兩角和與差的正弦公式，屬中檔題.

(1)利用正弦定理進行變形，逆用兩角和與差的正弦公式從而得解；

(2)兩種解法都是先利用正弦定理進行變形，再由兩角差的正弦公式展開即可得解.

18.【答案】解：(1)證明：已知矩形4BC。，沿BM,CM將和團DCM翻折，使點4。重合,

記為點P.

P

可得8P=AB=1,CD=CP=1.取8c的中點Q

BP=CP=1,BM=CM

???BC1MQ,???BC1PQ

：.MQu平面PMQ,PQu平^PMQ,MQCPQ=Q

BC_L平面PMQ

vPMu平面PMQ

???BC1PM

(2)vBP=CP=1,BC=AD=y/2

???PB2+PC2=BC2

：.PB1PC

???ABCD為矩形

PB1PM

■■■PMnPC=P,PMu平面PMC,PCu平面PMC

：.PB1.平解MC,：.PC是BC在平面PMC內的射影，

.為直線BC與平面PMC所成角，sinzBCP=y.

【解析】本題考查直線與直線垂直的證明，求線面角等知識，屬中檔題.

(1)先利用線面垂直判定定理證得BC1平面PMQ,再由線面垂直性質得證;

(2)先利用線面垂直判定定理證得/〃一，！得直線與平面所成角從而得解.

19.【答案】解：(1)設事件4為“從甲盒中取出i個紅球”，事件身為“從乙盒中取出/個紅球”，

r-2-i6/「2-j

則p(4)==0,1)，m)=￡2^-0=0,1,2).

記x為取出的4個球中紅球的個數，

則「@=0)=「(40%)=3塔4

P(x=1)=PCMJ+P(&B。)=3.譬+§卷=高

P(x=2)=PQW+PQ4/1)喑信+3.警號，

P(X=3)=P(^B2)=|.|=-L,

由題意得《的分布列為

5折7折8折9折

1137

P

3051015

mf)=5x^+7xl+8xA+9xZ=^

(2)由⑴可知，獲得7折及以下資格的概率為京+!=白

DUOOv

由題意得廣8(3,分則PS=2)=廢扁Ad=薪

【解析】本題主要考查了離散型隨機變量的分布列與期望、二項分布等知識，涉及古典概型、相

互獨立事件的概率乘法公式，屬中檔題.

(1)根據古典概型和相互獨立事件的概率乘法公式可求得分布列進而求出離散型隨機變量的期望;

(2)根據隨機變量〃服從二項分布，利用公式即可得解.

20.【答案】解：⑴由(?1+1)即+2nan+i=0并根據題意可知an。0,

則￡n±l=_^±1

人」an2n

當n>2且nGN*時,

由累乘法得言=(一炭)(一盥)(一裝|)…(-2x(：-l))=(T)'T券，

又的=-1,則冊=(-1)…聲X(J)=(-1)噂，

當71=1時，Qi=-g也符合上式，

綜上可知，Qn=(-1)"菽九6N*.

(2)bn+]=/c?bn+Qn=/c?bn+(-l)噂，因為岡41,所以|%+]|三人時|+卜1尸并工

\bn\+￡，即1%+11-Wnl《會，

當n》2且neN*時,由累加法得|%|一|34+最+…+舒，

設%=1+^+-+^TT>則2Sn=1+|+\+…+^2,

]__L_

gcI'?.1.1.,1n—12“一1"—1n+1

所以Srn=1+?+/+…+-一~^n=A~2o-^T'

又名=1,則一四|SSn=2一肅n|bnlS3一封，

當n=1時，尻=1上述不等式也成立，

因此，當網W1時，|%lW3-霜對n€N*恒成立.

【解析】本題考查了求數列的通項公式、數列與不等式的問題、數列求和問題，屬較難題.

(1)利用累乘法即可得解；

(2)利用不等式的基本性質進行放縮，再由累加法和錯位相減求和法即可得證.

21.【答案】解：⑴證明：設P(xp,yp),C(xc,yc),D(xD,yD'),

則由定=3而，~PD=3萬，

可得4(絲弁，鋁左)，B("把，然在).

(yc=4xc

由點4c都在拋物線上可得4c+2yp)2_,xc+2xp，

(9=43-

化簡可得尤-2yPyc+12xP-2y1=0,

同理可得弁-2ypy0+12xP-2y1=0,

故yc，為)可視為二次方程外一2ypy+12xP-2據=0的兩根，

由韋達定理可得先+%)=2yp,故=力切=由此可得PM垂直于y軸.

(2)由(1)可得yc+y°=2yp,yc-yD=12xP-2y^；由正=3方，而=3而知隊鉆=制”“

11xc+xD