八年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽培優(yōu)及答案 23 面積的計(jì)算

專題23面積的計(jì)算

閱讀后思考

計(jì)算圖形的面積是幾何問題中一種重要題型，計(jì)算圖形的面積必須掌握如下與面積有關(guān)的重要知識(shí)：

1.常見圖形的面積公式；

2,等積定理：等底等高的兩個(gè)三角形面積相等；

3.等比定理：

（1）同底（或等底）的兩個(gè)三角形面積之比等于等于對(duì)應(yīng)高之比；同高（或等高）的兩個(gè)三角形面積

之比等于等于對(duì)應(yīng)底之比.

（2）相似三角形的面積之比等于對(duì)應(yīng)線段之比的平方.

熟悉下列基本圖形、基本結(jié)論：

例題與求解

【例1】如圖，AABC內(nèi)三個(gè)三角形的面積分別為5,8,10,四邊形AEF。的面積為x,則X=.

（黃岡市競(jìng)賽試題）

解題思路：圖中有多對(duì)小三角形共高，所以可將面積比轉(zhuǎn)化為線段之比作為解題突破口.

例1圖

【例2】如圖，在△ABC中，己知BO和CE分別是兩邊上的中線，并且BOJ_CE,BD=4,CE=6,

那么AABC的面積等于（）（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽）

A.12B.14C.16D.18

解題思路：由中點(diǎn)想到三角形中位線，這樣△A8C與四邊形BCDE面積存在一定的關(guān)系.

C

例2圖

【例3】如圖，依次延長(zhǎng)四邊形A8CD的邊AB,BC,CD,DA至E,F,G,H,使第=募=弟=等

/\D￡>CC￡7DA

=m,右S叫邊心EFG“=2SWia?ABCD)求m的值.

解題思路：添加輔助線將四邊形分割成三角形，充分找出圖形面積比與線段比之間的關(guān)系，建立關(guān)于

加的方程.

例3圖

【例4】如圖，P,。是矩形ABC。的邊BC和CD延長(zhǎng)線上的兩點(diǎn)，%與CQ相交于點(diǎn)E,且/以。

-Z.QAD,求證：SSygABCD=5AAP2.

解題思路：圖形含全等三角形、相似三角形，能得到相等的線段、等積式，將它們與相應(yīng)圖形聯(lián)系起

來，促使問題的轉(zhuǎn)化.

【例5】如圖，在RQA8C中，ZA=90°,AB=8,AC=6,若動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)B出發(fā)，沿線段區(qū)4運(yùn)動(dòng)

到點(diǎn)4為止，移動(dòng)速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度.過點(diǎn)力作￡>E〃8c交4c于點(diǎn)E,設(shè)動(dòng)點(diǎn)￡>運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為X

秒，AE的長(zhǎng)為y.

(1)求出y關(guān)于龍的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量X的取值范圍；

(2)當(dāng)尤為何值時(shí)，△BDE的面積S有最大值，最大值為多少？(江西省中考試題)

解題思路：對(duì)于(1)利用△ADEs可得與x的關(guān)系式；對(duì)于(2)先寫出S關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式，

再求最大值.

C

例5圖

【例6】如圖，設(shè)P為△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，直線AP,BP,CP交BC,CA,AB于點(diǎn)。，E,F.

求證：⑴令+隹+隹i

磷+卷+*2

解題思路：過點(diǎn)A,P分別作8C的垂線，這樣既可得到平行線，產(chǎn)生比例線段，又可以與面積聯(lián)系

起來，把翳轉(zhuǎn)化為面積比，利用面積法證明.

例6圖

能力訓(xùn)練

A級(jí)

2

1.如圖，A8CQ中，AE：BE=\：2,5a4Ef=6cm,則右處的值為.（濟(jì)南市中考試題）

2.如圖，正六邊形ABCQEF的邊長(zhǎng)為2小cm,P為正六邊形內(nèi)任一點(diǎn)，則點(diǎn)P到各邊距離之和為

3.如圖，P是邊長(zhǎng)為8的正方形ABCD外一點(diǎn)，PB=PC,△PBD的面積等于48,則4PBC的面積

為.（北京市競(jìng)賽試題）

4.如圖，已知△BOF,△AOF,△BOD,△COE的面積分別為30,40,35,84,則4ABC的面積為.

（浙江省競(jìng)賽試題）

5.如圖，已知4。是RSABC斜邊BC上的高，DE是放△AOC斜邊上的高，如果。C：AO=1：2,S^DCE

="，那么叉ABC等于（）（金華市中考試題）

A.4aB.9aC.16aD.25a

M

第6題圖

6.如圖，已知M是A2C。邊AB的中點(diǎn)，CM交BD于點(diǎn)E,則圖中陰影部分面積與ABC。的面

積之比為（）（山西省中考試題）

A-6B-4C-3D-12

2￡

7.如圖，在448<7中，?！辍?0。￡分別交48,4（7于點(diǎn)￡>,￡若叉皿?=254℃￡，則2等于（）

*>△ABC

（浙江省寧波市中考試題）

A.（B.C.1D.《

8.如圖，aABC是邊長(zhǎng)為6cm的等邊三角形，被一平行于5c的矩形所截，A8被截成三等分，則

圖中陰影部分面積面積為（）cn?.（廣東省競(jìng)賽試題）

A.4B.2小C.3小D.4小

9.如圖，平面上有兩個(gè)邊長(zhǎng)相等的正方形A8CD和A5CO,且正方形AECO的頂點(diǎn)4在正方形

ABCD的中心，當(dāng)正方形AB977繞4轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，兩個(gè)正方形重合部分的面積必然是一個(gè)定值.這個(gè)結(jié)論

對(duì)嗎？證明你的判斷.（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）

10.如圖，設(shè)凸四邊形48CD的一組對(duì)邊A8,CD的中點(diǎn)分別為K,M求證：5四邊柩ABCD=SAA&W+SADCK

A

K，M

第10題圖

11.如圖1,AB,CO是兩條線段，M是AB的中點(diǎn)，SXDMC，SAOAC，SAOBC分別表示△。仞C，△DAC,

△力BC的面積，當(dāng)48〃CO時(shí)，有SAM的。臂Sw......①.

(1)如圖2,若圖1中AB與8不平行時(shí)，①式是否成立？請(qǐng)說明理由.

(2)如圖3,若圖1中AB與CD相交于點(diǎn)。H寸，問SADMC與SA〃C和有何相等關(guān)系？試證明

你的結(jié)論.(安徽省中考試題)

12.如圖，在AABC中，ZACB=90°,乙48c=30。，將△ABC繞頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為0(0。

<0<180°),得到△A'B'C'.

(1)如圖1,當(dāng)4B〃CBH寸，設(shè)與CB相交于點(diǎn)。，證明：AAC。是等邊三角形；

(2)如圖2,連接42,85,設(shè)△AC4,和△BC5,的面積分別為叉AS和顯^由求證:S-c#:S.BCB=1:3.

(3)如圖3,設(shè)4c的中點(diǎn)為E,A0的中點(diǎn)為P,AC=a,連接EP,當(dāng)0=時(shí)，EP長(zhǎng)度最大，

最大值是.(安徽省中考試題)

B'

B'

圖1圖2B'圖3

B級(jí)

I.如圖，4在線段8G上，ABC。和。EFG都是正方形，面積分別為7cm?和1len?,則△€1￡）￡：的面

積等于.cm2.（武漢市競(jìng)賽試題）

2.如圖，P為正方形ABC。內(nèi)一點(diǎn)，E4=P8=10,并且P到CO邊的距離也等于10,那么正方形

ABCD的面積是（北京市競(jìng)賽試題）

DFCE

3.如圖，四邊形ABC。中，點(diǎn)E,尸分別在3C,QC上，萬=1，詼=2,若△A力尸的面積為“，四

rC

邊形AECF的面積為〃則四邊形ABCD的面積為（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

A

第1題圖第2題圖第3題圖第4題圖

13

4.如圖,圖形A8CZ）中，AB〃C￡>,AC和8。相交于點(diǎn)O,若AC=5,BD=12,中位線長(zhǎng)為了，△AOB

的面積為$,△OCD的面積為S2，則病+低=（山東省競(jìng)賽試題）

5.如圖,分別延長(zhǎng)△ABC的三邊A8,BC,CA至4,B',C,使得4V=3A8,BB'=3BC,CC'=3AC,

=則於等于（

若5AABC1，).

A.18B.19C.24D.27

（山東省競(jìng)賽試題）

6.如圖，若ABC。是2x2的正方形,E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是3c的中點(diǎn)，AF與QE相交于點(diǎn)/,8。和AF

相交于點(diǎn)4,那么四邊形的面積是（)

127D

A.3B.C.-卷

515

（江蘇省競(jìng)賽試題）

第5題圖第6題圖第7題圖

矩形A8CD中，E是5c上的一點(diǎn)，F(xiàn)是CZ）上的點(diǎn)，已知治ABE=SAA￡>F=1SA8c少則尹空

7.如圖,

°、4CEF

的值等于（)（北京市競(jìng)賽試題）

A.2B.3C.4D.5

8.(1)探究：如圖1,在ABCO的形外分別作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形AOE,ZFAB

=ZEAD=90°,連接AC,EF.在圖中找一個(gè)與△ME全等的三角形，并加以證明.

(2)應(yīng)用：以ABCD的四條邊為邊，在其形外分別作正方形，如圖2,連接EF,GH,IJ,KL,若

ABCO的面積為5,則圖中陰影部分四個(gè)三角形的面積之和為.(長(zhǎng)春市中考試題)

圖1圖2

9.如圖，在梯形ABCO中，AD//BC,AB=AD=DC=2cm,BC=4cm,在等腰小月。??中，NQPR=

120°,底邊QR=6cm,點(diǎn)B,C,Q,R在同一條直線/上，且C,。兩點(diǎn)重合，如果等腰△PQR以lcm/s

的速度沿直線/箭頭所示方向勻速運(yùn)動(dòng)，f秒時(shí)梯形ABC。與等腰△PQR重合部分的面積記為Sen?.

(1)當(dāng)f=4時(shí)，求S的值；

(2)當(dāng)4VE10時(shí)，求S與，的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值.(廣州市中考試題)

10.有一根直尺的短邊長(zhǎng)為2cm,長(zhǎng)邊長(zhǎng)為10cm,還有一塊銳角為45°的直角三角紙板，它的斜邊

長(zhǎng)為12cm,如圖1將直尺的短邊DE放置與直角三角紙板的斜邊AB重合，且點(diǎn)D與點(diǎn)A重合將直尺沿

AB方向平移，如圖2,設(shè)平移的長(zhǎng)為xcm(0<x(10),直尺與三角形紙板重疊部分(圖中陰影部分)的

面積Sen?.

(I)當(dāng)x=0時(shí)，S=,當(dāng)x=10時(shí)，S=；

(2)當(dāng)0<x<4時(shí)，求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

(3)當(dāng)4Vx<10時(shí)，求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值.(徐州市中考試題)

圖1圖2

11.如圖，設(shè)H是等腰三角形ABC的三邊上的高線的交點(diǎn)，在底邊8c保持不變的情況下，讓頂點(diǎn)A

至底邊8c的距離變小(仍保持三角形為等腰三角形)，這時(shí)S。8c。皿。的值變大、變小、還是不變?證

明你的結(jié)論.(全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

第11題圖

12.(1)請(qǐng)你在圖1中作一條直線，使它將矩形ABC。分成面積相等的兩部分；

(2)如圖2,點(diǎn)M是矩形ABC。內(nèi)一定點(diǎn)，請(qǐng)你在圖2中過點(diǎn)M作一條直線，使它將矩形ABC。分成

面枳相等的兩部分；

(3)如圖3,在平面直角坐標(biāo)系中，直角梯形08C。是某市將要籌建的高新技術(shù)開發(fā)區(qū)用地示意圖，

其中力C〃。&0B=6,BC=4,CD=4.開發(fā)區(qū)綜合服務(wù)管理委員會(huì)(其占地面積不計(jì))設(shè)在點(diǎn)P(4,2)處.為

了方便駐區(qū)單位，準(zhǔn)備過點(diǎn)尸修一條筆直的道路(路的寬不計(jì))，并且使這條路所在的直線/將直角梯形

08CD分成面積相等的兩部分.你認(rèn)為直線/是否存在?若存在，求出直線/的表達(dá)式；若不存在，請(qǐng)說明

理由.(陜西省中考試題)

專題23面積的計(jì)算

例1.22提示：連接AF.

例2.選C提示：連接OE.

J3-1

例3.---------提示：連接G4,HB,EC,FD,AC,BD,則

2

S

AHAE=(^+DSAHM=(機(jī)+1)?mS^D,同理S&CG=機(jī)(〃？+DS^BCD，

故^/\HAE+S&CG=+1)*^ABCD,同理=+,

例4.提示：過E作E/〃8c交A8于R△AEF/■也△ADQ,XAAED^APEC,

,ADDEm

則n——=——，積ADCE=PCDE.

PCCE

3

例5.提示：(1)y=——x+6(0<x<4)

2

33

(2)S=—耳廠+6x=——(x—2)-+6,當(dāng)x=2時(shí)，S段大值二6.

例6.(1)如圖，分別過P,A作3c的垂線，垂足為4，A1.

貝Is△必c=QB。0"=空=a

SfcIfiCA4jMAD

同理四=心里，竺=聞也，

BESgBcCFSMBC

故PD+PE+PF_S^BPC+S4%8_]

A￡>BECFS"j?c

PBPCcPDPEPF、-

m/、_P___D_____L_________L_______—a_(_________i__________L._______\—7

\L)----------------r-------十V十---------------r)一乙

ADBECFADBECF

4級(jí)

1.54cm2.18cM3.324.3155.C

6.C7.D8.C

9.提示：當(dāng)正方形ABC。與正方形4￡。。，的對(duì)應(yīng)邊平行時(shí)，兩者重合部分面積為正方形面積的工；轉(zhuǎn)

4

動(dòng)后，兩者重合面積仍為定值.

10.提示：過A、K、8分別作CQ的垂線.

11.(1)結(jié)論仍然成立，證明略.

(2)S&DMC

AC21

,,S03a

12.(1)略(2)△AC4^ABCB9V=_=_(3)120°,一

SABCBBC32

B級(jí)

G3〃1

1.V72.2563.一+-m

22

4.V30提示：SKltiABCD-{y[si+-Js^y

5.B6.C7.D8.(1)略⑵10

9.提示：(1)當(dāng)f=4時(shí)，。與B重合，P與。重合,如圖。，重合部分是△BDC,

SABOC=—X2X2-73=2\f3.

2

(2)①當(dāng)仁也6時(shí)，如圖從BQ=t~4,CR=6—4,

由△PQRsABQMs△CRN,

得§的_（駕2_e二）2SABQM_（一2）2―（占）

s.%）（24）’5崢5）（2/

-瓜-5)2+56

??S=SHPQR—SHBQLSHCRN'

2

當(dāng)f=5時(shí)，S最大值=*后.

2

②當(dāng)6<正10時(shí)，如圖c,BR=10~t,BKLRK,且ZKRB=30。，所以8K=38/?=；(10—力，KR=^(10

-t),S=-BKKR=—(10-t)1.

28

當(dāng)f=6時(shí)，S做大他=2石.

綜合①②，當(dāng)t=5時(shí)，S員大值=—V3.

2

圖a圖c

10.提示：(1)5=2cm2；S=2cm2.

(2)當(dāng)0<爛4時(shí)，如圖a,DG=AD=x,AE=EF=x+2,

。(EF+DG)xDE、-2

S=--------------------=2x+2cm.

2

(3)當(dāng)4Vx<10時(shí)，應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論：