點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)、體積不變條件資料

河南科技大學(xué)材料學(xué)院第三章金屬塑性變形的力學(xué)基礎(chǔ)

應(yīng)變分析位移：變形體內(nèi)任一點(diǎn)變形前后的直線距離位移分量：在坐標(biāo)系中，一點(diǎn)的位移矢量在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影稱為該點(diǎn)的位移分量。用u，v，w或ui表示。位移場(chǎng)：變形體內(nèi)不同點(diǎn)的位移分量不同。根據(jù)連續(xù)性基本假設(shè)，位移分量應(yīng)是坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)，而且一般都有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)?；蛭灰萍捌浞至考丛O(shè)M(x,y,z)M1

(x+u,y+v,z+w)位移分量：

M'(x+dx,y+dy,z+dz)M1'

(x+dx+u+△u,y+dy+v+△v,z+dz+w+△w)位移分量：將ui'按泰勒數(shù)展開

M'點(diǎn)相對(duì)于M點(diǎn)的位移增量變形體內(nèi)無(wú)限接近兩點(diǎn)的位移分量間的關(guān)系若無(wú)限接近的兩點(diǎn)的連線MM'平行于某一坐標(biāo)軸，例如MM'∥x軸，則若已知變形物體內(nèi)一點(diǎn)M的位移分量，則與其無(wú)限鄰近點(diǎn)M′的位移分量可以用M點(diǎn)的位移分量及其增量來(lái)表示。位移及其分量名義應(yīng)變及其分量設(shè)單元體PABC→P1A1B1C1PB:r

→r1=r+△r線變形(△r)：?jiǎn)卧w棱邊的伸長(zhǎng)或縮短線應(yīng)變（正應(yīng)變—ε）：?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度上的線變形棱邊PB的線應(yīng)變：應(yīng)變及其分量單元體在xy面內(nèi)發(fā)生變形，相對(duì)切應(yīng)變（工程切應(yīng)變）：?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度上偏移量或兩棱邊所夾直角的變化量。同理有：φyz,φzx顯然：應(yīng)變及其分量棱邊PA在x方向的線應(yīng)變：同理：應(yīng)變及其分量φyx也可以看成PA、PC同時(shí)向內(nèi)偏轉(zhuǎn)引起的。切應(yīng)變：角標(biāo)的意義：第一個(gè)角標(biāo)表示線元（棱邊）的方向，第二個(gè)角標(biāo)表示線元的偏轉(zhuǎn)方向。如γxy表示x方向的線元向y方向偏轉(zhuǎn)的角度。變形單元體有三個(gè)線應(yīng)變和三組切應(yīng)變。統(tǒng)稱為應(yīng)變分量。應(yīng)變及其分量繞z軸的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)角，研究應(yīng)變時(shí)，應(yīng)將剛體轉(zhuǎn)動(dòng)去掉。過(guò)一點(diǎn)三個(gè)互相垂直方向上有9個(gè)應(yīng)變分量所以只有六個(gè)獨(dú)立的應(yīng)變分量應(yīng)變及其分量因?yàn)閷?duì)數(shù)應(yīng)變相對(duì)線應(yīng)變變形體由l0→ln可看作是經(jīng)無(wú)窮多個(gè)中間數(shù)值逐漸變成。應(yīng)用微分的概念——自然應(yīng)變（對(duì)數(shù)應(yīng)變），反映了物體變形的實(shí)際情況，也稱真實(shí)應(yīng)變。定義：塑性變形過(guò)程中，在應(yīng)變主軸方向保持不變的情況下應(yīng)變?cè)隽康目偤徒袑?duì)數(shù)應(yīng)變。應(yīng)變及其分量只能用于小變形分析，在大變形中不能反映實(shí)際情況。1.表示變形的真實(shí)情況；2.具有可加性：總應(yīng)變?yōu)楦麟A段應(yīng)變之和。eg拉伸拉伸拉伸顯然對(duì)數(shù)應(yīng)變3.具有可比性：拉伸后再壓縮至原長(zhǎng)，對(duì)數(shù)應(yīng)變相等，僅差一符號(hào)。eg.拉伸壓縮和對(duì)數(shù)應(yīng)變的特點(diǎn)任意方向上的應(yīng)變?cè)O(shè)任意點(diǎn)a(x,y,z)的應(yīng)變分量：設(shè)線元ab=rr在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影：dx,dy,dz方向余弦：長(zhǎng)度：a)線應(yīng)變點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)與應(yīng)變張量變形后ab移至a1b1

r1在三個(gè)軸上的投影：dx+△u,dy+△v,dz+△w略去δr,δu,δv,δw的平方項(xiàng)兩邊同除以r2點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)與應(yīng)變張量(3-43)式比較：點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)與應(yīng)變張量b)切應(yīng)變(線元變形后的偏轉(zhuǎn)角）設(shè)r=1,引NM⊥a1b1在ΔNMb1中，有由于故于是：如果沒有剛體轉(zhuǎn)動(dòng)，則求得的

，就是切應(yīng)變點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)與應(yīng)變張量如果有剛體轉(zhuǎn)動(dòng)，純剪切變形引起的位移增量剛性轉(zhuǎn)動(dòng)引起的位移增量去除剛性轉(zhuǎn)動(dòng)所以比較結(jié)論：若一點(diǎn)互相垂直的三個(gè)方向上的應(yīng)變分量已知，則該點(diǎn)任意方向應(yīng)變可求。點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)與應(yīng)變張量

一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)可以用過(guò)該點(diǎn)三個(gè)互相正交方向上的九個(gè)應(yīng)變分量來(lái)表示。與應(yīng)力狀態(tài)相似，當(dāng)坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)后在新的坐標(biāo)系中的九個(gè)應(yīng)變分量與原坐標(biāo)系中的九個(gè)應(yīng)變分量之間的關(guān)系也符合學(xué)數(shù)上張量之定義，即εij為二階對(duì)稱張量。點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)與應(yīng)變張量應(yīng)變張量設(shè)單元體初始邊長(zhǎng)為dx,dy,dz變形前的體積變形后邊長(zhǎng)變形后的體積展開，略去高階微量體積變化率在彈性變形中，θ可正可負(fù)，在塑性變形中，認(rèn)為體積不變?chǔ)葹榱恪ｓw積不變條件為對(duì)數(shù)應(yīng)變表示的體積不變條件塑性變形時(shí)，三個(gè)線應(yīng)變分量不可能全部同號(hào)，絕對(duì)值最大的應(yīng)變分量永遠(yuǎn)和另外兩個(gè)應(yīng)變分量的符號(hào)