高考數(shù)學(xué) 7.7 立體幾何中的向量方法(一)-證明空間中的位置關(guān)系練習(xí)試題

課時(shí)提升作業(yè)(四十六)立體幾何中的向量方法(一)——證明空間中的位置關(guān)系(25分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.(2015·天津模擬)若直線l的方向向量為a=(1,0,2),平面α的法向量為n=(-2,0,-4),則()A.l∥αB.l⊥αC.l?αD.l與α相交【解析】選B.因?yàn)閚=-2a,所以a∥n,即直線l的方向向量與平面的法向量共線,這說(shuō)明了直線與平面垂直.【誤區(qū)警示】本題易由a∥n,誤以為l∥α,而誤選A.2.設(shè)平面α的法向量為(1,2,-2),平面β的法向量為(-2,-4,k),若α∥β,則k等于()A.2 B.-4 C.4 D.-2【解題提示】α∥β等價(jià)于其法向量平行.【解析】選C.因?yàn)棣痢桅?所以1-2=2-4=【加固訓(xùn)練】若平面α,β垂直,則下面可以是這兩個(gè)平面的法向量的是()A.n1=(1,2,1),n2=(-3,1,1)B.n1=(1,1,2),n2=(-2,1,1)C.n1=(1,1,1),n2=(-1,2,1)D.n1=(1,2,1),n2=(0,-2,-2)【解析】選A.因?yàn)棣痢挺?所以n1⊥n2,即n1·n2=0,經(jīng)驗(yàn)證可知,選項(xiàng)A正確.3.(2015·錦州模擬)直線l的方向向量s=(-1,1,1),平面α的法向量為n=(2,x2+x,-x),若直線l∥平面α,則x的值為()A.-2 B.-2 C.2 D.±2【解析】選D.由已知得s·n=0,故-1×2+1×(x2+x)+1×(-x)=0,解得x=±2.4.(2015·珠海模擬)如圖所示,正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別在A1D,AC上,且A1E=23A1D,AF=1A.EF至多與A1D,AC之一垂直B.EF⊥A1D,EF⊥ACC.EF與BD1相交D.EF與BD1異面【解題提示】建立空間直角坐標(biāo)系,用向量法求解.【解析】選B.以D點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),以DA,DC,DD1所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1,則A1(1,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),E13,0,1B(1,1,0),D1(0,0,1),A1D→=(-1,0,-1),AC→BD1→=(-1,-1,1),EF→=-13BD1從而EF∥BD1,EF⊥A1D,EF⊥AC.故選B.5.如圖,正方形ABCD與矩形ACEF所在平面互相垂直,以CD,CB,CE所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,AB=2,AF=1,M在EF上,且AM∥平面BDE,則M點(diǎn)的坐標(biāo)為()A.(1,1,1) B.2C.22,22,1【解析】選C.由已知得A(2,2,0),B(0,2,0),D(2,0,0),E(0,0,1),設(shè)M(x,x,1).則AM→=(x-2,x-2,1),BD→=(2,-2,0),BE→=(0,-則QUOTEn⊥BD→,n⊥BE→解得a=b,c=2b,令b=1,則又AM∥平面BDE,所以n·AM即2(x-2)+2=0,得x=22,所以M2二、填空題(每小題5分,共15分)6.已知平面α和平面β的法向量分別為a=(1,1,2),b=(x,-2,3),且α⊥β,則x=.【解析】由α⊥β,得a⊥b.所以a·b=x-2+6=0,解得x=-4.答案:-47.(2015·蘭州模擬)已知平面α內(nèi)的三點(diǎn)A(0,0,1),B(0,1,0),C(1,0,0),平面β的一個(gè)法向量n=(-1,-1,-1).則不重合的兩個(gè)平面α與β的位置關(guān)系是.【解析】由已知得,AB→=(0,1,-1),AC→=(1,0,-1),設(shè)平面則QUOTEm⊥AB→,m⊥AC→得x=z,又n=(-1,-1,-1),所以m=-n,即m∥n,所以α∥β.答案:平行【方法技巧】平面的法向量的求法1.設(shè)出平面的一個(gè)法向量n=(x,y,z),利用其與該平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量垂直,即數(shù)量積為0,列出方程組,兩個(gè)方程,三個(gè)未知數(shù),此時(shí)給其中一個(gè)變量恰當(dāng)賦值,求出該方程組的一個(gè)非零解,即得到這個(gè)法向量的坐標(biāo).2.注意,賦值不同得到法向量的坐標(biāo)也不同,法向量的坐標(biāo)不唯一.8.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,E,F分別是棱BC,DD1上的點(diǎn),如果B1E⊥平面ABF,則CE與DF的和為.【解析】以D1A1,D1C1,D1D所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)CE=x,DF=y,則易知E(x,1,1),B1(1,1,0),所以B1E→=(x-1,0,1),又F(0,0,1-y),B(1,1,1),所以FB→只需FB→·B1E→答案:1三、解答題(每小題10分,共20分)9.(2015·四平模擬)如圖,在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分別為A1B1,B1C1,C1D1的中點(diǎn).(1)求證:AG∥平面BEF.(2)試在棱BB1上找一點(diǎn)M,使DM⊥平面BEF,并證明你的結(jié)論.【解析】(1)以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸和z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則A(1,0,0),B(1,1,0),E1,12,1,F因?yàn)镋F→=-12,而AG→=-1,12,1,所以故AG又因?yàn)锳G不在平面BEF內(nèi),所以AG∥平面BEF.(2)設(shè)M(1,1,m),則DM→=(1,1,由DM→·EF→=0,所以-12+m=0?m=1所以M為棱BB1的中點(diǎn)時(shí),DM⊥平面BEF.10.(2015·泰安模擬)如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,PC=2,在四邊形ABCD中,∠B=∠C=90°,AB=4,CD=1,點(diǎn)M在PB上,PB=4PM,PB與平面ABCD成30°的角.(1)求證:CM∥平面PAD.(2)求證:平面PAB⊥平面PAD.【證明】以C為坐標(biāo)原點(diǎn),CB所在直線為x軸,CD所在直線為y軸,CP所在直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)镻C⊥平面ABCD,所以∠PBC為PB與平面ABCD所成的角,所以∠PBC=30°.因?yàn)镻C=2.所以BC=23,PB=4.所以D(0,1,0),B(23,0,0),A(23,4,0),P(0,0,2),M32,0,32,所以DP→=(0,-1,2),DA(1)設(shè)n=(x,y,z)為平面PAD的一個(gè)法向量,則QUOTEDP→·n=0,DA→·n=0,即-令y=2,得n=(-3,2,1).因?yàn)閚·CM→=-3×32+2×0+1所以n⊥CM又CM?平面PAD,所以CM∥平面PAD.(2)取AP的中點(diǎn)E,并連接BE,則E(3,2,1),BE→=(-因?yàn)镻B=AB,所以BE⊥PA.又BE→·DA→=(-3,2,1)所以BE→⊥DA因?yàn)镻A∩DA=A,所以BE⊥平面PAD,又因?yàn)锽E?平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD.【加固訓(xùn)練】如圖,在多面體ABC-A1B1C1中,四邊形A1ABB1是正方形,AB=AC,BC=2AB,B1C112BC,二面角A1-AB-C是直二面角.求證:(1)A1B1⊥平面AA1C.(2)AB1∥平面A1C1C.【證明】因?yàn)槎娼茿1-AB-C是直二面角,四邊形A1ABB1為正方形,所以AA1⊥平面BAC.又因?yàn)锳B=AC,BC=2AB,所以∠CAB=90°,即CA⊥AB,所以AB,AC,AA1兩兩互相垂直.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AB=2,則A(0,0,0),B1(0,2,2),A1(0,0,2),C(2,0,0),C1(1,1,2).(1)A1B1→=(0,2,0),設(shè)平面AA1C的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),則QUOTEn·A1A→=0,n·AC→取y=1,則n=(0,1,0).所以A1B1→=2n,即A1B(2)易知AB1→A1設(shè)平面A1C1C即x1令x1=1,則y1=-1,z1=1,即m=(1,-1,1).所以AB1→·m=0×1+2×所以AB1→⊥m.又AB1?平面所以AB1∥平面A1C1C(20分鐘40分)1.(5分)平面α經(jīng)過(guò)三點(diǎn)A(-1,0,1),B(1,1,2),C(2,-1,0),則下列向量中與平面α的法向量不垂直的是()A.12,-1,-1 C.(4,2,2) D.(-1,1,4)【解析】選D.由已知得AB→=(2,1,1),設(shè)平面α的法向量為n=(x,y,z),則QUOTEn·AB→=0,n·AC→=0,令y=1,則n=(0,1,-1).經(jīng)驗(yàn)算,對(duì)于選項(xiàng)A,B,C所對(duì)應(yīng)的向量與法向量n的數(shù)量積均為零,而對(duì)于選項(xiàng)D,(-1)×0+1×1+(-1)×4=-3≠0,故選D.【一題多解】本題還可以采用如下方法:選D.對(duì)于選項(xiàng)A,因?yàn)?2,-1,-1=12(1,-2,-2)=12BC→,所以選項(xiàng)A所對(duì)應(yīng)的向量與平面2.(5分)(2015·太原模擬)如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,棱長(zhǎng)為a,M,N分別為A1B和AC上的點(diǎn),A1M=AN=2a3,則MN與平面BB1CA.斜交 B.平行C.垂直 D.不能確定【解析】選B.分別以C1B1,C1D1,C1C所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)锳1M=AN=23所以Ma,N23所以MN→=又C1(0,0,0),D1(0,a,0),所以C1所以MN→·C1D1因?yàn)镃1D1且MN?平面BB1C1C所以MN∥平面BB1C1C【加固訓(xùn)練】如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=3,AD=22,P為C1D1的中點(diǎn),M為BC的中點(diǎn).則AM與PM的位置關(guān)系為()A.平行 B.異面C.垂直 D.以上都不對(duì)【解析】選C.以D點(diǎn)為原點(diǎn),分別以DA,DC,DD1所在直線為x,y,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz,依題意,可得,D(0,0,0),P(0,1,3),C(0,2,0),A(22,0,0),M(2,2,0).所以PM→=(2,2,0)-(0,1,=(2,1,-3),AM→=(2,2,0)-(2=(-2,2,0),所以PM→·AM→=(2,1,-3)即PM→⊥AM3.(5分)(2015·成都模擬)空間中兩個(gè)有一條公共邊AD的正方形ABCD與ADEF,設(shè)M,N分別是BD,AE的中點(diǎn),給出如下命題:①AD⊥MN;②MN∥平面CDE;③MN∥CE;④MN,CE異面.則所有的正確命題為.【解題提示】選AB→,AD【解析】如圖,設(shè)AB→=a,AD→a·b=c·b=0.MN→=AN→-AM→=12(b+c)-12(a+b)=12(c-a),MN→·AD→=12(c-a)·b=12(c·b-a·b)=0,故AD⊥MN,故①正確;答案:①②③4.(12分)(2014·遼寧高考)如圖,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2,∠ABC=∠DBC=120°,E,F分別為AC,DC的中點(diǎn).(1)求證:EF⊥BC.(2)求二面角E-BF-C的正弦值.【解析】(1)如圖,以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn),在平面DBC內(nèi)過(guò)B作垂直BC的直線為x軸,BC所在的直線為y軸,在平面ABC內(nèi)過(guò)B作垂直BC的直線為z軸,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,則B0,0,0,A0,-1,3,D3從而E0,12所以EF→=32,0,-3因此EF→·BC→=所以EF→⊥BC(2)平面BFC的一個(gè)法向量為n1=0,0,1,設(shè)平面BEF的一個(gè)法向量為n2=x,y,z又BF→=32,1則由QUOTEn2·BF→=0,n2令z=1得x=1,y=-3,所以n2=1,-設(shè)二面角E-BF-C的大小為θ,則cosθ===15,所以sinθ=1-cos2θ=25,即所求二面角E-5.(13分)(能力挑戰(zhàn)題)已知一個(gè)三角形的簡(jiǎn)易遮陽(yáng)棚△ABC(如圖),AC=BC=5,AB=6,其中A,B是地面上南北方向的兩個(gè)定點(diǎn),正西方向射出的太陽(yáng)(用點(diǎn)O表示)光線OCD與地面成30°,△ABD為光照遮陽(yáng)棚產(chǎn)生的陰影.若點(diǎn)Q為AB的中點(diǎn).(1)求證:AB⊥QD.(2)試問(wèn):遮陽(yáng)棚△ABC與地面所成的角為多大時(shí),才能保證陰影△ABD的面積最大.(3)在(2)的條件下,在線段AC上是否存在一點(diǎn)M,使BM⊥平面ACD,若存在,求出λ=CM【解析】(1)因?yàn)锳C=BC且AQ=BQ,所以AB⊥CQ,又AB⊥CD,所以AB⊥平面CQD,因?yàn)镼D?平面CQD,所以AB⊥QD.(2)方法一:過(guò)點(diǎn)C作CH⊥QD于H,由AB⊥平面CQD得CH⊥AB,所以CH⊥平面ABD,即∠CDQ=30°,由正弦定理得CQsin30°=又CQ=4,得QD=8sin∠QCD.當(dāng)∠QCD=90°時(shí),QD取最大值為8,陰影△ABD的面積最大值為24,此時(shí)∠CQD=60°,依題意∠CQD=60°就是遮陽(yáng)棚△ABC與地面所成的角.方法二:過(guò)點(diǎn)C作CH⊥QD于H,由AB⊥平面CQD得CH⊥AB,所以CH⊥平面ABD即∠CDQ=30°,過(guò)點(diǎn)H作射線Hx平行BA作為x軸正半軸,射線HD,射線HC分別作為y軸正半軸、z軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)∠CQD=θ,依題意得Q(0,-4cosθ,0),D(0,43sinθ,0),即QD=43sinθ+4cosθ=8sin(θ+30°),當(dāng)∠CQD=θ=60°時(shí),QD取最大值為8,陰影△ABD的面積最大值為24,依題意∠CQD=60°就是遮陽(yáng)棚△ABC與地面所成的角.(3)方法一:由(2)知DC⊥CQ,又CD⊥AB,得DC⊥平面ABC,所以過(guò)點(diǎn)B在平面ABC內(nèi)作BM⊥AC,得到DC⊥BM,所以BM⊥平面ACD,所以△ABC中AB×QC=AC×BM?BM=245所以Rt△BMA中得到AM=185,所以CM=7所以λ=CMAM=方法二:過(guò)點(diǎn)H作射線Hx平行BA作為x軸正半軸,射線HD、射線HC分別作為y軸正半軸、z