高考數(shù)學(xué) 7.8 立體幾何中的向量方法(二)-求空間角和距離練習(xí)試題

課時(shí)提升作業(yè)(四十七)立體幾何中的向量方法(二)——求空間角和距離(25分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=1,E為CC1的中點(diǎn),則異面直線BC1與AE所成角的余弦值為()A.1010 B.3010 C.21510【解析】選B.建立空間直角坐標(biāo)系如圖.則A(1,0,0),E(0,2,1),B(1,2,0),C1(0,2,2).BC1→cos<BC1→,AE→所以異面直線BC1與AE所成角的余弦值為30102.(2015·寧波模擬)已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,則CD與平面BDC1所成角的正弦值等于()A.23 B.33 C.23 【解析】選A.以D為原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AB=1,則DB→=(1,1,0),DC設(shè)平面DBC1的法向量為n=(x,y,z),則QUOTEn·DB→=x+y=0,n·取z=1,則y=-2,x=2,所以n=(2,-2,1),所以sinθ=QUOTEcos<n,DC→>=QUOTEn·DC→nDC=-23×1=【一題多解】本題還可以采用如下方法解答.方法一:選A.設(shè)AB=1,則AA1=2.設(shè)AC∩BD=O,連接C1O,過C作CH⊥C1O于H,連接DH,顯然△C1DB是等腰三角形,所以C1O⊥BD,又C1C⊥BD,因?yàn)镃1O∩C1C=C1,所以BD⊥平面C1CO,CH?平面C1CO,所以BD⊥CH,而CH⊥C1O,BD∩C1O=O,所以CH⊥平面C1BD,所以∠CDH是CD與平面C1BD所成的角,在Rt△C1OC中,OC=22,C1C所以C1O=C1C2由C1C·OC=C1O·CH知CH=C1C·OCC1在Rt△CDH中,sin∠CDH=CHCD=方法二:選A.設(shè)點(diǎn)C到平面C1BD的距離為h,CD與平面C1BD所成的角為θ,由VC-C1BD=VC1-CBD知13S△所以h=23,所以sinθ=hCD=3.已知長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=4,CC1=2,則直線BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值為()A.32 B.C.105 D.【解題提示】以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,分別求出直線BC1的方向向量與平面DBB1D1的法向量,用空間向量的直線與平面所成角的夾角公式計(jì)算得解.【解析】選C.如圖建立空間直角坐標(biāo)系,則B(4,0,0),C(4,4,0),C1(4,4,2),顯然AC⊥平面BB1D1D,所以AC又BC所以cos<BC1→,AC→>=B即直線BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值為1054.(2015·廈門模擬)二面角的棱上有A,B兩點(diǎn),直線AC,BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi),且都垂直于AB.已知AB=4,AC=6,BD=8,CD=217,則該二面角的大小為()A.150° B.45° C.60° D.120°【解析】選C.由條件知CA→·AB→=0,因?yàn)镃D→=CA→+所以|CD→|2=|CA→|2+|AB→|2+|BD→|2+2CA→=62+42+82+2×6×8cos<CA→,=(217)2.所以cos<CA→,BD→>=-12,則<C即<AC→,BD→>=605.(2015·北京模擬)在四面體P-ABC中,PA,PB,PC兩兩垂直,設(shè)PA=PB=PC=a,則點(diǎn)P到平面ABC的距離為()A.63 B.33a C.a3 【解題提示】以P為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量法求解.【解析】選B.根據(jù)題意,可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Pxyz,則P(0,0,0),A(a,0,0),B(0,a,0),C(0,0,a).所以ABACPA設(shè)平面ABC的法向量為n=(x,y,z).由QUOTEn⊥AB→,n⊥AC→得y令x=1,所以n=(1,1,1),所以P到平面ABC的距離d==a3=33二、填空題(每小題5分,共15分)6.如圖,在直三棱柱中,∠ACB=90°,AC=BC=1,側(cè)棱AA1=2,M為A1B1的中點(diǎn),則AM與平面AA1C1C【解析】以C1為原點(diǎn),C1A1,C1B1,C1C所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則平面AA1C1C的法向量為n=(0,1,0),AM=12,12,0-(1,0,2)=-12,12,-2=110所以tanθ=13答案:17.已知點(diǎn)E,F分別在正方體ABCD-A1B1C1D1的棱BB1,CC1上,且B1E=2EB,CF=2FC1,則面AEF與面ABC所成的二面角的正切值為.【解析】如圖,建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz,設(shè)DA=1,由已知條件得A(1,0,0),E1,1,F0,1,AE→=AF→=設(shè)平面AEF的法向量為n=(x,y,z),面AEF與面ABC所成的二面角為θ,由圖知θ為銳角,由QUOTEn·AE→=0,n·AF→令y=1,z=-3,x=-1,則n=(-1,1,-3),平面ABC的法向量為m=(0,0,-1),cosθ=|cos<n,m>|=31111,tanθ=答案:238.(2015·石家莊模擬)如圖所示,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,E是A1B1上的點(diǎn),則點(diǎn)E到平面ABC1D1的距離是.【解析】以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線為x,y,z軸,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,設(shè)點(diǎn)E(1,a,1)(0≤a≤1),連接D1E,則D1連接A1D,易知A1D⊥平面ABC1D1,則DA1所以點(diǎn)E到平面ABC1D1的距離是d=|D1E答案:2三、解答題(每小題10分,共20分)9.(2014·湖南高考)如圖,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱長都相等,AC∩BD=O,A1C1∩B1D1=O1,四邊形ACC1A1和四邊形BDD1B1均為矩形.(1)證明:O1O⊥底面ABCD.(2)若∠CBA=60°,求二面角C1-OB1-D的余弦值.【解題提示】(1)利用矩形的鄰邊垂直,及線線平行證明OO1⊥AC,OO1⊥BD.(2)由二面角的定義或者向量法求二面角的余弦值.【解析】(1)因?yàn)樗倪呅蜛CC1A1和四邊形BDD1B1均為矩形,所以CC1⊥AC,DD1⊥BD,又CC1∥DD1∥OO1,所以O(shè)O1⊥AC,OO1⊥BD,因?yàn)锳C∩BD=O,所以O(shè)1O⊥底面ABCD.(2)方法一:如圖,過O1作O1H⊥B1O,垂足為H,連接C1H,由(1)可得OO1⊥A1C1,由于A1B1C1D1是菱形,所以B1D1⊥A1C1,所以A1C1⊥平面B1D1DB,所以由三垂線定理得HC1⊥B1O,所以∠O1HC1就是二面角C1-OB1-D的平面角.設(shè)棱柱的棱長為2,因?yàn)椤螩BA=60°,所以O(shè)B=3,OC=1,OB1=7,在直角三角形O1OB1中,O1H=OO1·因?yàn)镺1C1=1,所以C1H=O1=1+127所以cos∠C1HO1=O1HC1H=25719方法二:因?yàn)樗睦庵乃欣忾L都相等,所以四邊形ABCD為菱形,AC⊥BD,又O1O⊥底面ABCD,所以O(shè)B,OC,OO1兩兩垂直.如圖,以O(shè)為原點(diǎn),OB,OC,OO1所在直線分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)棱長為2,因?yàn)椤螩BA=60°,所以O(shè)B=3,OC=1,所以O(shè)0,0,0,B13,0,2,C1平面BDD1B1的一個(gè)法向量為n=0,1,0設(shè)平面OC1B1的法向量為m=x,y,z則由m⊥OB1→,m⊥O取z=-3,則x=2,y=23,所以m=2,2所以cos<m,n>==2319=2由圖形可知二面角C1-OB1-D為銳二面角,所以二面角C1-OB1-D的余弦值為2571910.(2015·杭州模擬)如圖,將邊長為2的正方形ABCD沿對角線BD折成一個(gè)直二面角,且EA⊥平面ABD,AE=a,(1)若a=22,求證:AB∥平面CDE.(2)求實(shí)數(shù)a的值,使得二面角A-EC-D的大小為60°.【解析】(1)如圖建立空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),B(2,0,0),C(1,1,2),D(0,2,0),E(0,0,22),ABDE→=(0,-2,22),DC設(shè)平面CDE的一個(gè)法向量為n1=(x,y,z),則有-2y+22z=0,x-y+2z=0,取z=2時(shí),n1=(0,2,2),所以AB→所以AB∥平面CDE.(2)如圖建立空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),B(2,0,0),C(1,1,2),D(0,2,0),E(0,0,a),DEDC→=(1,-1,設(shè)平面CDE的一個(gè)法向量為n2=(x,y,z),則有-2y+az=0,x-y+2z=0,取z=2時(shí),n2=(a-22,a,2),又平面AEC的一個(gè)法向量為n3=(-1,1,0),因?yàn)槎娼茿-EC-D的大小為60°,所以=12,即a2-22解得a=2±2.

(20分鐘40分)1.(5分)如圖,在四面體ABCD中,AB=1,AD=23,BC=3,CD=2,∠ABC=∠DCB=π2A.π6 B.C.5π3 【解析】選B.二面角A-BC-D的大小等于AB與CD所成角的大小.AD→=AB→+BC→+CD→.而AD2→=AB2→+BC2→+CD2→+2|AB→||CD→|·cos<2.(5分)(2015·北京模擬)已知在長方體ABCD-A1B1C1D1中,底面是邊長為2的正方形,高為4,則點(diǎn)A1到平面AB1D1的距離是.【解析】如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz,則A1(2,0,4),A(2,0,0),B1(2,2,4),D1(0,0,4),ADABAA設(shè)平面AB1D1的法向量為n=(x,y,z),則QUOTEn·AD1→=0,n·解得x=2z且y=-2z,不妨設(shè)n=(2,-2,1),設(shè)點(diǎn)A1到平面AB1D1的距離為d,則d=QUOTE|AA1→·n||n|=答案:43.(5分)(2015·鄭州模擬)正四棱錐S-ABCD中,O為頂點(diǎn)在底面上的射影,P為側(cè)棱SD的中點(diǎn),且SO=OD,則直線BC與平面PAC的夾角的大小為.【解析】如圖所示,以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.設(shè)OD=SO=OA=OB=OC=a,則A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0),P0,-則CA→=(AP→=-a,-設(shè)平面PAC的法向量為n,可求得n=(0,1,1),則cos<CB→,n>=QUOTECB→·n|CB→||n|所以<CB→,n>=60所以直線BC與平面PAC的夾角為90°-60°=30°.答案:30°4.(12分)(能力挑戰(zhàn)題)如圖,在平行四邊形ABCD中,AB=2BC=2,∠ABC=120°,M,N分別為線段AB,CD的中點(diǎn),連接AN,DM交于點(diǎn)O,將△ADM沿直線DM翻折成△A′DM.使平面A′DM⊥平面BCD,F為線段A′C的中點(diǎn).(1)求證:ON⊥平面A′DM.(2)求證:BF∥平面A′DM.(3)求直線FO與平面A′DM所成的角.【解析】(1)連接MN,由平面幾何知四邊形AMND是菱形.所以AN⊥DM.因?yàn)槠矫鍭′DM⊥平面ABCD,DM是交線,AN?平面ABCD,所以AN⊥平面A′DM,即ON⊥平面A′DM.(2)取A′D的中點(diǎn)E,連接EF,EM,因?yàn)镕是A′C中點(diǎn),所以EF12又M是AB中點(diǎn),所以在平行四邊形ABCD中,BM12CD,所以EF所以BF∥EM,因?yàn)镋M?平面A′DM,BF?平面A′DM,所以BF∥平面A′DM.(3)因?yàn)锳B=2BC=2,M是AB中點(diǎn),所以A′D=A′M=1.因?yàn)榱庑蜛DNM中O是DM中點(diǎn),所以A′O⊥DM,因?yàn)槠矫鍭′DM⊥平面ABCD,所以A′O⊥平面ABCD.以O(shè)N為x軸,OM為y軸,OA′為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,∠ADN=∠ABC=120°,在△ADN中,AD=DN=1,所以AN=AD2+D同理求得DM=AD=AM=1,所以N32,0,0,D0,-1因?yàn)镹是CD的中點(diǎn),所以C3,因?yàn)镕是A′C的中點(diǎn),所以F32因?yàn)镹O⊥平面A′DM,所以平面A′DM的一個(gè)法向量ON→=因?yàn)镺F→=32,1設(shè)OF與平面A′DM所成的角為θ,0<θ<π2則sinθ=|cos<OF→,ON→>|=OF→·ON→|所以直線FO與平面A′DM所成的角為π35.(13分)(2014·江西高考)如圖,四棱錐P-ABCD中,ABCD為矩形,平面PAD⊥平面ABCD.(1)求證:AB⊥PD.(2)若∠BPC=90°,PB=2,PC=2,問AB為何值時(shí),四棱錐P-ABCD的體積最大?并求此時(shí)平面PBC與平面DPC夾角的余弦值.【解題提示】(1)利用面面垂直的性質(zhì)定理證明AB⊥平面PAD即可.(2)借助兩平面垂直的性質(zhì),作PO⊥AD,即四棱錐的高找到,過點(diǎn)O作OM⊥BC于點(diǎn)M,連接PM.則四棱錐的體積能用AB的長度表示,即可建立體積與AB的函數(shù),借助二次函數(shù)知識求最值;此時(shí)可建立空間直角坐標(biāo)系,利用坐標(biāo)法求解.【解析】(1)因?yàn)锳BCD為矩形,所以AB⊥AD,又因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以AB⊥平面PAD,又PD?平面PAD,所以AB⊥PD.(2)過點(diǎn)P作PO⊥AD于點(diǎn)O,則PO⊥平面ABCD,過點(diǎn)O作OM⊥BC于點(diǎn)M,連接PM.則PM⊥BC,因?yàn)椤螧PC=90°,PB=2,PC=2,所以BC=6,PM=23設(shè)AB=t,則在