高考數(shù)學(xué) 8.5 曲線與方程練習(xí)試題

課時(shí)提升作業(yè)(五十二)曲線與方程(25分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.方程(x2+y2-4)=0的曲線形狀是()【解析】選C.原方程可化或x+y+1=0.顯然方程表示直線x+y+1=0和圓x2+y2-4=0在直線x+y+1=0的右上方部分,故選C.【誤區(qū)警示】本題易忽視x+y+1≥0,而誤認(rèn)為x2+y2-4=0是一個(gè)完整的圓,從而錯(cuò)選A.2.已知定點(diǎn)A(2,0),它與拋物線y2=x上的動(dòng)點(diǎn)P連線的中點(diǎn)M的軌跡方程為()A.y2=2(x-1) B.y2=4(x-1)C.y2=x-1 D.y2=(x-1)【解析】選D.設(shè)P(x0,y0),M(x,y),則故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2x-2,2y),由點(diǎn)P在拋物線y2=x上得(2y)2=2x-2,整理得y2=(x-1).故選D.【加固訓(xùn)練】長為3的線段AB的端點(diǎn)A,B分別在x軸、y軸上移動(dòng),則AB中點(diǎn)C的軌跡是()A.線段 B.圓 C.橢圓 D.雙曲線【解析】選B.設(shè)C(x,y),A(a,0),B(0,b),則x=,y=,即a=2x,b=2y.代入a2+b2=9,得4x2+4y2=9,即x2+y2=.3.(2015·洛陽模擬)設(shè)過點(diǎn)P(x,y)的直線分別與x軸的正半軸和y軸的正半軸交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于y軸對稱,O為坐標(biāo)原點(diǎn).若BP→=2PA→,且OA.x2+3y2=1(x>0,y>0)B.x2-3y2=1(x>0,y>0)C.3x2-y2=1(x>0,y>0)D.3x2+y2=1(x>0,y>0)【解題提示】利用點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于y軸對稱求得Q點(diǎn)的坐標(biāo),然后利用BP→=2OQ→·【解析】選A.設(shè)A(a,0),B(0,b),a>0,b>0.由BP→=2即a=x>0,b=3y>0.點(diǎn)Q(-x,y),故由OQ→·得(-x,y)·(-a,b)=1,即ax+by=1.將a,b代入ax+by=1得所求的軌跡方程為x2+3y2=1(x>0,y>0).4.(2015·長春模擬)設(shè)圓(x+1)2+y2=25的圓心為C,A(1,0)是圓內(nèi)一定點(diǎn),Q為圓周上任一點(diǎn).線段AQ的垂直平分線與CQ的連線交于點(diǎn)M,則點(diǎn)M的軌跡方程為()A.=1 B.=1C.=1 D.=1【解析】選D.因?yàn)镸為AQ垂直平分線上一點(diǎn),則|AM|=|MQ|,所以|MC|+|MA|=|MC|+|MQ|=|CQ|=5,故點(diǎn)M的軌跡為橢圓.所以a=,c=1,則b2=a2-c2=,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1.【加固訓(xùn)練】如圖所示,A是圓O內(nèi)一定點(diǎn),B是圓周上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),AB的中垂線CD與OB交于點(diǎn)E,則點(diǎn)E的軌跡是()A.圓 B.橢圓C.雙曲線 D.拋物線【解析】選B.由題意知,|EA|+|EO|=|EB|+|EO|=r(r為圓的半徑)且r>|OA|,故E的軌跡為以O(shè),A為焦點(diǎn)的橢圓,故選B.5.已知定點(diǎn)A(1,0)和定直線l:x=-1,在l上有兩動(dòng)點(diǎn)E,F且滿足AE→⊥AF→,另有動(dòng)點(diǎn)P,滿足EP→∥A.y2=4x B.y2=4x(x≠0)C.y2=-4x D.y2=-4x(x≠0)【解析】選B.設(shè)P(x,y),E(-1,y1),F(-1,y2)(y1,y2均不為零),由EP→∥O由FO→∥OP→由AE→⊥AF→二、填空題(每小題5分,共15分)6.在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),已知兩點(diǎn)A(-2,1),B(-1,3),若點(diǎn)C滿足OC→=αOA→+βOB→,其中α,【解題提示】設(shè)出C點(diǎn)坐標(biāo)(x,y),然后借助OC→=αOA→+βOB→,用x,y分別表示α,【解析】設(shè)C(x,y),則整理得將其代入α+β=1中整理得2x-y+5=0,又x=-2α-β=-2α-(1-α)=-α-1∈[-2,-1],所以點(diǎn)C的軌跡方程是2x-y+5=0,x∈[-2,-1].答案:2x-y+5=0,x∈[-2,-1]7.已知圓的方程為x2+y2=4,若拋物線過點(diǎn)A(-1,0),B(1,0)且以圓的切線為準(zhǔn)線,則拋線物的焦點(diǎn)軌跡方程是.【解析】設(shè)拋物線焦點(diǎn)為F,過A,B,O作準(zhǔn)線的垂線AA1,BB1,OO1,則|AA1|+|BB1|=2|OO1|=4,由拋物線定義得|AA1|+|BB1|=|FA|+|FB|,所以|FA|+|FB|=4,故F點(diǎn)的軌跡是以A,B為焦點(diǎn),長軸長為4的橢圓(去掉長軸兩端點(diǎn)).答案:=1(y≠0)8.已知A(0,7),B(0,-7),C(12,2),以C為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過A,B兩點(diǎn),則橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)F的軌跡方程是.【解析】由題意知|AC|=13,|BC|=15,|AB|=14,又因?yàn)閨AF|+|AC|=|BF|+|BC|,所以|AF|-|BF|=|BC|-|AC|=2,故點(diǎn)F的軌跡是以A,B為焦點(diǎn),實(shí)軸長為2的雙曲線的下支.又c=7,a=1,b2=48,所以點(diǎn)F的軌跡方程為y2-=1(y≤-1).答案:y2-=1(y≤-1)三、解答題(每小題10分,共20分)9.(2015·宜賓模擬)已知兩點(diǎn)M(-1,0),N(1,0),且點(diǎn)P使MP→·MN→,NM→·【解析】設(shè)點(diǎn)P(x,y),則MPNP→=(x-1,y),M故MP→·PM→·PN→=MP=x2+y2-1,NM→·因?yàn)镸P→·MN→,PM→·所以2(x2+y2-1)=2(x+1)+2(1-x).且NM→·NP→-=-4x<0,整理得x2+y2=3(x>0).故點(diǎn)P的軌跡方程為x2+y2=3(x>0).10.已知定點(diǎn)F(0,1)和直線l1:y=-1,過定點(diǎn)F與直線l1相切的動(dòng)圓的圓心為點(diǎn)C.(1)求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程.(2)過點(diǎn)F的直線l2交軌跡于P,Q兩點(diǎn),交直線l1于點(diǎn)R,求RP→·【解析】(1)由題設(shè)知點(diǎn)C到點(diǎn)F的距離等于它到l1的距離,所以點(diǎn)C的軌跡是以F為焦點(diǎn),l1為準(zhǔn)線的拋物線,所以動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程為x2=4y.(2)由題意知,直線l2的方程可設(shè)為y=kx+1(k≠0),與拋物線方程聯(lián)立消去y,得x2-4kx-4=0.設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則x1+x2=4k,x1x2=-4.又易得點(diǎn)R的坐標(biāo)為(-,-1）,所以RP→·RQ→=(x1+,y1+1)·(x2+=(x1+)(x2+)+(kx1+2)(kx2+2)=(1+k2)x1x2+(+2k)(x1+x2)++4=-4(1+k2)+4k(+2k)++4=4(k2+)+8.因?yàn)閗2+≥2,當(dāng)且僅當(dāng)k2=1時(shí)取等號(hào),所以RP→·RQ→≥即RP→·【加固訓(xùn)練】如圖所示,圓O:x2+y2=16,A(-2,0),B(2,0)為兩個(gè)定點(diǎn).直線l是圓O的一條動(dòng)切線,若經(jīng)過A,B兩點(diǎn)的拋物線以直線l為準(zhǔn)線,求拋物線焦點(diǎn)的軌跡方程.【解析】過點(diǎn)A,B,O分別作直線l的垂線,垂足分別為A′,B′,O′.因?yàn)閨AO|=|BO|,所以|AA′|+|BB′|=2|OO′|=8,設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F,則|AF|+|BF|=|AA′|+|BB′|=8,又|AB|=4,所以點(diǎn)F的軌跡在以點(diǎn)A,B為焦點(diǎn)的橢圓上,設(shè)所求橢圓方程為=1(a>b>0),則a2=42=16,b2=42-22=12,所以拋物線焦點(diǎn)的軌跡方程為=1(x≠±4).(20分鐘40分)1.(5分)已知點(diǎn)P在定圓O的圓內(nèi)或圓周上,動(dòng)圓C過點(diǎn)P與定圓O相切,則動(dòng)圓C的圓心軌跡可能是()A.圓或橢圓或雙曲線B.兩條射線或圓或拋物線C.兩條射線或圓或橢圓D.橢圓或雙曲線或拋物線【解析】選C.當(dāng)點(diǎn)P在定圓O的圓周上時(shí),圓C與圓O內(nèi)切或外切,O,P,C三點(diǎn)共線,所以軌跡為兩條射線.當(dāng)點(diǎn)P在定圓O內(nèi)時(shí)(非圓心),|OC|+|PC|=r0為定值,且r0>|OP|,所以軌跡為橢圓.當(dāng)P與O重合時(shí),圓心軌跡為圓.【誤區(qū)警示】本題易因討論不全,或找錯(cuò)關(guān)系而出現(xiàn)錯(cuò)誤.2.(5分)如圖所示,已知C為圓(x+)2+y2=4的圓心,點(diǎn)A(,0),P是圓上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)Q在CP上,且MQ→·AP→=0,AP【解析】圓(x+)2+y2=4的圓心為C(-,0),半徑r=2,因?yàn)镸Q→·AP→=2所以MQ⊥AP,點(diǎn)M為AP的中點(diǎn),即QM垂直平分AP.連接AQ,則|AQ|=|QP|,所以||QC|-|QA||=||QC|-|QP||=|CP|=r=2.又|AC|=2>2,根據(jù)雙曲線的定義,點(diǎn)Q的軌跡是以C(-,0),A(,0)為焦點(diǎn),實(shí)軸長為2的雙曲線,由c=,a=1,得b2=1,因此點(diǎn)Q的軌跡方程為x2-y2=1.答案:x2-y2=1【加固訓(xùn)練】動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F(2,0)的距離與它到直線x+2=0的距離相等,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為.【解析】由拋物線定義知點(diǎn)P的軌跡是以F(2,0)為焦點(diǎn)的拋物線,設(shè)拋物線的方程為y2=2px,從而可知p=4,所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為y2=8x.答案:y2=8x3.(5分)設(shè)橢圓方程為x2+=1,過點(diǎn)M(0,1)的直線l交橢圓于A,B兩點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)P滿足OP→=(OA→+【解題提示】設(shè)直線l的斜率為k,用參數(shù)法求解,但需驗(yàn)證斜率不存在時(shí)是否符合要求.【解析】直線l過點(diǎn)M(0,1),當(dāng)斜率存在時(shí),設(shè)其斜率為k,則l的方程為y=kx+1.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由題設(shè)可得點(diǎn)A,B的坐標(biāo)(x1,y1),(x2,y2)是方程組的解,將①代入②并化簡得,(4+k2)x2+2kx-3=0,所以于是OP→=(OA→+設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),則消去參數(shù)k得4x2+y2-y=0,③當(dāng)斜率不存在時(shí),A,B中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)(0,0),也滿足方程③,所以點(diǎn)P的軌跡方程為4x2+y2-y=0.答案:4x2+y2-y=0【方法技巧】利用參數(shù)法求軌跡方程的技巧參數(shù)法是求軌跡方程的一種重要方法,其關(guān)鍵在于選擇恰當(dāng)?shù)膮?shù).一般來說,選參數(shù)時(shí)要注意:①動(dòng)點(diǎn)的變化是隨著參數(shù)的變化而變化的,即參數(shù)要能真正反映動(dòng)點(diǎn)的變化特征;②參數(shù)要與題設(shè)的已知量有著密切的聯(lián)系;③參數(shù)要便于軌跡條件中的各種相關(guān)量的計(jì)算,也要便于消去.常見的參數(shù)有角度、斜率、點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)等.4.(12分)(2015·湖州模擬)已知以C(2,0)為圓心的圓C和兩條射線y=±x(x≥0)都相切,設(shè)動(dòng)直線l與圓C相切,并交兩條射線于A,B,求線段AB中點(diǎn)M的軌跡方程.【解析】設(shè)直線l的方程為y=kx+b.A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y),由得A(,),(k≠0).由得B(,),所以由①②得:k=,b=③因?yàn)閳AC與y=±x都相切,所以圓C的半徑r=.因?yàn)锳B:kx-y+b=0與圓C相切,所以即2k2+4kb+b2-2=0④將③代入④得(y2-x2)2+4x(y2-x2)-2(y2-x2)=0,因?yàn)閥2≠x2,所以y2-x2+4x-2=0即(x-2)2-y2=2(y≠0)當(dāng)l⊥x軸時(shí),線段AB的中點(diǎn)M(2±,0)也符合上面的方程,其軌跡在∠AOB內(nèi).5.(13分)(能力挑戰(zhàn)題)如圖,動(dòng)圓C1:x2+y2=t2,1<t<3,與橢圓C2:+y2=1相交于A,B,C,D四點(diǎn),點(diǎn)A1,A2分別為C2的左,右頂點(diǎn).(1)當(dāng)t為何值時(shí),矩形ABCD的面積取得最大值?并求出其最大面積.(2)求直線AA1與直線A2B交點(diǎn)M的軌跡方程.【解題提示】(1)由于A,B,C,D四點(diǎn)的對稱性,可設(shè)出它們的坐標(biāo),利用坐標(biāo)的某個(gè)變量來表示矩形面積,建立函數(shù),求最值.(2)利用點(diǎn)的坐標(biāo),據(jù)直線方程的點(diǎn)斜式寫出直線方程,求交點(diǎn)坐標(biāo),用交軌法求軌跡方程.【解析】(1)由于A,B,C,D四點(diǎn)的對稱性,設(shè)A(x0,y0),B(x0,-y0),C(-x0,-y0),D(-x0,y0),則矩形ABCD的面積為S=AB×BC=2|y0|×2|x0|=4|x0y0|,由點(diǎn)A(x0,y0)在橢圓+y2=1上,所以+y02=1?y02從而x