專題24 同角三角函數(shù)的基本關系及應用（5知識點4題型2考點）（原卷版）

同角三角函數(shù)的基本關系及應用?？碱}型證明三角恒等式常用的方法已知sinα±cosα，sinαcosα求值問題已知tanα的值，求關于sinα，cosα齊次式的值一個三角函數(shù)值求其它三角函數(shù)值同角三角函數(shù)的基本關系題型一：三角函數(shù)值求其它三角函數(shù)值及化簡題型二：已知tanα的值，求關于sinα，cosα齊次式的值題型三：已知sinα±cosα，sinαcosα求值問題題型四：證明三角恒等式考法一：已知一個三角函數(shù)值求其它三角函數(shù)值考法二：利用同角三角函數(shù)關系化簡求值同角三角函數(shù)的基本關系及應用?？碱}型證明三角恒等式常用的方法已知sinα±cosα，sinαcosα求值問題已知tanα的值，求關于sinα，cosα齊次式的值一個三角函數(shù)值求其它三角函數(shù)值同角三角函數(shù)的基本關系題型一：三角函數(shù)值求其它三角函數(shù)值及化簡題型二：已知tanα的值，求關于sinα，cosα齊次式的值題型三：已知sinα±cosα，sinαcosα求值問題題型四：證明三角恒等式考法一：已知一個三角函數(shù)值求其它三角函數(shù)值考法二：利用同角三角函數(shù)關系化簡求值知識點一：同角三角函數(shù)的基本關系（1）同角三角函數(shù)的基本關系描述方式基本關系基本關系式語言描述平方關系sin2α＋cos2α＝1同一個角α的正弦、余弦的平方和等于1商數(shù)關系Tanα＝eq\f(sinα,cosα)(α≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z)同一個角α的正弦、余弦的商等于角α的正切（2）“同角”有兩層含義：一是“角相同”，二是對“任意”一個角(在使函數(shù)有意義的前提下)關系式都成立，即與角的表達形式無關，例如：成立（3）同角三角函數(shù)基本關系式的變形(1)sin2α＋cos2α＝1?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sin2α＝1－cos2α，,cos2α＝1－sin2α，,sinα＝±\r(1－cos2α)，,cosα＝±\r(1－sin2α)，,（sinα±cosα）2＝1±2sinαcosα.))(2)tanα＝eq\f(sinα,cosα)?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinα＝tanαcosα，,cosα＝\f(sinα,tanα).))知識點二：一個三角函數(shù)值求其它三角函數(shù)值(1)若已知sinα＝m，可以先應用公式cosα＝±eq\r(1－sin2α)，根據(jù)角終邊所在的象限，判斷三角函數(shù)的符號，求得cosα的值，再由公式tanα＝eq\f(sinα,cosα)求得tanα的值．(2)若已知cosα＝m，可以先應用公式sinα＝±eq\r(1－cos2α)，根據(jù)角終邊所在的象限，判斷三角函數(shù)的符號，求得sinα的值，再由公式tanα＝eq\f(sinα,cosα)求得tanα的值．(3)若已知tanα＝m，可以應用公式tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝m?sinα＝mcosα及sin2α＋cos2α＝1，根據(jù)角終邊所在的象限，判斷三角函數(shù)的符號。求得cosα＝±eq\f(1,\r(1＋m2))，sinα＝±eq\f(m,\r(1＋m2))的值．知識點三：已知tanα的值，求關于sinα，cosα齊次式的值(1)對只含有sinα，cosα的齊次式，可根據(jù)同角三角函數(shù)的商數(shù)關系，通過除以某一齊次項，轉(zhuǎn)化為只含有正切的式子，即化弦為切，整體代入.(2)對于形如eq\f(asinα＋bcosα,csinα＋dcosα)或eq\f(asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α,dsin2α＋esinαcosα＋fcos2α)的分式，分子、分母同時除以cosα，cos2α，將正、余弦轉(zhuǎn)化為正切，從而求值.(3)對于形如asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α的式子，將其看成分母為1的分式，再將分母1變形為sin2α＋cos2α，轉(zhuǎn)化為形如eq\f(asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α,sin2α＋cos2α)的式子求值.知識點四：已知sinα±cosα，sinαcosα求值問題（1）常用到公式轉(zhuǎn)化關系①(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ；②(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ；③(sinθ＋cosθ)2＋(sinθ已知sinα±cosα，sinαcosα求值問題－cosθ)2＝2；④(sinθ－cosθ)2＝(sinθ＋cosθ)2－4sinθcosθ.（2）已知sinθ＋cosθ，sinθ－cosθ，sinθcosθ中的任何一個，則另兩個式子的值均可求出.但是要特別注意角的象限決定正負號。知識點五：證明三角恒等式常用的方法（1）證明三角恒等式常用的數(shù)學思想①直推法：從條件直推到結論；②代入法：將條件代入到結論中，轉(zhuǎn)化為三角恒等式的證明；③換元法：把條件和要證明的式子的三角函數(shù)問題轉(zhuǎn)換為代數(shù)問題，利用代數(shù)即可完成證明.（2）證明三角恒等式常用的方法①證明一邊等于另一邊，一般是由繁到簡．②證明左、右兩邊等于同一個式子(左、右歸一)．③比較法：即證左邊－右邊＝0或eq\f(左邊,右邊)＝1(右邊≠0)．④證明與已知等式等價的另一個式子成立，從而推出原式成立．題型一：三角函數(shù)值求其它三角函數(shù)值及化簡考法一：已知一個三角函數(shù)值求其它三角函數(shù)值解題思路：(1)若已知sinα＝m，可以先應用公式cosα＝±eq\r(1－sin2α)，根據(jù)角終邊所在的象限，判斷三角函數(shù)的符號，求得cosα的值，再由公式tanα＝eq\f(sinα,cosα)求得tanα的值．(2)若已知cosα＝m，可以先應用公式sinα＝±eq\r(1－cos2α)，根據(jù)角終邊所在的象限，判斷三角函數(shù)的符號，求得sinα的值，再由公式tanα＝eq\f(sinα,cosα)求得tanα的值．(3)若已知tanα＝m，可以應用公式tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝m?sinα＝mcosα及sin2α＋cos2α＝1，根據(jù)角終邊所在的象限，判斷三角函數(shù)的符號。求得cosα＝±eq\f(1,\r(1＋m2))，sinα＝±eq\f(m,\r(1＋m2))的值．例1．已知，，則（

）A． B． C． D．例2．計算：(1)已知，，求的值.(2)已知，求，的值例3．已知是三角形的內(nèi)角，且，則的值是（

）A． B． C． D．例4．已知為銳角，且，則（

）A． B． C． D．變式訓練5．已知，，則（

）A． B． C． D．6．（1）若是的一個內(nèi)角，且，求的值;（2）若，求的值;7．設為第二象限角，若，則.考法二：利用同角三角函數(shù)關系化簡求值解題思路：利用sin2α＋cos2α＝1，Tanα＝eq\f(sinα,cosα)(α≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z)及變形化簡求值例1．化簡：(1)－；(2)；(3)．例2．（多選題）下列計算或化簡結果正確的是（

）A．＝2 B．若，則C．若，則＝1 D．例3．若，則α不可能是（

）A． B． C． D．變式訓練4．化簡：(1)；(2)．5．化簡：．題型二：已知tanα的值，求關于sinα，cosα齊次式的值解題思路：(1)對只含有sinα，cosα的齊次式，可根據(jù)同角三角函數(shù)的商數(shù)關系，通過除以某一齊次項，轉(zhuǎn)化為只含有正切的式子，即化弦為切，整體代入.(2)對于形如eq\f(asinα＋bcosα,csinα＋dcosα)或eq\f(asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α,dsin2α＋esinαcosα＋fcos2α)的分式，分子、分母同時除以cosα，cos2α，將正、余弦轉(zhuǎn)化為正切，從而求值.(3)對于形如asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α的式子，將其看成分母為1的分式，再將分母1變形為sin2α＋cos2α，轉(zhuǎn)化為形如eq\f(asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α,sin2α＋cos2α)的式子求值.例1．已知，則（

）A．3 B． C． D．例2．已知，則（

）A． B． C．或1 D．或1例3．已知，則（

）A． B． C． D．例4．若，則（

）A． B． C． D．變式訓練5．已知第二象限角的終邊過點，則（

）A． B． C． D．16．已知，則（

）A． B． C． D．7．已知，則.8．已知，則.9．已知，，(1)求的值；(2)求的值.題型三：已知sinα±cosα，sinαcosα求值問題解題思路：（1）常用到公式轉(zhuǎn)化關系①(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ；②(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ；③(sinθ＋cosθ)2＋(sinθ－cosθ)2＝2；④(sinθ－cosθ)2＝(sinθ＋cosθ)2－4sinθcosθ.（2）已知sinθ＋cosθ，sinθ－cosθ，sinθcosθ中的任何一個，則另兩個式子的值均可求出.但是要特別注意角的象限決定正負號。例1．若，，則（

）A． B．2 C． D．3例2．已知，，求下列各式的值．(1)；(2)；(3)．例3．已知關于x的方程的兩根為和，其中.(1)求的值；(2)求實數(shù)m的值.變式訓練4．已知，，則（

）A． B． C． D．5．已知，則（

）A． B． C． D．6．（多選題）已知，且，則（

）A． B．C． D．7．若，則.8．已知是關于x的方程的兩個根，則．9．已知，是關于的一元二次方程的兩根．(1)求的值；(2)若，求的值．題型四：證明三角恒等式解題思路：（1）證明三角恒等式常用的方法①證明一邊等于另一邊，一般是由繁到簡．②證明左、右兩邊等于同一個式子(左、右歸一)．③比較法：即證左邊－右邊＝0或eq\f(左邊,右邊)＝1(右邊≠0)．④證明與已知等式等價的另一個式子成立，從而推出原式成立．例1．證明：.例2．（1）若，化簡：；（2）求證：.變式訓練3．已知，．求證：．4．（1）化簡：（2）證明：5．已知，求證：．一、單選題1．已知，其中，的值為（

）A．－ B．－ C． D．2．“”是“”成立的（

）A．充分條件 B．必要條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件3．已知，則（

）A．7 B． C．1 D．4．若角終邊經(jīng)過點，則的值為（

）A． B．1 C． D．5．若是的一個內(nèi)角，且，則的值為（

）A． B． C． D．6．已知，是關于x的方程的兩個根，則的值為（

）A．隨的變化而變化 B．C． D．二、多選題7．已知，則下列選項正確的是(

)A． B．C． D．8．下列計算或化簡結果正確的是（

）A．若B．若，則C．若，則D．若為第二象限角，則9．已知，，則正確的有（

）A．是第二象限角