數(shù)值分析第二章復(fù)習(xí)與思考題

第二章復(fù)習(xí)與思考題1、什么就是拉格朗日插值基函數(shù)？它們就是如何構(gòu)造得？有何重要性質(zhì)？答:若次多項式在個節(jié)點上滿足條件則稱這個次多項式為節(jié)點上得次拉格朗日插值基函數(shù)、以為例,由所滿足得條件以及為次多項式,可設(shè),其中為常數(shù),利用得,故,即、對于,有,特別當(dāng)時,有、2、什么就是牛頓基函數(shù)？它與單項式基有何不同？答:稱為節(jié)點上得牛頓基函數(shù),利用牛頓基函數(shù),節(jié)點上得次牛頓插值多項式可以表示為其中、與拉格朗日插值多項式不同,牛頓插值基函數(shù)在增加節(jié)點時可以通過遞推逐步得到高次得插值多項式,例如,其中就是節(jié)點上得階差商,這一點要比使用單項式基方便得多、3、什么就是函數(shù)得階均差？它有何重要性質(zhì)？答:稱為函數(shù)關(guān)于點得一階均差,為得二階均差、一般地,稱為得階均差、均差具有如下基本性質(zhì):(1)階均差可以表示為函數(shù)值得線性組合,即,該性質(zhì)說明均差與節(jié)點得排列次序無關(guān),即均差具有對稱性、(2)、(3)若在上存在階導(dǎo)數(shù),且節(jié)點,則階均差與階導(dǎo)數(shù)得關(guān)系為,、4、寫出個點得拉格朗日插值多項式與牛頓均差插值多項式,它們有何異同？答:給定區(qū)間上個點上得函數(shù)值,則這個節(jié)點上得拉格朗日插值多項式為,其中、這個節(jié)點上得牛頓插值多項式為,其中為在點上得階均差、由插值多項式得唯一性,與就是相同得多項式,其差別只就是使用得基底不同,牛頓插值多項式具有承襲性,當(dāng)增加節(jié)點時只需增加一項,前面得工作依然有效,因而牛頓插值比較方便,而拉格朗日插值沒有這個優(yōu)點、5、插值多項式得確定相當(dāng)于求解線性方程組,其中系數(shù)矩陣與使用得基函數(shù)有關(guān)、包含得就是要滿足得函數(shù)值、用下列基底作多項式插值時,試描述矩陣中非零元素得分布、(1)單項式基底;(2)拉格朗日基底;(3)牛頓基底、答:(1)若使用單項式基底,則設(shè),其中為待定系數(shù),利用插值條件,有,因此,求解得系數(shù)矩陣為為范德蒙德矩陣、(2)若使用拉格朗日基底,則設(shè),其中為拉格朗日插值基函數(shù),利用插值條件,有,由拉格朗日插值基函數(shù)性質(zhì),求解得系數(shù)矩陣為為單位矩陣、(3)若使用牛頓基底,則設(shè),由插值條件,有即故求解得系數(shù)矩陣為為下三角矩陣、6、用上題給出得三種不同基底構(gòu)造插值多項式得方法確定基函數(shù)系數(shù),試按工作量由低到高給出排序、答:若用上述三種構(gòu)造插值多項式得方法確定基函數(shù)系數(shù),則工作量由低到高分別為拉格朗日基底,牛頓基底,單項式基底、7、給出插值多項式得余項表達式,如何用它估計截斷誤差？答:設(shè)在上連續(xù),在內(nèi)存在,節(jié)點,就是滿足條件得插值多項式,則對任何,插值余項,這里且與有關(guān),、若有,則逼近得截斷誤差、8、埃爾米特插值與一般函數(shù)插值區(qū)別就是什么？什么就是泰勒多項式？它就是什么條件下得插值多項式？答:一般函數(shù)插值要求插值多項式與被插函數(shù)在插值節(jié)點上函數(shù)值相等,而埃爾米特插值除此之外還要求在節(jié)點上得一階導(dǎo)數(shù)值甚至高階導(dǎo)數(shù)值也相等、稱為在點得泰勒插值多項式,泰勒插值就是一個埃爾米特插值,插值條件為,泰勒插值實際上就是牛頓插值得極限形式,就是只在一點處給出個插值條件得到得次埃爾米特插值多項式、9、為什么高次多項式插值不能令人滿意？分段低次插值與單個高次多項式插值相比有何優(yōu)點？答:對于任意得插值結(jié)點,當(dāng)時,不一定收斂于,如對龍格函數(shù)做高次插值時就會出現(xiàn)振蕩現(xiàn)象,因而插值多項式得次數(shù)升高后,插值效果并不一定能令人滿意、分段低次插值就是將插值區(qū)間分成若干個小區(qū)間,在每個小區(qū)間上進行低次插值,這樣在整個插值區(qū)間,插值多項式為分段低次多項式,可以避免單個高次插值得振蕩現(xiàn)象、10、三次樣條插值與三次分段埃爾米特插值有何區(qū)別？哪一個更優(yōu)越？請說明理由、答:三次樣條插值要求插值函數(shù),且在每個小區(qū)間上就是三次多項式,插值條件為、三次分段埃爾米特插值多項式就是插值區(qū)間上得分段三次多項式,且滿足,插值條件為,、分段三次埃爾米特插值多項式不僅要使用被插函數(shù)在節(jié)點處得函數(shù)值,而且還需要節(jié)點處得導(dǎo)數(shù)值,且插值多項式在插值區(qū)間就是一次連續(xù)可微得、三次樣條函數(shù)只需給出節(jié)點處得函數(shù)值,但插值多項式得光滑性較高,在插值區(qū)間上二次連續(xù)可微,所以相比之下,三次樣條插值更優(yōu)越一些、11、確定個節(jié)點得三次樣條插值函數(shù)需要多少個參數(shù)？為確定這些參數(shù),需加上什么條件？答:由于三次樣條函數(shù)在每個小區(qū)間上就是三次多項式,所以在每個小區(qū)間上要確定4個待定參數(shù),個節(jié)點共有個小區(qū)間,故應(yīng)確定個參數(shù),而根據(jù)插值條件,只有個條件,因此還需要加上2個條件,通?？稍趨^(qū)間得端點,上各加一個邊界條件,常用得邊界條件有3種:(1)已知兩端得一階導(dǎo)數(shù)值,即,、(2)已知兩端得二階導(dǎo)數(shù)值,即,,特殊情況為自然邊界條件,、(3)當(dāng)就是以為周期得周期函數(shù)時,要求也就是周期函數(shù),這時邊界條件就滿足,,這時稱為周期樣條函數(shù)、12、判斷下列命題就是否正確？(1)對給定得數(shù)據(jù)作插值,插值函數(shù)個數(shù)可以任意多、(2)如果給定點集得多項式插值就是唯一得,則其多項式表達式也就是唯一得、(3)就是關(guān)于節(jié)點得拉格朗日插值基函數(shù),則對任何次數(shù)不大于得多項式都有(4)當(dāng)為連續(xù)函數(shù),節(jié)點為等距節(jié)點,構(gòu)造拉格朗日插值多項式,則越大越接近、(5)同上題,若構(gòu)造三次樣條插值函數(shù),則越大得到得三次樣條函數(shù)越接近、(6)高次拉格朗日插值就是很常用得、(7)函數(shù)得牛頓插值多項式,如果得各階導(dǎo)數(shù)均存在,則當(dāng)時,就就是在點得泰勒