浙江省寧波市2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題含答案

浙江省寧波市2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題高一數(shù)學(xué)試卷說明：本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分.考試時(shí)間120分鐘，本次考試不得使用計(jì)算器，請(qǐng)考生將所有題目都做在答題卡上.第I卷（選擇題共60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知全集為，集合，集合，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】解一元二次不等式求得集合，由此求得【詳解】，解得或，所以或，所以，所以.故選：C2.函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及零點(diǎn)存在性定理求得正確答案.【詳解】在上單調(diào)遞增，，所以的零點(diǎn)在區(qū)間.故選：B3.已知，為非零實(shí)數(shù)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)充分、必要條件的知識(shí)求得正確答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，同號(hào)且非零，則，所以.當(dāng)時(shí)，如，則，無法得到.所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A4.函數(shù)的定義域是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用整體代入法求得正確答案.【詳解】由，解得，所以函數(shù)的定義域是.故選：D5.已知定義在上的奇函數(shù)滿足，則（）A.-1 B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性、周期性求得正確答案.【詳解】是定義在上的奇函數(shù)，所以，，所以是周期為的周期函數(shù)，所以.故選：B6.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求得正確答案.【詳解】.故選：B7.已知，，則（）A.的最大值為且的最大值為B.的最大值為且的最小值為0C.的最小值為且的最大值為D.的最小值為且的最小值為0【答案】C【解析】【分析】利用可求出的最小值，利用可求出的最大值.【詳解】利用，則，整理得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào)，即的最小值為；利用，，即，整理得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，故的最大值為.故選：C8.若關(guān)于的方程恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，，，且，其中，則的值為（）A.-6 B.-4 C.-3 D.-2【答案】A【解析】【分析】利用換元法化簡(jiǎn)題目所給方程，結(jié)合二次函數(shù)零點(diǎn)分布、對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)求得正確答案.【詳解】依題意可知，由整理得①，即關(guān)于的方程恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，，，且，令，則或，則①轉(zhuǎn)化為，即，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知是方程的一個(gè)根，所以，所以，解得或，所以是方程的根，即的根，所以，所以.故選：A【點(diǎn)睛】對(duì)于復(fù)雜方程的跟有關(guān)的問題求解，可根據(jù)題目所給已知方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化的方向是熟悉的函數(shù)類型，即將不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題來進(jìn)行求解.對(duì)鉤函數(shù)是函數(shù)題目中常見的函數(shù)，對(duì)其性質(zhì)要注意總結(jié).二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分、在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.9.下列說法正確的有（）A.若是銳角，則是第一象限角B.C.若，則為第一或第二象限角D.若為第二象限角，則為第一或第三象限角【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)象限角、弧度制、三角函數(shù)值等知識(shí)確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，是銳角，即，所以是第一象限角，A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，根據(jù)弧度制的定義可知，B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，但不是象限角，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，為第二象限角，即，所以為第一或第三象限角，D選項(xiàng)正確.故選：ABD10.關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的是（）A.函數(shù)定義域?yàn)?B.函數(shù)是偶函數(shù)C.函數(shù)是周期函數(shù) D.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域、奇偶性、周期性、單調(diào)性對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】由于，所以的定義域不是，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.由得，所以，所以的定義域是，的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，所以是偶函數(shù)，B選項(xiàng)正確.，所以是周期函數(shù)，C選項(xiàng)正確.當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，D選項(xiàng)正確.故選：BCD11.已知且，函數(shù)的圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、特殊點(diǎn)的函數(shù)值確定正確答案.【詳解】依題意且，，B選項(xiàng)錯(cuò)誤

當(dāng)時(shí)，，且在上遞增，A選項(xiàng)符合題意.當(dāng)時(shí)，，在CD選項(xiàng)中，C選項(xiàng)錯(cuò)誤，則D選項(xiàng)正確.故選：AD12.已知實(shí)數(shù)，滿足，則下列關(guān)系式可能正確的是（）A.，使B.，使C.，有D.，有【答案】ABCD【解析】【分析】由原方程可得，構(gòu)造函數(shù)，由函數(shù)的單調(diào)性得出值域，根據(jù)函數(shù)的值域判斷A;令，代入原方程轉(zhuǎn)化為判斷是否有解即可判斷B，條件變形放縮后構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性得出大小，判斷CD，【詳解】對(duì)于A，由得，令，則分別在和上單調(diào)遞增，令，則分別在和上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)楫?dāng)時(shí)，的值域?yàn)?，所以存在，使得；同理可得，存在，使得，因此，使，A正確；對(duì)于B，令，則方程可化為，由換底公式可得，顯然關(guān)于的方程在上有解，所以，使，B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，又在上單調(diào)遞增，所以.又，令，則在上單調(diào)遞增，因，所以，從而可得，所以．綜上所述可得，C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，又在上單調(diào)遞增，所以.又，令，則在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，從而，所以．綜上所述可得，所以D正確．故選：ABCD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)于CD選項(xiàng)的關(guān)鍵在于變形、放縮，恰當(dāng)放縮后不等式兩邊可看做同一函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)值，據(jù)此構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性，建立自變量的大小關(guān)系，化繁為簡(jiǎn)，得出的關(guān)系，再利用對(duì)數(shù)性質(zhì)放縮即可判斷結(jié)論，本題難度較大，技巧性較強(qiáng)，屬于難題.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.化簡(jiǎn)求值：______.【答案】##0.75【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則、性質(zhì)，換底公式求解.【詳解】.故答案為：14.已知函數(shù)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，當(dāng)時(shí)，值域?yàn)?，且在上有兩個(gè)零點(diǎn)，請(qǐng)寫出一個(gè)滿足上述條件的______.【答案】（答案不唯一，如亦可）【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的自變量、值域、零點(diǎn)在學(xué)過函數(shù)中找到滿足條件的函數(shù)即可.【詳解】根據(jù)函數(shù)自變量時(shí)，函數(shù)值域?yàn)?，可考慮二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可知時(shí)，，，令，解得，即在上有兩個(gè)零點(diǎn).故答案為：（答案不唯一，如亦可）15.炎炎夏日，古代人們乘涼時(shí)用的紙疊扇可看作是從一個(gè)圓面中剪下的扇形加工制作而成.如圖，扇形紙疊扇完全展開后，得到的扇形ABC面積為，則當(dāng)該紙疊扇的周長(zhǎng)最小時(shí)，的長(zhǎng)度為______cm.【答案】【解析】【分析】設(shè)扇形ABC半徑為，弧長(zhǎng)為，根據(jù)扇形ABC的面積得到，紙疊扇的周長(zhǎng)，利用基本不等式求解即可.【詳解】設(shè)扇形ABC的半徑為，弧長(zhǎng)為，則扇形面積.由題意得，所以.所以紙疊扇的周長(zhǎng)，當(dāng)且僅當(dāng)即，時(shí)，等號(hào)成立，所以此時(shí)的長(zhǎng)度為.故答案為：16.已知函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的最大值是______.【答案】【解析】【分析】化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，先求出整體的范圍，由在區(qū)間內(nèi)沒有零點(diǎn)得出不等式，解出的范圍，再結(jié)合的取值，即可求解.【詳解】，由可得，又在區(qū)間內(nèi)沒有零點(diǎn)，則，解得，又，解得，又，所以或，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；綜上：的最大值為.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.在①是的充分不必要條件；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到本題第（2）問的橫線處，求解下列問題.問題：已知集合，集合.（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若______，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）解絕對(duì)值不等式求得集合，由此求得.（2）通過選擇的條件列不等式，由此求得的取值范圍.【小問1詳解】，所以.當(dāng)時(shí)，，所以.【小問2詳解】由（1）得，選①，是的充分不必要條件，則且等號(hào)不同時(shí)成立，解得.選②，，則，解得.選③，，則或，解得或.18.已知函數(shù)，且，.（1）求的值；（2）若，，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用平方的方法，結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求得正確答案.（2）利用兩角差的余弦公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求得正確答案.【小問1詳解】由題意，，由于，所以，故由可解得，.所以.【小問2詳解】由（1）可知：，，則因?yàn)?，所以，所?19.已知函數(shù)，.（1）若在上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若在區(qū)間上的最小值為-2，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)零點(diǎn)分布的知識(shí)求得的取值范圍.（2）根據(jù)在區(qū)間端點(diǎn)或?qū)ΨQ軸（二次函數(shù)時(shí)）處取得最小值進(jìn)行分類討論，由此求得的值.【小問1詳解】在上有零點(diǎn)，所以，所以.【小問2詳解】由于二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最小值只可能在端點(diǎn)或?qū)ΨQ軸處取到，所以只需考慮一下三種情況并檢驗(yàn)即可：①若，∴.的圖象開口向上，對(duì)稱軸，而，不成立，舍.②若，∴.此時(shí)的圖象開口向上，對(duì)稱軸，成立.③若，∴或.此時(shí)的圖象開口向上，對(duì)稱軸，而此時(shí)，成立.綜上可知，或.20.已知函數(shù)的圖象如圖所示.（1）求函數(shù)的對(duì)稱中心；（2）先將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的3倍（橫坐標(biāo)不變），然后將得到的函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），最后將所得圖象向左平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖象.若對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象求得的解析式，然后利用整體代入法求得的對(duì)稱中心.（2）利用三角函數(shù)圖象變換的知識(shí)求得的解析式，根據(jù)在區(qū)間上的值域轉(zhuǎn)化不等式，由此求得的取值范圍.【小問1詳解】由圖可知：，所以，所以，，又，所以，.所以.令，，則，.所以的對(duì)稱中心為，.【小問2詳解】由題.當(dāng)時(shí)，.因?yàn)閷?duì)任意的恒成立，則.所以.21.近年來，受全球新冠肺炎疫情影響，不少外貿(mào)企業(yè)遇到展會(huì)停辦、訂單延期等困難，在該形勢(shì)面前，某城市把目光投向了國內(nèi)大市場(chǎng)，搭建夜間集市，不僅能拓寬適銷對(duì)路的出口產(chǎn)品內(nèi)銷渠道，助力外貿(mào)企業(yè)開拓國內(nèi)市場(chǎng)，更能推進(jìn)內(nèi)外貿(mào)一體化發(fā)展，加速釋放“雙循環(huán)”活力.某夜市的一位文化工藝品售賣者，通過對(duì)每天銷售情況的調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該工藝品在過去的一個(gè)月內(nèi)（按30天計(jì)），每件的銷售價(jià)格（單位：元）與時(shí)間（單位：天）的函數(shù)關(guān)系滿足（為常數(shù)，且），日銷售量（單位：件）與時(shí)間的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示：15202530105110105100設(shè)該文化工藝品的日銷售收入為（單位：元），且第15天的日銷售收入為1057元.（1）求的值；（2）給出以下四種函數(shù)模型：①；②；③；④.請(qǐng)你根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，從中選擇最合適的一種函數(shù)模型來描述日銷售量與時(shí)間的變化關(guān)系，并求出該函數(shù)的解析式；（3）利用問題（2）中的函數(shù)，求的最小值.【答案】（1）（2）選擇函數(shù)模型②，（3）961【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件列方程，由此求得的值.（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性選擇模型并根據(jù)已知條件列方程，求得，從而求得的解析式.（3）結(jié)合基本不等式和函數(shù)的單調(diào)性求得正確答案.【小問1詳解】因?yàn)榈?5天的日銷售收入為1057元，所以，解得.【小問2詳解】由表中的數(shù)據(jù)知，當(dāng)時(shí)間變化時(shí)，先增后減.而函數(shù)模型①；③；④都是單調(diào)函數(shù)，所以選擇函數(shù)模型②.由，解得，，.所以日銷售量與時(shí)間的變化關(guān)系為.【小問3詳解】由（2）知所以即.當(dāng)，時(shí)，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.當(dāng)，時(shí)，單調(diào)遞減，所以.綜上所述：當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為961.22.定義在上的函數(shù)滿足：對(duì)任意的，都存在唯一的，使得，則稱函數(shù)是“型函數(shù)”.（1）判斷是否為“型函數(shù)”?并說明理由；（2）若存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)始終是“型函數(shù)”，求的最小值；（3）若函數(shù)，是“型函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）不是，理由見解析（2）1（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)“型函數(shù)”的定義，結(jié)合特殊值進(jìn)行判斷.（2）根據(jù)的定義域求得的范圍，結(jié)合“型函數(shù)”的定義以及函數(shù)的單調(diào)性求得的取值范圍.（3）對(duì)進(jìn)行分類討論，根據(jù)“型函數(shù)”的定義列不等式，由此求得的取值范圍.【小問1詳解】是偶函數(shù)，且在遞減，