2023年高考數(shù)學(xué)母題題源解密（新高考卷）：外接球（解析版）

專題07外接球

【母題來源】2022年新高考I卷

【母題題文】已知正四棱錐的側(cè)棱長為I,其各頂點都在同一個球面上,若該球的體積為36m且3WYW3,

則該正四棱錐體積的取值范圍是6；

A.[18,^]B.令夕C.在，失D.[18,27]

【答案】C

【分析】

本題考查了球的內(nèi)接問題，涉及棱錐的體積、球的體積、基本不等式、導(dǎo)數(shù)等知識，屬較難題.

【解答】

解：方法(1)■.

設(shè)正四棱錐P-ABCD的高為PO,=h,底面邊長為a,球心為O,由已知易得球半徑為

R=3f

所以解

因為3wlwWW=>9w6hW27ng三h<1,

故所以V="2/=?6h—h2)h=，72—2h)hxhWgx廣2-2)+h+h尸=/(當(dāng)且僅當(dāng)h=4取

CfszJJJJ

到),

2

當(dāng)hW時，得a=碧，則Vmin=jah="需產(chǎn)X；*

當(dāng)/=W3時，球心在正四棱錐高線上，此時h=：+3.,

%=奪=a=患,正四棱錐體積Vj=ja2h=黃碧產(chǎn)嗎,故該正四棱錐體積的取值范

圍是［猾.

方法(2)：

由方法(1)中知V=^(6-h)h2,h<|,求導(dǎo)V'=2(4-h)h,所以V=^(6-h)h2在

弓,4/上單調(diào)遞增，在*,多上單調(diào)遞減，所以Vmm=V(4)=^,Vmin=m\n{V(^),V(^)}=V(^)=

子，故該正四棱錐體積的取值范圍是［*］.

【母題來源】2022年新高考II卷

【母題題文】已知正三棱臺的高為7,上下底面的邊長分別為W市LIW3,其頂點都在同一球面上，則該球

的表面積為（）

A.lOOnB.128nC.744nD.192n

【答案】A

【分析】

本題主要考查了正三棱臺和外接球的關(guān)系應(yīng)用，球體表面積公式的應(yīng)用.

【解答】

解：由題意如圖所示，上底面所在平面截球所得圓的半徑是07A7=3,

卜底面所在平面截球所得圓的半徑是02A2=4,

則軸截面中由幾何知識可得7R2_32+7R2—42=1,解得R2=25,

因此球的表面積是S=4nR2=4n-25=100n.

倒題闌陶

【命題意圖】

外接球，是立體幾何考察點的難點之一，也是能體現(xiàn)出知識點綜合應(yīng)用的考點一.通過考察球與棱柱，棱

錐，圓柱圓錐，以及組合體的內(nèi)接外接關(guān)系，以及空間幾何體的機構(gòu)關(guān)系，考察表面積，體積，二面角等

等數(shù)學(xué)計算.考察數(shù)形結(jié)合思想和運算能力，考察空間想象能力，考察邏輯推導(dǎo)素養(yǎng).

【命題方向】

命題會涉及到體積，表面積，面積，角度等計算，涉及到最值計算，范圍求取，命題多以選擇題，填空題

形式為主，要求學(xué)生有較強的空間想象力，有較好的計算能力，要有數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，能運用轉(zhuǎn)化與

化歸的數(shù)學(xué)思想，有較好的邏輯推導(dǎo)素養(yǎng).

【得分要點】

外接球題型歸類知識點

一、.三線垂直圖形

計算公式：三棱錐三線垂直n還原成長方體n27?=行訴7

二.由長方體（正方體）圖形的特殊性質(zhì)，可以構(gòu)造如下三種模型

2.等邊三角形與等腰直角三角形連接,

3.投影為矩形，

三、線面垂直型

線垂直一個底面（底面是任意多邊形，實際是三角形或者四邊形（少），它的外接圓半徑是r,滿足正弦定

理）

1.模板圖形原理

四、面面垂直型

包含了面面垂直

一般情況下，倆面是特殊三角形.垂面型，隱藏很深的線面垂直型

五、垂線相交型

1.等邊或者直角：（1）等邊三角形中心（外心）做面垂線，必過球心;

2.直角三角形斜邊中點（外心）做面垂線，必過球心；

3.許多情況下，會和二面角結(jié)合.

1.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知三棱錐S-48C的四個頂點都在球。的球面上S/=S8=SC=W,"8C

是邊長為G的正三角形，則球。的表面積等于（）

64〃100"「”

A.-----B.-------C.16〃D.36〃

99

【答案】B

【分析】

直接利用外接球和三棱錐的關(guān)系求出球的半徑，計算即可.

【詳解】

已知三棱錐S-Z8C的四個頂點都在球。的球面上，"=S8=SC=廂,“BC是邊長為6的正三角形，如

圖所示：

取8c的中點Q,點，為底面的中心，所以8。=3,/。=工,/才=2/。=1,

223

設(shè)外接球的半徑為R,所以SH=7（V10）2-1=3,

利用勾股定理可得，上=（3-火）2+12,解得/?=’

則球O的表面積為5=47rA2=竿.

故選：B.

2.（2022?陜西?寶雞中學(xué)模擬預(yù)測）兩個邊長為2的正三角形A/8C與沿公共邊48折疊成60。的

二面角，若點48,。,。在同一球。的球面上，則球。的表面積為（）

【答案】B

【分析】

根據(jù)外接球球心的性質(zhì)確定球心。的位置為過正三角形"BC△ABD的中心的垂線上，再構(gòu)造直角三角

形求解球O的半徑即可

【詳解】

由題，設(shè)正三角形"8C與的中心分別為根據(jù)外接球的性質(zhì)有平面480,ON1平面

ABC,又二面角O-X8-C的大小為60。，故NOEC=60。，又正三角形A/8C與△力8。的邊長均為2,故

DE=CE<,故EM=EN=1ED=B.易得RNMEO*RNNEO,故NMEO=NNEO=30°,故

33

O￡=-^-=|,又E5=l,故球。的半徑=母，故球O的表面積為S=4〃（姮）=—

故選：B

3.（2022?全國?高三專題練習(xí)（理））已知三棱錐S-/8C的頂點都在球。的表面上，若球。的表面積為36萬,

AB=5AC=2下,乙4c8=30。，則當(dāng)三棱錐S-18c的體積最大時，BS=（）

A.4B.2亞C.5D.而

【答案】D

【分

設(shè)。?是"BC的外心，即可得到Of=石，再根據(jù)球的表面積求出球的半徑尺，即可得。?,當(dāng)且僅當(dāng)S、

。、。|三點共線且平面”8和點S位于點。異側(cè)時,三棱錐45c的體積最大，再由勾股定理計算可得BS.

【詳解】

在A/BC中，根據(jù)正弦定理，可得sin48c=1所以45c=90。.如圖，

AB

設(shè)Q為的外心，則。為XC的中點，且qB=gxc=次,由于球。的表面積為36/r,所以球。的半

徑R=3,00,=JR2_042=2,

當(dāng)S,0,Q三點共線且平面。3和點S位于點。的異側(cè)時,

三棱錐S-Z8C的體積最大.此時8s="5。；+01爐=同

故選：D

4.（2022?遼寧葫蘆島?二模）已知A/8C是面積為地的等邊三角形，且其頂點都在球。的球面上，若球。

4

的體積為三~比，則。到平面48c的距離為（）

A.y/3B.-C.1D.同

22

【答案】A

【分

根據(jù)題意作出如下示意圖，設(shè)Q為A/BC外接圓的圓心，所以/q為ANBC外接圓的半徑，力。為球體的半

徑，根據(jù)球的性質(zhì)得oq，平面4BC,所以。?即為。到平面4BC的距離，所以根《=〃02_麴再分

別求出所需數(shù)據(jù)即可.

【詳解】

根據(jù)題意作出如下示意圖，設(shè)。I為"8C外接圓的圓心，所以為18C外接圓的半徑,

AO為球體的半徑，根據(jù)球的性質(zhì)得。。1平面ABC,所以。?即為。到平面ABC的距離,

2

所以o?=JAO-AO^,因為A/BC是面積為地的等邊三角形，

4

所以面積為：；x|/8|x曰卜8卜半.所以N8=8C=4C=G，

所以底邊高為：^|/is|=|,所以/a=gxg=i,

因為球。的體積尸=：兀*=苧兀，解得夫=2,即4。=2,

所以O(shè)到平面ABC的距離為：OOX=4AO?-AO；=V4^1=6.

故選：A.

5.（2023?全國?高三專題練習(xí)）在三棱錐4-88中，AB,AC,力。兩兩垂直，AB=AC=AD=2若球

與三棱錐各棱均相切，則該球的表面積為（）

A.4“B.8"C,（24-16旬*D.（48-32忘

【答案】D

【分析】

以“為原點，荏，石，刀分別為x、Az軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.用坐標(biāo)法求出球心和半徑，即可求

出球的表面積.

【詳解】

如圖示，以4為原點，刀,15,%分別為X,丁、二軸正方向建立空間江角坐標(biāo)系.

則4(0,0,0),8(2,0,0),C(O,O,2),￡>(0,2,0),

設(shè)與三棱錐各棱均相切的球的球心為O（x,y,z）,半徑為『，過。作面48。于。.則a（x,y,O）.

中,所以

在底面”灰）中，即平面X。），內(nèi)，直線8。方程為：x+y=2,Ot（x,y）,所以。/=

_\2

21

r=OH=OO；+OXH-,即生+2①.

過。作OE1/8于E,過。作。尸_L/C于尸，過。作0G1/。于G,過（力作OiHl_DB于H.

由Ob=。/得：x2+y2=r2?.

同理可得：/+22=r2③，j?+z2=/④.

②③?聯(lián)立可得x=y=z.

V5

VV5

把x=y=z與①聯(lián)立，解得：.尸后

Z

/=12-872

所以該球的表面積為4"=4"（12-8近）=（48-32近卜.

故選：D

6.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知球。的半徑為1,四棱錐的頂點為O,底面的四個頂點均在球。的球面

上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時，其高為（）

A.1B.yC.2D.也

3232

【答案】C

【分析】

先證明當(dāng)四棱錐的頂點O到底面48。所在小圓距離一定時，底面488面積最大值為2A進而得到四棱

錐體積表達式，再利用均值定理去求四棱錐體積的最大值，從而得到當(dāng)該四棱錐的體積最大時其高的值.

【詳解】

設(shè)該四棱錐底面為四邊形ABCD,四邊形ABCD所在小圓半徑為/?,

設(shè)四邊形對角線夾角為a,

則S”8CD=L8D-sina<-ACBD<--2r-2r=2F

（當(dāng)且僅當(dāng)四邊形ABC。為正方形時等號成立）

即當(dāng)四棱錐的頂點0到底面所在小圓距離一定時，底面/8CZ）面積最大值為2T2

又/+/=/

則匕,jsrn=--2r2-h=l=f

當(dāng)且僅當(dāng)r2=2h2即，，邛時等號成立，

故選：C

7.（2022?全國?高三專題練習(xí)）在矩形/8C。中，AB=2AD=12,點、E,尸分別是CQ的中點，沿EF

將四邊形力瓦加折起，使乙4￡8=60。，若折起后點A,B,C,D,E,F都在球。的表面上，則球。的

表面積為（）

A.64兀B,72兀C,84KD.96K

【答案】C

【分析】

根據(jù)三棱柱的性質(zhì)，結(jié)合球的性質(zhì)、球的表面積公式進行求解即可.

【詳解】

因為矩形N8C9中，月8=2/0=12.點E,E分別是NB,C。的中點，

所以四邊形NEFD和四邊形EFC8是正方形，

又沿EF將四邊形/￡尸。折起，使4EB=60。，

所以幾何體ZEB-OFC是正三棱柱，AD=6,

設(shè)球O的球心。在:底面DFC的射影為G,因此GO=g6=3,

顯然G是等邊三角形Z）FC的中心，

FG=-FH=-ylDF2-DH2=-J62-（-x6）2=%石=2退，

333V23

在直角三角形。尸G中，OF=ylOG2+FH2=業(yè)+（2灼'=而,

所以球。的表面積為4兀?。尸=84幾

故選：C

8.（2023?全國?高三專題練習(xí)）若正三棱柱/8C-4與G的所有頂點都在同一個球。的表面上，且球。的體

積的最小值為?，則該三棱柱的側(cè)面積為（）

A.6bB.3百C.30D.3

【答案】B

【分析】

用底邊邊長“和高力表示出球的半徑，根據(jù)基本不等式得出ah值，從而可求出棱柱的側(cè)面積.

【詳解】

如圖：設(shè)三棱柱上、下底面中心分別為。|、。2,則的中點為O,

設(shè)球。的半徑為&,則設(shè)4B=BC=AC=a,4A、=h,

則。。,=:〃，OyA=—xAB=a,

22323

22222

則在放△。。3中，R=OA=OO；+O2A=；A4?>2X*與=與",

當(dāng)且僅當(dāng)1/j=*。時，“田

23mmV3

因為喂=竽［，即3=1

所以存她=1,即兇=力，

所以該三棱柱的側(cè)面積為3M=373.

故選：B.

9.（2022?云南師大附中模擬預(yù)測）已知正方形Z5CD的邊長為2VL將ANBC沿對角線/C折起，使得二

面角8-ZC-。的大小為90。.若三棱錐8-4CO的四個頂點都在球。的球面上，G為NC邊的中點，E,F

分別為線段8G,。。上的動點（不包括端點），且BE=6CF,當(dāng)三棱錐E-/CF的體積最大時，過點尸作

球。的截面，則截面面積的最小值為（）

38

A.2yj2nB.InC.—TID.—H

29

【答案】D

【分析】

根據(jù)面面垂直的判定定理得5Gl平面4cD,繼而表示出三棱錐E-NCF的體積，求出％=2二時,P取得最大值，在

2

△GCF中，由余弦定理，得GF=左,根據(jù)球的性質(zhì)可知，當(dāng)G尸垂直于截面時，截面圓的面積最小，繼而得解.

【詳解】

因為正方形/3CD的邊長為2a，所以4C=4.

如圖，由于平面/8C1平面平面48Cn平面ZCO=ZC,又G為ZC邊的中點，則有5G1NC,所

以BG1平面/C￡>.設(shè)。?=》（0<》<五），則8后=心,所以三棱錐E-ZC~的體積EG=

-x-AC?CF>smAACF-EG=-x-x4x?^（2-^）=2-（^-x],當(dāng)工=交時，%取得最大值.由于

3232232

GA=GB=GC=GD,則球。的球心即為G,且球O的半徑H=2.又在AGC尸中，由余弦定理，得

GF=y]GC2+CF--2GC?CFcos^ACF=,根據(jù)球的性質(zhì)可知，當(dāng)GF垂直于截面時，截面圓的面積最

小，設(shè)其半徑為八所以,=JR2_G尸2=卜_（用則截面面積的最小值為|無.

故選：D.

10.（2022?四川省瀘縣第二中學(xué)模擬預(yù)測）如圖，三棱錐中，平面PZ81平面Z8C,AC=BC=\,

PA=BA=6,尸8=2.三棱錐P-N8C的四個頂點都在球。的球面上,則球心。到平面4BC的距離為（）

A.也B.亞C.V2D.逑

422

【答案】B

【分析】

由勾股定理逆定理得到"18C、尸”148,再由面面垂直的性質(zhì)得到91平面”C,則苴角三角形"BC

外接圓的圓心在斜邊的中點，即可得到三棱錐外接球的球心在在PB的中點，從而得解；

【詳解】

解：因為ZC=8C=1,PA=BA=42,PB=2.

fifrl^AC2+BC2=AB2,即NC1BC,PA2+AB2=PB2、BPPA1AB,

又平面尸481平面/8C,平面尸/8c平面=,尸/u平面?/反

所以P/1平面ABC,

因為A/8C為直角三角形，所以A/8C外接圓的圓心在斜邊AB的中點，

所以三棱錐P-N5C外接球的即為下圖長方體的外接球，

所以三棱錐P-ABC外接球的球心。在心的中點，

所以球心0到平面ABC的距離為-PA=^：

22

故選：B

11.(2022?全國?高三專題練習(xí))以△48C為底的兩個正三棱錐P-N8c和。-"8C內(nèi)接于同一個球，并

且正三棱錐尸-NBC的側(cè)面與底面Z8C所成的角為45°,記正三棱錐尸和正三棱錐。的體

積分別為匕和匕，則￡=()

12

B1c」D-1

A.I

【答案】c

【分析】

由題意畫出圖形，把正三棱錐的體積比轉(zhuǎn)化為高的比，然后通過求解直角三角形得到兩三棱錐高的關(guān)系得

答案.

【詳解】

如圖，正三棱錐尸-4BC和正三棱錐Q-N3C內(nèi)接于同一個球,

設(shè)P到底面ABC的距離為九，Q到底面48C的距離為%,

取的中點〃，連接PM,CM,PQ,

記尸。與平面/8C的交點為火,

由兩個正三棱錐P-ABC和。-Z8C內(nèi)接于同一個球，故PQ一定為球0的直徑，

記其中點為。即為球心，且由題意可知，R為正三角形/8C的中心，

因此，PR,。尺分別為正三棱錐P-/8C和正三棱錐。-N8C的高4,h2,

由P4=PB,QA=QB,C/=C8,且〃為28的中點，

可得PM1肛QM1ABtCMi.AB,

則NRWR為正三棱錐尸-48C的側(cè)面與底面/8C所成的角為45。，

:.MR=PR=耳,RC=2MR=2h、,記球的半徑為「，于是OR=r-九，

在RSORC中，由勾股定理可得，OC2=/=OR2+RC2=（r-A,）2+4A,2,

解得r=g4,寸:是QR=PQ-PR=2r-h、=5九一%=4%=",

?,h,1

則」=一

7h24，

■,匕%4-

故選：C.

12.（2022?全國?高三專題練習(xí)）端午佳節(jié)，人們有包粽子和吃粽子的習(xí)俗.四川流行四角狀的粽子，其形

狀可以看成一個正四面體.廣東流行粽子里放蛋黃，現(xiàn)需要在四角狀粽子內(nèi)部放入一個蛋黃，蛋黃的形狀

近似地看成球，當(dāng)這個蛋黃的體積為與時，則該正四面體的高的最小值為（）

A.4B.6C.8D.10

【答案】C

【分析】

由蛋黃所成的球是該正四面體的內(nèi)切球時，該正四面體的高有最小值，再利用等體積法求解.

【詳解】

解：當(dāng)?shù)包S所成的球是該正四面體的內(nèi)切球時，該正四面體的高有最小值.

設(shè)此時正四面體的每個面的面積為S,高為兒蛋黃所成的球的半徑為八

因為內(nèi)切球的體積為=苧，解得r=2,

由等體積法可得《xgsx’=Jsxh

解得〃=4r=8,

故選：C.

13.（2022?全國?南京外國語學(xué)校模擬預(yù)測）在正方體力BCD-44cA中，48=3近，點P是正方體

/BCD-44Gq的內(nèi)切球。的球面上的點，點N為BG上一點，2NB\=NC、,DPIBN,則線段PC長度

的最大值為

3Vi^+3回

【答案】

1()

【分析】

先依據(jù)題給條件求得點P的軌跡為平面MCD與球O的截面圓周，再利用圓外一點與圓上的點距離的最大值

的求法即可得到線段PC長度的最大值.

【詳解】

如圖，在8片取點使連接MC,DM,

因為NC、=2NB,,又四邊形8CC圈是正方形，所以△N8/三△M5C,

故BNLMC.因為正方形體Z8C。-44G所以。C』平面8CC圈,

又BNu平面8CG4,所以。C18N,

又BNLMC,MCcDC=C,MC,DCu平面MCD,

所以BN1平面MCD,則點尸的軌跡為平面"CD與球。的截面圓周，記為圓Q.

連接OD,OM,0C,

由％-DMC=憶-m/o,得!X!X3A/IX2若X。。］=gx3x2而3,

解得OQ=乎，所以截面圓的半徑

所以PC=3同13歷3病+3M

-

'nux101010

故答案為：3同+3相

10

14.（2022?全國?模擬預(yù)測）在三棱錐P-48C中，P/L底面/8C,PA=2,AB=AC=BC=2m,M為AC

的中點，若三棱錐的頂點均在球。的球面上，。是球。上一點，且三棱錐O-P/C體積的最大值

是亞，則球。的體積為

3

【答案】多##專

【分析】

根據(jù)給定條件，探討三棱錐尸外接球球心。的位置，再借助錐體體積計算作答.

【詳解】

正中，”為ZC的中點，則8H1/C,而尸/I平面力8C,BMu平面NBC,H|lBMJ.PA,

\l\iPAr\AC=A,尸4/Cu平面P4C,則8W1平面P4C,RWu平面4C,有8"1尸河，又PN145,

因此，RMP8M與Rt6"的斜邊PB中點到點4B,M,P的距離相等，即三棱錐外接球球心

為P8中點，

從而，點。是三棱錐P-48M外接球球心，設(shè)球O的半徑為R,有廢=]+”/，

△的外接圓圓心為PM的中點，設(shè)為尸，連接OF,則。91平面Q4F,如圖，

則有