導(dǎo)函數(shù)及其運(yùn)用

高考沖刺系列〔二〕——導(dǎo)數(shù)及其運(yùn)用根底知識(shí)回憶導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y=f〔x〕在點(diǎn)x處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線y=f〔x〕在點(diǎn)p〔x，f〔x〕〕處的切線的斜率。也就是說，曲線y=f〔x〕在點(diǎn)p〔x，f〔x〕〕處的切線的斜率是f〔x〕。相應(yīng)地，切線方程為y－y=f/〔x〕〔x－x〕。根本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式:①〔C為常數(shù)〕②③;④;⑤⑥;⑦;⑧導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法那么復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)和的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為,即對(duì)的導(dǎo)數(shù)等于對(duì)的導(dǎo)數(shù)與對(duì)的導(dǎo)數(shù)的乘積.假設(shè),那么函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系:在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．說明：特別的，如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)是常函數(shù)．求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：〔1〕確定函數(shù)的定義域；〔2〕求導(dǎo)數(shù)；〔3〕解不等式，解集在定義域內(nèi)的局部為增區(qū)間；思維技巧對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)來說,是函數(shù)思維技巧對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)來說,是函數(shù)在(a,b)上為單調(diào)增函數(shù)的充分不必要條件,是函數(shù)在(a,b)上為單調(diào)減函數(shù)的充分不必要條件,如函數(shù)在R上為增函數(shù),但,所以在處不滿足.利用導(dǎo)數(shù)極值：定義：設(shè)函數(shù)f〔X〕在點(diǎn)X0的領(lǐng)域內(nèi)，假設(shè)在X0的領(lǐng)域內(nèi)，f〔X0〕>f〔X〕,X≠X0那么X0稱為極大點(diǎn)f〔X0〕為極大值；假設(shè)在X0的領(lǐng)域內(nèi)，f〔X0〕<f〔X〕那么X0稱為極小點(diǎn)f〔X0〕為極小值，函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值，極大點(diǎn)與極小點(diǎn)稱為極值點(diǎn)定理設(shè)函數(shù)f〔X〕在點(diǎn)X0的領(lǐng)域內(nèi)有定義，且X0是f〔X〕的極值點(diǎn)，如果f〔X〕可導(dǎo)，那么f`〔X0〕=0定理設(shè)函數(shù)f〔X〕滿足：①在點(diǎn)X0的領(lǐng)域內(nèi)可導(dǎo)②f`〔X0〕=0那么：〔1〕假設(shè)在X0的左側(cè)附近f`〔X〕>0,在X0右側(cè)附近f`〔X〕<0那么f〔X0〕為極大值〔2〕假設(shè)在X0左側(cè)附近f`〔X〕<0,在X0右側(cè)附近f’〔X〕>0那么f〔X0〕為極小值〔3〕假設(shè)在X0左右兩側(cè)f`〔X〕同號(hào),那么f`〔X〕不是極值點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值步驟：〔1〕確定函數(shù)的定義域；〔2〕求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)〔3〕令=0，解得x的值〔4〕列表求極值二、導(dǎo)數(shù)常見用法考點(diǎn)1：?jiǎn)握{(diào)性和極值例1.設(shè)恰有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，試確定a的取值范圍，并求其單調(diào)區(qū)間。解：假設(shè)，對(duì)恒成立，此時(shí)只有一個(gè)單調(diào)區(qū)間，矛盾假設(shè)，∴，也只有一個(gè)單調(diào)區(qū)間，矛盾假設(shè)∵，此時(shí)恰有三個(gè)單調(diào)區(qū)間∴且單調(diào)減區(qū)間為和，單調(diào)增區(qū)間為例2：函數(shù)在閉區(qū)間[-3，0]上的最大值、最小值分別是.解：由=0，得，當(dāng)時(shí)，>0，當(dāng)時(shí)，<0，當(dāng)時(shí)，>0，故的極小值、極大值分別為，而故函數(shù)在[-3，0]上的最大值、最小值分別是3、-17例3：函數(shù)在上不具有單調(diào)性．〔I〕求實(shí)數(shù)的取值范圍解：〔I〕，………………〔2分〕∵在上不具有單調(diào)性，∴在上有正也有負(fù)也有0，即二次函數(shù)在上有零點(diǎn)………………〔4分〕∵是對(duì)稱軸是，開口向上的拋物線，∴的實(shí)數(shù)的取值范圍………………〔6分〕例4.函數(shù)．〔I〕假設(shè)函數(shù)在區(qū)間上都是單調(diào)函數(shù)且它們的單調(diào)性相同，求實(shí)數(shù)的取值范圍；解：〔I〕，……………〔2分〕∵函數(shù)在區(qū)間上都是單調(diào)函數(shù)且它們的單調(diào)性相同，∴當(dāng)時(shí)，恒成立，……………〔4分〕即恒成立，∴在時(shí)恒成立，或在時(shí)恒成立，∵，∴或………………〔6分〕例5.函數(shù)．〔I〕求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；〔II〕函數(shù)的圖象的在處切線的斜率為假設(shè)函數(shù)在區(qū)間〔1，3〕上不是單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍．解：〔I〕 〔2分〕當(dāng)當(dāng)當(dāng)a=1時(shí)，不是單調(diào)函數(shù) 〔5分〕〔II〕〔6分〕 〔8分〕〔10分〕 〔12分〕考點(diǎn)2：函數(shù)交點(diǎn)與零點(diǎn)問題例6.函數(shù)的圖象如下圖．〔I〕求的值；〔II〕假設(shè)函數(shù)在處的切線方程為，求函數(shù)的解析式；〔III〕在〔II〕的條件下，函數(shù)與的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求的取值范圍．〔I〕由圖可知函數(shù)的圖象過點(diǎn)〔0，3〕，且得…………〔4分〕〔II〕依題意且解得所以…………〔8分〕〔III〕．可轉(zhuǎn)化為：有三個(gè)不等實(shí)根，即：與軸有三個(gè)交點(diǎn)；，+0-0+增極大值減極小值增．…………〔10分〕當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有三個(gè)交點(diǎn)，故而，為所求．…………〔12分〕例7.函數(shù)的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，且在處取得極大值．〔I〕求實(shí)數(shù)的取值范圍；〔II〕假設(shè)方程恰好有兩個(gè)不同的根，求的解析式解：〔I〕 由，因?yàn)楫?dāng)時(shí)取得極大值， 所以，所以；…………〔4分〕〔II〕由下表：+0-0-遞增極大值遞減極小值遞增 依題意得：，解得： 所以函數(shù)的解析式是：例8.常數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，函數(shù)，討論函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)解：，由，得，列表-0+單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，函數(shù)取極小值，無極大值．…………〔6分〕由〔I〕，∵，∴，∴，…………〔8分〕〔i〕當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間不存在零點(diǎn)〔ii〕當(dāng)，即時(shí)假設(shè)，即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間不存在零點(diǎn)假設(shè)，即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間存在一個(gè)零點(diǎn)；假設(shè)，即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間存在兩個(gè)零點(diǎn)；綜上所述，在上，我們有結(jié)論：當(dāng)時(shí)，函數(shù)無零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．…………〔12分〕考點(diǎn)3：恒成立問題例9.函數(shù)f(x)=ex-ax，其中a＞0.[@#中國(guó)^教育出版&網(wǎng)~]〔1〕假設(shè)對(duì)一切x∈R，f(x)1恒成立，求a的取值集合；[z〔2)在函數(shù)f(x)的圖像上去定點(diǎn)A〔x1,f(x1)〕,B(x2,f(x2))(x1<x2)，記直線AB的斜率為k，證明：存在x0∈〔x1,x2〕,使恒成立.解：令.當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，取最小值于是對(duì)一切恒成立，當(dāng)且僅當(dāng).①令那么當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.故當(dāng)時(shí)，取最大值.因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，①式成立.綜上所述，的取值集合為.〔Ⅱ〕由題意知，令那么令，那么.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.故當(dāng)，即從而，又所以因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，所以存在使即成立.例10.設(shè)函數(shù)〔1〕求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值.〔2〕假設(shè)當(dāng)時(shí)，恒有，試確定a的取值范圍.解答：〔1〕=令得列表如下：x〔-∞，a〕a〔a，3a〕3a〔3a，+∞〕-0+0-極小極大∴在〔a，3a〕上單調(diào)遞增，在〔-∞，a〕和〔3a，+∞〕上單調(diào)遞減時(shí)，，時(shí)，〔2〕∵0<a<1，∴對(duì)稱軸，∴在[a+1，a+2]上單調(diào)遞減∴，依題，即解得，又0<a<1∴a的取值范圍是例11.函數(shù)，，〔1〕證明：當(dāng)時(shí)，恒有〔2〕當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍;解：〔1〕設(shè)，那么=，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在〔0，單調(diào)遞增，又在處連續(xù)，所以，即，所以?！?〕設(shè)，那么在〔0，恒大于0，，，的根為0和即在區(qū)間〔0，上，的根為0和假設(shè)，那么在單調(diào)遞減，且，與在〔0，恒大于0矛盾；假設(shè)，在〔0，單調(diào)遞增，且，滿足題設(shè)條件，所以，所以例12.函數(shù)的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，且在處取得極大值．對(duì)于〔II〕中的函數(shù)，對(duì)任意，求證：．解：對(duì)任意的實(shí)數(shù)都有 在區(qū)間[-2，2]有： 函數(shù)上的最大值與最小值的差等于81， 所以例13.函數(shù)在上不具有單調(diào)性．〔I〕求實(shí)數(shù)的取值范圍；〔II〕假設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)，試證明：對(duì)任意兩個(gè)不相等正數(shù)，不等式恒成立解：〔I〕，………………〔2分〕∵在上不具有單調(diào)性，∴在上有正也有負(fù)也有0，即二次函數(shù)在上有零點(diǎn)………………〔4分〕∵是對(duì)稱軸是，開口向上的拋物線，∴的實(shí)數(shù)的取值范圍……………