空間直線與平面

一對(duì)一vip輔導(dǎo)講義年級(jí)：高二輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué)課題空間直線與平面（一）教學(xué)目的熟練掌握平面基本性質(zhì)；理解空間中的線線關(guān)系；鍛煉初步的空間想象能力，體會(huì)數(shù)學(xué)空間中的抽象美。教學(xué)內(nèi)容【知識(shí)講解】（一）平面公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)。注意：（1）關(guān)于公理1可以使用集合的符號(hào)把它簡(jiǎn)明準(zhǔn)確地表達(dá).A∈L，B∈L，A∈α，B∈αLα。（2）公理1判定直線在平面內(nèi)的依據(jù)，進(jìn)一步可判定圖形共面。（3）公理1說(shuō)明平面具有無(wú)限延展性。公理2：如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條通過(guò)這個(gè)點(diǎn)的公共直線。如圖：注意：1.“有且只有一條”的含義是：“有”說(shuō)明直線是存在的，“只有”說(shuō)明直線是唯一的。2.如果兩個(gè)平面α和β有一條公共直線，就說(shuō)平面α和β相交，交線是a，則可記作α∩β＝a3.公理2可表示成如下形式：若A∈α，A∈β，則α∩β＝a，且A∈a。4.兩個(gè)平面如果有一個(gè)公共點(diǎn)，那么就有無(wú)窮多個(gè)公共點(diǎn)，所有公共點(diǎn)在公共直線上，即它們的交線上；交線的每一個(gè)點(diǎn)都是兩個(gè)平面的公共點(diǎn)。5.公理2是作出兩個(gè)平面交線的依據(jù)。6.在公理指導(dǎo)下畫(huà)出兩個(gè)相交平面的一般步驟如下：①先畫(huà)表示兩個(gè)平面的平行四邊形的相交兩邊，如圖（1）②再畫(huà)出表示兩個(gè)平面交線的線段，如圖（2）③過(guò)圖（1）中線段的端點(diǎn)分別引線段，使它平行且等于（2）中表示交線的線段，如圖（3）。④畫(huà)圖中表示兩個(gè)平面的平行四邊形的第四邊（被遮住的線，可以用虛線，也可以不畫(huà)，如圖（4））（1）（2）（3）（4）公理3：經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。注意：①公理3實(shí)際上是給出了確定平面的條件。講解是應(yīng)突出“不在同一直線上”和“三點(diǎn)”幾個(gè)字②“有且只有”的理解：“有”說(shuō)明直線是存在的；“只有”說(shuō)明直線是唯一的。公理3推論推論1經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。推論2經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面推論3經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面（二）空間直線(即公理4的數(shù)學(xué)意義)3.定理1：若一個(gè)角的兩邊分別與另一角的兩邊平行，則這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)(注意互補(bǔ)的情況).4.異面直線的判定定理：經(jīng)過(guò)平面外一點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線。5.異面直線所成角：過(guò)空間任意一點(diǎn)O，分別作異面直線a與b的平行線a’、b’，則a’與b’所成的銳角或直角叫做a與b的（夾角）所成角。6.異面直線所成角求法：（1）作角：平移a或b，使a與b相交，得到所求角。（2）以該角為一可解三角形一內(nèi)角，解三角形、求角的大小。注意：若cosα<0，則所求角為π-α?！纠}分析】例1、畫(huà)出經(jīng)過(guò)已知直線AB的三個(gè)平面。例2.三個(gè)不同平面可能把空間分成幾部分？畫(huà)圖說(shuō)明可能分成4，6，7，8個(gè)部分。練習(xí)1.已知：延長(zhǎng)⊿ABC三邊，AB＝D，BC＝E，AC＝F，求證：D、E、F共線。例3.三個(gè)平面兩兩相交有三條直線，求證這三條直線交于一點(diǎn)或互相平行。已知：平面αβγ兩兩相交且α∩β＝a，β∩γ＝b，α∩γ＝c求證：a、b、c相交于一點(diǎn)或互相平行分析：兩種情況（1）交線相交（2）交線不相交證明：（1）設(shè)a∩b＝P則Pa，Pb∵α∩β＝a，β∩γ＝b∴Pα，Pβ，Pγ∵pα∩β而α∩γ＝c∴pc∴a.b.c相交于一點(diǎn)P（2）若a.b.c不相交，在α內(nèi)必有a∥c同理b∥c∴a∥b∥c練習(xí)2.在正方體AC1中，M、N分別是A1B1、B1B的中點(diǎn)，求（1）AM和CN所成角的大??；（2）AM和BD1所成角的大小。（3）AM和BD所成角的大小；練習(xí)3.如圖正方體中：（1）與對(duì)角線AC1成異面的直線的棱有多少條？（2）與AB成異面直線的棱有多少條？（3）與BD成異面直線的棱有多少條？（4）正方體12條棱中異面直線共有多少對(duì)？練習(xí)4、正方體棱長(zhǎng)為，對(duì)角線長(zhǎng)為。①異面直線與所成的角。②異面直線與的距離。③異面直線與所成的角。④異面直線與所成的角。⑤M、N為、中點(diǎn)，MN與AC所成角。⑥H為BC中點(diǎn)，與所成角。練習(xí)5、四面體ABCD，棱長(zhǎng)均為（正四面體）①求異面直線AD、BC的距離。②求AC、BD所成的角。③E、F為BC、AD中點(diǎn)，求AE、CF所成角。練習(xí)6、P為所在平面外一點(diǎn)，E為PA中點(diǎn)，且，，，（）。求異面直線BE、PC的距離。練習(xí)6、正方體中，E、F為AB、中點(diǎn)，求、所成的角?！倦S堂練習(xí)及課后作業(yè)】1、已知E，F(xiàn)，G，H是空間的四個(gè)點(diǎn)。命題甲：點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H不共面；命題乙：點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H中任何三點(diǎn)不共線。那么甲是乙成立的條件。A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.非充分非必要2、、異面，、異面，則、的關(guān)系為（）A.平行B.相交C.異面D.以上均有可能3、分別與兩條異面直線都相交的兩條直線的位置關(guān)系是（）A.平行或相交B.相交或異面C.平行或異面D.均有可能4、、為異面直線，，，，則有（）A.、同時(shí)與相交 B.至少與、中一條相交C.至多與、中一條相交 D.與、中一條平行，一條相交5、AB、CD分別是兩條異面上線段，M、N分別是它的中點(diǎn)，則有（）A. B.C. D.與無(wú)法比較6、若a、b為異面直線，直線c//a，則c與b的位置關(guān)系是（）A.相交 B.異面C.平行 D.異面或相交7、兩兩相交的四條直線確定平面的個(gè)數(shù)最多的是（）A.4個(gè) B.5個(gè)C.6個(gè) D.8個(gè)8、正方體ABCD-A1B1C1D1中，所有各面的對(duì)角線能與AB1成60°角的異面直線的條數(shù)有（）A.2條 B.4條C.5條 D.6條9、在空間四點(diǎn)中，三點(diǎn)共線是四點(diǎn)共面的（）A.充分必要條件B.必要非充分條件C.充分非必要條件D.既非充分又非必要條件10、教室內(nèi)有一把尺子，無(wú)論怎樣放置，地面上總有這樣的直線與該直尺所在直線（）A.平行 B.垂直C.相交但不垂直 D.異面11、如圖所示，點(diǎn)P、Q、R、S分別在正方體的四條棱上并且是所在棱的中點(diǎn)，則直線PQ與RS是異面直線的一個(gè)圖是（）12、在空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA上分別取E、F、G、H四點(diǎn)，如果EF與HG交于點(diǎn)M，則（）A.M一定在直線AC上B.M一定在直線BD上C.M可能在AC上，也可能在BD上D.M不在AC上，也不在BD上13、如圖所示是一個(gè)正方體的展開(kāi)圖，在原正方體中，有下列命題：（1）AB與CD所在直線垂直；（2）CD與EF所在直線平行；（3）AB與MN所在直線成60°角；（4）MN與EF所在直線異面。其中正確命題的序號(hào)是（）（二）填空題1、，、與、均垂直，則、的關(guān)系為_(kāi)____________________2、已知異面直線、成角，P為空間一點(diǎn)，則過(guò)P且與、所成角均為的直線有_________條3、空間直線滿足（1）與異面；（2）與成角；（3）與距離為10cm；則這樣的有_________條4、空間四邊形ABCD棱長(zhǎng)為，對(duì)角線也為，E為AD中點(diǎn)，AB與CE所成角為_(kāi)_________________5、若a、b、l是兩兩異面的直線，a與b所成的角是，所成的角都是α，則α的取值范圍是6、在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G分別為AB、BC、CC1的中點(diǎn)，則EF與BG所成角的余弦值為_(kāi)______(三)解答題1、已知：四邊形ABCD中，AB//CD，AB、BC、