第05講 有理數(shù)的計(jì)算（原卷版）

第05講有理數(shù)的運(yùn)算課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①有理數(shù)的加法運(yùn)算法則以及運(yùn)算定律②有理數(shù)的減法運(yùn)算法則③有理數(shù)的乘法運(yùn)算法則與運(yùn)算定律④倒數(shù)與有理數(shù)的除法運(yùn)算法則掌握有理數(shù)的加減法運(yùn)算法則，能夠進(jìn)行加減運(yùn)算。掌握有理數(shù)的乘除運(yùn)算法則，能夠進(jìn)行乘除運(yùn)算。掌握運(yùn)算定律，能夠進(jìn)行有理數(shù)的加減乘除法混合運(yùn)算。知識(shí)點(diǎn)01有理數(shù)的加法運(yùn)算加法運(yùn)算法則：①同號(hào)相加：同號(hào)相加，不變，相加。即符號(hào)相同的數(shù)相加，和的符號(hào)與加數(shù)的符號(hào)一致，把絕對(duì)值相加。同為正數(shù)相加時(shí)，和每一個(gè)加數(shù)，同為負(fù)數(shù)相加時(shí)，和每一個(gè)加數(shù)。②異號(hào)相加：異號(hào)相加，取絕對(duì)值的數(shù)的符號(hào)，再把做差。大的絕對(duì)值減去小的絕對(duì)值。③與0相加：任何數(shù)與0相加都等于。有理數(shù)的加法運(yùn)算技巧：一定二求三加減。確定和的符號(hào)，求各個(gè)加數(shù)的絕對(duì)值，對(duì)絕對(duì)值進(jìn)行加減。加法運(yùn)算定律：①加法交換律：交換加數(shù)的位置，和。。②加法結(jié)合律：三個(gè)加數(shù)相加時(shí)，先把加數(shù)相加或先把加數(shù)相加，和不變。即：特別提示：簡(jiǎn)便運(yùn)算小技巧：互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)可先相加。同分母或者分母成倍數(shù)的分?jǐn)?shù)可先相加。和為整數(shù)的數(shù)可先相加。符號(hào)相同的數(shù)可先相加。帶分?jǐn)?shù)可分拆成整數(shù)部分和分?jǐn)?shù)部分然后分別相加。（兩部分符號(hào)與原符號(hào)）題型考點(diǎn)：①有理數(shù)的加法計(jì)算。②根據(jù)解題步驟列方程解決實(shí)際問題?！炯磳W(xué)即練1】1．計(jì)算：﹣2+5的結(jié)果是（）A．﹣7 B．﹣3 C．3 D．7【即學(xué)即練2】2．武漢市元月份某一天早晨的氣溫是﹣3℃，中午上升了8℃，則中午的氣溫是（）A．﹣5℃ B．5℃ C．3℃ D．﹣3℃【即學(xué)即練3】3．下列運(yùn)算正確的是（）A．（+8）+（﹣10）＝﹣（10﹣8）＝﹣2 B．（﹣3）+（﹣2）＝﹣（3﹣2）＝﹣1 C．（﹣5）+（+6）＝+（6+5）＝+11 D．（﹣6）+（﹣2）＝+（6+2）＝+8【即學(xué)即練4】4．運(yùn)用加法的運(yùn)算律計(jì)算（+6）+（﹣18）+（+4）+（﹣6.8）+18+（﹣3.2）最適當(dāng)?shù)氖牵ǎ〢．[（+6）+（+4）+18]+[（﹣18）+（﹣6.8）+（﹣3.2）] B．[（+6）+（﹣6.8）+（+4）]+[（﹣18）+18+（﹣3.2）] C．[（+6）+（﹣18）]+[（+4）+（﹣6.8）]+[18+（﹣3.2）] D．[（+6）+（+4）]+[（﹣18）+18]+[（﹣3.2）+（﹣6.8）]【即學(xué)即練5】5．計(jì)算．（1）（+7）+（﹣6）+（﹣7）；（2）13+（﹣12）+17+（﹣18）；（﹣）+（﹣）++（﹣）；（4）（﹣20）+3+20+（﹣）；（5）（﹣3.75）+2+（﹣1）；（6）5.6+（﹣0.9）+4.4+（﹣8.1）．知識(shí)點(diǎn)02有理數(shù)的減法減法運(yùn)算法則：減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的。把減法變成加法計(jì)算。較大的數(shù)－較小的數(shù)＝正數(shù)。即則0。較小的數(shù)－較大的數(shù)＝負(fù)數(shù)。即0。相等的數(shù)的差等于0。即0。題型考點(diǎn)：①有理數(shù)的減法計(jì)算?！炯磳W(xué)即練1】6．計(jì)算﹣1﹣2＝（）A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3【即學(xué)即練2】7．計(jì)算：（1）（﹣12）﹣（﹣15）；（2）0﹣2020；（﹣7.5）﹣5.6；（4）（﹣）﹣（﹣）；（5）（﹣2）﹣（﹣3）；（6）（﹣5）﹣（﹣7）﹣（﹣6）﹣10．知識(shí)點(diǎn)03有理數(shù)的乘法乘法運(yùn)算法則：兩數(shù)相乘，同號(hào)得，異號(hào)得，在把相乘。若兩個(gè)因數(shù)的符號(hào)時(shí)一樣的，則積的符號(hào)為正，若兩個(gè)因數(shù)的符號(hào)不一樣，則積的符號(hào)為負(fù)。再把他們的絕對(duì)值相乘。多個(gè)有理數(shù)相乘：先觀察因數(shù)中有無0作為因數(shù)，若有0作為因數(shù)，則積為，若沒有0作為因數(shù)，則根據(jù)的個(gè)數(shù)先確定積的符號(hào)，當(dāng)負(fù)號(hào)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)個(gè)時(shí)，積的符號(hào)為，當(dāng)負(fù)號(hào)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)個(gè)時(shí)，積的符號(hào)為。在把所有因數(shù)的相乘。任何數(shù)與0相乘都等于。任何數(shù)與1相乘的積是，與﹣1相乘得到它的。在有理數(shù)的乘法計(jì)算時(shí)，小數(shù)化成，帶分?jǐn)?shù)化成。乘法運(yùn)算法則：乘法交換律：交換因數(shù)的位置，積。即。乘法結(jié)合律：三個(gè)有理數(shù)相乘，先把因數(shù)相乘或先把因數(shù)相乘，積。乘法分配律：一個(gè)數(shù)乘以幾個(gè)數(shù)的和或差，等于這個(gè)數(shù)別分乘以這幾個(gè)數(shù)的積的和或差。即：題型考點(diǎn)：①有理數(shù)的乘法計(jì)算。②乘法運(yùn)算定律的應(yīng)用?！炯磳W(xué)即練1】8．下列運(yùn)算結(jié)果為負(fù)值的是（）A．（﹣7）×（﹣6） B．（﹣6）×3 C．0×（﹣2） D．（﹣7）×（﹣15）【即學(xué)即練2】9．計(jì)算﹣1的結(jié)果是（）A．1 B．﹣1 C． D．﹣【即學(xué)即練3】10．計(jì)算：（1）（﹣）×（﹣）×（﹣）；（2）（﹣5）×（﹣）××0×（﹣325）．知識(shí)點(diǎn)04倒數(shù)倒數(shù)的定義：乘積為的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)。若，則與互為或是的或是的。一個(gè)數(shù)不能說是倒數(shù)。求倒數(shù)：正數(shù)的倒數(shù)是，負(fù)數(shù)的倒數(shù)是，沒有倒數(shù)，倒數(shù)等于它本身的數(shù)有。求帶分?jǐn)?shù)的倒數(shù)時(shí)，先把帶分?jǐn)?shù)化成，求小數(shù)的倒數(shù)時(shí)，把小數(shù)化成。題型考點(diǎn)：求倒數(shù)?！炯磳W(xué)即練1】11．做一做：①5的倒數(shù)是；②2的倒數(shù)是；③0.1的倒數(shù)是；④﹣3.75的倒數(shù)是；⑤﹣3的倒數(shù)是；⑥﹣0.15的倒數(shù)是．知識(shí)點(diǎn)05有理數(shù)的除法除法運(yùn)算法則：法則一：除以一個(gè)數(shù)，等于乘以這個(gè)數(shù)的。法則二：兩數(shù)相除，同號(hào)得，異號(hào)得，再把相除。0除以任何一個(gè)不為0的數(shù)都得。若兩數(shù)相除的結(jié)果為1時(shí)，這兩個(gè)數(shù)，若兩數(shù)相除的結(jié)果為﹣1時(shí)，這兩個(gè)數(shù)。題型考點(diǎn)：①有理數(shù)的除法運(yùn)算?！炯磳W(xué)即練1】12．把（﹣）÷（﹣）轉(zhuǎn)化為乘法是（）A．（﹣）× B．（﹣）× C．（﹣）×（﹣） D．（﹣）×（﹣）【即學(xué)即練2】13．計(jì)算：的結(jié)果是（）A．﹣8 B．8 C．2 D．﹣2【即學(xué)即練3】14．計(jì)算：（1）﹣3÷（﹣）÷（﹣）；（2）（﹣12）÷（﹣4）÷（﹣1）；（3）（﹣）×（﹣）÷0.25；（4）（﹣2）÷（﹣5）×（﹣3）．知識(shí)點(diǎn)06有理數(shù)的加減乘除混合運(yùn)算混合運(yùn)算法則：①先，后，有的要先算。先算，再算，最后算。②同級(jí)運(yùn)算中，按照的順序計(jì)算。能使用簡(jiǎn)便運(yùn)算的使用簡(jiǎn)便運(yùn)算。題型考點(diǎn)：①有理數(shù)的混合運(yùn)算?！炯磳W(xué)即練1】15．下面是佳佳同學(xué)的一道題的解題過程：2÷（﹣）×（﹣3）＝[2÷（﹣）+2]×（﹣3），①＝2×（﹣3）×（﹣3）+2×4×（﹣3），②＝18﹣24，③＝6，④（1）佳佳同學(xué)開始出現(xiàn)錯(cuò)誤的步驟是；（2）請(qǐng)給出正確的解題過程．【即學(xué)即練2】16．計(jì)算：（1）﹣8+8÷[（﹣2）×]；（2）（﹣+﹣）÷（﹣）；（3）[﹣30﹣（+﹣）×（﹣36）]÷（﹣5）；（4）（+14.9）×[（﹣）﹣1]÷．題型01加法運(yùn)算定律與技巧的運(yùn)用【典例1】計(jì)算：（1）（+17）+（+6.25）+（﹣8）（2）﹣（﹣7）+9.8+（﹣4.2）+（﹣7）【典例2】用適當(dāng)?shù)姆椒ㄓ?jì)算：（1）0.36+（﹣7.4）+0.5+（﹣0.6）+0.14；（2）（﹣51）+（+12）+（﹣7）+（﹣11）+（+36）．【典例3】閱讀下面文字：對(duì)于（﹣5）+（﹣9）+17+（﹣3），可以按如下方法計(jì)算：原式＝[（﹣5）+（﹣）]+[（﹣9）+（﹣）]+（17+）+[（﹣3）+（﹣）]＝[（﹣5）+（﹣9）+17+（﹣3）]+[（﹣）+（﹣）++（﹣）]＝0+（﹣1）＝﹣1上面這種方法叫拆項(xiàng)法．仿照上面的方法，請(qǐng)你計(jì)算：（﹣2018）+（﹣2017）+（﹣1）+4036．題型02有理數(shù)的加減混合運(yùn)算【典例1】計(jì)算（﹣3.6）+（+2.5）；（2）（﹣49）﹣（﹣91）﹣（+51）+（﹣9）；（3）3﹣（﹣）+2+（﹣）；（4）1+（﹣2）+|﹣2﹣3|﹣5．【典例2】計(jì)算：﹣7+（﹣7）﹣（﹣15）﹣1（2）（﹣52）+（﹣19）﹣（+37）﹣（﹣24）（3）﹣24+3.2﹣16﹣3.5+0.3（4）﹣22（5）（6）[1.4﹣（﹣3.6+5.2）﹣4.3]﹣（﹣1.5）題型03有理數(shù)加減法的實(shí)際應(yīng)用【典例1】小蟲從點(diǎn)A出發(fā)，在一水平直線上來回爬行，假定向右爬行為正，向左爬行為負(fù)，爬行的各段路程（單位：cm）依次記錄為：+5，﹣2，+10，﹣8，﹣6，+12，﹣10．（1）小蟲最后回到了出發(fā)點(diǎn)A嗎？（2）在爬行的過程中，若每爬行1cm，獎(jiǎng)勵(lì)一粒芝麻，則小蟲可得到多少粒芝麻？【典例2】高速公路養(yǎng)護(hù)小組，乘車沿東西向公路巡視維護(hù)，如果約定向東為正，向西為負(fù)，當(dāng)天的行駛記錄如下（單位：千米）+17，﹣9，+7，﹣15，﹣3，+11，﹣6，﹣8，+5，+16（1）養(yǎng)護(hù)小組最后到達(dá)的地方在出發(fā)點(diǎn)的哪個(gè)方向？距出發(fā)點(diǎn)多遠(yuǎn)？（2）養(yǎng)護(hù)過程中，最遠(yuǎn)處離出發(fā)點(diǎn)有多遠(yuǎn)？（3）若汽車耗油量為a升/千米，則這次養(yǎng)護(hù)共耗油多少升？【典例3】科技改變生活，當(dāng)前網(wǎng)絡(luò)銷售日益盛行，許多農(nóng)商采用網(wǎng)上銷售的方式進(jìn)行營(yíng)銷，實(shí)現(xiàn)脫貧致富．小明把自家種的柚子放到網(wǎng)上銷售，計(jì)劃每天銷售100千克，但實(shí)際每天的銷售量與計(jì)劃銷售量相比有增減，超過計(jì)劃量記為正，不足計(jì)劃量記為負(fù)．下表是小王第一周柚子的銷售情況：星期一二三四五六日柚子銷售超過或不足計(jì)劃量情況（單位：千克）+3﹣5﹣2+11﹣7+13+5（1）小王第一周銷售柚子最多的一天比最少的一天多銷售多少千克？（2）小王第一周實(shí)際銷售柚子的總量是多少千克？（3）若小王按8元/千克進(jìn)行柚子銷售，平均運(yùn)費(fèi)為3元/千克，則小王第一周銷售柚子一共收入多少元？題型04有理數(shù)乘法運(yùn)算定律【典例1】簡(jiǎn)便方法計(jì)算：①（﹣﹣）×（﹣27）；②﹣6×+4×﹣5×．【典例2】簡(jiǎn)便計(jì)算（1）（﹣48）×0.125+48×+（﹣48）×（2）（）×（﹣36）【典例3】計(jì)算（1）（2）．題型05有理數(shù)的加減法表示數(shù)軸上的點(diǎn)間的距離以及點(diǎn)的移動(dòng)【典例1】在數(shù)軸上，到表示﹣1的點(diǎn)的距離等于6的點(diǎn)表示的數(shù)是（）A．5 B．﹣7 C．5或﹣7 D．8【典例2】M點(diǎn)在數(shù)軸上表示﹣4，N點(diǎn)離M的距離是3，那么N點(diǎn)表示的數(shù)為（）A．﹣1 B．﹣7 C．﹣1或﹣7 D．﹣1或1【典例3】點(diǎn)A在數(shù)軸上距原點(diǎn)3個(gè)單位長(zhǎng)度，若將點(diǎn)A向右移動(dòng)4個(gè)單位長(zhǎng)度，再向左移動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)度，此時(shí)點(diǎn)A所表示的數(shù)是．【典例4】如果在數(shù)軸上點(diǎn)A表示﹣3，從點(diǎn)A出發(fā)，沿?cái)?shù)軸移動(dòng)4個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)B點(diǎn)，則點(diǎn)B表示的數(shù)是．題型06有理數(shù)的運(yùn)算與數(shù)軸【典例1】已知|m|＝4，|n|＝6，且m+n＝|m+n|，則m﹣n的值是（）A．﹣10 B．﹣2 C．﹣2或﹣10 D．2【典例2】若|a﹣2|+|b+3|＝0，則a﹣b的值為．【典例3】若|a|＝5，|b|＝1，且a﹣b＜0，則a+b的值等于（）A．4或6 B．4或﹣6 C．﹣6或6 D．﹣6或﹣4【典例4】有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)如圖所示，化簡(jiǎn)|b+a|+|a+c|+|c﹣b|的結(jié)果是（）A．2b﹣2c B．2c﹣2b C．2b D．﹣2c【典例5】已知：x＜0＜z，xy＞0，且|y|＞|z|＞|x|，那么|x+z|+|y+z|﹣|x﹣y|的值（）A．是正數(shù) B．是負(fù)數(shù) C．是零 D．不能確定符號(hào)1．﹣2023的倒數(shù)是（）A．2023 B． C．﹣2023 D．2．下面算法正確的是（）A．（﹣5）+9＝﹣（9﹣5） B．7﹣（﹣10）＝7﹣10 C．（﹣5）×0＝﹣5 D．（﹣8）÷（﹣4）＝8÷43．定義一種新的運(yùn)算：如果，則有x▲y＝x+xy+|﹣y|，那么2▲（﹣4）的值是（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣5 D．44．下列算式結(jié)果為負(fù)數(shù)的是（）A．﹣1+2 B．2﹣3 C．﹣1×（﹣2） D．0÷（﹣1）5．已知a、b兩數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)如圖所示，下列結(jié)論正確的共有（）①＜0，②ab＞0，③a﹣b＜0，④﹣a＜﹣b．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)6．點(diǎn)A，B在數(shù)軸上的位置如圖所示，若點(diǎn)A，B表示的數(shù)分別為a，b，且滿足a+b＞0，則下列選項(xiàng)中原點(diǎn)位置正確的是（）A． B． C． D．7．已知某快遞公司的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為：寄一件物品不超過5千克，收費(fèi)13元；超過5千克的部分每千克加收2元．小紅在該快遞公司寄一件8千克的物品，需要付費(fèi)（）A．19元