江西省2023-2024學年高二上學期12月統(tǒng)一調研測試數(shù)學試題（含答案）

江西省2023—2024學年高二年級12月統(tǒng)一調研測試數(shù)學注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.二項式的展開式中的系數(shù)為（）A.128 B.56 C. D.2.若直線的一個方向向量，且在軸上的截距為2，則的方程為（）A. B. C. D.3.下列雙曲線中與雙曲線的焦距不相等的是（）A. B. C. D.4.已知，，若點，，共線，則（）A. B. C. D.5.北斗七星是夜空中的七顆亮星，我國漢代緯書《春秋運斗樞》就有記載，它們組成的圖形像我國古代舀酒的斗，故命名北斗七星.北斗七星不僅是天上的星象，也是古人藉以判斷季節(jié)的依據(jù)之一.如圖，用點，，，，，，表示某一時期的北斗七星，其中，，，看作共線，其他任何三點均不共線，過這七個點中任意兩個點作直線，所得直線的條數(shù)為（）A.4 B.13 C.15 D.166.已知點，是雙曲線：（，）的左、右焦點，第一象限的點在上，，點在內，且點到三邊的距離均為2，則漸近線方程為（）A. B. C. D.7.已知直線與橢圓：（）有公共點，的右焦點為，則的離心率的最大值為（）A. B. C. D.8.過點作圓：的切線與軸交于點，過點的直線與，軸及軸圍成一個四邊形，且該四邊形的所有頂點都在圓上，則點到直線的距離為（）A. B. C.或 D.或二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.圓：與圓：沒有公共點，則的值可能是（）A. B. C.2 D.410.已知，，，，則（）A.點，關于平面對稱B.點，關于軸對稱C.存在實數(shù)，，使得D.可以構成空間的一組基11.2023年國外某智庫發(fā)布尖端技術研究國家競爭力排名，在極超音速和水下無人機等23個領域中，中國在其中19個領域領先.某科技博主從這19個領域中選取了，，，，，六個領域，準備在2024年1月1—6日對公眾進行介紹，每天隨機介紹其中一個領域，且每個領域只在其中一天介紹，則（）A.，在后3天介紹的方法種數(shù)為144B.，相隔一天介紹的方法種數(shù)為96C.不在第一天，不在最后一天介紹的方法種數(shù)為504D.在，之前介紹的概率為12.已知直線經(jīng)過拋物線：的焦點，且與交于點，，點為坐標原點，點，在軸上的射影分別為，，點，在軸上的射影分別為，，則（）A. B.C.的最小值為7 D.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若直線與直線平行，則______.14.若，且，則的值為______.15.如圖，在四棱錐中，，，，兩兩垂直且相等，點為棱的中點，點在棱上，且，則點到平面的距離為______.16.過的三條高的垂足，分別作另外兩邊的垂線，則這六條垂線們垂足共圓，該圓稱為的泰勒圓，已知中，，，點在直線上方，過點作的垂線，垂足為.若.則的泰勒圓的標準方程為______.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（10分）已知點，，圓：（）.（1）若點在直線上，求；（2）若圓的一條切線過原點且與直線平行，判斷直線與圓的位置關系.18.（12分）已知函數(shù)（）.（1）當時，用二項式定理證明能被50整除；（2）設，，求的值.19.（12分）已知在正方形中，，點在邊上，且，把沿折起，使得點到達點處，.設，，.（1）用，，表示；（2）求.20.（12分）已知四棱柱是直四棱柱，延長線與延長線交于點，是邊長為2的正三角形.點，分別為，的中點，點為的中點.（1）若，求平而與平而所成二而角的平而角為銳角時的余弦值；（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求的長.21.（12分）已知曲線：（）.（1）若為橢圓，點是的一個焦點，點是上任意一點且的最小值為2，求；（2）已知點，是上關于原點對稱的兩點，點是上與，不重合的點.在下面兩個條件中選一個，判斷是否存在過點的直線與交于點，，且線段的中點為，若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.①直線的斜率之積為2；②直線，的斜率之積為.注：若選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.22.（12分）已知點是拋物線：上與原點不重合的一點，直線與直線交于點，的焦點為，直線與交于另一點.（1）證明：直線軸；（2）若與不重合的點，，，都在上，且以，為直徑的圓都過點，直線與交于點，求的取值范圍.江西省2023—2024學年高二年級12月統(tǒng)一調研測試數(shù)學參考答案及評分細則1.【答案】B【解析】二項式的展開式中的系數(shù)為，故選B.2.【答案】A【解析】由直線的一份方向向量，得的斜率，又在軸上的截距為2，所以的方程為，即，故選A.3.【答案】D【解析】由，可得雙曲線，，，的焦距都是，雙曲線的焦距是，故選D.4.【答案】C【解析】因為點，，共線，所以與共線，所以，解得，，，，，故選C.5.【答案】D【解析】解法一：用間接方法，過這七個點中任意兩個點作直線，所得直線的條數(shù)為，故選.解法二：用直接方法，（1）過點，，，的直線只有1條；（2）過，，中的任意兩點作直線，可作3條；（3）從，，，任取一點，從，，中任取1點作直線，可作直線條數(shù)為，綜上，所得直線的條數(shù)為，故選D.6.【答案】B【解析】設，，則，，所以，，又的面積，所以，解得，所以，的漸近線方程為，故選B.7.【答案】B【解析】由的右焦點為，得的左焦點為，設點關于直線對稱的點為，則解得，則，所以的離心率的最大值為，故選B.8.【答案】C【解析】化為標準方程為，所以，圓的半徑為，設：，由直線與圓相切得，解得，：，令得，若，交于點，且，設原點為，因為，，所以四邊形對角互補，點，，，都在圓上，點為線段的中點，，直線的方程為，到直線的距離為；若，設與軸交于點，四邊形是等腰梯形，對角互補，點，，，都在圓上，此時點既在線段的垂直平分線上，又在線段的垂直平分線上，所以，此時直線的方程為，到直線的距離為，故選C.9.【答案】BD【解析】圓與圓沒有公共點，則兩圓外離或內含，所以或，即或，所以或或，故選BD.10.【答案】AB【解析】易得AB正確；假設存在實數(shù)，，使得，則，即無解，故不存在實數(shù)，，使，故C錯誤；對于D，因為，所以，，共面，不能構成空間的一組基，D錯誤，故選AB.11.【答案】ACD【解析】，在后3天介紹的方法種數(shù)為，A正確；，相隔一天介紹的方法種數(shù)為，B錯誤；不在第一天，不在最后一天介紹的方法種數(shù)為（或），C正確：在，之前介紹的概率為，D正確，故選ACD.12.【答案】ABD【解析】設，，直線的方程為，與聯(lián)立得，所以，，A正確；，所以，B正確；，當且僅當時取等號，C錯誤；，D正確，故選ABD.13.【答案】2或【解析】直線與直線平行，則，即，解得或.當或時兩直線不重合，滿足題意，所以或.14.【答案】【解析】由題意得的展開式中的常數(shù)項與一次項系數(shù)相等，則，所以.15.【答案】【解析】以點為原點，以，，所在直線分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，，設平面的法向量為，則即取得，所以點到平而的距離為.16.【答案】【解析】過點作的垂線，垂足為，設的中點為，過點作，的垂線，垂足分別為，，則的外接圓就是的泰勒圓，設（），由得，由得，所以，由得，，所以，，，由此可得的外接圓為，所以的泰勒圓的標準方程為.17.解：（1）因為點在直線上，所以，即，所以.（2）由（1）知，，圓的一條切線過原點且與直線平行，該切線方程為，所以圓的半徑，直線方程為，圓心到直線的距離，所以直線與圓相離.18.（1）證明：當時，，因為，所以當時，能被50整除.（2）解：當時，由已知得，令，得，①令，得，②聯(lián)立①②得，.令，得，所以，.19.解：（1）因為，且，，所以，，.（2）由題意可得，，，，，所以，所以.20.解：取的中點，的中點，連接，，則，，兩兩相互垂直.以點為原點，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標系，則，，.（1）因為，所以，，，，，，，設是平面的一個法向量，則，即取，得，設是平面的一個法向量，則即取，得，則，所以平面與平面所成二面角的平面角為銳角時的余弦值為，（2）設（），則，，，，，設是平面的一個法向量，則即取，得，設直線與平面所成的角為，則，解得或，所以或.21.解：（1）設，若，表示焦點在軸上的橢圓，由：得，，不失一般性，設，其中，則，，則，所以當時，取得最小值，所以，；若，表示焦點在軸上的橢圓，由：得，，不失一般性，設，其中，則，，則，所以當時，取得最小值，解得，綜上得或.（2）若選①，設，則，，設，則，兩式相減得，所以，所以直線，的斜率之積為，所以，的方程為.解法一：假設存在過點的直線與交于點，，且線段的中點為，設，，則，且，把，代入的方程得，，兩式相減得，即，此時直線的方程為，即，與聯(lián)立消去得，，所以不存在過點的直線與交于點，，且線段的中點為.解法二：假設存在過點的直線與交于點，，且線段的中點為，設，，則，直線的斜率存在，設直線的方程為.與聯(lián)立得，所以，解得，此時直線的方程為，即，與聯(lián)立消去得，，所以不存在過點的直線與交于點，，且線段的中點為.若選②，設，則，，設，則，兩式相減得，所以，所以直線，的斜率之積為，所以，的方程為.解法一：假設存在過點的直線與交于點，，且線段的中點為，設，，則，且，點在橢圓內，過點的直線與有兩個交點，，，兩式相減得，即，所以直線的方程為，即，所以存在過點的直線與交于點，，且線段的中點為.解法二：假設存在過點的直線與交于點，，且線段的中點為，設，，則，直線的斜率存在，設直線的方程為.點在橢圓內，過點的直線與有兩個交點，與聯(lián)立得，所以，解得，所以直線的方程為，即，所以存在過點的直線與交于點，，且線段中