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福建省福州鼓樓區(qū)2024屆高三畢業(yè)生四月調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.函數(shù)f(x)=lnA. B. C. D.2.已知是雙曲線的左右焦點(diǎn),過的直線與雙曲線的兩支分別交于兩點(diǎn)(A在右支,B在左支)若為等邊三角形,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.3.已知是定義在上的奇函數(shù),當(dāng)時(shí),,則()A. B.2 C.3 D.4.設(shè)集合,則()A. B.C. D.5.在一個(gè)數(shù)列中,如果,都有(為常數(shù)),那么這個(gè)數(shù)列叫做等積數(shù)列,叫做這個(gè)數(shù)列的公積.已知數(shù)列是等積數(shù)列,且,,公積為,則()A. B. C. D.6.已知是虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)()A. B. C.2 D.7.某學(xué)校為了調(diào)查學(xué)生在課外讀物方面的支出情況,抽取了一個(gè)容量為的樣本,其頻率分布直方圖如圖所示,其中支出在(單位:元)的同學(xué)有34人,則的值為()A.100 B.1000 C.90 D.908.如圖所示,三國時(shí)代數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用弦圖,給出了勾股定理的絕妙證明.圖中包含四個(gè)全等的直角三角形及一個(gè)小正方形(陰影),設(shè)直角三角形有一內(nèi)角為,若向弦圖內(nèi)隨機(jī)拋擲500顆米粒(米粒大小忽略不計(jì),?。瑒t落在小正方形(陰影)內(nèi)的米粒數(shù)大約為()A.134 B.67 C.182 D.1089.某高中高三(1)班為了沖刺高考,營造良好的學(xué)習(xí)氛圍,向班內(nèi)同學(xué)征集書法作品貼在班內(nèi)墻壁上,小王,小董,小李各寫了一幅書法作品,分別是:“入班即靜”,“天道酬勤”,“細(xì)節(jié)決定成敗”,為了弄清“天道酬勤”這一作品是誰寫的,班主任對三人進(jìn)行了問話,得到回復(fù)如下:小王說:“入班即靜”是我寫的;小董說:“天道酬勤”不是小王寫的,就是我寫的;小李說:“細(xì)節(jié)決定成敗”不是我寫的.若三人的說法有且僅有一人是正確的,則“入班即靜”的書寫者是()A.小王或小李 B.小王 C.小董 D.小李10.已知集合,,若,則()A.4 B.-4 C.8 D.-811.函數(shù)(),當(dāng)時(shí),的值域?yàn)?,則的范圍為()A. B. C. D.12.記等差數(shù)列的公差為,前項(xiàng)和為.若,,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.“石頭、剪子、布”是大家熟悉的二人游戲,其規(guī)則是:在石頭、剪子和布中,二人各隨機(jī)選出一種,若相同則平局;若不同,則石頭克剪子,剪子克布,布克石頭.甲、乙兩人玩一次該游戲,則甲不輸?shù)母怕适莀_____.14.若、滿足約束條件,則的最小值為______.15.如圖,棱長為2的正方體中,點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn),以為圓心,1為半徑,分別在面和面內(nèi)作弧和,并將兩弧各五等分,分點(diǎn)依次為、、、、、以及、、、、、.一只螞蟻欲從點(diǎn)出發(fā),沿正方體的表面爬行至,則其爬行的最短距離為________.參考數(shù)據(jù):;;)16.函數(shù)的圖像如圖所示,則該函數(shù)的最小正周期為________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)[選修4-5:不等式選講]設(shè)函數(shù).(1)求不等式的解集;(2)已知關(guān)于的不等式在上有解,求實(shí)數(shù)的取值范圍.18.(12分)設(shè)復(fù)數(shù)滿足(為虛數(shù)單位),則的模為______.19.(12分)如圖,己知圓和雙曲線,記與軸正半軸、軸負(fù)半軸的公共點(diǎn)分別為、,又記與在第一、第四象限的公共點(diǎn)分別為、.(1)若,且恰為的左焦點(diǎn),求的兩條漸近線的方程;(2)若,且,求實(shí)數(shù)的值;(3)若恰為的左焦點(diǎn),求證:在軸上不存在這樣的點(diǎn),使得.20.(12分)已知在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù).).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為,曲線與直線其中的一個(gè)交點(diǎn)為,且點(diǎn)極徑.極角(1)求曲線的極坐標(biāo)方程與點(diǎn)的極坐標(biāo);(2)已知直線的直角坐標(biāo)方程為,直線與曲線相交于點(diǎn)(異于原點(diǎn)),求的面積.21.(12分)以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極坐標(biāo)系的極點(diǎn),軸的正半軸為極軸.已知曲線的極坐標(biāo)方程為,是上一動點(diǎn),,點(diǎn)的軌跡為.(1)求曲線的極坐標(biāo)方程,并化為直角坐標(biāo)方程;(2)若點(diǎn),直線的參數(shù)方程(為參數(shù)),直線與曲線的交點(diǎn)為,當(dāng)取最小值時(shí),求直線的普通方程.22.(10分)某公園有一塊邊長為3百米的正三角形空地,擬將它分割成面積相等的三個(gè)區(qū)域,用來種植三種花卉.方案是:先建造一條直道將分成面積之比為的兩部分(點(diǎn)D,E分別在邊,上);再取的中點(diǎn)M,建造直道(如圖).設(shè),,(單位:百米).(1)分別求,關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;(2)試確定點(diǎn)D的位置,使兩條直道的長度之和最小,并求出最小值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】因?yàn)閒x=lnx2-4x+4x-23=2、D【解題分析】
根據(jù)雙曲線的定義可得的邊長為,然后在中應(yīng)用余弦定理得的等式,從而求得離心率.【題目詳解】由題意,,又,∴,∴,在中,即,∴.故選:D.【題目點(diǎn)撥】本題考查求雙曲線的離心率,解題關(guān)鍵是應(yīng)用雙曲線的定義把到兩焦點(diǎn)距離用表示,然后用余弦定理建立關(guān)系式.3、A【解題分析】
由奇函數(shù)定義求出和.【題目詳解】因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù),.又當(dāng)時(shí),,.故選:A.【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)的奇偶性,掌握奇函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵.4、B【解題分析】
直接進(jìn)行集合的并集、交集的運(yùn)算即可.【題目詳解】解:;∴.故選:B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查集合描述法、列舉法的定義,以及交集、并集的運(yùn)算,是基礎(chǔ)題.5、B【解題分析】
計(jì)算出的值,推導(dǎo)出,再由,結(jié)合數(shù)列的周期性可求得數(shù)列的前項(xiàng)和.【題目詳解】由題意可知,則對任意的,,則,,由,得,,,,因此,.故選:B.【題目點(diǎn)撥】本題考查數(shù)列求和,考查了數(shù)列的新定義,推導(dǎo)出數(shù)列的周期性是解答的關(guān)鍵,考查推理能力與計(jì)算能力,屬于中等題.6、A【解題分析】
根據(jù)復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算求解即可.【題目詳解】.故選:A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.7、A【解題分析】
利用頻率分布直方圖得到支出在的同學(xué)的頻率,再結(jié)合支出在(單位:元)的同學(xué)有34人,即得解【題目詳解】由題意,支出在(單位:元)的同學(xué)有34人由頻率分布直方圖可知,支出在的同學(xué)的頻率為.故選:A【題目點(diǎn)撥】本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用,考查了學(xué)生概念理解,數(shù)據(jù)處理,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于基礎(chǔ)題.8、B【解題分析】
根據(jù)幾何概型的概率公式求出對應(yīng)面積之比即可得到結(jié)論.【題目詳解】解:設(shè)大正方形的邊長為1,則小直角三角形的邊長為,
則小正方形的邊長為,小正方形的面積,
則落在小正方形(陰影)內(nèi)的米粒數(shù)大約為,
故選:B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查幾何概型的概率的應(yīng)用,求出對應(yīng)的面積之比是解決本題的關(guān)鍵.9、D【解題分析】
根據(jù)題意,分別假設(shè)一個(gè)正確,推理出與假設(shè)不矛盾,即可得出結(jié)論.【題目詳解】解:由題意知,若只有小王的說法正確,則小王對應(yīng)“入班即靜”,而否定小董說法后得出:小王對應(yīng)“天道酬勤”,則矛盾;若只有小董的說法正確,則小董對應(yīng)“天道酬勤”,否定小李的說法后得出:小李對應(yīng)“細(xì)節(jié)決定成敗”,所以剩下小王對應(yīng)“入班即靜”,但與小王的錯誤的說法矛盾;若小李的說法正確,則“細(xì)節(jié)決定成敗”不是小李的,則否定小董的說法得出:小王對應(yīng)“天道酬勤”,所以得出“細(xì)節(jié)決定成敗”是小董的,剩下“入班即靜”是小李的,符合題意.所以“入班即靜”的書寫者是:小李.故選:D.【題目點(diǎn)撥】本題考查推理證明的實(shí)際應(yīng)用.10、B【解題分析】
根據(jù)交集的定義,,可知,代入計(jì)算即可求出.【題目詳解】由,可知,又因?yàn)椋詴r(shí),,解得.故選:B.【題目點(diǎn)撥】本題考查交集的概念,屬于基礎(chǔ)題.11、B【解題分析】
首先由,可得的范圍,結(jié)合函數(shù)的值域和正弦函數(shù)的圖像,可求的關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式,解不等式即可求得范圍.【題目詳解】因?yàn)?,所以,若值域?yàn)?,所以只需,?故選:B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查三角函數(shù)的值域,熟悉正弦函數(shù)的單調(diào)性和特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵,側(cè)重考查數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).12、C【解題分析】
由,和,可求得,從而求得和,再驗(yàn)證選項(xiàng).【題目詳解】因?yàn)?,,所以解得,所以,所以,,,故選:C.【題目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和公式,還考查運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解題分析】
用樹狀圖法列舉出所有情況,得出甲不輸?shù)慕Y(jié)果數(shù),再計(jì)算即得.【題目詳解】由題得,甲、乙兩人玩一次該游戲,共有9種情況,其中甲不輸有6種可能,故概率為.故答案為:【題目點(diǎn)撥】本題考查隨機(jī)事件的概率,是基礎(chǔ)題.14、【解題分析】
作出不等式組所表示的可行域,利用平移直線的方法找出使得目標(biāo)函數(shù)取得最小時(shí)對應(yīng)的最優(yōu)解,代入目標(biāo)函數(shù)計(jì)算即可.【題目詳解】作出不等式組所表示的可行域如下圖所示:聯(lián)立,解得,即點(diǎn),平移直線,當(dāng)直線經(jīng)過可行域的頂點(diǎn)時(shí),該直線在軸上的截距最小,此時(shí)取最小值,即.故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題考查簡單的線性規(guī)劃問題,考查線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題,考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.15、【解題分析】
根據(jù)空間位置關(guān)系,將平面旋轉(zhuǎn)后使得各點(diǎn)在同一平面內(nèi),結(jié)合角的關(guān)系即可求得兩點(diǎn)間距離的三角函數(shù)表達(dá)式.根據(jù)所給參考數(shù)據(jù)即可得解.【題目詳解】棱長為2的正方體中,點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn),以為圓心,1為半徑,分別在面和面內(nèi)作弧和.將平面繞旋轉(zhuǎn)至與平面共面的位置,如下圖所示:則,所以;將平面繞旋轉(zhuǎn)至與平面共面的位置,將繞旋轉(zhuǎn)至與平面共面的位置,如下圖所示:則,所以;因?yàn)椋矣烧T導(dǎo)公式可得,所以最短距離為,故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題考查了空間幾何體中最短距離的求法,注意將空間幾何體展開至同一平面內(nèi)求解的方法,三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的應(yīng)用,綜合性強(qiáng),屬于難題.16、【解題分析】
根據(jù)圖象利用,先求出的值,結(jié)合求出,然后利用周期公式進(jìn)行求解即可.【題目詳解】解:由,得,,,則,,,即,則函數(shù)的最小正周期,故答案為:8【題目點(diǎn)撥】本題主要考查三角函數(shù)周期的求解,結(jié)合圖象求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解題分析】
(1)零點(diǎn)分段去絕對值解不等式即可(2)由題在上有解,去絕對值分離變量a即可.【題目詳解】(1)不等式,即等價(jià)于或或解得,所以原不等式的解集為;(2)當(dāng)時(shí),不等式,即,所以在上有解即在上有解,所以,.【題目點(diǎn)撥】本題考查絕對值不等式解法,不等式有解求參數(shù),熟記零點(diǎn)分段,熟練處理不等式有解問題是關(guān)鍵,是中檔題.18、1【解題分析】
整理已知利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算方式計(jì)算,再由求模公式得答案.【題目詳解】因?yàn)?,即所以的模?故答案為:1【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算與求模,屬于基礎(chǔ)題.19、(1);(2);(2)見解析.【解題分析】
(1)由圓的方程求出點(diǎn)坐標(biāo),得雙曲線的,再計(jì)算出后可得漸近線方程;(2)設(shè),由圓方程與雙曲線方程聯(lián)立,消去后整理,可得,,由先求出,回代后求得坐標(biāo),計(jì)算;(3)由已知得,設(shè),由圓方程與雙曲線方程聯(lián)立,消去后整理,可解得,,求出,從而可得,由,可知滿足要求的點(diǎn)不存在.【題目詳解】(1)由題意圓方程為,令得,∴,即,∴,,∴漸近線方程為.(2)由(1)圓方程為,,設(shè),由得,(*),,,,所以,即,解得,方程(*)為,即,,代入雙曲線方程得,∵在第一、四象限,∴,,∴.(3)由題意,,,,,設(shè)由得:,,由得,解得,,,所以,,,當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí),等號成立,∴軸上不存在點(diǎn),使得.【題目點(diǎn)撥】本題考查求漸近線方程,考查圓與雙曲線相交問題.考查向量的加法運(yùn)算,本題對學(xué)生的運(yùn)算求解能力要求較高,解題時(shí)都是直接求出交點(diǎn)坐標(biāo).難度較大,屬于困難題.20、(1)極坐標(biāo)方程為,點(diǎn)的極坐標(biāo)為(2)【解題分析】
(1)利用極坐標(biāo)方程、普通方程、參數(shù)方程間的互化公式即可;(2)只需算出A、B兩點(diǎn)的極坐標(biāo),利用計(jì)算即可.【題目詳解】(1)曲線C:(為參數(shù),),將代入,解得,即曲線的極坐標(biāo)方程為,點(diǎn)的極坐標(biāo)為.(2)由(1),得點(diǎn)的極坐標(biāo)為,由直線過原點(diǎn)且傾斜角為,知點(diǎn)的極坐標(biāo)為,.【題目點(diǎn)撥】本題考查極坐標(biāo)方程、普通方程、參數(shù)方程間的互化以及利用極徑求三角形面積,考查學(xué)生的運(yùn)算能力,是一道基礎(chǔ)題.21、(1),;(2).【解題分析】
(1)設(shè)點(diǎn)極坐標(biāo)分別為,,由可得,整理即可得到極坐標(biāo)方程,進(jìn)而求得直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)分別為,則,,將直線的參數(shù)方程代入的直角坐標(biāo)方程中,再利用韋達(dá)定理可得,,則,求得取最小值時(shí)符合的條件,進(jìn)而求得直線的普通方程.【題目詳解】(1)設(shè)
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