北京市順義區(qū)、通州區(qū)2024屆數(shù)學(xué)高三上期末聯(lián)考試題含解析

北京市順義區(qū)、通州區(qū)2024屆數(shù)學(xué)高三上期末聯(lián)考試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知定義在上的函數(shù)的周期為4，當(dāng)時(shí)，，則（）A． B． C． D．2．在中，“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢． B． C． D．4．已知數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，且成等比數(shù)列，則（）A．4 B．3 C．2 D．15．記等差數(shù)列的公差為，前項(xiàng)和為.若，，則（）A． B． C． D．6．已知直線(xiàn)：與圓：交于，兩點(diǎn)，與平行的直線(xiàn)與圓交于，兩點(diǎn)，且與的面積相等，給出下列直線(xiàn)：①，②，③，④.其中滿(mǎn)足條件的所有直線(xiàn)的編號(hào)有（）A．①② B．①④ C．②③ D．①②④7．百年雙中的校訓(xùn)是“仁”、“智”、“雅”、“和”.在2019年5月18日的高三趣味運(yùn)動(dòng)會(huì)中有這樣的一個(gè)小游戲.袋子中有大小、形狀完全相同的四個(gè)小球，分別寫(xiě)有“仁”、“智”、“雅”、“和”四個(gè)字，有放回地從中任意摸出一個(gè)小球，直到“仁”、“智”兩個(gè)字都摸到就停止摸球.小明同學(xué)用隨機(jī)模擬的方法恰好在第三次停止摸球的概率.利用電腦隨機(jī)產(chǎn)生1到4之間（含1和4）取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，分別用1，2，3，4代表“仁”、“智”、“雅”、“和”這四個(gè)字，以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，表示摸球三次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了以下20組隨機(jī)數(shù)：141432341342234142243331112322342241244431233214344142134412由此可以估計(jì)，恰好第三次就停止摸球的概率為（）A． B． C． D．8．已知函數(shù)在上都存在導(dǎo)函數(shù)，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)都有，當(dāng)時(shí)，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．9．已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，其中是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為（）A． B． C． D．10．已知雙曲線(xiàn)C：（）的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)的直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)C的左支交于A、B兩點(diǎn).若，則雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)方程為（）A． B． C． D．11．如圖，這是某校高三年級(jí)甲、乙兩班在上學(xué)期的5次數(shù)學(xué)測(cè)試的班級(jí)平均分的莖葉圖，則下列說(shuō)法不正確的是（）A．甲班的數(shù)學(xué)成績(jī)平均分的平均水平高于乙班B．甲班的數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分比乙班穩(wěn)定C．甲班的數(shù)學(xué)成績(jī)平均分的中位數(shù)高于乙班D．甲、乙兩班這5次數(shù)學(xué)測(cè)試的總平均分是10312．某調(diào)查機(jī)構(gòu)對(duì)全國(guó)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，得到整個(gè)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分布餅狀圖，90后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)崗位分布條形圖，則下列結(jié)論中不正確的是（）注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之間出生，80前指1979年及以前出生.A．互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中90后占一半以上B．互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)超過(guò)總?cè)藬?shù)的C．互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事運(yùn)營(yíng)崗位的人數(shù)90后比80前多D．互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)90后比80后多二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，且，則的最小值是______.14．若函數(shù)(R，)滿(mǎn)足，且的最小值等于，則ω的值為_(kāi)__________.15．某校高二（4）班統(tǒng)計(jì)全班同學(xué)中午在食堂用餐時(shí)間，有7人用時(shí)為6分鐘，有14人用時(shí)7分鐘，有15人用時(shí)為8分鐘，還有4人用時(shí)為10分鐘，則高二（4）班全體同學(xué)用餐平均用時(shí)為_(kāi)___分鐘.16．在面積為的中，，若點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)滿(mǎn)足，則的最大值是______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖,直角三角形所在的平面與半圓弧所在平面相交于,，,分別為,的中點(diǎn),是上異于,的點(diǎn),.（1）證明:平面平面;（2）若點(diǎn)為半圓弧上的一個(gè)三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn))求二面角的余弦值.18．（12分）選修4-5：不等式選講已知函數(shù)的最大值為3，其中．（1）求的值；（2）若，，，求證：19．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，曲線(xiàn)：（為參數(shù)）以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸建立極坐標(biāo)系，直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為.（Ⅰ）判斷點(diǎn)與直線(xiàn)的位置關(guān)系并說(shuō)明理由；（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)與曲線(xiàn)的兩個(gè)交點(diǎn)分別為，，求的值.20．（12分）如圖，橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，上、下頂點(diǎn)分別為，，且，為等邊三角形，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓在軸右側(cè)的部分交于、兩點(diǎn)．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求四邊形面積的取值范圍．21．（12分）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)分別是線(xiàn)段的中點(diǎn)，分別將沿折起，沿折起，使得重合于點(diǎn)，連結(jié).（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.22．（10分）已知A是拋物線(xiàn)E：y2＝2px(p>0)上的一點(diǎn)，以點(diǎn)A和點(diǎn)B(2,0)為直徑兩端點(diǎn)的圓C交直線(xiàn)x＝1于M，N兩點(diǎn).（1）若|MN|＝2，求拋物線(xiàn)E的方程；（2）若0＜p＜1，拋物線(xiàn)E與圓(x﹣5)2+y2=9在x軸上方的交點(diǎn)為P，Q，點(diǎn)G為PQ的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求直線(xiàn)OG斜率的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

因?yàn)榻o出的解析式只適用于，所以利用周期性，將轉(zhuǎn)化為，再與一起代入解析式，利用對(duì)數(shù)恒等式和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，即可求得結(jié)果.【詳解】定義在上的函數(shù)的周期為4，當(dāng)時(shí)，，，，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了利用函數(shù)的周期性求函數(shù)值，對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬于中檔題.2、D【解析】

通過(guò)列舉法可求解，如兩角分別為時(shí)【詳解】當(dāng)時(shí)，，但，故充分條件推不出；當(dāng)時(shí)，，但，故必要條件推不出；所以“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查命題的充分與必要條件判斷，三角函數(shù)在解三角形中的具體應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題3、A【解析】

由計(jì)算出的取值范圍，利用正弦函數(shù)的基本性質(zhì)可求得函數(shù)的值域.【詳解】，，，因此，函數(shù)的值域?yàn)?故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)在區(qū)間上的值域的求解，解答的關(guān)鍵就是求出對(duì)象角的取值范圍，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】

根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列公式直接計(jì)算得到答案.【詳解】由成等比數(shù)列得，即，已知，解得.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列，等比數(shù)列的基本量的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.5、C【解析】

由，和，可求得，從而求得和，再驗(yàn)證選項(xiàng).【詳解】因?yàn)椋?，所以解得，所以，所以，，，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和公式，還考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.6、D【解析】

求出圓心到直線(xiàn)的距離為：，得出，根據(jù)條件得出到直線(xiàn)的距離或時(shí)滿(mǎn)足條件，即可得出答案.【詳解】解：由已知可得：圓：的圓心為（0,0），半徑為2，則圓心到直線(xiàn)的距離為：，∴，而，與的面積相等，∴或，即到直線(xiàn)的距離或時(shí)滿(mǎn)足條件，根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)距離可知，①②④滿(mǎn)足條件.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，涉及點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式.7、A【解析】

由題意找出滿(mǎn)足恰好第三次就停止摸球的情況，用滿(mǎn)足恰好第三次就停止摸球的情況數(shù)比20即可得解.【詳解】由題意可知當(dāng)1，2同時(shí)出現(xiàn)時(shí)即停止摸球，則滿(mǎn)足恰好第三次就停止摸球的情況共有五種：142，112，241，142，412.則恰好第三次就停止摸球的概率為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣中隨機(jī)數(shù)的應(yīng)用和古典概型概率的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】

先構(gòu)造函數(shù)，再利用函數(shù)奇偶性與單調(diào)性化簡(jiǎn)不等式，解得結(jié)果.【詳解】令，則當(dāng)時(shí)，，又，所以為偶函數(shù)，從而等價(jià)于，因此選B.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)奇偶性與單調(diào)性求解不等式，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.9、B【解析】

利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)z,復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為利用模長(zhǎng)公式即得解.【詳解】由題意知復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，模長(zhǎng)公式和幾何意義，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)學(xué)運(yùn)算，數(shù)形結(jié)合的能力，屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】

設(shè)，利用余弦定理，結(jié)合雙曲線(xiàn)的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)，由雙曲線(xiàn)的定義可知：因此再由雙曲線(xiàn)的定義可知：，在三角形中，由余弦定理可知：，因此雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為：.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線(xiàn)的定義的應(yīng)用，考查了余弦定理的應(yīng)用，考查了雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.11、D【解析】

計(jì)算兩班的平均值，中位數(shù)，方差得到正確，兩班人數(shù)不知道，所以?xún)砂嗟目偲骄譄o(wú)法計(jì)算，錯(cuò)誤，得到答案.【詳解】由題意可得甲班的平均分是104，中位數(shù)是103，方差是26.4；乙班的平均分是102，中位數(shù)是101，方差是37.6，則A，B，C正確.因?yàn)榧住⒁覂砂嗟娜藬?shù)不知道，所以?xún)砂嗟目偲骄譄o(wú)法計(jì)算，故D錯(cuò)誤.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了莖葉圖，平均值，中位數(shù)，方差，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.12、D【解析】

根據(jù)兩個(gè)圖形的數(shù)據(jù)進(jìn)行觀(guān)察比較，即可判斷各選項(xiàng)的真假．【詳解】在A中，由整個(gè)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分別餅狀圖得到互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中90后占56%，所以是正確的；在B中，由整個(gè)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分別餅狀圖，90后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)崗位分布條形圖得到：，互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)技術(shù)崗位的人數(shù)超過(guò)總?cè)藬?shù)的，所以是正確的；在C中，由整個(gè)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分別餅狀圖，90后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)崗位分別條形圖得到：，互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從事運(yùn)營(yíng)崗位的人數(shù)90后比80后多，所以是正確的；在D中，互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)90后所占比例為，所以不能判斷互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)90后比80后多．故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了命題的真假判定，以及統(tǒng)計(jì)圖表中餅狀圖和條形圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)的應(yīng)用，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、8【解析】

利用的代換，將寫(xiě)成，然后根據(jù)基本不等式求解最小值.【詳解】因?yàn)椋慈〉忍?hào)），所以最小值為.【點(diǎn)睛】已知，求解（）的最小值的處理方法：利用，得到，展開(kāi)后利用基本不等式求解，注意取等號(hào)的條件.14、1【解析】

利用輔助角公式化簡(jiǎn)可得,由題可分析的最小值等于表示相鄰的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心與一個(gè)對(duì)稱(chēng)軸的距離為,進(jìn)而求解即可.【詳解】由題,,因?yàn)?,且的最小值等于,即相鄰的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心與一個(gè)對(duì)稱(chēng)軸的距離為,所以,即,所以,故答案為:1【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性的應(yīng)用,考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn).15、7.5【解析】

分別求出所有人用時(shí)總和再除以總?cè)藬?shù)即可得到平均數(shù).【詳解】故答案為：7.5【點(diǎn)睛】此題考查求平均數(shù)，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確計(jì)算出所有數(shù)據(jù)之和，易錯(cuò)點(diǎn)在于概念辨析不清導(dǎo)致計(jì)算出錯(cuò).16、【解析】

由任意三角形面積公式與構(gòu)建關(guān)系表示|AB||AC|，再由已知與平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算轉(zhuǎn)化，最后由重要不等式求得最值.【詳解】由△ABC的面積為得|AB||AC|sin∠BAC=，所以|AB||AC|sin∠BAC=，①又,即|AB||AC|cos∠BAC=，②由①與②的平方和得:|AB||AC|=，又點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N滿(mǎn)足，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，即的最大值是為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查平面向量中由線(xiàn)性運(yùn)算表示未知向量，進(jìn)而由重要不等式求最值，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）詳見(jiàn)解析；（2）.【解析】

（1）由直徑所對(duì)的圓周角為，可知，通過(guò)計(jì)算，利用勾股定理的逆定理可以判斷出為直角三角形，所以有.由已知可以證明出，這樣利用線(xiàn)面垂直的判定定理可以證明平面，利用面面垂直的判定定理可以證明出平面平面;（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以垂直于平面向上的方向、向量所在方向作為軸、軸、軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面的一個(gè)法向量和平面的法向量，利用空間向量數(shù)量積運(yùn)算公式，可以求出二面角的余弦值.【詳解】解：（1）證明：因?yàn)榘雸A弧上的一點(diǎn)，所以.在中，分別為的中點(diǎn)，所以，且.于是在中，，所以為直角三角形，且.因?yàn)椋?所以.因?yàn)?，，，所以平?又平面，所以平面平面.（2）由已知，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以垂直于、向量所在方向作為軸、軸、軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，,,,.設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則即，取,得.設(shè)平面的法向量,則即，取,得.所以，又二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查了利用線(xiàn)面垂直判定面面垂直、利用空間向量數(shù)量積求二面角的余弦值問(wèn)題.18、（1）（2）見(jiàn)解析【解析】

（1）分三種情況去絕對(duì)值，求出最大值與已知最大值相等列式可解得；（2）將所證不等式轉(zhuǎn)化為2ab≥1，再構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性求出最小值可證．【詳解】（1）∵，∴.∴當(dāng)時(shí)，取得最大值.∴.（2）由（Ⅰ），得，.∵，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，∴.令，.則在上單調(diào)遞減.∴.∴當(dāng)時(shí)，.∴.【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值不等式的解法，屬中檔題．本題主要考查了絕對(duì)值不等式的求解，以及不等式的恒成立問(wèn)題，其中解答中根據(jù)絕對(duì)值的定義，合理去掉絕對(duì)值號(hào)，及合理轉(zhuǎn)化恒成立問(wèn)題是解答本題的關(guān)鍵，著重考查分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.19、（Ⅰ）點(diǎn)在直線(xiàn)上；見(jiàn)解析（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）直線(xiàn)：，即，所以直線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程為，因?yàn)?，所以點(diǎn)在直線(xiàn)上；（Ⅱ）根據(jù)直線(xiàn)的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義可得.【詳解】（Ⅰ）直線(xiàn)：，即，所以直線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程為，因?yàn)?，所以點(diǎn)在直線(xiàn)上；（Ⅱ）直線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線(xiàn)的普通方程為，將直線(xiàn)的參數(shù)方程代入曲線(xiàn)的普通方程得，設(shè)兩根為，，所以，，故與異號(hào)，所以，，所以.【點(diǎn)睛】本題考查在極坐標(biāo)參數(shù)方程中方程互化，還考查了直線(xiàn)的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，屬于中檔題.20、（1）；（2）.【解析】

（1）根據(jù)坐標(biāo)和為等邊三角形可得，進(jìn)而得到橢圓方程；（2）①當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，易求坐標(biāo)，從而得到所求面積；②當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為，與橢圓方程聯(lián)立得到韋達(dá)定理的形式，并確定的取值范圍；利用，代入韋達(dá)定理的結(jié)論可求得關(guān)于的表達(dá)式，采用換元法將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，的值域的求解問(wèn)題，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性可求得值域；結(jié)合兩種情況的結(jié)論可得最終結(jié)果.【詳解】（1），，為等邊三角形，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)四邊形的面積為．①當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，可得，，．②當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為，設(shè)，，聯(lián)立得：，，，．，，，，面積．令，則，，令，則，，在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，．綜上所述：四邊形面積的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題考查直線(xiàn)與橢圓的綜合應(yīng)用問(wèn)題，涉及到橢圓方程的求解、橢圓中的四邊形面積的取值范圍的求解問(wèn)題；關(guān)鍵是能夠?qū)⑺竺娣e