第48講-兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理(解析版)

第48講兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理考情分析了解分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理及其意義.知識(shí)梳理1.分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理做一件事，完成它有n類(lèi)辦法，在第一類(lèi)辦法中有m1種不同的方法，在第二類(lèi)辦法中有m2種不同的方法，……，在第n類(lèi)辦法中有mn種不同的方法.則完成這件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn種不同的方法.2.分步乘法計(jì)數(shù)原理做一件事，完成它需要分成n個(gè)步驟，做第一個(gè)步驟有m1種不同的方法，做第二個(gè)步驟有m2種不同的方法，……，做第n個(gè)步驟有mn種不同的方法.那么完成這件事共有N＝m1×m2×…×mn種不同的方法.3.分類(lèi)加法和分步乘法計(jì)數(shù)原理，區(qū)別在于：分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理針對(duì)“分類(lèi)”問(wèn)題，其中各種方法相互獨(dú)立，用其中任何一種方法都可以做完這件事；分步乘法計(jì)數(shù)原理針對(duì)“分步”問(wèn)題，各個(gè)步驟相互依存，只有各個(gè)步驟都完成了才算完成這件事.[微點(diǎn)提醒]分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理是解決排列組合問(wèn)題的基礎(chǔ)，并貫穿其始終.1.分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理中，完成一件事的方法屬于其中一類(lèi)，并且只屬于其中一類(lèi).2.分步乘法計(jì)數(shù)原理中，各個(gè)步驟相互依存，步與步之間“相互獨(dú)立，分步完成”.經(jīng)典例題考點(diǎn)一分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用【例1】(1)從甲地到乙地有三種方式可以到達(dá).每天有8班汽車(chē)、2班火車(chē)和2班飛機(jī).一天一人從甲地去乙地，共有________種不同的方法.(2)滿(mǎn)足a，b∈{－1，0，1，2}，且關(guān)于x的方程ax2＋2x＋b＝0有實(shí)數(shù)解的有序數(shù)對(duì)(a，b)的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______.解析(1)分三類(lèi)：一類(lèi)是乘汽車(chē)有8種方法；一類(lèi)是乘火車(chē)有2種方法；一類(lèi)是乘飛機(jī)有2種方法，由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理知，共有8＋2＋2＝12(種)方法.(2)當(dāng)a＝0時(shí)，b的值可以是－1，0，1，2，故(a，b)的個(gè)數(shù)為4；當(dāng)a≠0時(shí)，要使方程ax2＋2x＋b＝0有實(shí)數(shù)解，需使Δ＝4－4ab≥0，即ab≤1.若a＝－1，則b的值可以是－1，0，1，2，(a，b)的個(gè)數(shù)為4；若a＝1，則b的值可以是－1，0，1，(a，b)的個(gè)數(shù)為3；若a＝2，則b的值可以是－1，0，(a，b)的個(gè)數(shù)為2.由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理可知，(a，b)的個(gè)數(shù)為4＋4＋3＋2＝13.答案(1)12(2)13規(guī)律方法分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)是運(yùn)用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理的難點(diǎn)所在，應(yīng)抓住題目中的關(guān)鍵詞、關(guān)鍵元素和關(guān)鍵位置.(1)根據(jù)題目特點(diǎn)恰當(dāng)選擇一個(gè)分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn).(2)分類(lèi)時(shí)應(yīng)注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類(lèi)，并且分別屬于不同種類(lèi)的兩種方法才是不同的方法，不能重復(fù).(3)分類(lèi)時(shí)除了不能交叉重復(fù)外，還不能有遺漏，如本例(2)中易漏a＝0這一類(lèi).考點(diǎn)二分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用【例2】(1)用0，1，2，3，4，5可組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______.(2)五名學(xué)生報(bào)名參加四項(xiàng)體育比賽，每人限報(bào)一項(xiàng)，則不同的報(bào)名方法的種數(shù)為_(kāi)_______.五名學(xué)生爭(zhēng)奪四項(xiàng)比賽的冠軍(冠軍不并列)，則獲得冠軍的可能性有______種.解析(1)可分三步給百、十、個(gè)位放數(shù)字，第一步：百位數(shù)字有5種放法；第二步：十位數(shù)字有5種放法；第三步：個(gè)位數(shù)字有4種放法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，三位數(shù)的個(gè)數(shù)為5×5×4＝100.(2)五名學(xué)生參加四項(xiàng)體育比賽，每人限報(bào)一項(xiàng)，可逐個(gè)學(xué)生落實(shí)，每個(gè)學(xué)生有4種報(bào)名方法，共有45種不同的報(bào)名方法.五名學(xué)生爭(zhēng)奪四項(xiàng)比賽的冠軍，可對(duì)4個(gè)冠軍逐一落實(shí)，每個(gè)冠軍有5種獲得的可能性，共有54種獲得冠軍的可能性.答案(1)100(2)4554規(guī)律方法1.利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解決問(wèn)題要按事件發(fā)生的過(guò)程合理分步，即分步是有先后順序的，并且分步必須滿(mǎn)足：完成一件事的各個(gè)步驟是相互依存的，只有各個(gè)步驟都完成了，才算完成這件事.2.分步必須滿(mǎn)足兩個(gè)條件：一是步驟互相獨(dú)立，互不干擾；二是步與步確保連續(xù)，逐步完成.考點(diǎn)三兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用【例3】(1)用數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8，9組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字，且至多有一個(gè)數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)一共有________個(gè)(用數(shù)字作答).(2)如果一條直線(xiàn)與一個(gè)平面垂直，那么稱(chēng)此直線(xiàn)與平面構(gòu)成一個(gè)“正交線(xiàn)面對(duì)”.在一個(gè)正方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線(xiàn)與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線(xiàn)面對(duì)”的個(gè)數(shù)是()A.48 B.18 C.24 D.36解析(1)當(dāng)不含偶數(shù)時(shí)，有Aeq\o\al(4,5)＝120(個(gè))，當(dāng)含有一個(gè)偶數(shù)時(shí)，有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(3,5)Aeq\o\al(4,4)＝960(個(gè))，所以這樣的四位數(shù)共有1080個(gè).(2)在正方體中，每一個(gè)表面有四條棱與之垂直，六個(gè)表面，共構(gòu)成24個(gè)“正交線(xiàn)面對(duì)”；而正方體的六個(gè)對(duì)角面中，每個(gè)對(duì)角面有兩條面對(duì)角線(xiàn)與之垂直，共構(gòu)成12個(gè)“正交線(xiàn)面對(duì)”，所以共有36個(gè)“正交線(xiàn)面對(duì)”.答案(1)1080(2)D規(guī)律方法1.在綜合應(yīng)用兩個(gè)原理解決問(wèn)題時(shí)應(yīng)注意：(1)一般是先分類(lèi)再分步.在分步時(shí)可能又用到分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理.(2)對(duì)于較復(fù)雜的兩個(gè)原理綜合應(yīng)用的問(wèn)題，可恰當(dāng)?shù)亓谐鍪疽鈭D或列出表格，使問(wèn)題形象化、直觀化.2.解決涂色問(wèn)題，可按顏色的種數(shù)分類(lèi)，也可按不同的區(qū)域分步完成.[方法技巧]1.應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的難點(diǎn)在于明確分類(lèi)還是分步.在處理具體的應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，首先必須弄清楚“分類(lèi)”與“分步”的具體標(biāo)準(zhǔn)是什么.選擇合理的標(biāo)準(zhǔn)處理事情，可以避免計(jì)數(shù)的重復(fù)或遺漏.2.(1)分類(lèi)要做到“不重不漏”，分類(lèi)后再分別對(duì)每一類(lèi)進(jìn)行計(jì)數(shù)，最后用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理求和，得到總數(shù).(2)分步要做到“步驟完整”，完成了所有步驟，恰好完成任務(wù)，當(dāng)然步與步之間要相互獨(dú)立，分步后再計(jì)算每一步的方法數(shù)，最后根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，把完成每一步的方法數(shù)相乘，得到總數(shù).3.混合問(wèn)題一般是先分類(lèi)再分步.4.要恰當(dāng)畫(huà)出示意圖或樹(shù)狀圖，使問(wèn)題的分析更直觀、清楚，便于探索規(guī)律.課時(shí)作業(yè)1．（2020·云南昆明一中高三其他（理））數(shù)學(xué)與文學(xué)有許多奇妙的聯(lián)系，如詩(shī)中有回文詩(shī)“兒憶父兮妻憶夫”，既可以順讀也可以逆讀.數(shù)學(xué)中有回文數(shù)，如343，12521等.兩位數(shù)的回文數(shù)有11，22，3，……，99共9個(gè)，則在三位數(shù)的回文數(shù)中偶數(shù)的個(gè)數(shù)是（）A．40 B．30 C．20 D．10【答案】A【解析】由題意，若三位數(shù)的回文數(shù)是偶數(shù)，則末（首）位可能為，，，.如果末（首）位為，中間一位數(shù)有種可能，同理可得，如果末（首）位為或或，中間一位數(shù)均有種可能，所以有個(gè)，2．（2020·廣東霞山·湛江二十一中高三月考）某中學(xué)新招聘了3位物理老師，他們將有兩人被安排到高一級(jí)任教6個(gè)不同的班別，其中每位老師教3個(gè)班，另一人被安排到高二年級(jí)，任教3個(gè)不同的班別，則不同的安排方法有（）A．6種 B．60種 C．120種 D．1200種【答案】B【解析】首先從3位老師中選出一位任教高二，余下兩個(gè)老師中，指定其中一個(gè)從6個(gè)班選3個(gè)來(lái)任教，所以不同的安排方法有：種.3．（2020·西夏·寧夏大學(xué)附屬中學(xué)高二月考（理））3個(gè)班分別從5個(gè)風(fēng)景點(diǎn)中選擇一處游覽，不同的選法有（）A．243 B．125 C．128 D．264【答案】B【解析】解：因?yàn)榈?個(gè)班有5種選法，第2個(gè)班有5種選法，第3個(gè)班有5種選法，所以由分步計(jì)數(shù)原理可得，不同的選法有種，4．（2020·山西運(yùn)城·高三其他（文））中國(guó)象棋中棋子“馬”的走法規(guī)則是走“日”字的對(duì)角線(xiàn)（圖中楚河漢界處的“日”字沒(méi)有畫(huà)出），如圖，馬從點(diǎn)處走出一步，只能到達(dá)點(diǎn)，，中的一處則馬從點(diǎn)出發(fā)到達(dá)對(duì)方“帥”所在的處，最少需要的步數(shù)是A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【解析】解：由題意可知，按如圖所示的走法，需要6步即可點(diǎn)出發(fā)到達(dá)對(duì)方“帥”所在的處，5．已知，則方程可表示不同的圓的個(gè)數(shù)為（）A．7 B．9 C．12 D．16【答案】C【解析】得到圓的方程分兩步：第一步：確定a有3種選法；第二步：確定b有4種選法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有3×4＝12（個(gè)）.6．從3名女同學(xué)和2名男同學(xué)中選1人主持主題班會(huì)，則不同的選法種數(shù)為（）A．6 B．5 C．3 D．2【答案】B【解析】選女同學(xué)有3種選法，選男同學(xué)有2種選法，所以共有5種選法.7．（2020·北京理工大學(xué)附屬中學(xué)通州校區(qū)高二期中）高二年級(jí)的三個(gè)班去甲、乙、丙、丁四個(gè)工廠參觀學(xué)習(xí)，去哪個(gè)工廠可以自由選擇，甲工廠必須有班級(jí)要去，則不同的參觀方案有（）A．16種 B．18種 C．37種 D．48種【答案】C【解析】根據(jù)題意，若不考慮限制條件，每個(gè)班級(jí)都有4種選擇，共有種情況，其中工廠甲沒(méi)有班級(jí)去，即每個(gè)班都選擇了其他三個(gè)工廠，此時(shí)每個(gè)班級(jí)都有3種選擇，共有種方案；則符合條件的有種，8．（2020·全國(guó)高三（理））某一數(shù)學(xué)問(wèn)題可用綜合法和分析法兩種方法證明，有5位同學(xué)只會(huì)用綜合法證明，有3位同學(xué)只會(huì)用分析法證明，現(xiàn)任選1名同學(xué)證明這個(gè)問(wèn)題，不同的選法種數(shù)有（）種．A．8 B．15 C．18 D．30【答案】A【解析】由題意知本題是一個(gè)分類(lèi)計(jì)數(shù)問(wèn)題，解決問(wèn)題分成兩個(gè)種類(lèi)，一是可以用綜合法證明，有5種方法，一是可以用分析法來(lái)證明，有3種方法，根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理知共有3+5＝8種結(jié)果，9．（2019·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）我們把各位數(shù)字之和為6的四位數(shù)稱(chēng)為“六合數(shù)”(如2013是“六合數(shù)”)，則“六合數(shù)”中首位為2的“六合數(shù)”共有()A．18個(gè) B．15個(gè)C．12個(gè) D．9個(gè)【答案】B【解析】四位數(shù)之和為6的共有4種情況：（0、0、2、4）,（0、1、2、3），（1、1、2、2），（0、2、2、2）．?dāng)?shù)字為0、0、2、4且首位為2的六合數(shù)有：2004,2040,2400，共3個(gè)；同理：數(shù)字為0、1、2、3且首位為2的六合數(shù)有六個(gè)；數(shù)字為1、1、2、2且首位為2的六合數(shù)有3個(gè)；數(shù)字為0、2、2、2且首位為2的六合數(shù)有3個(gè)．所以共有15個(gè)．10．某通訊公司推出一組手機(jī)卡號(hào)碼，卡號(hào)的前七位數(shù)字固定，從“”到“”共個(gè)號(hào)碼．公司規(guī)定：凡卡號(hào)的后四位帶有數(shù)字“”或“”的一律作為“優(yōu)惠卡”，則這組號(hào)碼中“優(yōu)惠卡”的個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：∵10000個(gè)號(hào)碼中不含4、7的有84=4096，∴“優(yōu)惠卡”的個(gè)數(shù)為10000-4096=5904，故選C．11．（2020·黑龍江薩爾圖·大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三月考（理））甲、乙、丙、丁四個(gè)人去旅游，可供選擇的景點(diǎn)有3個(gè)，每人只能選擇一個(gè)景點(diǎn)且甲、乙不能同去一個(gè)景點(diǎn)，則不同的選擇方案的種數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】每人只能選擇一個(gè)景點(diǎn)且甲、乙不能同去一個(gè)景點(diǎn)，甲有3種，乙有兩種，丙、丁各有3種，共54種．故選A12．（2020·江蘇省豐縣中學(xué)高二期中）將4個(gè)不同的文件發(fā)往3個(gè)不同的郵箱地址，則不同的方法種數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】每一個(gè)文件都有三種不同的發(fā)法，共有34種不同方法.13．（2020·江蘇連云港·高二期末）若4名學(xué)生報(bào)名參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)興趣小組，每人選報(bào)1項(xiàng)，則不同的報(bào)名方式有（）A．34種 B．43種 C．種 D．種【答案】A【解析】4名學(xué)生，每人有三種可選方案，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，4人共有34種方法.故選：A.14．（2020·福建福州·高三其他（理））數(shù)獨(dú)是源自18世紀(jì)瑞士的一種數(shù)學(xué)游戲．如圖是數(shù)獨(dú)的一個(gè)簡(jiǎn)化版，由3行3列9個(gè)單元格構(gòu)成．玩該游戲時(shí)，需要將數(shù)字（各3個(gè)）全部填入單元格，每個(gè)單元格填一個(gè)數(shù)字，要求每一行、每一列均有這三個(gè)數(shù)字，則不同的填法有（）A．12種 B．24種C．72種 D．216種【答案】A【解析】先填第一行，有種不同填法，再填第二行第一列，有2種不同填法，當(dāng)該單元格填好后，其它單元格唯一確定．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有種不同的填法．15．（2020·湖北宜昌·高三二模（理））四色猜想又稱(chēng)四色問(wèn)題、四色定理，是世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一.四色定理的內(nèi)容是“任何一張地圖最多用四種顏色就能使具有共同邊界的國(guó)家著上不同的顏色.”如圖，一矩形地圖被分割成了五塊，小剛打算對(duì)該地圖的五個(gè)區(qū)域涂色，每個(gè)區(qū)域只使用一種顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇（4種顏色不一定用完），滿(mǎn)足四色定理的不同的涂色種數(shù)為（）A．96 B．72 C．108 D．144【答案】D【解析】如圖，把五塊區(qū)域編號(hào)，第一步涂有4種可能，第二步涂有3種可能，第三步，又分類(lèi)：按同色有種，不同色有種，共有方法數(shù)為．故選：D．16．（2020·浙江高三月考）從0，2，4，6中任取2個(gè)數(shù)字，從1，3，5中任取2個(gè)數(shù)字，一共可以組成_____個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù).【答案】198【解析】當(dāng)用0時(shí)，0只能在個(gè)位，十位，百位三個(gè)位置之一.當(dāng)個(gè)位為0時(shí)，從2,4,6中再取1個(gè)數(shù)字(3種方法），從1,3,5中任取2個(gè)數(shù)字（即排除1個(gè)，有3種不同的方法），將這取得的3個(gè)數(shù)字在十百千位任意排列，共有3!=6中不同的排列方式，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，有3×3×6=54種方法；當(dāng)十位或百位為0時(shí)（2種不同方法），從2,4,6中再取1個(gè)數(shù)字放置在個(gè)位(3種方法），然后從1,3,5中任取2個(gè)數(shù)字（即排除1個(gè)，有3種不同的方法），在其余兩位上任意排列，共有2!=2中不同的排列方式，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，有2×3×3×2=36種方法；當(dāng)沒(méi)有用0時(shí)，從2，4，6中任取1個(gè)數(shù)字放置在個(gè)位(有3中不同的方法）；在從其余的2個(gè)非零偶數(shù)字中任取一個(gè)數(shù)字(2種不同方法），從1，3，5中任取2個(gè)數(shù)字（有3種不同方法)，將這3個(gè)數(shù)字在除個(gè)位之外的十百千3個(gè)位置上任意排列(有3!=6種不同的方法），由分步乘法計(jì)數(shù)原理方法數(shù)為3×2×3×6=108種．根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，一共有沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)54+36+108=198個(gè)，故答案為：198.17．（2020·陜西新城·西安中學(xué)高三月考（理））汽車(chē)上有5名乘客，沿途有3個(gè)車(chē)站，每人在3個(gè)車(chē)站中隨機(jī)任選一個(gè)下車(chē)，直到乘客全部下車(chē)，不同的下站方法有__________種．（用數(shù)字作答）【答案】243【解析】因?yàn)槊课怀丝涂梢栽谌我獾能?chē)站下車(chē)，所以每位乘客下車(chē)的情況有3種，所以5名乘客下客站的方法有種．18．（2020·浙江高三其他）現(xiàn)有三個(gè)完全相同的骰子，每個(gè)骰子的六個(gè)面上的數(shù)字分別是1，2，3，4，5，6.若同時(shí)擲這三個(gè)骰子，則三個(gè)骰子朝上一面的數(shù)字之和為3的倍數(shù)的情況有_________種.【答案】20【解析】根據(jù)被3除后的余