高中數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)學(xué)案-1.1平面向量基礎(chǔ)點(diǎn)（新高考）原卷版

平面向量基礎(chǔ)點(diǎn)（新高考）目錄目錄【備考指南】 1【方法技巧】 2【真題檢驗(yàn)】 4【熱點(diǎn)預(yù)測(cè)】 9【熱點(diǎn)一】平面向量加減法 9【熱點(diǎn)二】平面向量數(shù)乘 12【熱點(diǎn)三】平面向量共線定理 16【熱點(diǎn)四】平面向量基本定理 19【熱點(diǎn)五】平面向量共線的坐標(biāo)表示 23【熱點(diǎn)六】線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示 25【熱點(diǎn)七】數(shù)量積的定義與運(yùn)算 29【熱點(diǎn)八】數(shù)量積的坐標(biāo)表示 32【熱點(diǎn)九】投影向量 35【強(qiáng)化訓(xùn)練】 38備考指南備考指南考點(diǎn)考情分析考頻平面向量的線性運(yùn)算2022年新高考Ⅰ卷T3數(shù)量積運(yùn)算及其應(yīng)用2023年新高考Ⅰ卷T32023年新高考Ⅱ卷T132022年新高考Ⅱ卷T42022年全國(guó)甲卷T132022年全國(guó)乙卷T32021年全國(guó)甲卷T142021年全國(guó)乙卷T142021年新高考Ⅱ卷T153年8考預(yù)測(cè)：從近3年看，平面向量這部分內(nèi)容主要考察數(shù)量積運(yùn)算及其應(yīng)用，試題難度不大，二輪復(fù)習(xí)時(shí)要牢固掌握基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)，能對(duì)基礎(chǔ)的知識(shí)進(jìn)行簡(jiǎn)單的原因.更早以前平面向量這部分內(nèi)容也可能會(huì)出現(xiàn)難度較大的考察，在后續(xù)的復(fù)習(xí)中也應(yīng)到考慮到.方法技巧方法技巧1.平行向量有關(guān)概念的四個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性.(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點(diǎn)無(wú)關(guān).(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量，解題時(shí)，不要把它與函數(shù)圖象的平移混淆.(4)非零向量a與eq\f(a,|a|)的關(guān)系：eq\f(a,|a|)是與a同方向的單位向量.2.(1)解決平面向量線性運(yùn)算問(wèn)題的關(guān)鍵在于熟練地找出圖形中的相等向量，并能熟練運(yùn)用相反向量將加減法相互轉(zhuǎn)化.(2)在求向量時(shí)要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，運(yùn)用平行四邊形法則、三角形法則及三角形中位線定理、相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例等平面幾何的性質(zhì)，把未知向量轉(zhuǎn)化為用已知向量線性表示.3.與向量的線性運(yùn)算有關(guān)的參數(shù)問(wèn)題，一般是構(gòu)造三角形，利用向量運(yùn)算的三角形法則進(jìn)行加法或減法運(yùn)算，然后通過(guò)建立方程組即可求得相關(guān)參數(shù)的值.4.利用共線向量定理解題的策略(1)a∥b?a＝λb(b≠0)是判斷兩個(gè)向量共線的主要依據(jù).注意待定系數(shù)法和方程思想的運(yùn)用.(2)當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線，即A，B，C三點(diǎn)共線?eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))共線.(3)若a與b不共線且λa＝μb，則λ＝μ＝0.(4)eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ為實(shí)數(shù))，若A，B，C三點(diǎn)共線，則λ＋μ＝1.5.平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧(1)向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算的法則來(lái)進(jìn)行求解的，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo).(2)解題過(guò)程中，常利用向量相等其坐標(biāo)相同這一原則，通過(guò)列方程(組)來(lái)進(jìn)行求解.6.兩平面向量共線的充要條件有兩種形式：(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2－x2y1＝0；(2)若a∥b(b≠0)，則a＝λb.7.向量共線的坐標(biāo)表示既可以判定兩向量平行，也可以由平行求參數(shù).當(dāng)兩向量的坐標(biāo)均非零時(shí)，也可以利用坐標(biāo)對(duì)應(yīng)成比例來(lái)求解.8.平面向量數(shù)量積的兩種運(yùn)算方法(1)基底法：當(dāng)已知向量的模和夾角θ時(shí)，可利用定義法求解，適用于平面圖形中的向量數(shù)量積的有關(guān)計(jì)算問(wèn)題；(2)坐標(biāo)法：當(dāng)平面圖形易建系求出各點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，可利用坐標(biāo)法求解.9.根據(jù)平面向量數(shù)量積的性質(zhì)：若a，b為非零向量，則cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)(夾角公式)，a⊥b?a·b＝0等，可知平面向量的數(shù)量積可以用來(lái)解決有關(guān)角度、垂直問(wèn)題.10.計(jì)算向量的模：①當(dāng)向量有坐標(biāo)或適合建坐標(biāo)系時(shí)，可用模的計(jì)算公式；②利用|a|＝eq\r(a·a)及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為數(shù)量積運(yùn)算；③幾何法，利用向量的幾何意義，即利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量，再利用余弦定理等方法求解.11.向量數(shù)量積綜合應(yīng)用的方法和思想(1)坐標(biāo)法：把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，就賦予了有關(guān)點(diǎn)與向量具體的坐標(biāo)，這樣就能進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)算，從而使問(wèn)題得到解決.(2)基向量法：適當(dāng)選取一組基底，寫出向量之間的聯(lián)系，利用向量共線構(gòu)造關(guān)于設(shè)定未知量的方程來(lái)進(jìn)行求解.(3)利用向量運(yùn)算進(jìn)行轉(zhuǎn)化，化歸為三角函數(shù)的問(wèn)題或三角恒等變換問(wèn)題是常規(guī)的解題思路和方法，以向量為載體考查三角形問(wèn)題時(shí)，要注意正弦定理、余弦定理等知識(shí)的應(yīng)用.真題檢驗(yàn)真題檢驗(yàn)一、單選題1．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知向量，則（

）A．2 B．3 C．4 D．52．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）已知向量滿足，則（

）A． B． C．0 D．13．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）正方形的邊長(zhǎng)是2，是的中點(diǎn)，則（

）A． B．3 C． D．54．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知向量，則（

）A． B． C． D．5．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知向量，若，則（

）A． B．C． D．6．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知向量，若，則（

）A． B． C．5 D．67．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知向量滿足，則（

）A． B． C．1 D．28．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）在中，點(diǎn)D在邊AB上，．記，則（

）A． B． C． D．二、填空題9．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知向量．若，則．10．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知向量，滿足，，則．11．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)向量，的夾角的余弦值為，且，，則．三、雙空題12．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）在中，，D是AC中點(diǎn)，，試用表示為，若，則的最大值為熱點(diǎn)預(yù)測(cè)熱點(diǎn)預(yù)測(cè)【熱點(diǎn)一】平面向量加減法1．（2023秋·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱市第一二二中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）在中，D是AB邊上的中點(diǎn)，則=（

）A． B． C． D．2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平行四邊形中，分別是的中點(diǎn)，，，則（

）A． B． C． D．3．（2023春·廣東湛江·高一雷州市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）在平行四邊形中，為邊的中點(diǎn)，記，，則（

）A． B．C． D．4．（多選）（2023·江蘇揚(yáng)州·?？级＃┰趩挝粓A中，是圓上的動(dòng)點(diǎn)（可重合），則下列結(jié)論一定成立的有（

）A．B．在上的投影向量可能為C．D．若，則5．（多選）（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，已知向量，滿足，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．6．（2023秋·江蘇南京·高三南京市第九中學(xué)校考階段練習(xí)）已知圓，過(guò)點(diǎn)的直線l交圓C于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓C上，若，，則【熱點(diǎn)二】平面向量數(shù)乘1．（2023春·上海寶山·高一統(tǒng)考期末）在平行四邊形中，，．若，則（

）A． B． C． D．2．（2023春·湖北武漢·高三武漢市黃陂區(qū)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）是內(nèi)的一點(diǎn)，若，，則（

）A． B．1 C． D．3．（2023·全國(guó)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，其對(duì)稱中心O平分線段MN，且，點(diǎn)E為DC的中點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．4．（多選）（2023·廣東梅州·統(tǒng)考三模）如圖所示，四邊形為等腰梯形，，，，分別為，的中點(diǎn)，若，則（

）A． B．C． D．5．（多選）（2023·安徽黃山·統(tǒng)考二模）如圖，為圓的一條直徑，點(diǎn)是圓周上的動(dòng)點(diǎn)，是直徑上關(guān)于圓心對(duì)稱的兩點(diǎn)，且，則（

）A．B．C．D．6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，已知，，與交于點(diǎn)O.若，則.【熱點(diǎn)三】平面向量共線定理1．（2023春·廣西百色·高一統(tǒng)考期末）在中，是邊上一點(diǎn)，且是上一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．2．（2023·云南曲靖·曲靖一中校考模擬預(yù)測(cè)）已知平行四邊形中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，（），若，則（）A．1 B．2 C． D．3．（2023·四川綿陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若向量滿足，則向量一定滿足的關(guān)系為（

）A． B．存在實(shí)數(shù)，使得C．存在實(shí)數(shù)，使得 D．4．（多選）（2023秋·新疆烏魯木齊·高三烏市一中?？茧A段練習(xí)）已知平面向量，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．在方向上的投影向量為C．與垂直的單位向量的坐標(biāo)為D．若向量與向量共線，則5．（多選）（2023·海南?？凇ば？寄M預(yù)測(cè)）下列命題為真命題的是（

）A．一組數(shù)據(jù)22，20，17，15，13，11，9，8，8，7的第90百分位數(shù)是21B．若等差數(shù)列滿足、、、，則C．非零平面向量、、滿足，，則D．在中，“”與“”互為充要條件6．（2023秋·新疆·高二兵團(tuán)第三師第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知向量，若，則．【熱點(diǎn)四】平面向量基本定理1．（2023·廣東廣州·廣州市從化區(qū)從化中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在中，，的平分線交BC于點(diǎn)D．若，則（

）A． B． C．2 D．32．（2023·江蘇揚(yáng)州·揚(yáng)州中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在中，M，N分別是AB，AC的中點(diǎn)，若，則（

）A． B． C．1 D．23．（2023春·安徽亳州·高二渦陽(yáng)四中?？茧A段練習(xí)）中，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N為AB上一點(diǎn)，AM與CN交于點(diǎn)D，且，.則（

）.A． B． C． D．4．（多選）（2023·江蘇南京·校聯(lián)考一模）設(shè)點(diǎn)是的外心，且，下列命題為真命題的是（

）A．若，則B．若，則C．若是正三角形，則D．若，，，則四邊形的面積是5．（多選）（2023春·山西晉中·高一校考階段練習(xí)）已知，，且，的夾角為，點(diǎn)P在以O(shè)為圓心的圓弧上運(yùn)動(dòng)，若，x，，則的值可能為（

）A．2 B． C． D．16．（2023春·山東菏澤·高一山東省鄄城縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖,在平行四邊形中,點(diǎn)E是CD的中點(diǎn),點(diǎn)F為線段BD上的一個(gè)三等分點(diǎn),且,若,則.【熱點(diǎn)五】平面向量共線的坐標(biāo)表示1．（2023春·遼寧營(yíng)口·高一統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知向量，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知向量，若與共線，則等于（

）A． B． C． D．23．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，且//，則實(shí)數(shù)的值是（

）A． B． C． D．4．（多選）（2023春·河北秦皇島·高一?？计谀┮阎蛄?，，則正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若與的夾角為鈍角，則 D．若向量是與同向的單位向量，則5．（多選）（2023·廣西南寧·南寧二中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則 B．若∥，則C．若，則 D．若，則向量，的夾角為鈍角6．（2023秋·四川綿陽(yáng)·高三四川省綿陽(yáng)江油中學(xué)校考階段練習(xí)）已知向量，且，則.【熱點(diǎn)六】線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示1．（2023春·天津河西·高一天津市第四中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)，，向量，，則與的夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．2．（2023秋·安徽安慶·高三安徽省懷寧縣新安中學(xué)?？计谥校┮阎矫嫦蛄?，，則在上的投影向量為（

）A． B．C． D．3．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)在半徑為的上運(yùn)動(dòng)，若，則的最大值為（

）A． B． C． D．4．（多選）（2023·湖南·校聯(lián)考二模）已知向量，//，，，則（

）A． B． C． D．5．（多選）（2023·湖南郴州·校聯(lián)考二模）已知向量，，則（

）A． B．C．在上的投影向量是 D．在上的投影向量是6．（2023秋·廣西南寧·高三南寧三十六中?？茧A段練習(xí)）已知平面向量，，若，則.【熱點(diǎn)七】數(shù)量積的定義與運(yùn)算1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知平面非零向量滿足，則的最小值為（

）A．2 B．4 C．8 D．162．（2023秋·山東濱州·高三?？茧A段練習(xí)）已知非零向量滿足，且，則與的夾角為A． B． C． D．3．（2023秋·四川瀘州·高三四川省敘永第一中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知向量，滿足，，，則（）A． B． C． D．4．（多選）（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知非零向量，，對(duì)任意，恒有，則（

）A．在上的投影的數(shù)量為1 B．C． D．5．（多選）（2023春·廣東深圳·高一校考期中）已知向量，，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．6．（2023春·上海徐匯·高一上海市第二中學(xué)?？计谥校┰谥?，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則.【熱點(diǎn)八】數(shù)量積的坐標(biāo)表示1．（2023春·山西晉中·高一?？计谥校┢矫嫦蛄浚?，則（

）A．6 B．5 C． D．2．（2023秋·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）平面向量與相互垂直，已知，，且與向量(1，0)的夾角是鈍角，則=（

）A． B． C． D．3．（2023春·陜西西安·高二?？茧A段練習(xí)）已知向量，且，則m=A．?8 B．?6C．6 D．84．（多選）（2023秋·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱市第一中學(xué)校?？计谥校┮阎獮樽鴺?biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，，，，則（

）A． B．C． D．5．（多選）（2023春·湖北·高一校聯(lián)考期中）已知向量，，且，則（

）A． B． C． D．6．（2023·四川綿陽(yáng)·綿陽(yáng)中學(xué)?？家荒＃┮阎?，則.【熱點(diǎn)九】投影向量1．（2023秋·云南大理·高二云南省下關(guān)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知向量，滿足，則在方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知向量滿足，且，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．3．（2023秋·江蘇南京·高三期中）已知，若與的夾角為，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．4．（多選）（2023·山東濰坊·昌樂(lè)二中?？寄M預(yù)測(cè)）已知平面向量，則（

）A． B．C．與的夾角為鈍角 D．在上的投影向量的模為5．（多選）（2023秋·河南新鄉(xiāng)·高二?？茧A段練習(xí)）《九章算術(shù)》中，將上、下底面為直角三角形的直三棱柱叫做塹堵，在如圖所示的塹堵中，，則（

）．A．B．C．向量在向量上的投影向量為D．向量在向量上的投影向量為6．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知向量，則在方向上的投影向量是．【強(qiáng)化訓(xùn)練】一、單選題1．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）在四邊形ABCD中，若，且，則四邊形ABCD為（

）A．平行四邊形 B．菱形 C．矩形 D．正方形2．（2023秋·寧夏銀川·高三銀川一中?？茧A段練習(xí)）平行四邊形中，點(diǎn)在邊上，，記，則（

）A． B．C． D．3．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，平行四邊形中，與相交于點(diǎn)，，若，則（

）A． B． C． D．4．（2023·安徽滁州·安徽省定遠(yuǎn)中學(xué)?？级＃┱呅蜛BCDEF中，用和表示，則（

）A． B． C． D．5．（2023·四川眉山·仁壽一中?？寄M預(yù)測(cè)）已知和是兩個(gè)正交單位向量，，且，則（

）A．2或3 B．2或4 C．3或5 D．3或46．（2023·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考一模）已知，為平面向量，且，，則，夾角的余弦值等于（

）A． B．－ C． D．－7．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知向量，若，