統(tǒng)考版2024屆高考數(shù)學(xué)二輪專項(xiàng)分層特訓(xùn)卷四熱點(diǎn)問題專練熱點(diǎn)十三數(shù)學(xué)文化理

熱點(diǎn)(十三)數(shù)學(xué)文化1．(數(shù)列中的文化)中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還．”意思為：有一個(gè)人要走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛，每天走的路程為前一天的一半，走了6天恰好到達(dá)目的地，請(qǐng)問第三天走了()A．192里B．48里C．24里D．96里2．(程序框圖中的文化)中國(guó)有個(gè)名句“運(yùn)籌帷幄之中，決勝千里之外”．其中的“籌”原意是指《孫子算經(jīng)》中記載的算籌，古代是用算籌來進(jìn)行計(jì)算，算籌是將幾寸長(zhǎng)的小竹棍擺在平面上進(jìn)行運(yùn)算，算籌的擺放形式有縱橫兩種，如下表：表示一個(gè)多位數(shù)時(shí)，像阿拉伯記數(shù)一樣，把各個(gè)數(shù)位的數(shù)碼從左到右排列，但各位數(shù)碼的籌式需要縱橫相間，個(gè)位，百位，萬位用縱式表示，十位，千位，十萬位用橫式表示，以此類推，例如2268用算籌表示為，執(zhí)行如圖所示的程序框圖．若輸入的x＝1，y＝2，則輸出的S用算籌表示為()A．B．C．D．3．(生活中的文化)我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》中有如下問題：“今有三女，長(zhǎng)女五日一歸，中女四日一歸，少女三日一歸．問三女幾何日相會(huì)？”大致意思是：“一家出嫁的三個(gè)女兒中，大女兒每五天回一次娘家，二女兒每四天回一次娘家，小女兒每三天回一次娘家．三個(gè)女兒從娘家同一天走后，至少再隔多少天三人再次相會(huì)？”假如回娘家當(dāng)天均回夫家，當(dāng)?shù)仫L(fēng)俗正月初二都要回娘家，則從正月初三算起的一百天內(nèi)，有女兒回娘家的天數(shù)為()A．58B．59C．60D．614．(推理與證明中的文化)在“一帶一路”知識(shí)測(cè)驗(yàn)后，甲、乙、丙三人對(duì)成績(jī)進(jìn)行預(yù)測(cè)．甲：我的成績(jī)比乙高．乙：丙的成績(jī)比我和甲的都高．丙：我的成績(jī)比乙高．成績(jī)公布后，三人成績(jī)互不相同且只有一個(gè)人預(yù)測(cè)正確，那么三人按成績(jī)由高到低的次序?yàn)?)A．甲、乙、丙B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲D．甲、丙、乙5．(排列組合中的文化)中國(guó)古代的五音，一般指五聲音階，按五度的相生順序依次為宮、商、角、徵、羽．如果用這五個(gè)音階排成一個(gè)有五個(gè)音階的音序，且每個(gè)音階只能用一次，要求宮、羽兩音階在角音階的同側(cè)，可排成的不同音序的種數(shù)為()A．120B．90C．80D．606．(線性規(guī)劃中的文化)關(guān)于圓周率π，數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過許多有創(chuàng)意的求法，如著名的蒲豐實(shí)驗(yàn)和查理斯實(shí)驗(yàn)．受其啟發(fā)，我們也可以通過設(shè)計(jì)下面的實(shí)驗(yàn)來估計(jì)π的值：先請(qǐng)120名同學(xué)每人隨機(jī)寫下一個(gè)x，y都小于1的正實(shí)數(shù)對(duì)(x，y)，再統(tǒng)計(jì)其中x，y能與1構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對(duì)(x，y)的個(gè)數(shù)m，最后根據(jù)統(tǒng)計(jì)個(gè)數(shù)m估計(jì)π的值．如果統(tǒng)計(jì)結(jié)果是m＝34，那么可以估計(jì)π的值為()A．eq\f(23,7)B．eq\f(47,15)C．eq\f(17,15)D．eq\f(53,17)7．(生活中的文化)里氏震級(jí)是由古登堡和里克特制定的一種表明地震能量大小的標(biāo)度，用來表示測(cè)震儀衡量的地震能量的等級(jí)，地震能量越大，地震儀記錄的震波的振幅就越大，其計(jì)算公式為M＝lgA－lgA0，其中A，A0分別是距震中100公里處接收到的所關(guān)注的這個(gè)地震和0級(jí)地震的震波的最大振幅，則7級(jí)地震震波的最大振幅是5級(jí)地震震波的最大振幅的()A．10倍B．20倍C．50倍D．100倍8．(立體幾何中的文化)塹堵、陽馬、鱉臑出自中國(guó)古代名著《九章算術(shù)·商功》，其中陽馬、鱉臑是我國(guó)古代對(duì)一些特殊錐體的稱呼．取一長(zhǎng)方體，如圖(1)中的長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1，沿平面ABC1D1斜切，一分為二，得到兩個(gè)一模一樣的三棱柱，稱該三棱柱為塹堵，如圖(2)，再沿平面D1BC切開，得四棱錐和三棱錐各一個(gè)，其中四棱錐D1-ABCD以矩形ABCD為底，棱DD1與底面垂直，稱為陽馬，余下的三棱錐D1-BCC1是四個(gè)面均為直角三角形的四面體，稱為鱉臑．已知長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，AA1＝2，按以上操作得到陽馬，則該陽馬的最長(zhǎng)棱長(zhǎng)為()A．2eq\r(5)B．5C．eq\r(29)D．4eq\r(2)9．[2023·安徽省名校大聯(lián)考](解三角形中的文化)秦九韶，字道古，漢族，魯郡(今河南范縣)人．南宋著名數(shù)學(xué)家，與李冶、楊輝、朱世杰并稱宋元數(shù)學(xué)四大家．精研星象、音律、算術(shù)、詩詞、弓、劍、營(yíng)造之學(xué)．南宋嘉定元年(1208)出生于普州安岳(今四川安岳)，咸淳四年(1268)二月，在梅州辭世．他在著作《數(shù)書九章》中提出了“三斜求積術(shù)”，即已知三角形的三邊長(zhǎng)，求三角形面積的方法．其求法是：以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上．以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實(shí)．一為從隅，開平方得積．若把以上這段文字寫成公式，即S＝eq\r(\f(1,4)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a2c2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2＋c2－b2,2)))\s\up12(2))))，若△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足c2sinA＝2sinC，cosB＝eq\f(3,5)，a<b<c，則用“三斜求積”公式求得△ABC的面積為()A．eq\f(3,5)B．eq\f(4,5)C．1D．eq\f(5,4)10．[2023·陜西省百校聯(lián)盟(一)](數(shù)列中的文化)斐波那契螺旋線也稱黃金螺旋線，是根據(jù)斐波那契數(shù)列畫出來的螺旋曲線．在一個(gè)黃金矩形(寬長(zhǎng)比約等于0.618)里先以寬為邊長(zhǎng)作正方形，然后在剩下小的矩形里以其寬為邊長(zhǎng)作正方形，如此循環(huán)下去，再在每個(gè)正方形里畫出一段四分之一圓弧，最后順次連接，就可得到一條“黃金螺旋線”．達(dá)·芬奇的《蒙娜麗莎》(如圖)，希臘雅典衛(wèi)城的帕特農(nóng)神廟等都符合這個(gè)曲線．現(xiàn)將每一段曲線與其所在的正方形所圍成的扇形半徑設(shè)為an(n∈N*)，數(shù)列{an}滿足a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2(n≥3)，再將扇形面積設(shè)為bn(n∈N*)，有下列結(jié)論：①4(b2020－b2019)＝πa2018·a2021；②a1＋a2＋a3＋…＋a2019＝a2021－1；③aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))＋…＋aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2020))＝2a2019·a2021；④a2019·a2021－aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2020))＋a2018·a2020－aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2019))＝0.其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為()A．4B．3C．2D．111.(平面幾何中的文化)“數(shù)摺聚清風(fēng)，一捻生秋意”是宋朝朱翌描寫折扇的詩句，折扇出人懷袖，扇面書畫，扇骨雕琢，是文人雅士的寵物，所以又有“懷袖雅物”的別號(hào)．如圖是折扇的示意圖，其中OA＝20cm，∠AOB＝120°，M為OA的中點(diǎn)，則扇面(圖中扇環(huán))部分的面積是()A．50πcm2B．100πcm2C．150πcm2D．200πcm212．(生活中的文化)某校高一組織五個(gè)班的學(xué)生參加學(xué)農(nóng)活動(dòng)，每班從“農(nóng)耕”“采摘”“釀酒”“野炊”“飼養(yǎng)”五項(xiàng)活動(dòng)中選擇一項(xiàng)進(jìn)行實(shí)踐，且各班的選擇互不相同，已知1班不選“農(nóng)耕”“采摘”；2班不選“農(nóng)耕”“釀酒”；3班既不選“野炊”，也不選“農(nóng)耕”；5班選擇“采摘”或“釀酒”．如果1班不選“釀酒”，那么4班不選“農(nóng)耕”．則選擇“飼養(yǎng)”的班級(jí)是()A．2班B．3班C．4班D．5班[答題區(qū)]題號(hào)123456789101112答案13.(三角函數(shù)中的文化)公元前6世紀(jì)，古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派通過研究正五邊形和正十邊形的作圖，發(fā)現(xiàn)了黃金分割值約為0.618，這一數(shù)值也可表示為m＝2sin18°.若m2＋n＝4，則eq\f(1－2cos227°,3m\r(n))＝________．14．[2023·東北三校第二次聯(lián)合模擬考試](推理中的文化)在學(xué)習(xí)推理與證明的課堂上，老師給出兩個(gè)曲線方程C1：eq\r(x)＋eq\r(y)＝1；C2：x4＋y4＝1.老師問同學(xué)們：你們想到了什么？能得到哪些結(jié)論？下面是四位同學(xué)的回答，甲：曲線C1關(guān)于直線y＝x對(duì)稱；乙：曲線C2關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；丙：曲線C1與坐標(biāo)軸在第一象限圍成圖形的面積S1<eq\f(1,2)；?。呵€C2與坐標(biāo)軸在第一象限圍成圖形的面積S2<eq\f(π,4).四位同學(xué)回答正確的有______(選填“甲、乙、丙、丁”).15．(數(shù)列中的文化)古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過各種多邊形數(shù)．如三角形數(shù)1，3，6，10，…，第n個(gè)三角形數(shù)為eq\f(n（n＋1）,2)＝eq\f(1,2)n2＋eq\f(1,2)n.記第n個(gè)k邊形數(shù)為N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個(gè)數(shù)的表達(dá)式：三角形數(shù)N(n，3)＝eq\f(1,2)n2＋eq\f(1,2)n；正方形數(shù)N(n，4)＝n2；五邊形數(shù)N(n，5)＝eq\f(3,2)n2－eq\f(1,2)n；六邊形數(shù)N(n，6)＝2n2－n；……可以推測(cè)N(n，k)的表達(dá)式，由此計(jì)算N(10，24)＝________．16.(概率中的文化)勒洛三角形是由德國(guó)機(jī)械工程專家、機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)家勒洛首先發(fā)現(xiàn)的，以等邊三角形的每個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長(zhǎng)為半徑，在另兩個(gè)頂點(diǎn)間作一段弧，三段弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形．圖中有兩個(gè)勒洛三角形(如實(shí)線所示)，它們所對(duì)應(yīng)的等邊三角形的邊長(zhǎng)比為1∶3，若從大勒洛三角形中隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自小勒洛三角形內(nèi)的概率為________．熱點(diǎn)（十三）數(shù)學(xué)文化1．B由題意可知此人每天走的步數(shù)構(gòu)成公比為eq\f(1,2)的等比數(shù)列，∴由等比數(shù)列的求和公式可得，eq\f(a1\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(6))),1－\f(1,2))＝378，解得a1＝192，∴a3＝a1q2＝192×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝48.故選B.2．Cx＝1，y＝3，i＝2；x＝2，y＝8，i＝3；x＝14，y＝126，i＝4.退出循環(huán)，輸出S＝1764，用算籌表示為，故選C.3．C由題意知，大女兒每五天回一次娘家，二女兒每四天回一次娘家，小女兒每三天回一次娘家，當(dāng)?shù)仫L(fēng)俗正月初二都要回娘家，則從正月初三算起的一百天內(nèi)，小女兒、二女兒和大女兒回娘家的天數(shù)分別是33，25，20，小女兒和二女兒、小女兒和大女兒、二女兒和大女兒同時(shí)回娘家的天數(shù)分別為8，6，5，三個(gè)女兒同一天回娘家的天數(shù)為1，因此，從正月初三算起的一百天內(nèi)，有女兒回娘家的天數(shù)為33＋25＋20－（8＋6＋5）＋1＝60.故選C.4．A由于三人成績(jī)互不相同且只有一個(gè)人預(yù)測(cè)正確．故若甲預(yù)測(cè)正確，則乙、丙預(yù)測(cè)錯(cuò)誤，于是三人按成績(jī)由高到低的次序?yàn)榧?、乙、丙；若甲預(yù)測(cè)錯(cuò)誤，則甲、乙按成績(jī)由高到低的次序?yàn)橐?、甲，又假設(shè)丙預(yù)測(cè)正確，則乙、丙按成績(jī)由高到低的次序?yàn)楸?、乙，于是甲、乙、丙按成?jī)由高到低排序?yàn)楸?、乙、甲，從而乙的預(yù)測(cè)也正確，與事實(shí)矛盾；若甲、丙預(yù)測(cè)錯(cuò)誤，則可推出乙的預(yù)測(cè)也錯(cuò)誤．綜上所述，三人按成績(jī)由高到低的次序?yàn)榧?、乙、丙?．C根據(jù)角音階的位置，可分三類：第一類，若角音階在兩端，則宮、羽兩音階一定在角音階的同側(cè)，可排成的不同音序有2Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))＝48（種）；第二類，若角音階在第二或第四個(gè)位置，則可排成的不同音序有2×Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))×Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝24（種）；第三類，若角音階在第三個(gè)位置，則可排成的不同音序有2×Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))×Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝8（種）.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可知，可排成48＋24＋8＝80（種）不同音序，故選C.6．B由題意，120對(duì)正實(shí)數(shù)對(duì)（x，y）中的x，y滿足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<x<1,0<y<1))，該不等式組表示的平面區(qū)域的面積為1.正實(shí)數(shù)對(duì)（x，y）中的x，y能與1構(gòu)成鈍角三角形的三邊，則x，y需滿足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y>1,x2＋y2－1<0,0<x<1,0<y<1))，該不等式組表示的平面區(qū)域的面積為eq\f(π,4)－eq\f(1,2)，則eq\f(π,4)－eq\f(1,2)≈eq\f(34,120)，eq\f(π,4)≈eq\f(94,120)，π≈eq\f(47,15)，故選B.7．D對(duì)公式M＝lgA－lgA0進(jìn)行轉(zhuǎn)化得M＝lgeq\f(A,A0)，即eq\f(A,A0)＝10M，A＝A0·10M，當(dāng)M＝7時(shí)，地震震波的最大振幅為A7＝A0·107，當(dāng)M＝5時(shí)，地震震波的最大振幅為A5＝A0·105，則eq\f(A7,A5)＝eq\f(A0·107,A0·105)＝100.故選D.8．C根據(jù)題意得，該陽馬的最長(zhǎng)棱長(zhǎng)為D1B＝eq\r(4＋9＋16)＝eq\r(29).故選C.9．B因?yàn)閏2sinA＝2sinC，所以由正弦定理可得ac＝2，由余弦定理知b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－eq\f(12,5)，所以a2＋c2－b2＝eq\f(12,5)，所以S＝eq\r(\f(1,4)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a2c2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2＋c2－b2,2)))\s\up12(2))))＝eq\r(\f(1,4)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(36,25))))＝eq\f(4,5)，故選B.10．B由題意得bn＝eq\f(π,4)aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))，則4（b2020－b2019）＝4（eq\f(π,4)aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2020))－eq\f(π,4)aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2019))）＝π（a2020＋a2019）（a2020－a2019）＝πa2018a2021，故①正確；已知a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2（n≥3），所以an－2＝an－an－1，a1＋a2＋…＋a2019＝（a3－a2）＋（a4－a3）＋…＋（a2021－a2020）＝a2021－1，故②正確；已知a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2（n≥3），則an－1＝an－an－2（n≥3），兩邊同乘以an－1得aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n－1))＝anan－1－an－2an－1，所以aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))＋…＋aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2020))＝aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋（a3a2－a2a1）＋（a4a3－a3a2）＋…＋（a2021a2020－a2020a2019）＝aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋a2021a2020－a2a1＝a2021a2020，故③錯(cuò)誤；由an－1＝an－an－2（n≥3），可知a2019a2021－aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2020))＋a2018a2020－aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2019))＝a2019（a2021－a2019）＋a2020（a2018－a2020）＝a2019a2020＋a2020（－a2019）＝0，故④正確．綜上可知，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為3，故選B.11．B扇環(huán)的面積為S＝eq\f(1,2)αr2－eq\f(1,2)αeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(3,8)αr2＝eq\f(3,8)×eq\f(2π,3)×400＝100π.故選B.12．B通解由題意可知五個(gè)班級(jí)和五項(xiàng)活動(dòng)一一對(duì)應(yīng)，作出如下表格（不選活動(dòng)項(xiàng)目打“×”，選擇活動(dòng)項(xiàng)目打“√”），當(dāng)5班選“采摘”時(shí)，則4班選“農(nóng)耕”，根據(jù)如果1班不選“釀酒”，那么4班不選“農(nóng)耕”，得1班選“釀酒”，再根據(jù)五個(gè)班級(jí)和五項(xiàng)活動(dòng)一一對(duì)應(yīng)，易得選“飼養(yǎng)”的是3班．農(nóng)耕采摘釀酒野炊飼養(yǎng)1班××√2班××√3班××√4班√5班√當(dāng)5班選“釀酒”時(shí)，則4班選“農(nóng)耕”，根據(jù)如果1班不選“釀酒”，那么4班不選“農(nóng)耕”，得1班選“釀酒”，則1班和5班都選“釀酒”，與題意矛盾，舍去這種情況．綜上可知，選B.優(yōu)解由題意知，1班、2班、3班、5班均不選“農(nóng)耕”，所以4班選“農(nóng)耕”，根據(jù)如果1班不選“釀酒”，那么4班不選“農(nóng)耕”，得1班選“釀酒”，則5班選“采摘”，又3班不選“野炊”，所以2班選“野炊”，3班選“飼養(yǎng)”．故選B.13．答案：－eq\f(1,6)解析：由m2＋n＝4得n＝4－m2＝4－4sin218°＝4cos218°，代入所求表達(dá)式，可得eq\f(1－2cos227°,3·2sin18°·2cos18°)＝eq\f(－cos54°,6sin36°)＝eq\f(－sin36°,6sin36°)＝－eq\f(1,6).14．答案：甲、乙、丙解析：對(duì)于甲，把曲線C1方程中的x換成y，y換成x，方程沒變，可知曲線C1關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，故甲正確．對(duì)于乙，把曲線C2方程中的x換成－x，y換成－y，方程沒變，可知曲線C2關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故乙正確．對(duì)于丙，方法一曲線C1的方程可變形為y＝（1－eq\r(x)）2，其與坐標(biāo)軸圍成圖形的面積S1＝eq\i\in(0,1,)（1－eq\r(x)）2dx＝eq\i\in(0,1,)（1－2eq\r(x)＋x）dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2－\f(4,3)x\s\up6(\f(3,2))＋x))|eq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(0))＝eq\f(1,6)<eq\f(1,2)，故丙正確．方法二選擇x＋y＝1作參照，易知直線x＋y＝1與曲線C1均與x，y軸分別交于（1，0），（0，1）點(diǎn)，當(dāng)0<x<1，0<y<1時(shí)，若x＋y＝1，則（eq\r(x)＋eq\r(y)）2＝x＋y＋2eq\r(xy)>1，所以eq\r(x)＋eq\r(y)>1，而直線x＋y＝1與