第2章函數(shù)專練5-函數(shù)與方程(二)-2021屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第一章函數(shù)專練5—函數(shù)與方程（二）單選題1．已知函數(shù)f（x）＝，若函數(shù)y＝f（x）﹣a有三個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A．[，1] B．（，1） C．（0，1） D．（，+∞）2．函數(shù)f（x）＝|x|﹣cosx的零點(diǎn)個數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．33．已知函數(shù)f（x）＝，則y＝f（f（x））+1的零點(diǎn)個數(shù)為（）A．4 B．5 C．6 D．74．若函數(shù)f（x）＝ex（x2﹣2x+1﹣a）﹣x恒有2個零點(diǎn)，則a的取值范圍是（）A．（﹣，+∞） B．（﹣∞，1） C．（0，） D．（﹣∞，﹣）5．已知函數(shù)y＝f（x）（x∈R）滿足f（x+1）＝f（x﹣1），且當(dāng)x∈[﹣1，1]時，f（x）＝|x|，函數(shù)g（x）＝，則函數(shù)h（x）＝f（x）﹣g（x）在區(qū)間[﹣2，5]上的零點(diǎn)的個數(shù)為（）A．4 B．5 C．6 D．76．已知函數(shù)f（x）＝，g（x）＝﹣x2﹣2x，若方程f（g（x））﹣a＝0有4個不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．（﹣∞，1） B．（0，1] C．（1，2] D．[2，+∞）7．已知二次函數(shù)f（x）＝（x﹣m）（x﹣n）+1，且x1，x2是方程f（x）＝0的兩個根，則x1，x2，m，n的大小關(guān)系可能是（）A．x1＜x2＜m＜n B．x1＜m＜x2＜n C．m＜n＜x1＜x2 D．m＜x1＜x2＜n8．設(shè)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且f（2+x）＝f（2﹣x），當(dāng)x∈[﹣2，0]時，，若關(guān)于x的方程f（x）﹣loga（x+2）＝0（a＞0，a≠1）在區(qū)間（﹣2，10）內(nèi)恰有5個不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．（8，12） B．（12，+∞） C．（8，12] D．（1，8）9．已知函數(shù)f（x）＝ex，函數(shù)g（x）與f（x）的圖象關(guān)于直線y＝x對稱，令則方程e2h（x）＝x+e2解的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．410．已知關(guān)于x方程ex（2x﹣1）+m（x﹣1）＝0有兩個不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A． B． C． D．多選題11．已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）圖象連續(xù)不斷，且滿足f（x+2）＝f（x），則以下結(jié)論成立的是（）A．函數(shù)f（x）的周期T＝2 B．f（2019）＝f（2020）＝0 C．點(diǎn)（1，0）是函數(shù)y＝f（x）圖象的一個對稱中心 D．f（x）在[﹣2，2]上有4個零點(diǎn)12．已知關(guān)于x的一元二次方程（3a2+4）x2﹣18ax+15＝0有兩個實(shí)根x1，x2，則下列結(jié)論正確的有（）A．或 B． C．|x1﹣x2|＝ D．＝﹣513．已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（1+x）＝f（1﹣x），當(dāng)0≤x≤1時，f（x）＝x，關(guān)于函數(shù)g（x）＝|f（x）|+f（|x|），下列說法正確的是（）A．g（x）為偶函數(shù) B．g（x）在（1，2）上單調(diào)遞增 C．g（x）在[2016，2020]上恰有三個零點(diǎn) D．g（x）的最大值為214．已知函數(shù)f（x）＝，若方程f（x）﹣a＝0有兩個不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍可以是（）A．（﹣，0） B．[0，2） C．（0，2] D．（2，+∞）填空題15．已知函數(shù)，則g（x）＝f（x）+1的零點(diǎn)個數(shù)為．16．已知函數(shù)f（x）＝sin（πx﹣π）與的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1，x2，…，xn，則x1+x2+…+xn＝．17．方程cosπx＝|log2|x﹣1||所有解的和為．18．已知函數(shù)f（x）＝|log2x|﹣kx在x∈（0，16]上有三個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為．解答題19．已知函數(shù)．（1）若f（x）是偶函數(shù)，求a的值；（2）當(dāng)a＜﹣4時，若關(guān)于x的方程f（﹣2x2+4x+3+a）＝2在[﹣1，2]上恰有兩個不同的實(shí)數(shù)解，求a的取值范圍．20．已知函數(shù)f（x）＝ax2+bx+c（a≠0）滿足f（x+1）﹣f（x）＝2x，且f（0）＝1．（1）求函數(shù)f（x）的解析式；（2）討論方程m＝在的解的個數(shù)．第一章函數(shù)專練5—函數(shù)與方程（二）答案1．解：作出函數(shù)f（x）＝的圖象如圖，函數(shù)y＝f（x）﹣a有三個零點(diǎn)，即y＝f（x）與y＝a的圖象有3個不同交點(diǎn)，由圖可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍為（，1）．故選：B．2．解：函數(shù)f（x）＝|x|﹣cosx的零點(diǎn)，即方程|x|﹣cosx＝0的根，也就是y＝|x|與y＝cosx交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，作出y＝|x|與y＝cosx的圖象如圖：由圖可知，函數(shù)f（x）＝|x|﹣cosx的零點(diǎn)個數(shù)為2．故選：C．3．解：y＝f（f（x））+1的零點(diǎn)個數(shù)，即方程f（f（x））＝﹣1的實(shí)數(shù)根的個數(shù)，設(shè)t＝f（x），則f（t）＝﹣1，作出f（x）的圖象如圖所示．結(jié)合圖象可知方程f（t）＝﹣1有3個實(shí)數(shù)根，分別為t1＝﹣6，t2＝﹣1，t3＝1．當(dāng)t＝﹣6時，方程f（x）＝t有且只有1個實(shí)根；當(dāng)t＝﹣1時，方程f（x）＝t有3個不同的實(shí)數(shù)根；當(dāng)t＝1時，方程f（x）＝t有2個不同實(shí)根．故方程y＝f（f（x））＝﹣1有6個不同的實(shí)根，即y＝f（f（x））+1有6個零點(diǎn)．故選：C．4．解：令f（x）＝0，得x2﹣2x+1﹣a＝，令g（x）＝，則g′（x）＝，可得g（x）在（﹣∞，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，作出函數(shù)y＝x2﹣2x+1﹣a與y＝g（x）的圖象如圖，如圖所示，函數(shù)f（x）＝ex（x2﹣2x+1﹣a）﹣x恒有2個零點(diǎn)，等價于函數(shù)y＝x2﹣2x+1﹣a與y＝g（x）的圖象有兩個交點(diǎn)，∴﹣a＜，即a＞，∴a的取值范圍是（﹣，+∞）．故選：A．5．解：由函數(shù)f（x）滿足f（x+1）＝f（x﹣1），以x+1替換x，可得f（x+2）＝f（x），可知f（x）周期為2，又當(dāng)x∈[﹣1，1]時，f（x）＝|x|，函數(shù)g（x）＝，作出函數(shù)f（x）、g（x）的圖象如圖所示，則函數(shù)h（x）＝f（x）﹣g（x）在區(qū)間[﹣2，5]內(nèi)的零點(diǎn)的個數(shù)，即為f（x）＝g（x）時的交點(diǎn)個數(shù)，由上圖可知f（x）與g（x）有6個交點(diǎn)，∴h（x）在區(qū)間[﹣2，5]內(nèi)的零點(diǎn)的個數(shù)為6個，故選：C．6．解：函數(shù)g（x）＝﹣x2﹣2x＝﹣（x+1）2+1≤1，令g（x）＝t，則t≤1，要使方程f（g（x））﹣a＝0有4個不相等的實(shí)根，則關(guān)于t的方程為f（t）﹣a＝0有兩個小于1的實(shí)數(shù)根，畫出函數(shù)f（t）＝的圖象如圖：由圖可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（1，2]．故選：C．7．解：顯然m，n是方程f（x）＝1的兩個根，又f（x）＝0有兩解x1，x2，∴f（x）的圖象與x軸有兩個交點(diǎn)，不妨設(shè)x1＜x2，m＜n，作出f（x）的函數(shù)圖象如圖所示：顯然有：m＜x1＜x2＜n，故選：D．8．解：由f（2+x）＝f（2﹣x），得f（x+4）＝f[2﹣（x+2）]＝f（﹣x），又f（x）是偶函數(shù)，則f（x+4）＝f（x），則f（x）是周期為4的周期函數(shù)．又當(dāng)x∈[﹣2，0]時，，∴當(dāng)x∈[0，2]時，﹣x∈[﹣2，0]，則f（x）＝f（﹣x）＝．關(guān)于x的方程f（x）﹣loga（x+2）＝0（a＞0，a≠1）在區(qū)間（﹣2，10）內(nèi)恰有5個不同的實(shí)數(shù)根，即y＝f（x）與y＝loga（x+2）在區(qū)間（﹣2，10）內(nèi)有5個不同的交點(diǎn)．顯然a＞1．在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y＝f（x）與y＝loga（x+2）的圖象如圖：則，解得8＜a≤12．∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（8，12]．故選：C．9．解：因?yàn)楹瘮?shù)g（x）與f（x）的圖象關(guān)于直線y＝x對稱，f（x）＝ex，所以g（x）＝lnx，所以h（x）的圖象如圖所示．方程e2h（x）＝x+e2可化為，即求函數(shù)y＝h（x）與y＝的圖象的交點(diǎn)個數(shù)．當(dāng)x≤0時，y＝的圖象恒過點(diǎn)（0，1），此時有兩個交點(diǎn)；當(dāng)0＜x＜1時，y＝與y＝h（x）的圖象有一個交點(diǎn)；當(dāng)x＞1時，設(shè)斜率為的直線與y＝lnx的切點(diǎn)為（x0，lnx0），由斜率k＝＝，所以x0＝e2，所以切點(diǎn)為（e2，2），此時直線方程為y﹣2＝，即y＝，所以直線y＝與z＝x+y恰好相切，有一個交點(diǎn)．綜上，此方程有4個解．故選：D．10．解：令f（x）＝ex（2x﹣1），則f′（x）＝ex（2x+1），∴當(dāng)x＜﹣時，f′（x）＜0，當(dāng)x＞﹣時，f′（x）＞0，故f（x）在（﹣∞，﹣）上單調(diào)遞減，在（﹣，+∞）上單調(diào)遞增，且當(dāng)x＜時，f（x）＜0，當(dāng)x＞時，f（x）＞0，作出f（x）的大致函數(shù)圖象如圖所示：不妨設(shè)直線y＝k（x﹣1）與y＝f（x）的圖象相切，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（x0，y0），則，于是，解得x0＝0，k＝1或x0＝，k＝4e，∵關(guān)于x方程ex（2x﹣1）+m（x﹣1）＝0有兩個不等實(shí)根，∴函數(shù)y＝ex（2x﹣1）的圖象與直線y＝﹣m（x﹣1）有兩個交點(diǎn)，∴0＜﹣m＜1或﹣m＞4e，∴﹣1＜m＜0或m＜﹣4e．故選：D．11．解：定義在R上的奇函數(shù)f（x）圖象連續(xù)不斷，且滿足f（x+2）＝f（x），所以函數(shù)的周期為2，所以A正確；f（﹣1+2）＝f（﹣1），即f（1）＝f（﹣1）＝﹣f（1），所以f（1）＝f（﹣1）＝0，所以f（2019）＝f（1）＝0，f（2020）＝f（0）＝0，所以B正確；所以C正確；f（x）在[﹣2，2]上有f（﹣2）＝f（﹣1）＝f（0）＝f（1）＝f（2）＝0，有5個零點(diǎn)，所以D不正確；故選：ABC．12．解：由△＝（﹣18a）2﹣60（3a2+4）＝144a2﹣240≥0，解得a≥或a，故A正確；，，則，故B正確；＝＝，故C錯誤；假設(shè)D正確，則ax1x2﹣5x2＝﹣5ax1x2+5x1，即6ax1x2＝5（x1+x2），也就是，此時顯然成立，故D正確．∴結(jié)論正確的有ABD．故選：ABD．13．解：易知函數(shù)g（x）的定義域?yàn)镽，且g（﹣x）＝|f（﹣x）|+f（|﹣x|）＝|﹣f（x）|+f（|x|）＝|f（x）|+f（|x|）＝g（x），所以g（x）為偶函數(shù)，故A正確，因?yàn)閒（1+x）＝f（1﹣x），所以f（x）的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，又f（x）是奇函數(shù)，所以f（x）是周期為4的函數(shù)，其部分圖象如下圖所示：所以當(dāng)x≥0時，k∈N，當(dāng)x∈（1，2）時，g（x）＝2f（x），g（x）單調(diào)遞減，故B錯誤，g（x）在[2016，2020]上零點(diǎn)的個數(shù)等價于g（x）在[0，4]上零點(diǎn)的個數(shù)，而g（x）在[0，4]上有無數(shù)個零點(diǎn)，故C錯誤，當(dāng)x≥0時，易知g（x）的最大值為2，由偶函數(shù)的對稱性可知，當(dāng)x＜0時，g（x）的最大值也為2，所以g（x）在整個定義域上的最大值為2，故D正確，故選：AD．14．解：當(dāng)x≥0時，則f（x）＝x3﹣3x+2，故f′（x）＝3x2﹣3＝0，得x＝﹣1，x＝1，則此時f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增；當(dāng)x＜0時，則f（x）＝﹣x2ex，故f′（x）＝﹣2xex﹣x2ex＝﹣xex（2+x）＝0，得x＝﹣2，則此時f（x）在（﹣∞，﹣2）上單調(diào)遞減，在（﹣2，0）上單調(diào)遞增；作出函數(shù)f（x）圖象如圖：因?yàn)榉匠蘤（x）﹣a＝0有兩個不相等的實(shí)根等價于函數(shù)f（x）與y＝a的圖象有兩個交點(diǎn)，有圖可得a∈（f（﹣2），0）∪（0，2]，即a∈（﹣，0）∪（0，2]．故選：AC．15．解：g（x）＝f（x）+1的零點(diǎn)，即方程f（x）+1＝0的根，也就是y＝f（x）與y＝﹣1的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，作出函數(shù)的圖象如圖，由圖可知，y＝f（x）與y＝﹣1的交點(diǎn)有2個，即g（x）＝f（x）+1的零點(diǎn)個數(shù)為2．故答案為：2．16．解：f（x）＝sin（πx﹣π）＝﹣sinπx，，在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出兩函數(shù)的圖象如圖：兩函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）中心對稱，且有7個交點(diǎn)，則x1+x2+…+xn＝3×2+1＝7．故答案為：7．17．解：方程cosπx＝|log2|x﹣1||的解，即函數(shù)y＝cosπx與y＝|log2|x﹣1||圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由圖象變化的法則可知：y＝log2x的圖象作關(guān)于y軸的對稱后和原來的一起構(gòu)成y＝log2|x|的圖象，再向右平移1個單位得到y(tǒng)＝log2|x﹣1|的圖象，再把x軸上方的不動，下方的對折上去，可得g（x）＝|log2|x﹣1||的圖象；又f（x）＝cosπx的周期為2，如圖所示：兩圖象都關(guān)于直線x＝1對稱，且共有A、B、C、D4個交點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得：xA+xD＝2，xB+xC＝2，故所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為4，即方程cosπx＝|log2|x﹣1||所有解的和為4．故答案為：4．18．解：函數(shù)f（x）＝|log2x|﹣kx在x∈（0，16]上的零點(diǎn)個數(shù)即為函數(shù)g（x）＝|log2x|與y＝kx的圖象的交點(diǎn)個數(shù)，函數(shù)g（x）的圖象如圖，則必有k＞0，當(dāng)0＜x＜1時，必有一個交點(diǎn)；當(dāng)1＜x≤16時，設(shè)過原點(diǎn)的直線與y＝log2x的切點(diǎn)為（x0，log2x0），則k＝，切線方程為，將（0，0）代入得：，即x0＝e，∴k＝，又由log216﹣16k＝0，得k＝，結(jié)合圖象可知，實(shí)數(shù)k的取值范圍為[，）．故答案為：[，）．19．解：（1）若函數(shù)偶函數(shù)，則f（﹣x）＝f（x），即，變形可得4ax+1＝4（1﹣a）x+4x，則有a＝1；（2），∵a＜﹣4，∴y＝2（2a﹣1）x，y＝2﹣x都在R上單調(diào)遞減，∴函數(shù)y＝f（x）在R上單調(diào)遞減，又f（0）＝2，∴f（﹣2x2+4x+3+a）＝f（0），∴﹣2x2+4x+3+a＝0，∴a＝2x2﹣4x﹣3，x∈[﹣1，2]，由圖象知，當(dāng)﹣5＜a≤﹣3時，方程a＝2x2﹣4x﹣3在[﹣1，2]有兩個