高考數(shù)學(xué) 考前三個(gè)月復(fù)習(xí)沖刺 專題3 第16練 定積分問題 理試題

第16練定積分問題[題型分析·高考展望]定積分在理科高考中，也是重點(diǎn)考查內(nèi)容.主要考查定積分的計(jì)算和利用定積分求不規(guī)則圖形的面積，題目難度不大，多為中低檔題目，常以選擇題、填空題的形式考查，掌握定積分的計(jì)算公式，會(huì)求各種類型的曲邊圖形的面積是本節(jié)重點(diǎn).?？碱}型精析題型一定積分的計(jì)算例1(1)(2014·陜西)定積分?eq\o\al(1,0)(2x＋ex)dx的值為()A.e＋2 B.e＋1C.e D.e－1(2)(2014·江西)若f(x)＝x2＋2?eq\o\al(1,0)f(x)dx，則?eq\o\al(1,0)f(x)dx等于()A.－1 B.－eq\f(1,3)C.eq\f(1,3) D.1點(diǎn)評(píng)(1)計(jì)算定積分要先將被積函數(shù)化簡(jiǎn)后利用運(yùn)算性質(zhì)分解成幾個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的定積分，再利用微積分基本定理求解；(2)對(duì)有關(guān)函數(shù)圖象和圓的定積分問題可以利用定積分的幾何意義求解.變式訓(xùn)練1(1)設(shè)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，x∈[0，1]，,2－x，x∈1，2]，))則?eq\o\al(2,0)f(x)dx等于()A.eq\f(3,4) B.eq\f(4,5)C.eq\f(5,6) D.不存在(2)若定積分?eq\o\al(m,－2)eq\r(－x2－2x)dx＝eq\f(π,4)，則m等于()A.－1 B.0C.1 D.2題型二利用定積分求曲邊梯形的面積例2(1)(2014·山東)直線y＝4x與曲線y＝x3在第一象限內(nèi)圍成的封閉圖形的面積為()A.2eq\r(2) B.4eq\r(2)C.2 D.4(2)直線l過拋物線C：x2＝4y的焦點(diǎn)且與y軸垂直，則l與C所圍成的圖形的面積等于()A.eq\f(4,3) B.2C.eq\f(8,3) D.eq\f(16\r(2),3)(3)由曲線y＝sinx，y＝cosx與直線x＝0，x＝eq\f(π,2)所圍成的平面圖形(如圖中的陰影部分所示)的面積是()A.1 B.eq\f(π,4)C.eq\f(2\r(2),3) D.2eq\r(2)－2點(diǎn)評(píng)求曲邊多邊形面積的步驟：(1)畫出草圖，在直角坐標(biāo)系中畫出曲線或直線的大致圖形.(2)借助圖形確定被積函數(shù)，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，確定積分的上限、下限.(3)將曲邊梯形的面積表示為若干個(gè)定積分之和.(4)計(jì)算定積分.變式訓(xùn)練2(2015·陜西)如圖，一橫截面為等腰梯形的水渠，因泥沙沉積，導(dǎo)致水渠截面邊界呈拋物線型(圖中虛線表示)，則原始的最大流量與當(dāng)前最大流量的比值為________.高考題型精練1.已知自由落體運(yùn)動(dòng)的速率v＝gt，則落體運(yùn)動(dòng)從t＝0到t＝t0所走的路程為()A.eq\f(gt\o\al(2,0),3) B.gteq\o\al(2,0)C.eq\f(gt\o\al(2,0),2) D.eq\f(gt\o\al(2,0),6)2.(2015·廣州模擬)若(sinx－acosx)dx＝2，則實(shí)數(shù)a等于()A.－1 B.1C.－eq\r(3) D.eq\r(3)3.由直線x＝－eq\f(π,3)，x＝eq\f(π,3)，y＝0與曲線y＝cosx所圍成的封閉圖形的面積為()A.eq\f(1,2) B.1C.eq\f(\r(3),2) D.eq\r(3)4.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S10＝?eq\o\al(3,0)(1＋2x)dx，S20＝17，則S30為()A.15 B.20C.25 D.305.(2015·德州模擬)圖中陰影部分的面積是()A.16 B.18C.20 D.226.(2015·北京朝陽區(qū)模擬)設(shè)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，x∈[0，1]，,\f(1,x)，x∈[1，e]))(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，則?eq\o\al(e,0)f(x)dx的值為()A.eq\f(4,3) B.eq\f(5,4)C.eq\f(6,5) D.eq\f(7,6)7.(2014·湖南)已知函數(shù)f(x)＝sin(x－φ)，且f(x)dx＝0，則函數(shù)f(x)的圖象的一條對(duì)稱軸是()A.x＝eq\f(5π,6) B.x＝eq\f(7π,12)C.x＝eq\f(π,3) D.x＝eq\f(π,6)8.設(shè)n＝4sinxdx，則二項(xiàng)式(x－eq\f(1,x))n的展開式的常數(shù)項(xiàng)是()A.12 B.6C.4 D.19.曲線y＝eq\f(1,x)與直線y＝x，x＝2所圍成的圖形的面積為________.10.(2015·青島模擬)已知函數(shù)f(x)＝－x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的圖象如圖所示，它與x軸在原點(diǎn)處相切，且x軸與函數(shù)圖象所圍區(qū)域(圖中陰影部分)的面積為eq\f(1,12)，則a的值為________.11.(2015·福建)如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,4)，函數(shù)f(x)＝x2，若在矩形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率等于______.12.求曲線y＝eq\r(x)，y＝2－x，y＝－eq\f(1,3)x所圍成圖形的面積.答案精析第16練定積分問題常考題型精析例1(1)C(2)B解析(1)?eq\o\al(1,0)(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)|eq\o\al(1,0)＝e.故選C.(2)∵f(x)＝x2＋2?eq\o\al(1,0)f(x)dx，∴?eq\o\al(1,0)f(x)dx＝(eq\f(1,3)x3＋2x?eq\o\al(1,0)f(x)dx)|eq\o\al(1,0)＝eq\f(1,3)＋2?eq\o\al(1,0)f(x)dx，∴?eq\o\al(1,0)f(x)dx＝－eq\f(1,3).變式訓(xùn)練1(1)C(2)A解析(1)?eq\o\al(2,0)f(x)dx＝?eq\o\al(1,0)x2dx＋?eq\o\al(2,1)(2－x)dx＝eq\f(1,3)x3|eq\o\al(1,0)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,2)x2))|eq\o\al(2,1)＝eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－2－2＋\f(1,2)))＝eq\f(5,6).(2)根據(jù)定積分的幾何意義知，定積分?eq\o\al(m,－2)eq\r(－x2－2x)dx的值就是函數(shù)y＝eq\r(－x2－2x)的圖象與x軸及直線x＝－2，x＝m所圍成圖形的面積，y＝eq\r(－x2－2x)是一個(gè)半徑為1的半圓，其面積等于eq\f(π,2)，而?eq\o\al(m,－2)eq\r(－x2－2x)dx＝eq\f(π,4)，即在區(qū)間[－2，m]上該函數(shù)圖象應(yīng)為eq\f(1,4)個(gè)圓，于是得m＝－1，故選A.例2(1)D(2)C(3)D解析(1)令4x＝x3，解得x＝0或x＝±2，∴S＝?eq\o\al(2,0)(4x－x3)＝eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x2－\f(x4,4)))))eq\o\al(2,0)＝8－4＝4，故選D.(2)∵拋物線方程為x2＝4y，∴其焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(0,1)，故直線l的方程為y＝1.如圖所示，可知l與C圍成的圖形的面積等于矩形OABF的面積與函數(shù)y＝eq\f(1,4)x2的圖象和x軸正半軸及直線x＝2圍成的圖形的面積的差的2倍(圖中陰影部分的2倍)，即S＝4－2?eq\o\al(2,0)eq\f(x2,4)dx＝eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(4－2·\f(x3,12)))eq\o\al(2,0)＝4－eq\f(4,3)＝eq\f(8,3).(3)方法一由sinx＝cosx(x∈(0，eq\f(π,2)))，得x＝eq\f(π,4).故所求陰影部分的面積S＝eq\i\in(0,eq\f(π,4),)(cosx－sinx)dx＋eq\i\in(eq\f(π,4),eq\f(π,2),)(sinx－cosx)dx＝(sinx＋cosx)eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(π,4),0))＋(－cosx－sinx)eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(π,2),\f(π,4)))＝sineq\f(π,4)＋coseq\f(π,4)－sin0－cos0＋[(－coseq\f(π,2)－sineq\f(π,2))－(－coseq\f(π,4)－sineq\f(π,4))]＝2eq\r(2)－2.故選D.方法二由sinx＝cosx(x∈(0，eq\f(π,2)))，得x＝eq\f(π,4).根據(jù)圖象的對(duì)稱性，可知所求陰影部分的面積S＝2eq\i\in(0,eq\f(π,4),)(cosx－sinx)dx＝2(sinx＋cosx)eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(π,4),0))＝2(sineq\f(π,4)＋coseq\f(π,4)－sin0－cos0)＝2eq\r(2)－2.故選D.變式訓(xùn)練21.2解析由題意可知最大流量的比即為橫截面面積的比，建立以拋物線頂點(diǎn)為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)拋物線方程為y＝ax2，將點(diǎn)(5,2)代入拋物線方程得a＝eq\f(2,25)，故拋物線方程為y＝eq\f(2,25)x2，拋物線的橫截面面積為S1＝2eq\i\in(0,5,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(2,25)x2))dx＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(2,75)x3))eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(5,0))＝eq\f(40,3)(m2)，而原梯形下底為10－eq\f(2,tan45°)×2＝6(m)，故原梯形面積為S2＝eq\f(1,2)(10＋6)×2＝16，eq\f(S2,S1)＝eq\f(16,\f(40,3))＝1.2.高考題型精練1.C[由題意，可知所走路程為＝＝eq\f(1,2)gt2eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(t0,0))＝eq\f(1,2)gteq\o\al(2,0).]2.A[eq\i\in(0,eq\f(π,2),)sinx－acosxdx＝－cosx－asinxeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(π,2),0))＝－a＋1＝2，a＝－1.]3.D[eq\i\in(-eq\f(π,3),eq\f(π,3),)cosxdx=sinxeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(π,3),—\f(π,3)))＝sineq\f(π,3)－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＝eq\r(3).]4.A[由已知得S10＝?eq\o\al(3,0)(1＋2x)dx＝12，據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)可得S10＝12，S20－S10＝5，S30－S20＝S30－17亦成等差數(shù)列，故有12＋S30－17＝10?S30＝15.]5.B[S＝?eq\o\al(4,－2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋4－\f(y2,2)))dy＝eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y2,2)＋4y－\f(y3,6)))))eq\o\al(4,－2)＝18.]6.A[根據(jù)定積分的運(yùn)算法則，由題意，可知?eq\o\al(e,0)f(x)dx＝?eq\o\al(1,0)x2dx＋?eq\o\al(e,1)eq\f(1,x)dx＝eq\f(1,3)x3|eq\o\al(1,0)＋lnx|eq\o\al(e,1)＝eq\f(1,3)＋1＝eq\f(4,3).]7.A[∵eq\i\in(0,eq\f(2π,3),)sin(x－φ)dx＝－cos(x－φ)eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3),0))＝0，∴－cos(eq\f(2π,3)－φ)＋cosφ＝0.∴cos(eq\f(2π,3)－φ)－cosφ＝0.∴eq\f(\r(3),2)sinφ－eq\f(3,2)cosφ＝0.∴eq\r(3)sin(φ－eq\f(π,3))＝0.∴φ－eq\f(π,3)＝k1π(k1∈Z).∴φ＝k1π＋eq\f(π,3)(k1∈Z).∴f(x)＝sin(x－k1π－eq\f(π,3))(k1∈Z).由x－k1π－eq\f(π,3)＝k2π＋eq\f(π,2)(k1，k2∈Z)得x＝(k1＋k2)π＋eq\f(5,6)π(k1，k2∈Z)，∴f(x)的對(duì)稱軸方程為x＝(k1＋k2)π＋eq\f(5,6)π(k1，k2∈Z).故x＝eq\f(5π,6)為函數(shù)f(x)的一條對(duì)稱軸.]8.B[由定積分得n＝－4cosxeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(π,2),0))＝4，二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為Tk＋1＝Ceq\o\al(k,4)x4－k(－eq\f(1,x))k＝Ceq\o\al(k,4)(－1)kx4－2k，由4－2k＝0，得k＝2，所以常數(shù)項(xiàng)為T3＝Ceq\o\al(2,4)(－1)2＝6，故選B.]9.eq\f(3,2)－ln2解析S＝?eq\o\al(2,1)(x－eq\f(1,x))dx＝eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2－lnx))))eq\o\al(2,1)＝eq\f(3,2)－ln2.10.－1解析由曲線在原點(diǎn)處與x軸相切，可得f′(0)＝b＝0