高考數(shù)學一輪復習 第九章 計數(shù)原理、概率與統(tǒng)計 第十一節(jié) 離散型隨機變量的均值與方差習題 理試題

第十一節(jié)離散型隨機變量的均值與方差[基礎達標]一、選擇題(每小題5分,共25分)1.設隨機變量X的分布列為P(X=i)=(i=1,2,3),則P(X=2)等于 ()A. B. C. D.1.C【解析】由分布列的性質可得=1,a=3,所以P(X=2)=.2.設隨機變量ξ的分布列為P(ξ=k)=(k=2,4,6,8,10),則Dξ= ()A.5 B.8 C.10 D.162.B【解析】因為Eξ==6,所以Dξ=×(42+22+02+22+42)=8.3.(2015·山東沂水一中質檢)某班有14名學生數(shù)學成績優(yōu)秀,如果從該班隨機找出5名學生,那么其中數(shù)學成績優(yōu)秀的學生數(shù)X~B,則E(2X+1)= ()A. B. C.3 D.3.D【解析】因為X~B,所以EX=,則E(2X+1)=2EX+1=2×+1=.4.袋中有3個“文洛克”,1個“福娃貝貝”,從中任取2個,取得1個“文洛克”得0分,取得1個“福娃貝貝”得2分,則所得分數(shù)X的均值EX= ()A.0 B.1 C.2 D.44.B【解析】由題意可得X的可能取值為0或2,其中X=0表示取得2個“文洛克”,X=2表示取得1個“文洛克”,1個“福娃貝貝”,所以P(X=0)=,P(X=2)=,故X的均值EX=0×+2×=1.5.設隨機變量ξ的分布列為下表所示且Eξ=1.6,則a-b= ()ξ0123p0.1ab0.1A.0.2 B.-0.2 C.0.8 D.-0.85.B【解析】由0.1+a+b+0.1=1,得a+b=0.8,又由Eξ=0×0.1+1×a+2×b+3×0.1=1.6,得a+2b=1.3,解得a=0.3,b=0.5,則a-b=-0.2.二、填空題(每小題5分,共5分)6.(2015·蘭州一中月考)隨機變量ξ的分布列如下,其中a,2b,c成等差數(shù)列,若Eξ=,則Dξ=.

ξ-101Pabc6.【解析】由題意可得a+b+c=1,Eξ=c-a=,a+c=4b,聯(lián)立解得a=,b=,c=,所以Dξ=.三、解答題(共25分)7.(12分)(2016·肇慶檢測)某商店根據(jù)以往某種玩具的銷售記錄,繪制了日銷售量的頻率分布直方圖,如圖所示.將日銷售量落入各組的頻率視為概率,并假設每天的銷售量相互獨立.(1)估計日銷售量的眾數(shù);(2)求在未來連續(xù)3天里,有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個且另外1天的日銷售量低于50個的概率;(3)用X表示在未來3天里日銷售量不低于100個的天數(shù),求隨機變量X的分布列,期望EX及方差DX.7.【解析】(1)依據(jù)日銷售量的頻率分布直方圖可得眾數(shù)為=125.(2)記事件A1:“日銷售量不低于100個”,事件A2:“日銷售量低于50個”,事件B:“在未來連續(xù)3天里,有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個且另外1天的日銷售量低于50個”.則P(A1)=(0.006+0.004+0.002)×50=0.6,P(A2)=0.003×50=0.15,P(B)=0.6×0.6×0.15×2=0.108.(3)X的所有可能取值為0,1,2,3.P(X=0)=(1-0.6)3=0.064,P(X=1)=×0.6×(1-0.6)2=0.288,P(X=2)=×0.62×(1-0.6)=0.432,P(X=3)=×0.63=0.216,則X的分布列為X0123P0.0640.2880.4320.216因為X~B(3,0.6),所以EX=3×0.6=1.8,DX=3×0.6×(1-0.6)=0.72.8.(13分)(2015·河南八校聯(lián)考)現(xiàn)有4個人去參加娛樂活動,該活動有甲、乙兩個游戲可供參加者選擇,為增加趣味性,約定:每個人通過擲一枚質地均勻的骰子決定自己去參加哪個游戲,擲出點數(shù)為1或2的人去參加甲游戲,擲出點數(shù)大于2的人去參加乙游戲.(1)求這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率;(2)求這4個人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率;(3)用X,Y分別表示這4個人中去參加甲、乙游戲的人數(shù),記ξ=|X-Y|,求隨機變量ξ的分布列與數(shù)學期望Eξ.8.【解析】依題意,這4個人中,每個人去參加甲游戲的概率為,去參加乙游戲的人數(shù)的概率為,設“這4個人中恰有i人去參加甲游戲”為事件Ai(i=0,1,2,3,4),故P(Ai)=.(1)這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率為P(A2)=.(2)設“這4個人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)”為事件B,則B=A3∪A4,由于A3與A4互斥,故P(B)=P(A3)+P(A4)=.所以,這4個人去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率為.(3)ξ的所有可能取值為0,2,4,由于A1與A3互斥,A0與A4互斥,故P(ξ=0)=P(A2)=,P(ξ=2)=P(A1)+P(A3)=,P(ξ=4)=P(A0)+P(A4)=,所以ξ的分布列為ξ024P所以Eξ=0×+2×+4×.[高考沖關]1.(5分)某籃球運動員進行投籃訓練,若投進的概率是,用ξ表示他投籃3次的進球數(shù),則隨機變量ξ的標準差= ()A. B. C. D.1.D【解析】由題意可知,ξ服從二項分布B,所以方差Dξ=3×,故標準差.2.(5分)(2015·浙江重點中學協(xié)作體聯(lián)考)甲乙兩人進行乒乓球比賽,約定每局勝者得1分,負者得0分,比賽進行到有一人比對方多2分或打滿6局時停止,設甲在每局中獲勝的概率為,乙在每局中獲勝的概率為,且各局勝負相互獨立,則比賽停止時已打局數(shù)的期望Eξ為 ()A. B. C. D.2.B【解析】依題意知,ξ的所有可能值為2,4,6,設每兩局比賽為一輪,則該輪結束時比賽停止的概率為.若該輪結束時比賽還將繼續(xù),則甲、乙在該輪中必是各得一分,此時,該輪比賽結果對下輪比賽是否停止沒有影響.從而有P(ξ=2)=,P(ξ=4)=,P(ξ=6)=,故Eξ=2×+4×+6×.3.(5分)(2014·浙江高考)已知甲盒中僅有1個球且為紅球,乙盒中有m個紅球和n個藍球(m≥3,n≥3),從乙盒中隨機抽取i(i=1,2)個球放入甲盒:(a)放入i個球后,甲盒中含有紅球的個數(shù)記為ξi(i=1,2);(b)放入i個球后,從甲盒中取1個球是紅球的概率記為pi(i=1,2).則 ()A.p1>p2,Eξ1<Eξ2 B.p1<p2,Eξ1>Eξ2C.p1>p2,Eξ1>Eξ2 D.p1<p2,Eξ1<Eξ23.A【解析】解法1(特值法):取m=n=3估算即可.解法2(標準解法):取一個球,紅球個數(shù)為ξ:0,1;P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,∴Eξ1=P(ξ=0)×1+P(ξ=1)×2=+1,p1=+1,取兩個球時,紅球個數(shù)為ξ:0,1,2,P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,∴Eξ2=P(ξ=0)×1+P(ξ=1)×2+P(ξ=2)×3=+1,p2=,∴比較得A.4.(5分)(2015·上海十三校聯(lián)考)設口袋中有黑球、白球共7個,從中任取2個球,令取到白球的個數(shù)為ξ,且ξ的數(shù)學期望Eξ=,則口袋中白球的個數(shù)為.

4.3【解析】設口袋中白球有n個,則由超幾何分布的概率公式可得Eξ=,解得n=3.5.(12分)(2015·重慶高考)端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習俗.設一盤中裝有10個粽子,其中豆沙粽2個,肉粽3個,白粽5個,這三種粽子的外觀完全相同.從中任意選取3個.(1)求三種粽子各取到1個的概率;(2)設X表示取到的豆沙粽個數(shù),求X的分布列與數(shù)學期望.5.【解析】(1)令A表示事件“三種粽子各取到1個”,則由古典概型的概率計算公式有P(A)=.(2)X的所有可能值為0,1,2,且P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=.綜上知,X的分布列為X012P故EX=0×+1×+2×(個).6.(13分)(2015·重慶巴蜀中學三診)退休年齡延遲是平均預期壽命延長和人口老齡化背景下的一種趨勢.某機構為了解某城市市民的年齡構成,從該城市市民中隨機抽取年齡段在20~80歲(含20歲和80歲)之間的600人進行調查,并按年齡層次[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80]繪制頻率分布直方圖,如圖所示.若規(guī)定年齡分布在[20,40)歲的人為“青年人”,[40,60)為“中年人”,[60,80]為“老年人”.(1)若每一組數(shù)據(jù)的平均值用該區(qū)間中點值來代替,試估算所調查的600人的平均年齡;(2)將上述人口分布的頻率視為該城市在20~80年齡段的人口分布的概率.從該城市20~80年齡段市民中隨機抽取3人,記抽到“老年人”的人數(shù)為X,求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望.6.【解析】(1)