變力做功的求解方法

變力做功的求解方法2用圖像法求變力做功功是描寫力對(duì)空間的積累作用的，它的大小可以用作用力隨位移變化的關(guān)系曲線，如圖2.2.1力-位移圖象下的一塊圖形面積的大小來(lái)表示。如圖甲所示表示恒力的力-位移圖像，橫坐標(biāo)表示力F在位移方向上的分量，功W的數(shù)值等于直線下方畫有斜線部分的面積.如圖乙所示表示變力的力-位移圖像，曲線下方畫有斜線部分的面積就表示變力所做的功，它近似地等于成階梯形的小矩形面積的總和。圖2.2.1力-位移圖象在F-x圖象中，圖線和橫軸所圍成的面積即表示力所做的功，即功是力對(duì)位移的積累效應(yīng)。如果巳知在位移x內(nèi)F隨位移變化的圖象，可以根據(jù)圖象與x軸所圍成的面積求出變力F對(duì)物體做的功，這種求功的方法稱為圖像法。線性變化的力是一種特殊情況的變力，作用力是位移的線性函數(shù)F=kx，它的力-位移圖象是一條傾斜的直線，直線下方的梯形或三角形的面積表示為線性變力的大小。在功的求解問(wèn)題中，當(dāng)巳知力與位移的函數(shù)關(guān)系或力與位移的關(guān)系曲線時(shí)，就可以用圖像法求解。如重心位置變化時(shí)的重力所做的功；彈簧伸縮時(shí)彈力所做的功；打擊木樁時(shí)的阻力所做的功，它們的力與位移都成線性關(guān)系：F=kx。在求這些力做的功時(shí)，由于很容易找到力和位移的函數(shù)關(guān)系，作出F—x圖線，可以用圖像法很簡(jiǎn)單的進(jìn)行求解。利用圖像法求解功的思路是：首先確定研究對(duì)象，進(jìn)行受力分析，找出力與位移之間的函數(shù)關(guān)系式；根據(jù)題意及關(guān)系式作出F-x圖線；最后利用幾何關(guān)系求出圖線和坐標(biāo)軸圍成的面積，即為所求力的功。例1：質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)在外力的作用下沿°x軸運(yùn)動(dòng)，巳知'=0時(shí)質(zhì)點(diǎn)位于原點(diǎn)，且初速度為零，設(shè)外力F隨距離性地減小，且x=0時(shí)，F(xiàn)=F0；當(dāng)x=L時(shí)，F(xiàn)=°。試求質(zhì)點(diǎn)從x=0運(yùn)動(dòng)到x=L處的過(guò)程中，力F對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做功和質(zhì)點(diǎn)在x=L處的速率［U分析與解：當(dāng)*=0時(shí)，七=0,x0=0,F=F0；并且外力隨距離增大而減?。挥之?dāng)x=L時(shí)，F(xiàn)=0。所以當(dāng)質(zhì)點(diǎn)從X=0運(yùn)動(dòng)到X=L處的過(guò)程中，變力F所做的功轉(zhuǎn)化為質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能。因此我們用圖像發(fā)求變力所做的功，再則求出質(zhì)點(diǎn)在X=L處的速度。由于力F隨距離的增加而減小，所以建立以雙軸為橫軸，oF軸為豎軸的平面坐標(biāo)系，如圖所示：圖2.2.2例1示意圖設(shè)變力F做功為W，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到X=L處的速度為v，所以：圖中陰影部分的面積對(duì)應(yīng)的就是變力F做的功，即又由于變力F所做的功轉(zhuǎn)化為質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能，巳知質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m；則:W=1FL=—mv2-02o2Fl-0—m解得力F對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功為:質(zhì)點(diǎn)在X=L處的速度為:FLv=\：~m由此可見(jiàn)，當(dāng)力和位移成線性關(guān)系時(shí)，可用圖像法簡(jiǎn)單、直觀的求解變力做功。3從能量轉(zhuǎn)化的角度求變力做功貫穿功和能全部的知識(shí)重點(diǎn)是“功是能量變化的量度”。功是過(guò)程量，能是狀態(tài)量，不同的過(guò)程決定不同的狀態(tài)變化，或者說(shuō)由于不同性質(zhì)的力做功引起不同性質(zhì)能量的變化。所以在求解變力做功時(shí)，可以把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解動(dòng)能的改變量或者機(jī)械能的改變量。3.1用動(dòng)能定理求變力做功質(zhì)點(diǎn)在一定時(shí)間的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，其動(dòng)能改變的數(shù)值等于在同樣時(shí)間內(nèi)外力對(duì)該質(zhì)點(diǎn)做的功。因此，在功的計(jì)算中，如果一個(gè)物體受到幾個(gè)力的作用，除了變力外，其他力對(duì)物體不做功或做功之和為零，就可以利用動(dòng)能定理直接求解變力做的功，即由其做功的結(jié)果----動(dòng)能的變化求變力F的功：W=AEk。動(dòng)能定理求變力做功適用于多個(gè)力做功，但只有一個(gè)力是變力，其余的都是恒力，而且這些恒力所做的功又容易計(jì)算，研究對(duì)象本身的動(dòng)能增量也比較容易計(jì)算時(shí)，用動(dòng)能定理就可以求出這個(gè)變力所做的功⑵。如在人通過(guò)定滑輪拉物體的過(guò)程中，求繩對(duì)物體的拉力所做的功。物體始、末狀態(tài)的動(dòng)能巳知為零，以繩為研究對(duì)象，受到人的拉力和物體對(duì)繩的拉力，根據(jù)動(dòng)能定理即可求得繩對(duì)物體的拉力所做的功等于人對(duì)繩的拉力所做的功。又如要求人通過(guò)定滑輪拉物體的過(guò)程中滑動(dòng)摩擦力做的功，先求出其它力如重力、支持力、拉力等做的功，再找出始、末狀態(tài)的動(dòng)能，利用動(dòng)能定理即可求解。利用動(dòng)能定理求解的思路如下：首先明確研究對(duì)象，對(duì)研究對(duì)象做受力分析；再確定物理過(guò)程，研究在所確定的物理過(guò)程中那些力做功，并求出外力做功的代數(shù)和；再確定研究過(guò)程的初、末狀態(tài)的動(dòng)能；最后根據(jù)動(dòng)能定理列方程，結(jié)合其它有關(guān)規(guī)律分析求解。例2：如圖所示，用同種材料制成的一個(gè)軌道，A段為1/4圓弧，半徑為R，水平放置的BC段長(zhǎng)為R，一小物塊質(zhì)量為m，與軌道間動(dòng)摩擦因數(shù)為H，當(dāng)它從軌道頂端A點(diǎn)由靜止下滑時(shí)恰好運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)靜止，求物塊在AB段克服摩擦力做的功⑶？Vl_B\<—-R 圖3.1例2示意圖分析：物塊由A運(yùn)動(dòng)到B的過(guò)程中共受三個(gè)力作用：重力G、支持力N,摩擦力f。由于軌跡是彎曲的，支持力和摩擦力均為變力，但支待力時(shí)刻垂直速度方向，故支持力不做功，因而該過(guò)程中只有重力和摩擦力做功。解答：設(shè)在B點(diǎn)時(shí)速度為與，A點(diǎn)時(shí)速度為，由動(dòng)能定理知W外=曾，其中有w=W+wVE=1mV2-1mV2=1mV2所以.夕卜 Gf，k2B2A2B。所以:mg#+wf=2mVB2 （1）物塊由b運(yùn)動(dòng)到C的過(guò)程中，重力和支持力不做功，.僅有摩擦力做功，設(shè)為Wf'。由動(dòng)能定理得： w'=0-1mV2 （2）f2B又 wf=-pm相. （3）由（1）（2）（3）可得:Wf=^mgR-mgR=（1一日）mg#。在求解變力做功的問(wèn)題中，利用動(dòng)能定理只需考查一個(gè)物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程的始末兩個(gè)狀態(tài)有關(guān)物理量的關(guān)系，對(duì)過(guò)程的細(xì)節(jié)不予細(xì)究，與牛頓定律觀點(diǎn)比較，這正是它的方便之處。3.2用功能原理求變力做功功能原理是力學(xué)中的基本原理之一，它描述了物體系統(tǒng)的機(jī)械能增量等于一切外力非保守力對(duì)系統(tǒng)所作的總功和系統(tǒng)內(nèi)非保守力所作的總功的代數(shù)和。即任何物體，系統(tǒng)外力非保守力對(duì)其作的總功+系統(tǒng)內(nèi)非保守力做的總功=系統(tǒng)的機(jī)械能（動(dòng)能與勢(shì)能之和）的增量。W外非+W內(nèi)非=E廠Ei （3.5）該原理對(duì)一切慣性參考系都成立，所以求變力做的功可以根據(jù)功能關(guān)系求解。只有非保守力做功，才能使機(jī)械能發(fā)生變化。起重機(jī)提升重物，非保守力做了正功，才使重物的動(dòng)能和勢(shì)能增加，若重物上升一定高度又逐步勻速下降，釣鉤對(duì)重物做負(fù)功，重力勢(shì)能減小。保守力做功會(huì)引起系統(tǒng)動(dòng)能放入改變，但不會(huì)引起系統(tǒng)機(jī)械能的改變。若多個(gè)力對(duì)系統(tǒng)做功，如果這些力中只有一個(gè)變力做功，且其它的力所做的功及系統(tǒng)的機(jī)械能增量都比較容易解時(shí)，就可用功能原理求得變力所做的功。如在用力F勻速提起一物體的過(guò)程中，要求F做的功時(shí),由于物體的重力勢(shì)能要變化，求出它的變化量,即為F所做的功。人通過(guò)定滑輪勻速拉物體的過(guò)程中，求人做的功，物體重力勢(shì)能的增量即為人做的功。功能原理求解功的思路：首先確定研究對(duì)象是一物體或系統(tǒng),分析受力情況，確定研究過(guò)程的初、末狀態(tài)的機(jī)械能，最后列方程求解。例3：在下圖中，勁度系數(shù)為k的輕彈簧下端固定，沿斜面放置，斜面傾角為“。質(zhì)量為m的物體從與彈簧上端相距為a的位置以初速度*沿斜面下滑并使彈簧最多壓縮b。求物體與斜面之間的摩擦因數(shù)占［也

圖3.2例3示意圖Jkb2-12Jkb2-12mv2+mg(a+b)sin0Fk(a+b)=以及F=^mgcos0可以解得1—mv2+mg2o6(a+b)sin0-mg1—mv2+mg2o6從功能關(guān)系的角度來(lái)審視一個(gè)物理過(guò)程，分析這一過(guò)程中各個(gè)力做功情況，及其相應(yīng)的能量轉(zhuǎn)化情況，是一條重要的解題思路。特別是在一個(gè)復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，只要選好始、末狀態(tài)，并把握好過(guò)程中各力所做的功，再用功能關(guān)系列式，就能化繁為簡(jiǎn)，化難為易。其實(shí)，功能原理與動(dòng)能定理并無(wú)本質(zhì)的不同，它們的區(qū)別僅在于功能原理中引入了勢(shì)能而無(wú)需考慮內(nèi)保守力的功，這正是功能原理的優(yōu)點(diǎn)。3.3用W—Pt求恒定功率下的變力做功功率的定義式變形公式W=Pt中沒(méi)有要求恒力條件，所以利用此式只要給出功率與過(guò)程經(jīng)歷的時(shí)間都可以計(jì)算出功率保持不變的情況下變力所做的功。這種方法通常用于求機(jī)械做功的問(wèn)題，如汽車的運(yùn)動(dòng)等。汽車以額定功率起動(dòng)時(shí)，力F是變力，求某段時(shí)間內(nèi)汽車牽引力做的功可以根據(jù)W=Pt來(lái)計(jì)算。例4：質(zhì)量為M的汽車，沿平直的公路加速行駛，當(dāng)汽車的速度為v1時(shí)，立即以不變的功率行駛，經(jīng)過(guò)距離，速度達(dá)到最大值v2.設(shè)汽車行駛過(guò)程中受到的阻力始終不變，求汽車的速度由v1增至v2的過(guò)程中所經(jīng)

歷的時(shí)間及牽引力做的功［5。］分析：汽車以恒定功率加速的運(yùn)動(dòng)是加速度逐漸減小的變加速運(yùn)動(dòng)，此過(guò)程中牽引力是變力，當(dāng)加速度減小到0時(shí)，即牽引力等于阻力時(shí)，速度達(dá)到最大值。由于汽車的功率恒定，故可用W=Pt來(lái)計(jì)算牽引力做的功。解答：設(shè)汽車從V1（初態(tài)）加速至V2（末態(tài)）的過(guò)程所經(jīng)歷的時(shí)間為t，行駛過(guò)程中所受的阻力為f，牽引力做的功為W=Pt。對(duì)汽車加速過(guò)程用動(dòng)能定理有Mv2 1—2Mv2 1—2（1）Pt一fS= 22（2）聯(lián)立（1）、（2）式，解得:在求解變力做功的問(wèn)題中這也正是它的方便之處。4用等效代換法求變力做功t=M(V22-v2)/(2P)在求解變力做功的問(wèn)題中這也正是它的方便之處。4用等效代換法求變力做功t=M(V22-v2)/(2P)+s/v1 22-V2)/2+PS/V12W=M（V2利用W=Pt只需考查一個(gè)物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程的功率大小與過(guò)程經(jīng)歷的時(shí)間長(zhǎng)短，在求解變力做功的一些題目中，整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的“動(dòng)態(tài)”是非常復(fù)雜的，而我們往往只需要把握住“始”和“終”時(shí)刻的狀態(tài)，定性地分析過(guò)程，運(yùn)用等效的觀點(diǎn)，將整個(gè)過(guò)程等效為一個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的過(guò)程，從而方便求解。這種求功的方法稱為等效代換法。4.1用微元法求變力做功對(duì)于變力做功的求解也可以采用極限的思想和微積分的方法將物體的運(yùn)動(dòng)軌跡分割成許多小段，因小段很小，每段可視為一方向不變的位移，在這小位移上的力也可視為不變的。那小位移為無(wú)窮小量，可認(rèn)為與軌跡重合，稱元位移，力在元位移上的功稱元功。這樣就將變力做功轉(zhuǎn)化為在無(wú)數(shù)多個(gè)無(wú)窮小的位移上的恒力所做元功的代數(shù)和，即微元法求解變力做功。此法常應(yīng)用于求解力的大小不變、方向改變變力做功問(wèn)題（如滑動(dòng)摩擦力做功，空氣阻力做功）。在某一位移區(qū)間，力隨位移變化的關(guān)系為F=f（x），求該變力的功可用微元法，即將位移區(qū)間分成n（n>8）個(gè)小區(qū)間一，在每個(gè)小區(qū)間內(nèi)將力視為恒力，求其元功W=F—，由于功是標(biāo)量，具有“可n 1 1n加性”，那么總功等于每個(gè)小區(qū)間內(nèi)元功之代數(shù)和b的極限。Ii加性”，那么總功等于每個(gè)小區(qū)間內(nèi)元功之代數(shù)和b的極限。Ii=1即變力在這段位移中所做的功為W=lim2wii=1，在數(shù)學(xué)上，確定元功相當(dāng)于給出數(shù)列通項(xiàng)式，求總功即求數(shù)列n項(xiàng)和，當(dāng)數(shù)列n時(shí)的極限⑹。當(dāng)物體在變力作用下做曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，若力的方向與速度在同一直線上或與物體運(yùn)動(dòng)的切線方向成某一固定角度，且力與位移的方向同步變化時(shí)，可用微元法將曲線分成無(wú)限個(gè)小元段，每一小元段可以認(rèn)為恒力做功，總功即為每個(gè)小元段做功的代數(shù)和。如在圓形軌道上拉一物體，此時(shí)拉力方向與速度在一條直線上，求拉力所做的功；物體做曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，求滑動(dòng)摩擦力做的功；物體做平拋運(yùn)動(dòng)時(shí)，求重力做的功；通過(guò)定滑輪拉一物體，求拉力做的功時(shí)都可采用微元法。利用微元法求解功的基本方法是：首先隔離選擇恰當(dāng)微元作為突破整體研究的對(duì)象，微元可以是一小段線段，一小段圓弧，一小塊面積，一小段時(shí)間……但應(yīng)具有整體對(duì)象的基本特征。再將微元模型化，在某一段小位移內(nèi)的力視為恒力，并運(yùn)用相關(guān)的公式dW=Fdr，求解這個(gè)微元與所求物體的關(guān)聯(lián)。最后將一個(gè)微元的求解結(jié)果推廣到其他微元，并充分利用個(gè)微元間的對(duì)稱關(guān)系，矢量方向關(guān)系，近似極限關(guān)系，對(duì)各微元的解出結(jié)果進(jìn)行疊加，以求出整體量的合理解答。例5：一對(duì)質(zhì)量分別為m和m2的質(zhì)點(diǎn)，彼此之間存在萬(wàn)有引力的作用。設(shè)m1固定不動(dòng)，m2在m1的求萬(wàn)有引力的功⑺。引力作用下由a點(diǎn)經(jīng)某路徑l運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)。巳知m2在a點(diǎn)和b點(diǎn)時(shí)距m分別為ra和求萬(wàn)有引力的功⑺。圖4.1圖4.1例5示意圖解析：在上圖中，取m］為坐標(biāo)原點(diǎn)，某時(shí)刻m2對(duì)刀］的位矢為r，引力F與r方向相反。當(dāng)m2在引力作用下完成元位移dr時(shí)，引力做的元功為:由圖可見(jiàn)，-ldrlcos0=|dr|cosG—0）=dr，此處dr為位矢大小的增量，故上式可以寫為:dw=—Gmmdrr2這樣，質(zhì)點(diǎn)由a點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)引力做的總功為:W=jdw—jrbGmim2dr=—Gmm

r r2 12a“微元法”的使用，在整個(gè)物理學(xué)上都意義巨大。4.2用平均力法求變力做功當(dāng)作用在物體上的力的方向不變，其大小隨位移作線性變化時(shí)，可用力對(duì)該段位移的平均值代替定義式中的值求功。在功的計(jì)算中，力與位移成線性關(guān)系：F=kx+b，且力的方向不變，其F—X圖象如圖3.5所示，則圖中陰影部分的面積大小在數(shù)值上等于變力所做功的大小，即W=F:"2 一%），也就是說(shuō)，變力2 2 1F由F線性地變到F,的過(guò)程中所做的功等于該過(guò)程的平均力F=F:"2所做的功。12 2圖4.2線性力的F―X圖像利用平均值等效法求功的思路：首先求在某一段位移始、末兩時(shí)刻受到的力，求其平均值，再計(jì)算平均力所做的功，即為變力在這段位移內(nèi)的功。如在打擊木樁的過(guò)程中，木樁把得到的能量用來(lái)克服阻力做功，而阻力與木樁進(jìn)入的深度成正比，是一個(gè)變力，因此只要求出這個(gè)變力的平均值所做的功，就可求得變力做的功。在彈簧被拉伸或被壓縮的過(guò)程中，彈力F的大小改變而方向不變時(shí)，由于彈力與位移成正比，力的大小隨位移按線性規(guī)律變化，能夠求出變力對(duì)位

移的平均值F=F:F2。在整個(gè)過(guò)程中彈力做的功等于平均值F在這一過(guò)程中所做的功。例6：要把長(zhǎng)為1的鐵釘釘人木板中，每打擊一次消耗的能量為E0，巳知釘子在木板中遇到的阻力與釘子進(jìn)人木板的深度成正比，比例系數(shù)為k，則釘子全部進(jìn)入木板需要打擊幾次?分析：在把打子打入木板的過(guò)程中，釘子把得到的能量用來(lái)克服阻力做功，而轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)內(nèi)能，而阻力與釘子進(jìn)入木板的深度成正比，先求出生阻力的平均值，便可求出阻力做的功。解答：釘子在整個(gè)過(guò)程中受到的平均值為:釘子克服阻力做的功為:w=Fs=-kl22設(shè)全過(guò)程共打擊n次，則消耗的總能量:E總=nEkl2n= 2Eo注意:在具體的數(shù)據(jù)運(yùn)算中n只能取整數(shù)。平均值等效思維具有一定的靈活性和技巧性須在認(rèn)真分析物理特征的基礎(chǔ)上，進(jìn)行合適的等效變換，才平均值等效思維具有一定的靈活性和技巧性能獲得簡(jiǎn)捷的求解方法。4.3用等值法求變力做功當(dāng)某一變力的功和某一恒力的功相等，則可以通過(guò)計(jì)算恒力的功求出變力的功。而恒力做功又可以用公式W=FSCOS9計(jì)算，從而使問(wèn)題變的簡(jiǎn)單。如例2中所求的繩的拉力對(duì)物體所做的功，由于繩拉物體的力的方向不斷變化，故繩拉物體的力為變力F，但此時(shí)力對(duì)物體所做的功與手拉繩的力F做的功相等。F為恒力，F(xiàn)作用點(diǎn)的位移與物體的位移相連，即:,F作用點(diǎn)的位移與物體的位移相連，即:,sin9sin9)、i 2/，則繩對(duì)物體的拉力F所做的。在磁場(chǎng)中，洛倫茲力對(duì)物體不做功，在求解變力做功時(shí)，如f-1。在磁場(chǎng)中，洛倫茲力對(duì)物體不做功，在求解變