5.7 解直角三角形（一）（銳角三角函數(shù)）（題型精練）（原卷版）

第7講解直角三角形（一）（銳角三角函數(shù)）（精講）目錄第一部分：知識點精準(zhǔn)記憶第二部分：課前自我評估測試第三部分：典型例題剖析題型一：正弦角度1：正弦概念辨析角度2：求角的正弦角度3：已知正弦值求邊長題型二：余弦角度1：余弦概念辨析角度2：求角的余弦角度3：已知余弦值求邊長題型三：正切角度1：正切概念辨析角度2：求角的正切角度3：已知正切值求邊長題型四：特殊角的三角函數(shù)值角度1：求特殊角的三角函數(shù)值角度2：特殊角的三角函數(shù)值的混合運算角度3：由特殊角的三角函數(shù)值判斷三角形形狀題型五：由三角函數(shù)值求銳角題型六：銳角三角函數(shù)的增減性角度1：已知角度比較三角函數(shù)值的大小角度2：根據(jù)三角函數(shù)值判斷銳角取值范圍第四部分：中考真題感悟第一部分：知識點精準(zhǔn)記憶知識點一：銳角三角函數(shù)的相關(guān)概念在中，，，，1正弦的定義與計算：我們把銳角的對邊與斜邊的比值叫做的正弦值。表示為，即2余弦的定義與計算：我們把銳角的鄰邊與斜邊的比值叫做的余弦值。表示為，即3正切的定義與計算：我們把銳角的對邊與鄰邊的比值叫做的正切值。表示為，即根據(jù)定義求三角函數(shù)值時，一定根據(jù)題目圖形來理解，嚴(yán)格按照三角函數(shù)的定義求解，有時需要通過輔助線來構(gòu)造直角三角形.注意：正弦、余弦、正切是在一個直角三角形中引入的，實際上是兩條邊的比，它們是正實數(shù)，沒單位，其大小只與角的大小有關(guān)，而與所在直角三角形無關(guān)。知識點二：特殊角的三角函數(shù)1第二部分：課前自我評估測試1．（2023秋·山西朔州·九年級統(tǒng)考期末）已知是銳角，且，那么等于（

）A． B． C． D．2．（2023秋·河南南陽·九年級?？计谀┤鐖D，的頂點位于正方形網(wǎng)格的格點上，若，則滿足條件的是（）A． B．C． D．3．（2023秋·山西呂梁·九年級統(tǒng)考期末）正方形網(wǎng)格中，如圖所示放置（點O，A，C均在網(wǎng)格的格點上，且點C在上），則的值為（

）A． B． C． D．4．（2023秋·山東濟寧·九年級?？计谀_______．5．（2023秋·山西呂梁·九年級統(tǒng)考期末）在中，若，，，都是銳角，則是______三角形．6．（2023秋·北京平谷·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，如果，，那么的長為___．第三部分：典型例題剖析題型一：正弦角度1：正弦概念辨析典型例題例題1．（2022春·九年級單元測試）如圖，在中，，下列結(jié)論中正確的是（

）A． B． C． D．例題2．（2022春·九年級課時練習(xí)）在中，，若的三邊都縮小5倍，則的值（

）A．放大5倍 B．縮小5倍 C．不變 D．無法確定例題3．（2022秋·安徽安慶·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，點為邊上的任意一點，作于點，于點，下列用線段比表示出的值，正確的是（

）A． B． C． D．角度2：求角的正弦典型例題例題1．（2023秋·北京海淀·九年級北京市十一學(xué)校?？计谀┰谥校?，，，則的值是（

）A． B． C． D．例題2．（2023秋·山東濟南·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在網(wǎng)格正方形中，每個小正方形的邊長為1，頂點為格點，若的頂點均是格點，則的值是（

）A． B． C． D．例題3．（2023秋·湖南邵陽·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在矩形中，，點E在上，將矩形沿折疊，點恰好落在邊上的點處，則的值為_____．例題4．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在中，，為上一點，交于，若，求的值．角度3：已知正弦值求邊長典型例題例題1．（2023秋·山西大同·九年級大同一中?？计谀┤鐖D，大同南站某自動扶梯的傾斜角為，自動扶梯的長為15米，則大廳兩層之間的高度為（

）A．米 B．米 C．米 D．以上都不對例題2．（2023秋·重慶·九年級校聯(lián)考期末）如圖，為的弦，直徑，交于點，連接、、、，若，的半徑為2，則的長度為（

）A．1 B． C． D．例題3．（2023秋·遼寧沈陽·九年級沈陽市第七中學(xué)?？计谀┤鐖D，四邊形內(nèi)接于，為直徑，，過點作于點，連接交于點．若，，則的長為（

）A． B． C． D．例題4．（2023秋·江蘇南通·九年級啟東市長江中學(xué)?？计谀┤鐖D，在矩形中，，、分別為、邊上的動點，連接，沿將四邊形翻折至四邊形，點落在上，交于點，連接交于點．（1）寫出與之間的位置關(guān)系是：，（2）求證：（3）連接，若，，求的長．題型一同類題型歸類練1．（2022·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）在中，，那么銳角的正弦等于（

）A． B． C． D．．2．（2023秋·河北秦皇島·九年級秦皇島市第七中學(xué)校考期末）在中，，，，則邊的長是（

）A．3 B． C． D．3．（2023春·河北張家口·九年級張家口市第五中學(xué)?？计谀┤鐖D，是的外接圓，是的直徑，若的半徑為2，，則的值是（）A． B． C． D．4．（2023·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖，架在消防車上的云梯AB長為15m，，，云梯底部離地面的距離BC為2m．則云梯的頂端離地面的距離AE的長為（

）A． B． C． D．5．（2023秋·江蘇徐州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，已知大正方形的面積是25，小正方形的面積是1，那么_____________．6．（2023秋·北京西城·九年級北京市第六十六中學(xué)?？计谀┤鐖D，在△ABC中，∠C=90°，，D為AC上一點，∠BDC=45°，CD=6．求AD的長．題型二：余弦角度1：余弦概念辨析典型例題例題1．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）在中，，則下列各式一定成立的是（

）A． B． C． D．例題2．（2023秋·河北邢臺·九年級邢臺市第七中學(xué)?？计谀┰谥苯侨切沃?，各邊的長度都擴大3倍，則銳角的三角函數(shù)值A(chǔ)．也擴大3倍 B．縮小為原來的C．都不變 D．有的擴大，有的縮小角度2：求角的余弦典型例題例題1．（2023秋·山東濟南·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在4×5的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1，的頂點都在這些小正方形的頂點上，那么的值為（

）A． B． C． D．例題2．（2023秋·湖南湘潭·九年級湘潭鳳凰初級中學(xué)?？计谀┰谥?，，，，則的值等于（

）A． B． C． D．例題3．（2023秋·安徽亳州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，則的值為______．例題4．（2023秋·河北唐山·九年級?？计谀┤鐖D，是的直徑，弦，相交于點，如果，，那么________________．角度3：已知余弦值求邊長典型例題例題1．（2023秋·浙江金華·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，以點為圓心，長為半徑畫弧，與交于點，再分別以、為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點、,作直線，分別交于點、，則的長度為（）A． B．3 C． D．例題2．（2023秋·河北邯鄲·九年級邯鄲市翰光學(xué)校校考期末）在中，，，，則的長為（）A．6 B．2 C．3 D．9例題3．（2022·北京·九年級專題練習(xí)）如圖，中，，點為邊中點，過點作的垂線交于點，在直線上截取，使，連接、、．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，，連接，求的長．例題4．（2022·四川成都·一模）如圖，為的直徑，為弦，，交于點．（1）求證：是的切線；（2）若，，，求的長度．題型二同類題型歸類練1．（2022秋·山東青島·九年級統(tǒng)考期末）如圖，的頂點都在正方形網(wǎng)格的格點上，則等于（

）A． B． C． D．2．（2022秋·重慶·九年級?？计谀┤缦聢D所示，在矩形中，于點，設(shè)，且，，則的長為（

）A．3 B． C． D．3．（2022秋·河南新鄉(xiāng)·九年級校考期中）在中，，，則的值是___________．4．（2022秋·遼寧葫蘆島·九年級校考階段練習(xí)）如圖，中，，，，以上的一點O為圓心為半徑作，若與邊始終有交點（包括B、C兩點），則線段的取值范圍是_____．5．（2022秋·吉林長春·九年級統(tǒng)考期中）如圖，和都是等腰直角三角形，，連接、(1)求證：∽；(2)如圖，延長圖中交于點，交于點求的值．6．（2022秋·河北石家莊·九年級石家莊市第二十二中學(xué)校考期末）如圖12，已知，點E在邊AC上，且，過點A作的平行線，與射線交于點D，連接．(1)求證：；(2)如果，，，求的長．7．（2022秋·安徽馬鞍山·九年級?？计谀┤鐖D，點在反比例函數(shù)的圖象上，點B的坐標(biāo)為．(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)若過A、B的直線與x軸交于點C，求的值．題型三：正切角度1：正切概念辨析典型例題例題1．（2023秋·江蘇泰州·九年級統(tǒng)考期末）在中，，各邊都擴大5倍，則的值（

）A．不變 B．?dāng)U大5倍 C．縮小5倍 D．不能確定例題2．（2023·九年級單元測試）在中，，、、分別為、、的對邊，下列各式成立的是（）A． B． C． D．角度2：求角的正切典型例題例題1．（2023秋·安徽宣城·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，則的值為（

）A． B． C． D．例題2．（2023秋·河北邯鄲·九年級邯鄲市翰光學(xué)校?？计谀┤鐖D，的頂點都在格點上，則的正切值是（

）A． B． C． D．例題3．（2023秋·河南漯河·九年級漯河市實驗中學(xué)校考期末）如圖，在矩形中，，，點是的中點，連接，將沿折疊，點落在點處，連接，則（）A． B． C． D．例題4．（2023秋·遼寧鞍山·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，，求的值．例題5．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在中，，以為直徑的交于點，點在的延長線上，且．(1)求證：直線是的切線；(2)若，，求的半徑長及的值．角度3：已知正切值求邊長典型例題例題1．（2023秋·上海徐匯·九年級統(tǒng)考期末）在中，，如果，，那么等于（

）A． B． C． D．例題2．（2023·四川·九年級專題練習(xí)）如圖，在中，，，點是上一點，連接．若，，則的長為（

）A． B．3 C． D．2例題3．（2023秋·山東濟南·九年級?？计谀┤鐖D，是的直徑，點在上，是的切線，，的延長線與交于點．(1)求證：；(2)，，求的長．題型三同類題型歸類練1．（2023秋·陜西西安·九年級西安市鐵一中學(xué)校聯(lián)考期末）在中，，，則（

）A． B． C． D．2．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）在中，a，b，c分別是的對邊，，下列各式不一定成立的是（）A． B． C． D．3．（2023秋·山西臨汾·九年級統(tǒng)考期末）如圖，是的中點，，，，則的長為（

）A． B． C． D．4．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）為做好疫情防控工作，確保師生生命安全，學(xué)校每日都在學(xué)生進校前進行體溫檢測．某學(xué)校大門高6.5米，學(xué)生身高1.5米，當(dāng)學(xué)生準(zhǔn)備進入體溫檢測有效識別區(qū)域時，在點D處測得攝像頭A的仰角為，當(dāng)學(xué)生剛好離開體溫檢測有效識別區(qū)域段時，在點C處測得攝像頭A的仰角為，則體溫檢測有效識別區(qū)域段的長為（）A．米 B．米 C．10米 D．5米5．（2023秋·山東濟南·九年級?？计谀┤鐖D，點在反比例函數(shù)的圖象上，軸于H，，則k的值為______．6．（2023秋·河北石家莊·九年級?？计谀┤鐖D，在中，，為邊上的中線，于點．(1)求證：；(2)若，，求的長；(3)在（2）的條件下，求的值．7．（2023秋·河北秦皇島·九年級統(tǒng)考期末）已知四邊形內(nèi)接于，是的中點，于，與及的延長線分別交于點，且．(1)求證：；(2)如果，求的值．8．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，大渡口義渡古鎮(zhèn)某建筑物樓頂立有廣告牌，小玲準(zhǔn)備利用所學(xué)的三角函數(shù)知識估測該建筑的高度．由于場地有限，不便測量，所以小玲從點B處沿坡度為的斜坡步行25米到達點C處，測得廣告牌底部D的仰角為，廣告牌頂部E的仰角為（小玲的身高忽略不計），已知廣告牌米．（參考數(shù)據(jù)：，，）(1)求C處距離水平地面的高度；(2)求建筑物的高度．題型四：特殊角的三角函數(shù)值角度1：求特殊角的三角函數(shù)值典型例題例題1．（2023秋·山東濰坊·九年級?？计谀┑闹档扔冢ǎ〢． B． C．1 D．例題2．（2023秋·山東濟南·九年級統(tǒng)考期末）下列三角函數(shù)中，值為的是（）．A． B． C． D．例題3．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）已知是銳角，，則＝______；______．角度2：特殊角的三角函數(shù)值的混合運算典型例題例題1．（2023秋·河南鄭州·九年級?？计谀┯嬎泐}(1)(2)例題2．（2023秋·河北保定·九年級?？计谀┯嬎悖?1)(2)角度3：由特殊角的三角函數(shù)值判斷三角形形狀典型例題例題1．（2023秋·安徽滁州·九年級?？计谀┰谥校?，則是（

）A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．一般銳角三角形例題2．（2023秋·河南漯河·九年級漯河市實驗中學(xué)校考期末）在中，若，，都是銳角，則是___________三角形．例題3．（2023·安徽·九年級專題練習(xí)）在中，,都是銳角，若，，則的形狀為______三角形.例題4．（2023秋·山東聊城·九年級校聯(lián)考期末）在中，若，，都是銳角，則是______三角形．題型四同類題型歸類練1．（2023春·內(nèi)蒙古包頭·九年級統(tǒng)考期末）下列運算中，值為的是（

）．A． B．C． D．2．（2022春·九年級單元測試）在ABC中，，則ABC一定是（

）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形3．（2023秋·河北秦皇島·九年級統(tǒng)考期末）計算：___________．4．（2022秋·甘肅嘉峪關(guān)·九年級?？计谀┰谥校?，則的形狀是______．5．（2022春·九年級課時練習(xí)）若，則以為內(nèi)角的的形狀是___________．6．（2023秋·陜西西安·九年級西安市鐵一中學(xué)校聯(lián)考期末）．7．（2023·上海靜安·統(tǒng)考一模）計算：．題型五：由三角函數(shù)值求銳角典型例題例題1．（2023秋·山東泰安·九年級?？计谀┮阎獮殇J角，且，則等于（

）A． B． C． D．例題2．（2023秋·湖南湘潭·九年級湘潭鳳凰初級中學(xué)?？计谀┮阎?，且是銳角，則（

）A． B． C． D．例題3．（2022·九年級單元測試）求下列等式中的銳角：(1)(2)同類題型歸類練1．（2022秋·黑龍江哈爾濱·九年級哈爾濱市第六十九中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）若為銳角，，則為（

）．A． B． C． D．2．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）在中，若，滿足，則＝__________．3．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）已知α，β均為銳角，且滿足，求的值．題型六：銳角三角函數(shù)的增減性角度1：已知角度比較三角函數(shù)值的大小典型例題例題1．（2023·上海靜安·統(tǒng)考一模）如果，那么與的差（

）A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能確定例題2．（2023秋·浙江寧波·九年級寧波市第七中學(xué)?？计谀┤呛瘮?shù)sin30°、cos16°、cos43°之間的大小關(guān)系是（

）A．cos43°＞cos16°＞sin30° B．cos16°＞sin30°＞cos43°C．cos16°＞cos43°＞sin30° D．cos43°＞sin30°＞cos16°例題3．（2023秋·河南南陽·九年級?？计谀┍容^大小：___________（填“”或“”或“=”）．角度2：根據(jù)三角函數(shù)值判斷銳角取值范圍典型例題例題1．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）已知為銳角，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．例題2．（2022·浙江·九年級專題練習(xí)）若是銳角，且，則（

）A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45° C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90°例題3．（2022秋·山東淄博·九年級統(tǒng)考期末）已知，則銳角的取值范圍是（

）A． B． C． D．題型六同類題型歸類練1．（2022·浙江·九年級專題練習(xí)）當(dāng)A為銳角，且＜cosA＜時，∠A的范圍是(

)A．30°＜∠A＜45° B．60°＜∠A＜90°C．30°＜∠A＜60° D．0°＜∠A＜30°2．（2022·浙江·九年級專題練習(xí)）若銳角α滿足cosα＜且tanα＜，則α的范圍是()A．30°＜α＜45° B．45°＜α＜60°C．60°＜α＜90° D．30°＜α＜60°3．（2022·安徽黃山·統(tǒng)考一模）已知∠A為銳角，且cosA=0.6，那么（

）A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45°C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90°4．（2022秋·九年級單元測試）三角函數(shù)之間的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．5．（2022·浙江寧波·校聯(lián)考一模）sin70°，cos70°，tan70°的大小關(guān)系是（）A．tan70°＜cos70°＜sin70° B．cos70°＜tan70°＜sin70°C．sin70°＜cos70°＜tan70° D．cos70°＜sin70°＜tan70°第四部分：中考真題感悟1．（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，矩形BEFG的邊EF經(jīng)過點C，且點G在邊AD上，若BG＝4，則BE的長為（）A． B． C． D．32．（2022·寧夏·中考真題）2022年4月16日9時56分，神舟十三號載人飛船返回艙在東風(fēng)著陸場成功著陸，某一時刻觀測點D測得返回艙底部C的仰角∠C