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函數(shù)在給定取值范圍內(nèi)“恒成立”及“存在性”問(wèn)題的解決方法課前導(dǎo)入:如對(duì)于恒成立,其實(shí)是求的最小值;若存在,使得成立,應(yīng)求的最大值。新課內(nèi)容:設(shè)a為實(shí)常數(shù),是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)時(shí),,若對(duì)一切成立,求a的取值范圍。解:由于,故;當(dāng)時(shí),,(并且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào))因此應(yīng)恒成立,但,例2、設(shè)(1)如果存在使得成立,求滿足上述條件的最大整數(shù)M;(2)如果對(duì)于任意的,都有成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解:(1)存在使得成立,等價(jià)于由于,在區(qū)間上,,,則滿足條件的最大整數(shù)。(3)對(duì)于任意的,都有成立,等價(jià)于在上,函數(shù)由于在上,。,即恒成立。而在[,2]上,例3、已知是定義在上的奇函數(shù),且,若,時(shí),有成立。(1)判斷在上的單調(diào)性,并證明;(2)解不等式:;(3)若對(duì)所有的恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍。解:(1)任取,且,則。為奇函數(shù)由已知得,又,,即在上單調(diào)遞增。(2)在上單調(diào)遞增,(3),在上單調(diào)遞增,在上,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為,即對(duì)恒成立。設(shè),則,綜上所述,實(shí)數(shù)m的取值范圍是例4、若函數(shù)在區(qū)間上恒為正數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解:由題意,問(wèn)題等價(jià)于①或②解法一(討論法)令,其對(duì)稱軸當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增。得。當(dāng)時(shí),,則解得當(dāng),即時(shí),在上單調(diào)遞增,,得,故。當(dāng),即時(shí),,得,矛盾,舍去。(3)當(dāng),即時(shí),在上單調(diào)遞減,,得,矛盾,舍去。因此,使不等式組②成立的a的取值范圍為。綜上,a的取值范圍為解法二由解法一,當(dāng)時(shí),對(duì)恒成立,故解得。此時(shí),,則在上單調(diào)遞增,,即。綜合方法一,可得a的取值范圍為解法三(等價(jià)轉(zhuǎn)化法)當(dāng)時(shí),不等式組②可化為,即在上恒成立。令,即當(dāng)時(shí),對(duì)上恒成立,即,如圖:(以下數(shù)形結(jié)合)結(jié)合解法一,實(shí)數(shù)a的取值范圍為解法四(分離變量法)當(dāng)時(shí)不等式組②等價(jià)于<<對(duì)恒成立,即[]max<<[]min,.綜合,實(shí)數(shù)a的取值范圍為解法五(數(shù)形結(jié)合法)當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,即,當(dāng)時(shí),,即.綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍為例5、設(shè),若時(shí)均有,求a的取值。解法一由等價(jià)關(guān)系,可以把已知不等式化為以下兩種情況:,(2)對(duì)(1),有易知,函數(shù)在上為增函數(shù),在區(qū)間右端點(diǎn)取到最大值,而函數(shù)在上是減函數(shù),.對(duì)(2),有這時(shí),對(duì),有,即即當(dāng),(1)在上恒成立,而(2)在恒成立,即原不等式在恒成立。因此,所求解法二將已知看成關(guān)于a的不等式,對(duì)有比較與的大小,當(dāng)時(shí),有;當(dāng)時(shí),有當(dāng)時(shí),恒成立,即當(dāng)時(shí),恒成立,即綜上,當(dāng)時(shí),原不等式對(duì)恒成立,所以即為所求。解法三(1)當(dāng)時(shí),原不等式為,不對(duì)恒成立.不是解。當(dāng)時(shí),即,原不等式化為.但當(dāng)時(shí),恒有,,故原不等式為,在上,不恒成立,無(wú)解。當(dāng)時(shí),由已知有但當(dāng)時(shí),恒有,故上式有當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),上式對(duì)恒成立,即為方程的解,有綜上,所求解法四當(dāng)時(shí),有,取,得,無(wú)解;以下同解法三解法五由解法三、四知時(shí)無(wú)解;當(dāng)時(shí),方程有兩個(gè)異號(hào)的實(shí)根,不妨設(shè)是它的兩根,且,原不等式化為對(duì)恒成立。即對(duì)恒成立。也是方程的根,.解法六作出函數(shù)與的圖象如圖:可知:兩函數(shù)圖象過(guò)定點(diǎn)。在的右半平面上,繞定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)直線,應(yīng)當(dāng)兩函數(shù)圖象或者同時(shí)在X軸下方,或者同時(shí)在X軸上方,滿足條件的情況只有兩圖象的另一交點(diǎn)在X軸的正半軸上,所以即為所求。解法七對(duì),已知條件可以變化為關(guān)于a的不等式,即直線介于兩函數(shù)與的圖象之間,如圖故直線過(guò)兩圖象與的交點(diǎn)解法八取,有當(dāng)時(shí),,有即為所求。小結(jié)函數(shù)在給定取值范圍內(nèi)“恒成立”及“存在性”的問(wèn)題,如能分離成型,就可轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題來(lái)求解;或者采用命題轉(zhuǎn)換的方式解決問(wèn)題,而用數(shù)形結(jié)合更為直觀;而例5給出的是多個(gè)區(qū)間上恒成立的問(wèn)題就應(yīng)分段求解,綜合分析。課內(nèi)練習(xí),若對(duì)任意實(shí)數(shù)都有,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。時(shí),不等式恒成立,求a的取值范圍。無(wú)解,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。課
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