函數(shù)在給定范圍內(nèi)的恒成立及存在性問題的處理方法講義-高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊(cè)

函數(shù)在給定取值范圍內(nèi)“恒成立”及“存在性”問題的解決方法課前導(dǎo)入：如對(duì)于恒成立，其實(shí)是求的最小值；若存在，使得成立，應(yīng)求的最大值。新課內(nèi)容：設(shè)a為實(shí)常數(shù)，是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若對(duì)一切成立，求a的取值范圍。解：由于，故；當(dāng)時(shí)，，（并且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）因此應(yīng)恒成立，但,例2、設(shè)（1）如果存在使得成立，求滿足上述條件的最大整數(shù)M；（2）如果對(duì)于任意的，都有成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解：（1）存在使得成立，等價(jià)于由于，在區(qū)間上，，，則滿足條件的最大整數(shù)。（3）對(duì)于任意的，都有成立，等價(jià)于在上，函數(shù)由于在上，。，即恒成立。而在[,2]上，例3、已知是定義在上的奇函數(shù)，且，若，時(shí)，有成立。（1）判斷在上的單調(diào)性，并證明；（2）解不等式：；（3）若對(duì)所有的恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。解：（1）任取，且，則。為奇函數(shù)由已知得，又，，即在上單調(diào)遞增。（2）在上單調(diào)遞增，（3），在上單調(diào)遞增，在上，問題轉(zhuǎn)化為，即對(duì)恒成立。設(shè)，則,綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍是例4、若函數(shù)在區(qū)間上恒為正數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解：由題意，問題等價(jià)于①或②解法一（討論法）令，其對(duì)稱軸當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增。得。當(dāng)時(shí)，，則解得當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，，得，故。當(dāng)，即時(shí)，，得，矛盾，舍去。（3）當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，，得，矛盾，舍去。因此，使不等式組②成立的a的取值范圍為。綜上，a的取值范圍為解法二由解法一，當(dāng)時(shí)，對(duì)恒成立，故解得。此時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，，即。綜合方法一，可得a的取值范圍為解法三（等價(jià)轉(zhuǎn)化法）當(dāng)時(shí)，不等式組②可化為，即在上恒成立。令，即當(dāng)時(shí)，對(duì)上恒成立，即，如圖：（以下數(shù)形結(jié)合）結(jié)合解法一，實(shí)數(shù)a的取值范圍為解法四（分離變量法）當(dāng)時(shí)不等式組②等價(jià)于<<對(duì)恒成立，即[]max<<[]min，.綜合，實(shí)數(shù)a的取值范圍為解法五（數(shù)形結(jié)合法）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為例5、設(shè)，若時(shí)均有，求a的取值。解法一由等價(jià)關(guān)系，可以把已知不等式化為以下兩種情況：,（2）對(duì)（1），有易知，函數(shù)在上為增函數(shù)，在區(qū)間右端點(diǎn)取到最大值，而函數(shù)在上是減函數(shù)，.對(duì)（2），有這時(shí)，對(duì)，有，即即當(dāng)，（1）在上恒成立，而（2）在恒成立，即原不等式在恒成立。因此，所求解法二將已知看成關(guān)于a的不等式，對(duì)有比較與的大小，當(dāng)時(shí)，有；當(dāng)時(shí)，有當(dāng)時(shí)，恒成立,即當(dāng)時(shí)，恒成立,即綜上，當(dāng)時(shí)，原不等式對(duì)恒成立，所以即為所求。解法三（1）當(dāng)時(shí)，原不等式為，不對(duì)恒成立.不是解。當(dāng)時(shí)，即，原不等式化為.但當(dāng)時(shí)，恒有，，故原不等式為，在上，不恒成立，無解。當(dāng)時(shí)，由已知有但當(dāng)時(shí)，恒有，故上式有當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式對(duì)恒成立，即為方程的解，有綜上，所求解法四當(dāng)時(shí)，有，取，得，無解；以下同解法三解法五由解法三、四知時(shí)無解；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)異號(hào)的實(shí)根，不妨設(shè)是它的兩根，且，原不等式化為對(duì)恒成立。即對(duì)恒成立。也是方程的根，.解法六作出函數(shù)與的圖象如圖：可知：兩函數(shù)圖象過定點(diǎn)。在的右半平面上，繞定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)直線，應(yīng)當(dāng)兩函數(shù)圖象或者同時(shí)在X軸下方，或者同時(shí)在X軸上方，滿足條件的情況只有兩圖象的另一交點(diǎn)在X軸的正半軸上，所以即為所求。解法七對(duì)，已知條件可以變化為關(guān)于a的不等式，即直線介于兩函數(shù)與的圖象之間，如圖故直線過兩圖象與的交點(diǎn)解法八取，有當(dāng)時(shí)，，有即為所求。小結(jié)函數(shù)在給定取值范圍內(nèi)“恒成立”及“存在性”的問題，如能分離成型，就可轉(zhuǎn)化為最值問題來求解；或者采用命題轉(zhuǎn)換的方式解決問題，而用數(shù)形結(jié)合更為直觀；而例5給出的是多個(gè)區(qū)間上恒成立的問題就應(yīng)分段求解，綜合分析。課內(nèi)練習(xí)，若對(duì)任意實(shí)數(shù)都有，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。時(shí)，不等式恒成立，求a的取值范圍。無解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。課