甘肅省酒泉市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（理科）試題（含解析）

2022-2023學(xué)年甘肅省酒泉市高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解出不等式，然后根據(jù)交集的定義可得答案.【詳解】因為，所以.故選：D2.若，則在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】先利用復(fù)數(shù)的除法化簡，再利用復(fù)數(shù)的幾何意義判斷.【詳解】因為，所以，故z對應(yīng)的點位于復(fù)平面內(nèi)第二象限．故選：B．3.現(xiàn)有一球形氣球，在吹氣球時，氣球的體積V（單位：L）與直徑d（單位：）的關(guān)系式為，當(dāng)時，氣球體積的瞬時變化率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)，求出導(dǎo)數(shù)，即可求出，從而得解；【詳解】解：設(shè)，所以，所以．故選：A4.若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用二倍角的余弦公式和基本關(guān)系式求解.【詳解】因為，所以．故選：C．5.已知等差數(shù)列的前n項和為，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列前項和公式，及下標(biāo)和性質(zhì)得到、，即可得到方程，計算可得；【詳解】解：由，有，得．故選：A6.若實數(shù)x，y滿足約束條件則最大值是（）A.16 B.12 C.10 D.15【答案】A【解析】【分析】作出可行域，由數(shù)形結(jié)合求解即可.【詳解】由實數(shù)x，y滿足約束條件畫出可行域，如圖陰影部分：將轉(zhuǎn)化為，平移直線，當(dāng)直線經(jīng)過時，直線在y軸上的截距最大，此時目標(biāo)函數(shù)取得最大值，最大值為．故選：A7.窗欞是中國傳統(tǒng)木構(gòu)建筑的框架結(jié)構(gòu)設(shè)計，使窗成為傳統(tǒng)建筑中最重要的構(gòu)成要素之一，成為建筑的審美中心．如圖所示的窗欞圖案，是將正方形的內(nèi)切圓六等分，連接對應(yīng)等分點，在圓的內(nèi)部構(gòu)成的平面圖形．若在正方形內(nèi)隨機取一點，則該點在窗欞圖案上陰影內(nèi)的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依題意，根據(jù)幾何概型，只需要求陰影部分的面積之和比上正方形的面積.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)正方形邊長為，∴正方形面積為，，∴，,由幾何關(guān)系易得每個小陰影三角形是正三角形，∴陰影部分面積為：．∴若在正方形內(nèi)隨機取一點，則該點在窗欞圖案上陰影內(nèi)的概率為．故選：B8.已知p：“”，q：“函數(shù)（，且）的圖象不經(jīng)過第二象限”，則p是q的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象以及充分必要條件的定義判斷即可.【詳解】當(dāng)?shù)膱D象不過第二象限，當(dāng)時，的圖象也不過第二象限．因此p是q的充分不必要條件．故選：A．9.已知等比數(shù)列中，，公比，則下列說法正確的是（）A.數(shù)列是等比數(shù)列 B.數(shù)列不是等比數(shù)列C.數(shù)列等比數(shù)列 D.數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列【答案】C【解析】【分析】先求得，然后結(jié)合等差、等比數(shù)列的知識對選項逐一分析，由此確定正確選項．【詳解】∵等比數(shù)列中，，公比，∴．由此可得，故A錯誤；，故數(shù)列是等比數(shù)列，故B錯誤；，故數(shù)列是等比數(shù)列，故C正確；，故數(shù)列是遞增數(shù)列，故D錯誤．故選：C．10.過拋物線的焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，若的最小值為4，則的最小值是（）A.2 B. C.4 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)焦點弦性質(zhì)得到，設(shè)直線的傾斜角為，即可得到，，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)計算可得；【詳解】解：拋物線的焦點弦，故，設(shè)直線的傾斜角為，則，，則．當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號；故選：C11.在中，，，P為上一點，且滿足，若，則的值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)，則，結(jié)合已知化簡可得再由，得，化簡得，結(jié)合前面的式子可求得，從而可求出的值，進而可求得結(jié)果【詳解】設(shè)，則，將代入化簡得，則又，則，化簡得，將代入得，所以，則的值是．故選：B．12.定義空間直角坐標(biāo)系中的任意點的“N數(shù)”為：在P點的坐標(biāo)中不同數(shù)字的個數(shù)，如：，若點P的坐標(biāo)，則所有這些點P的“N數(shù)”的平均值與最小值之差為（）A. B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意，點P的坐標(biāo)中不同數(shù)字的個數(shù)，可分為三類：恰有3個相同數(shù)字的排列為種，恰有2個相同數(shù)字的排列為種，恰有0個相同數(shù)字的排列為種，求得其平均值和最小值，由此可得選項.【詳解】解：由題意，點P的坐標(biāo)中不同數(shù)字的個數(shù)，可分為三類：（1）恰有3個相同數(shù)字的排列為種，則共有4個；（2）恰有2個相同數(shù)字的排列為種，則共有36個；（3）恰有0個相同數(shù)字的排列為種，則共有24個．所以平均值為，故選：A．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.若函數(shù)的圖象向左平移個單位得到函數(shù)的圖象，則________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)圖象平移運算公式即可求解．【詳解】函數(shù)，則．故答案為：14.已知隨機變量滿足，且，則_______；_______【答案】①.②.##【解析】【分析】由求出的值，再根據(jù)兩個隨機變量間的關(guān)系可求得結(jié)果【詳解】，，，．故答案為：，15.已知雙曲線的左、右焦點為，過的直線交雙曲線右支于A，B兩點，若，且，則該雙曲線的離心率為___________．【答案】##【解析】【分析】設(shè)，由題意可得，結(jié)合雙曲線定義可得，再利用勾股定理可得結(jié)果.【詳解】設(shè)，因為，且，所以，由雙曲線的定義得，因為，所以，解得，所以在中，，即，解得．故答案：16.在一個棱長為的正方體內(nèi)部有一個大球和小球，大球與正方體的六個面都相切，小球可以在正方體和大球之間的空隙自由滑動，則小球體積的最大值是___________．【答案】##【解析】【分析】作出組合體的中截面，由題意可得大球半徑R和小球半徑r滿足，從而可求出，進而可求得答案【詳解】如圖所示，為組合體的中截面，易知當(dāng)小球的表面積最大時大球半徑R和小球半徑r滿足，解得，故小球體積的最大值為．故答案為：三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.在中，角A，B，C所對邊分別為a，b，c，．（1）證明：；（2）若，求的面積．【答案】（1）證明見解析（2）6【解析】【分析】小問1：證法一：運用余弦定理可證，證法二：利用正弦定理可證；小問2：由余弦定理求得，結(jié)合三角形面積公式可求結(jié)果．【小問1詳解】（1）證法一：∵，∴，由余弦定理可得．則，，∴．證法二：∵，由正弦定理得，∴，可得，所以由正弦定理可得．【小問2詳解】（2）由余弦定理可得．∴，∴，∵，A為三角形內(nèi)角，∴，∴．18.如圖，在五面體中，底面四邊形為正方形，平面平面.（1）求證：；（2）若，，，，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）證明平面，即得證；（2）以D為坐標(biāo)原點，分別以，，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.【詳解】證明：（1）在正方形中，，平面，平面，平面，又平面，且平面，.（2）四邊形為正方形，，平面,平面，平面，，又，以D為坐標(biāo)原點，分別以，，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，可知為平面的一個法向量，設(shè)平面的一個法向量為，，則，令，，設(shè)平面與平面所成的銳二面角為，則，故平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.19.甲乙兩隊進行籃球比賽，約定賽制如下：誰先贏四場則最終獲勝，已知每場比賽甲贏的概率為，輸?shù)母怕蕿椋?）求甲最終獲勝的概率；（2）記最終比賽場次為X，求隨機變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）設(shè)甲最終獲勝的概率為P，分四局比賽獲勝、五局比賽獲勝、六局比賽獲勝、七局比賽獲勝這幾種情況討論，根據(jù)相互獨立事件的概率公式及互斥事件的概率公式計算可得．（2）依題意X的所有可能取值為4，5，6，7，求出所對應(yīng)的概率，即可得到分布列與數(shù)學(xué)期望．【小問1詳解】解：設(shè)甲最終獲勝的概率為P．∵甲四局比賽獲得勝利的概率為；甲五局比賽獲得勝利的概率為；甲六局比賽獲得勝利的概率為；甲七局比賽獲得勝利的概率為．∴．∴甲最終獲勝的概率為．【小問2詳解】解：X的所有可能取值為4，5，6，7．；；；．隨機變量X的分布列為：X4567P∴．∴X的數(shù)學(xué)期望為20.已知為橢圓上的一點，為橢圓C的左、右焦點，點，直線將的面積分為3∶1兩部分．（1）求橢圓C的方程；（2）已知直線與橢圓C相交于P，Q兩點，M為的中點，O為坐標(biāo)原點，且，求實數(shù)m的最小值．【答案】（1）（2）1【解析】【分析】小問1：由為橢圓上的點，所以，又直線將的面積分為3∶1兩部分，可得值，即可求方程；小問2：聯(lián)立直線與橢圓方程，運用韋達定理和中點公式結(jié)合已知條件和判斷式大于即可求解．【小問1詳解】（1）由為橢圓上的點，所以，又直線將的面積分為3∶1兩部分，解之可得，，故橢圓C的方程為．【小問2詳解】（2）設(shè)，由得，由，得①，且，由M為的中點，且，得，即，化簡得，代入①中有，，可得，，令，有．由函數(shù)單調(diào)遞增，故當(dāng)時，為m的最小值．21.已知函數(shù)，其中．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)有且僅有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】小問1：函數(shù)的定義域為，，討論與即可求解；小問2：若函數(shù)有且僅有兩個零點，必有，且，根據(jù)的單調(diào)性，結(jié)合零點存在性定理即可求解．【小問1詳解】（1）函數(shù)的定義域為，，①當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，沒有減區(qū)間；②當(dāng)時，令，有，可得函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，【小問2詳解】（2）由（1）可知，若函數(shù)有且僅有兩個零點，必有，且，又由，令，有．可得函數(shù)單調(diào)遞減，又由，可得時，，故時，，當(dāng)且時，存在M，使得，有，存在時，，故有（利用不等式），由上知，若函數(shù)有且僅有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍為．（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計分．選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程22.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為（m為參數(shù)），以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為．（1）求直線l直角坐標(biāo)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）已知點，若直線l與曲線C相交于P，Q兩點，求的值．【答案】（1）曲線C的方程為，直線l的直角坐標(biāo)方程為（2）【解析】【分析】（1）直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系，把參數(shù)方程極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間進行轉(zhuǎn)換；（2）利用直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，結(jié)合一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用求出結(jié)果.【小問1詳解】在曲線C的參數(shù)方程中消去參數(shù)m，有，故曲線C的方程為，直線的極坐標(biāo)方程展開為，代入可得直線l的直角坐標(biāo)方程為．【小問2詳解】設(shè)直線l的參數(shù)方程為t為參數(shù)，代入方程，有，整理為，設(shè)點P、Q對應(yīng)