廣東省汕頭市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（含解析）

汕頭市2022～2023學(xué)年度普通高中畢業(yè)班教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題數(shù)學(xué)一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，集合，則以下命題為真命題的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】【分析】利用集合的關(guān)系分析即可.【詳解】由題知，集合，集合，所以是的真子集，所以，或，或，，只有A選項(xiàng)符合要求，故選：A.2.已知復(fù)數(shù)z滿足，則（）A. B.1 C. D.5【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法及模長(zhǎng)公式運(yùn)算求解．【詳解】由題意，所以，故選：B.3.已知甲、乙兩名同學(xué)在高三的6次數(shù)學(xué)測(cè)試的成績(jī)統(tǒng)計(jì)如圖（圖標(biāo)中心點(diǎn)所對(duì)縱坐標(biāo)代表該次數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)），則下列說(shuō)法不正確的是（）A.甲成績(jī)的極差小于乙成績(jī)的極差B.甲成績(jī)的第25百分位數(shù)大于乙成績(jī)的第75百分位數(shù)C.甲成績(jī)的平均數(shù)大于乙成績(jī)的平均數(shù)D.甲成績(jī)的方差小于乙成績(jī)的方差【答案】B【解析】【分析】分析圖中數(shù)據(jù)，結(jié)合方差，極差的求法和意義，結(jié)合百分位數(shù)的求解，得到答案.【詳解】從圖表可以看出甲成績(jī)的波動(dòng)情況小于乙成績(jī)的波動(dòng)情況，則甲成績(jī)的方差小于乙成績(jī)的方差，且甲成績(jī)的極差小于乙成績(jī)的極差，AD正確；將甲成績(jī)進(jìn)行排序，又，故從小到大，選擇第二個(gè)成績(jī)作為甲成績(jī)的第25百分位數(shù)，估計(jì)值為90分，將乙成績(jī)進(jìn)行排序，又，故從小到大，選擇第5個(gè)成績(jī)成績(jī)作為乙成績(jī)的第75百分位數(shù)，估計(jì)值大于90分，從而甲成績(jī)的第25百分位數(shù)小于乙成績(jī)的第75百分位數(shù)，B錯(cuò)誤；甲成績(jī)均集中在90分左右，而乙成績(jī)大多數(shù)集中在60分左右，故C正確.故選：B4.已知等差數(shù)列且，則數(shù)列的前13項(xiàng)之和為（）A.24 B.39 C.104 D.52【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)化簡(jiǎn)已知條件可得的值，再由等差數(shù)列前項(xiàng)和等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，，所以由可得：，解得：，所以數(shù)列的前13項(xiàng)之和為，故選：D.5.已知某運(yùn)動(dòng)員每次射擊擊中目標(biāo)的概率是，假設(shè)每次射擊擊中目標(biāo)與否互不影響，設(shè)為該運(yùn)動(dòng)員次射擊練習(xí)中擊中目標(biāo)的次數(shù)，且，，則值為（）A.0.6 B.0.8C.0.9 D.0.92【答案】B【解析】【分析】由服從，根據(jù)二項(xiàng)分布的均值和方差公式列式求解．【詳解】由題意，所以，解得．故選：B．6.如圖1，水平放置的直三棱柱容器中，，，現(xiàn)往內(nèi)灌進(jìn)一些水，水深為2．將容器底面的一邊AB固定于地面上，再將容器傾斜，當(dāng)傾斜到某一位置時(shí)，水面形狀恰好為三角形，如圖2，則容器的高h(yuǎn)為（）A.3 B.4 C. D.6【答案】A【解析】【分析】利用兩個(gè)圖形裝水的體積相等即可求解.【詳解】在圖1中，在圖2中，，.故選：A.7.的展開(kāi)式中的系數(shù)為（）A.60 B.24 C. D.【答案】B【解析】【分析】首先寫出展開(kāi)式通項(xiàng)，再考慮通項(xiàng)與相乘得到含的項(xiàng)，即可得系數(shù).【詳解】由的展開(kāi)式通項(xiàng)為，所以的展開(kāi)式項(xiàng)為，故系數(shù)為.故選：B8.如圖為函數(shù)的部分圖象，則（）A.函數(shù)的周期為B.對(duì)任意的，都有C.函數(shù)在區(qū)間上恰好有三個(gè)零點(diǎn)D.函數(shù)是偶函數(shù)【答案】C【解析】【分析】A選項(xiàng)，利用函數(shù)圖象求出函數(shù)解析式，利用正弦函數(shù)的周期性得到A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，計(jì)算，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，整體法得到，計(jì)算出，C正確；D選項(xiàng)，計(jì)算出為奇函數(shù)，D錯(cuò)誤.【詳解】從圖象可看出的最小正周期為，因?yàn)椋?，解得：，故A錯(cuò)誤；，代入，，因?yàn)椋?，故，，故不滿足對(duì)任意的，都有，B錯(cuò)誤；，則，由可得：，可得：，故函數(shù)在區(qū)間上恰好有三個(gè)零點(diǎn)，C正確；，為奇函數(shù)，D錯(cuò)誤.故選：C二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全都選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知同一平面內(nèi)的兩個(gè)向量，，則（）A.與同向的單位向量是 B.不能作為該平面的基底C.和的夾角是 D.在上的投影向量等于【答案】ACD【解析】【分析】A選項(xiàng)，利用進(jìn)行求解；B選項(xiàng)，求出與不平行，從而B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，利用向量余弦?jiàn)A角公式進(jìn)行求解；D選項(xiàng)，利用求解.【詳解】，，則與同向的單位向量是，A正確；，故與不平行，且為非零向量，故可以作出該平面的基底，B錯(cuò)誤；，因?yàn)?，所以，故和的夾角是，C正確；在上的投影向量等于，D正確.故選：ACD10.為了提高學(xué)生體育鍛煉的積極性，某中學(xué)需要了解性別因素與學(xué)生對(duì)體育鍛煉的喜好是否有影響，為此對(duì)學(xué)生是否喜歡體育鍛煉的情況進(jìn)行普查，得到下表：體育性別合計(jì)男性女性喜歡280p280＋p不喜歡q120120＋q合計(jì)280＋q120＋p400＋p＋q附：，．0.050.0250.0100.0013.8415.0246.63510.828已知男生喜歡體育鍛煉的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生喜歡體育鍛煉的人數(shù)占女生人數(shù)的，則下列說(shuō)法正確的是（）A.列聯(lián)表中q的值為120，p的值為180B.隨機(jī)對(duì)一名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，此學(xué)生有90%的可能性喜歡體育鍛煉C.根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，男女生對(duì)體育鍛煉的喜好有差異D.根據(jù)小概率值獨(dú)立性檢驗(yàn)，男女生對(duì)體育鍛煉的喜好沒(méi)有差異【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)題意求出q、p，補(bǔ)全列聯(lián)表，分析數(shù)據(jù)，利用卡方計(jì)算公式求出，結(jié)合獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想依次判斷選項(xiàng)即可.【詳解】A：由題意知，男生喜歡該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生喜歡該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)的人數(shù)占女生人數(shù)的，則，，解得，故A正確；B：補(bǔ)全列聯(lián)表如下：男性女性合計(jì)喜歡280180460不喜歡120120240合計(jì)400300700所以隨機(jī)抽一名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，喜歡該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)的概率約為，故B錯(cuò)誤；C：，而，所以根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，男女生對(duì)體育鍛煉的喜好有差異D：由選項(xiàng)C知，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，男女生對(duì)體育鍛煉的喜好沒(méi)有差異.故選：ACD11.在直四棱柱中，，，.（）A.在棱AB上存在點(diǎn)P，使得平面B.在棱BC上存在點(diǎn)P，使得平面C.若P在棱AB上移動(dòng)，則D.在棱上存在點(diǎn)P，使得平面【答案】ABC【解析】【分析】通過(guò)線面平行判定定理來(lái)判斷AB選項(xiàng)的正確性，根據(jù)線線垂直、線面垂直的知識(shí)來(lái)判斷C選項(xiàng)的正確性，利用向量法判斷D選項(xiàng)的正確性.【詳解】A選項(xiàng)，當(dāng)是的中點(diǎn)時(shí)，依題意可知，所以四邊形是平行四邊形，所以，由于平面,平面,所以平面,A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，設(shè)是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，由上述分析可知平面.由于，平面，平面，所以平面.由于，所以平面平面，所以平面.B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，根據(jù)已知條件可知四邊形是正方形，所以，由于,，，所以平面，所以.由于，所以平面，所以.C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，.設(shè).，此方程組無(wú)解，所以在棱上不存在點(diǎn)P，使得平面.D錯(cuò)誤.故選：ABC12.已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，下列說(shuō)法正確的是（）A.函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為B.函數(shù)的極小值是C.當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意的，都有D.函數(shù)的圖像有條切線方程為【答案】AB【解析】【分析】對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，對(duì)A令即可解決問(wèn)題；B選項(xiàng)把增減區(qū)間求出來(lái)后即可得極值；C選項(xiàng)做差法證明即可；D由切線斜率為3出發(fā)反向分析即可得答案【詳解】因?yàn)樗?，，所以的單調(diào)減區(qū)間為，故A正確．令，則或所以在，單調(diào)遞增在單調(diào)遞減所以函數(shù)的極小值為，故選項(xiàng)B正確；由，若即矛盾，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤．，解的或，當(dāng)時(shí)切點(diǎn)不在上當(dāng)時(shí)切點(diǎn)不在上，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：AB．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則_____．【答案】511【解析】【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)可得成等比數(shù)列，代入數(shù)據(jù)即可求解.【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列中成等比數(shù)列，所以成等比數(shù)列，所以，即，解得：.故答案為：511【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，熟練掌握各個(gè)性質(zhì)，可大大簡(jiǎn)化計(jì)算步驟，節(jié)約時(shí)間，提高正確率.考查計(jì)算化簡(jiǎn)的能力，屬基礎(chǔ)題.14.已知長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝4，BC＝3，則以A、B為焦點(diǎn)，且過(guò)C、D的橢圓的離心率為_(kāi)_____．【答案】##【解析】【分析】利用橢圓定義及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，明確a與c，即可得到橢圓的離心率.【詳解】由題知，，解得，，由橢圓的定義知：，解得，所以橢圓的離心率．故答案為：．15.寫出符合如下兩個(gè)條件的一個(gè)函數(shù)______．①，②在內(nèi)單調(diào)遞增．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】先求出對(duì)稱軸，再結(jié)合單調(diào)性即可．【詳解】函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，又函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，符合條件的一個(gè)函數(shù)解析式可以是：（答案不唯一）．故答案為：（答案不唯一）．16.剪紙，又叫刻紙，是一種鏤空藝術(shù)，是中華漢族最古老的民間藝術(shù)之一．如圖，一圓形紙片直徑，需要剪去四邊形，可以經(jīng)過(guò)對(duì)折，沿裁剪，展開(kāi)就可以得到．已知點(diǎn)在圓上且，．則鏤空四邊形的面積的最小值為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】由對(duì)稱性可得，所以求面積的最小值即可，設(shè)，根據(jù)可得，根據(jù)的面積公式可得的關(guān)系，再根據(jù)基本不等式即可求面積的最小值.【詳解】由對(duì)稱性可得，所以求面積的最小值即可，如圖所示，設(shè)為圓心，連接，作于，由題意，所以，所以，設(shè)，由面積公式得，由余弦定理可得，又根據(jù)基本不等式可得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，所以四邊形的面積的最小值為，故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.已知數(shù)列的前n項(xiàng)積為，且，．（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）利用等差數(shù)列的定義即可求解；（2）利用裂項(xiàng)相消法即可求解．【小問(wèn)1詳解】數(shù)列的前n項(xiàng)積為，，，時(shí)，，即，解得，即，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列．【小問(wèn)2詳解】由（1）知，所以，所以，因此，，所以，即化簡(jiǎn)得：．18.設(shè)銳角三角形ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，已知．（1）求證：B＝2A；（2）求的取值范圍．【答案】（1）證明過(guò)程見(jiàn)解析.（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理及積化和差得到，結(jié)合角的范圍，得到；（2）利用正弦定理得到，根據(jù)三角形為銳角三角形，得到，，從而求出取值范圍.【小問(wèn)1詳解】，由正弦定理得：，由積化和差公式可得：，因?yàn)?，所以，因?yàn)槿切蜛BC為銳角三角形，故，所以，故，即；【小問(wèn)2詳解】由（1）知：，由正弦定理得：，其中，因?yàn)?，所以，由得：，由，解得：，結(jié)合可得：，，故在上單調(diào)遞增，所以，即.19.如圖，在三棱柱中，平面平面，且，，．（1）求平面與平面夾角的余弦值；（2）求三棱柱的高h(yuǎn)．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）作出輔助線，由面面垂直得到線面垂直，從而證明出兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩平面的法向量，求出夾角的余弦值；（2）在第一問(wèn)的基礎(chǔ)上，利用點(diǎn)到平面的向量求距離公式進(jìn)行求解.【小問(wèn)1詳解】取的中點(diǎn)，連接，在上取點(diǎn)E，使得，連接，因?yàn)?，所以為等邊三角形，故⊥，因?yàn)槠矫嫫矫?，交線為，平面，故⊥平面，因?yàn)椋?，，所以，則為等邊三角形，，因?yàn)?，所以，在中，由余弦定理得：，故，則，故，則，因?yàn)槠矫嫫矫?，交線為，平面，所以DE⊥平面，故兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，故，平面法向量為，設(shè)平面與平面夾角為，則平面與平面夾角的余弦值；【小問(wèn)2詳解】點(diǎn)到平面的距離即為三棱柱的高h(yuǎn)，由（1）知：平面的法向量為，，故.20.某足球隊(duì)為評(píng)估球員的場(chǎng)上作用，對(duì)球員進(jìn)行數(shù)據(jù)分析．球員甲在場(chǎng)上出任邊鋒、前衛(wèi)、中場(chǎng)三個(gè)位置，根據(jù)過(guò)往多場(chǎng)比賽，其出場(chǎng)率與出場(chǎng)時(shí)球隊(duì)的勝率如下表所示．場(chǎng)上位置邊鋒前衛(wèi)中場(chǎng)出場(chǎng)率0.50.30.2球隊(duì)勝率0.60.80.7（1）當(dāng)甲出場(chǎng)比賽時(shí)，求球隊(duì)輸球的概率；（2）當(dāng)甲出場(chǎng)比賽時(shí)，在球隊(duì)獲勝的條件下，求球員甲擔(dān)當(dāng)前衛(wèi)的概率；（3）如果你是教練員，將如何安排球員甲在場(chǎng)上的位置？請(qǐng)說(shuō)明安排理由．【答案】（1）0.32（2）（3）邊鋒，理由見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)條件概率公式分別計(jì)算出甲球員在擔(dān)任邊鋒、前衛(wèi)、中場(chǎng)時(shí)贏球的概率，最后相加得到甲球員參加比賽時(shí)，球隊(duì)贏球的概率，再用1去減即可．（2）根據(jù)條件概率的計(jì)算公式即可求解，（3）由三個(gè)位置上的贏球幾率，即可做出判斷.【小問(wèn)1詳解】設(shè)表示“甲球員擔(dān)當(dāng)邊鋒”；表示“甲球員擔(dān)當(dāng)前衛(wèi)”；表示“甲球員擔(dān)當(dāng)中場(chǎng)”；表示“球隊(duì)贏了某場(chǎng)比賽”，則，該球隊(duì)某場(chǎng)比賽輸球的概率為，【小問(wèn)2詳解】由（1）知：,所以，所以球員甲擔(dān)當(dāng)前衛(wèi)的概率為【小問(wèn)3詳解】同（2）由于，所以應(yīng)多安排甲球員擔(dān)任邊鋒，來(lái)增大贏球的幾率.21.已知函數(shù)，．（1）討論的單調(diào)性；（2）曲線上是否存在不同兩點(diǎn)、，使得直線AB與曲線在點(diǎn)處的切線平行？若存在，求出A、B坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）不存在，理由見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）求定義域，求導(dǎo)，分情況分類討論，得到的單調(diào)性；（2）利用直線AB的斜率與曲線在點(diǎn)處的切線斜率相等，列出方程，化簡(jiǎn)整理得：，，再證明出，，恒成立，從而說(shuō)明不存在這樣的不同兩點(diǎn)、.【小問(wèn)1詳解】定義域?yàn)?，則，當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，令得：，令時(shí)，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，令得：，令時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，令，解得：，令，解得：，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，舍去，此時(shí)，令，解得：，令，解得：，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增.【小問(wèn)2詳解】，在點(diǎn)處的切線斜率為，因?yàn)?、為函?shù)曲線上的不同兩點(diǎn)，故，直線AB的斜率為，令，整理得：，接下來(lái)證明，，恒成立，不妨設(shè)，變形為，即，令，則構(gòu)造，，則恒成立，故在上單調(diào)遞增，則，故，，恒成立，從而不存在不同兩點(diǎn)、，使得直線AB與曲線在點(diǎn)處的切線平行.【點(diǎn)睛】對(duì)數(shù)平均不等式為，在處理函數(shù)極值點(diǎn)偏移問(wèn)題上經(jīng)常用到，可先證明，再利用對(duì)數(shù)平均不等式解決相關(guān)問(wèn)