河北省唐山市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（含解析）

唐山市2022-2023學(xué)年度高三年級(jí)第一學(xué)期學(xué)業(yè)水平調(diào)研考試數(shù)學(xué)注意事項(xiàng):1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.將條形碼橫貼在答題卡上“條形碼粘貼處”.2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答案不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡的綱筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域的相應(yīng)位置內(nèi);如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案;不準(zhǔn)使用?筆和涂改液.不按以上要求作答無(wú)效.4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】解分式不等式求得集合，求函數(shù)的定義域求得集合，由此求得.【詳解】，，解得，所以.，所以，所以.故選：A2.已知函數(shù)，則其圖像大致為（）A B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用函數(shù)的奇偶性及部分圖像最值判斷即可.【詳解】由函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，又，故函數(shù)為奇函數(shù)，因此A,B錯(cuò)誤，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值1，所以C錯(cuò)誤，故選：D.3.已知函數(shù)，則（）A.在單調(diào)遞增，且圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)B.在單調(diào)遞增，且圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)C.在單調(diào)遞減，且圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)D.在單調(diào)遞減，且圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)【答案】B【解析】【分析】化簡(jiǎn)的解析式，根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)稱(chēng)性確定正確答案.【詳解】，由于，所以在單調(diào)遞增，，所以不關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng).，所以關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng).故選：B4.的展開(kāi)式共有七項(xiàng)，且常數(shù)項(xiàng)為20，則（）A.1 B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)展開(kāi)式的項(xiàng)數(shù)得到，進(jìn)而由展開(kāi)式通項(xiàng)公式得到，求出的值.【詳解】因?yàn)榈恼归_(kāi)式共有七項(xiàng)，故，且展開(kāi)式通項(xiàng)公式為，令，解得：，故，解得：故選：B5.直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn)，則（）A.8 B. C.4 D.【答案】A【解析】【分析】聯(lián)立直線(xiàn)的方程和拋物線(xiàn)的方程，化簡(jiǎn)寫(xiě)出根與系數(shù)關(guān)系，由此求得.【詳解】由，消去并化簡(jiǎn)得，，設(shè)，則，所以.故選：A6.高斯（Gauss）被認(rèn)為是歷史上最重要的數(shù)學(xué)家之一，并享有“數(shù)學(xué)王子”之稱(chēng).小學(xué)進(jìn)行的求和運(yùn)算時(shí)，他是這樣算的:，共有50組，所以，這就是著名的高斯法，又稱(chēng)為倒序相加法.事實(shí)上，高斯發(fā)現(xiàn)并利用了等差數(shù)列的對(duì)稱(chēng)性.若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則下列結(jié)論中，錯(cuò)誤的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】對(duì)于A，利用函數(shù)的中心對(duì)稱(chēng)性公式即可求解；對(duì)于B，利用倒序相加法求和及A選項(xiàng)的結(jié)論即可求解；對(duì)于C，利用B選項(xiàng)的結(jié)論及與的關(guān)系，結(jié)合等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可求解；對(duì)于D，利用B選項(xiàng)的結(jié)論及裂項(xiàng)相消法求和即可求解.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以，令，所以，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)樗砸驗(yàn)椋约?，故B正確；對(duì)于C，由題可知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，取時(shí)，，滿(mǎn)足此式，故的通項(xiàng)公式為.所以，而，所以.故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)椋?，即，故D正確.故選：C.7.已知正三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為2，則該三棱錐體積最大時(shí)，其外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用正三棱錐的特點(diǎn)及體積公式，結(jié)合三元基本不等式及正方體的體對(duì)角線(xiàn)為正三棱錐的外接球的直徑，然后利用球的表面積公式即可求解.【詳解】設(shè)為底面的中心，延長(zhǎng)交于，連接,如圖所示因?yàn)槿忮F是正三棱錐，所以平面，且是邊上的中線(xiàn)，設(shè)，則，在中，，所以三棱錐的體積為，因?yàn)?，可得，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，當(dāng)時(shí)，正三棱錐體積取得最大，所以正三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為2，底面邊長(zhǎng)為，由此可知，該正三棱錐的側(cè)面為等腰直角三角形，即側(cè)棱兩兩垂直，則該正三棱錐的外接球?yàn)槔忾L(zhǎng)為2的正方體的外接球，所以該正三棱錐的外接球的直徑為正方體的體對(duì)角線(xiàn)，即，解得,所以外接球的表面積為.故選：C.8.設(shè)，則（）A B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知條件構(gòu)造函數(shù)，，再利用導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)即可求解.【詳解】由，令，所以，因?yàn)?，因?yàn)椋?，，故，所以在上單調(diào)遞減，又，所以所以，即，所以.由，令，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，即，所以，綜上，.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：構(gòu)造，，然后利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)即可.二、選擇題:本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.9.已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，下列結(jié)論正確的有（）A.B.C.若，則D.若，則【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)相等等知識(shí)確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，，A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，，B選項(xiàng)錯(cuò)誤C選項(xiàng)，，，若，則，解得，所以C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC10.已知是三條不同的直線(xiàn)，是三個(gè)不同的平面，下列命題正確的有（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)線(xiàn)線(xiàn)、面面位置關(guān)系等知識(shí)確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，若，則可能異面，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，若，則，B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，若，則可能相交，C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，若，則，D選項(xiàng)正確.故選：BD11.甲、乙、丙三人玩?zhèn)髑蛴螒?，?次由甲傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能地將球傳給另外兩人中的任何一人.設(shè)第次傳球后球在甲手中的概率為，則下列結(jié)論正確的有（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】結(jié)合全概率公式和遞推數(shù)列等知識(shí)求得正確答案.【詳解】表示第次傳球后球在甲手中的概率，所以，A選項(xiàng)正確.表示第次傳球后球在甲手中的概率，則，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.，即，C選項(xiàng)正確.，，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC12.已知圓，動(dòng)點(diǎn)，直線(xiàn)，在上的射影為點(diǎn)，下列結(jié)論正確的有（）A.若在圓上，則直線(xiàn)與圓相切B.若在圓內(nèi)，則直線(xiàn)與圓相交C.若過(guò)點(diǎn)，與圓相交于點(diǎn)，則四邊形面積的最小值為D.若在曲線(xiàn)上，則的軌跡所圍成區(qū)域的面積為【答案】ACD【解析】【分析】AB選項(xiàng)，由圓心到直線(xiàn)的距離與半徑的關(guān)系，判斷直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系；C選項(xiàng)，求出點(diǎn)和點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，求出弦長(zhǎng)，把面積表示出來(lái)，再判斷最小值；D選項(xiàng)，通過(guò)分類(lèi)討論，得到曲線(xiàn)形狀，再求的軌跡，根據(jù)圖形計(jì)算面積.【詳解】圓，圓心坐標(biāo)為，半徑，對(duì)于A選項(xiàng)，若在圓上，有，圓心到直線(xiàn)的距離，則直線(xiàn)與圓相切，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，若在圓內(nèi)，有，圓心到直線(xiàn)的距離，則直線(xiàn)與圓相離，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，若過(guò)點(diǎn)，則有，此時(shí)，，圓心到直線(xiàn)的距離，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，，弦長(zhǎng)，，四邊形面積，當(dāng)時(shí)，有最小值，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，曲線(xiàn)等價(jià)于時(shí)，有，此時(shí)；時(shí)，有，此時(shí)；時(shí)，有，此時(shí)；時(shí)，有，此時(shí)；曲線(xiàn)表示的圖形為一個(gè)正方形，如圖所示，當(dāng)，時(shí)，直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，由，直線(xiàn)傾斜角，在上的射影為點(diǎn)，則與直線(xiàn)垂直，此時(shí)點(diǎn)軌跡是以為直徑的右半圓，如圖所示，其余類(lèi)型同理可得，所以點(diǎn)軌跡如圖所示，所以的軌跡所圍成區(qū)域的面積為，D選項(xiàng)正確；故選：ACD三、填空題:本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知是正項(xiàng)等比數(shù)列中的連續(xù)三項(xiàng)，則公比__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)等比中項(xiàng)的知識(shí)求得，進(jìn)而求得.【詳解】由于是正項(xiàng)等比數(shù)列中的連續(xù)三項(xiàng)，所以且，解得（負(fù)根舍去），所以.故答案為：14.在中，分別為的中點(diǎn)，則__________.【答案】－4【解析】【分析】由向量的線(xiàn)性運(yùn)算得，，然后計(jì)算數(shù)量積可得．【詳解】由已知，，．故答案為：．15.圓臺(tái)中,上、下底面的面積比為,其外接球的球心在線(xiàn)段上,若,則圓臺(tái)和球的體積比為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】設(shè)上底面半徑為,面積為,下底面半徑為,面積為,,臺(tái)體的體積為,球的半徑為,球的體積為,則,,根據(jù)已知條件列出方程組,找到,,和的關(guān)系,再利用體積公式求解即可.【詳解】設(shè)上底面半徑為,面積為,下底面半徑為,面積為,,臺(tái)體的體積為,球的半徑為,球的體積為,則,,根據(jù)題意可得:,即,解得:,則,所以,,則.故答案為：16.函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】當(dāng)時(shí)，，不合題意；若，當(dāng)時(shí)，可證得，，滿(mǎn)足題意.【詳解】，當(dāng)時(shí)，由，有.，時(shí)，；時(shí)，.，時(shí)，；時(shí)，.則當(dāng)時(shí)，不滿(mǎn)足.若，，設(shè)，，解得，解得，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，∴當(dāng)時(shí)，，有，可得所以若，當(dāng)時(shí)，若，設(shè)，，解得，解得，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，所以若，.綜上可得：若，當(dāng)時(shí)，恒成立.則的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：1.導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常化為不等式恒成立問(wèn)題．注意分類(lèi)討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問(wèn)題處理．2.利用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題時(shí)，一般將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問(wèn)題，解題過(guò)程中要注意分類(lèi)討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.3..證明不等式，構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.許多問(wèn)題，如果運(yùn)用這種思想去解決，往往能獲得簡(jiǎn)潔明快的思路，有著非凡的功效.四、解答題:本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.（1）若，求;（2）求的最大值.【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）由，利用正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式得到sinAcosB＝－2cosAsinB，再根據(jù)B＝，得到tanA，然后利用兩角和的正切公式求解.（2）結(jié)合tanA＝－2tanB，由tanC＝＝，利用基本不等式求解.【小問(wèn)1詳解】解：由.及正弦定理得cosA＝－，即cosAsinB＝－sinC，由sinC＝sin（A＋B）＝sinAcosB＋cosAsinB，代入整理得sinAcosB＝－2cosAsinB，又B＝，則tanA＝－2tanB＝－2，所以tanC＝－tan（A＋B）＝＝．【小問(wèn)2詳解】由知，A為鈍角，B為銳角，即tanB＞0．由（1）知tanA＝－2tanB，所以tanC＝－tan（A＋B）＝＝＝，≤＝．當(dāng)且僅當(dāng)2tan2B＝1，即tanB＝時(shí)，等號(hào)成立．所以tanC的最大值為．18.已知是等差數(shù)列，是公比不為1的等比數(shù)列，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若集合，且，求中所有元素之和.【答案】（1）（2）242【解析】【分析】（1）結(jié)合等差、等比數(shù)列的知識(shí)求得的通項(xiàng)公式.（2）根據(jù)已知條件列不等式，結(jié)合等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求得正確答案.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為，等比數(shù)列的公比為，依題意，解得，.所以.【小問(wèn)2詳解】設(shè)，即，即，因?yàn)?，所以，即，由于，所以，解得，，所以中所有元素之和?19.如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，，.（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接、，證明出平面，可得出，利用勾股定理逆定理可證得，利用線(xiàn)面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線(xiàn)分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得平面與平面夾角的余弦值.【小問(wèn)1詳解】證明：取的中點(diǎn)，連接、．因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，則，，則為等邊三角形，為的中點(diǎn)，則，，，、平面，平面，平面，，設(shè)，則，，又因?yàn)?，，，則，，、平面，平面，平面，所以，平面平面.【小問(wèn)2詳解】解：因?yàn)槠矫妫?，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線(xiàn)分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，所以，，因此，平面與平面夾角的余弦值為.20.為試驗(yàn)一種新藥，某醫(yī)院把該藥分發(fā)給位患有相關(guān)疾病的志愿者服用.試驗(yàn)方案為:若這位患者中至少有人治愈，則認(rèn)為這種新藥有效;否則認(rèn)為這種新藥無(wú)效.假設(shè)新藥有效，治愈率為.（1）用表示這位志愿者中治愈的人數(shù)，求的期望;（2）若位志愿者中治愈的人數(shù)恰好為，從人中隨機(jī)選取人，求人全部治愈的概率;（3）求經(jīng)試驗(yàn)認(rèn)定該藥無(wú)效的概率（保留4位小數(shù)）;根據(jù)值的大小解釋試驗(yàn)方案是否合理.（依據(jù):當(dāng)值小于時(shí)，可以認(rèn)為試驗(yàn)方案合理，否則認(rèn)為不合理.）附:記，參考數(shù)據(jù)如下:345678910【答案】（1）（2）（3）答案見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）利用二項(xiàng)分布的期望公式即可求解；（2）利用組合數(shù)及古典概型的計(jì)算公式即可求解；（3）根據(jù)已知條件及參考數(shù)據(jù)，得出隨機(jī)變量的取值范圍并求出相應(yīng)的概率，然后進(jìn)行比較即可求解.【小問(wèn)1詳解】將位患者服用新藥視為重伯努利試驗(yàn)，在每次實(shí)驗(yàn)中，每位患者治愈的概率為，且每位患者是否治愈相互獨(dú)立，則，故．【小問(wèn)2詳解】設(shè)“任選位志愿者全部治愈”，則．【小問(wèn)3詳解】設(shè)“經(jīng)過(guò)試驗(yàn)該藥被認(rèn)定無(wú)效”，事件發(fā)生等價(jià)于，則.所以值小于，可以認(rèn)為試驗(yàn)方案合理．21.已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在上，不經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與交于不同的兩點(diǎn).（1）求的方程;（2）若直線(xiàn)與直線(xiàn)的斜率之和為0，求的值及的取值范圍.【答案】（1）（2）；的取值范圍為．【解析】【分析】（1）利用橢圓的離心率公式及點(diǎn)在橢圓上，結(jié)合橢圓中三者的關(guān)系即可求