函數(shù)的極值與最大值最小值

第五節(jié)函數(shù)的極值與最大值最小值二、最大值與最小值問題一、函數(shù)的極值及其求法極值定義

一、函數(shù)的極值及其求法

如果對有函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值.函數(shù)的極大值點與極小值點統(tǒng)稱為極值點.為極大值點為極小值點注:函數(shù)的極大值和極小值是局部性概念。極值點一定在區(qū)間內部取得,不能在區(qū)間端點取得.極值點不唯一,極大值不一定比極小值大.最大(小)值若在區(qū)間內部取得,則它一定是極大(小)值.費馬(Fermat)引理若則(山峰、山谷若有切線必有水平切線)通常稱導數(shù)為零的點為函數(shù)的駐點或穩(wěn)定點費馬引理指出：①可導函數(shù)f(x)

的極值點必定是該函數(shù)的駐點.但駐點不一定是極值點

②不可導點也可能取得極值例如,例如,內可導,(自證)定理1(極值第一充分條件)(是極值點情形)(不是極值點情形)的極值.解:2)求極值可疑點令得駐點3)列表判斷是極大點，其極大值為是極小點，其極小值為例1.求函數(shù)確定函數(shù)極值點和極值的步驟

(3)駐點和不可導點將定義域區(qū)間分成若干個區(qū)間，列表考察導函數(shù)在各個區(qū)間內的符號，以便確定該點是否是極值點

如果是極值點

是極大值還是極小值;定理2(極值第二判別法)二階導數(shù),且則在點取極大值;則在點取極小值.證:(1)存在由第一判別法知(2)類似可證.定理2表明：f

(x0)

0

那么該點x0一定是極值點

但如果f

(x0)

0

定理2失效

如果函數(shù)f(x)在駐點x0處的二階導數(shù)的極值.解:2)求駐點令得駐點3)判別因故為極小值;又故需用第一判別法判別.例2.求函數(shù)定理2失效其最值可能在極值點在駐點、不可導點處取得二、最大值與最小值問題②區(qū)間的內部（即極值點處）取得。①區(qū)間的端點處取得，一定是在所有的極值點和區(qū)間的端點處取得

.求函數(shù)最值的方法:（1）求出函數(shù)所有的駐點和不可導點（2）求出函數(shù)所有的駐點、不可導點和端點的函數(shù)值比較大小，其中最大者為最大值，最小者為最小值當在上單調時,最值必在端點處達到.

對實際問題求最值,往往根據(jù)實際意義斷定函數(shù)特別:該函數(shù)在區(qū)間內部只有一個駐點，則該唯一駐點確有最大或最小值，且一定在區(qū)間內部取得，若一定是最值點，不必討論是否為極值點。例3又解:

顯然一定取得最大值與最小值.

因為比較得-3-2-112342468例3例4.求函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值.解:顯然且故函數(shù)在取最小值0;在及取最大值5.實際問題求最值應注意:(1)建立目標函數(shù);(2)求最值;應用問題某房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租,當租金定為每月180元時,公寓會全部租出去.當租金每月增加10元時,就有一套公寓租不出去,而租出去的房子每月需花費20元的整修維護費.試問房租定為多少可獲得最大收入？例5.解設房租為每月x元,租出去的房子有每月總收入為（唯一駐點）故每月每套租金為350元時收入最高.最大收入為例