函數(shù)的極值與最大值最小值

第五節(jié)函數(shù)的極值與最大值最小值二、最大值與最小值問題一、函數(shù)的極值及其求法極值定義

一、函數(shù)的極值及其求法

如果對(duì)有函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值.函數(shù)的極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn).為極大值點(diǎn)為極小值點(diǎn)注:函數(shù)的極大值和極小值是局部性概念。極值點(diǎn)一定在區(qū)間內(nèi)部取得,不能在區(qū)間端點(diǎn)取得.極值點(diǎn)不唯一,極大值不一定比極小值大.最大(小)值若在區(qū)間內(nèi)部取得,則它一定是極大(小)值.費(fèi)馬(Fermat)引理若則(山峰、山谷若有切線必有水平切線)通常稱導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)為函數(shù)的駐點(diǎn)或穩(wěn)定點(diǎn)費(fèi)馬引理指出：①可導(dǎo)函數(shù)f(x)

的極值點(diǎn)必定是該函數(shù)的駐點(diǎn).但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)

②不可導(dǎo)點(diǎn)也可能取得極值例如,例如,內(nèi)可導(dǎo),(自證)定理1(極值第一充分條件)(是極值點(diǎn)情形)(不是極值點(diǎn)情形)的極值.解:2)求極值可疑點(diǎn)令得駐點(diǎn)3)列表判斷是極大點(diǎn)，其極大值為是極小點(diǎn)，其極小值為例1.求函數(shù)確定函數(shù)極值點(diǎn)和極值的步驟

(3)駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)將定義域區(qū)間分成若干個(gè)區(qū)間，列表考察導(dǎo)函數(shù)在各個(gè)區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，以便確定該點(diǎn)是否是極值點(diǎn)

如果是極值點(diǎn)

是極大值還是極小值;定理2(極值第二判別法)二階導(dǎo)數(shù),且則在點(diǎn)取極大值;則在點(diǎn)取極小值.證:(1)存在由第一判別法知(2)類似可證.定理2表明：f

(x0)

0

那么該點(diǎn)x0一定是極值點(diǎn)

但如果f

(x0)

0

定理2失效

如果函數(shù)f(x)在駐點(diǎn)x0處的二階導(dǎo)數(shù)的極值.解:2)求駐點(diǎn)令得駐點(diǎn)3)判別因故為極小值;又故需用第一判別法判別.例2.求函數(shù)定理2失效其最值可能在極值點(diǎn)在駐點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)處取得二、最大值與最小值問題②區(qū)間的內(nèi)部（即極值點(diǎn)處）取得。①區(qū)間的端點(diǎn)處取得，一定是在所有的極值點(diǎn)和區(qū)間的端點(diǎn)處取得

.求函數(shù)最值的方法:（1）求出函數(shù)所有的駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)（2）求出函數(shù)所有的駐點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)和端點(diǎn)的函數(shù)值比較大小，其中最大者為最大值，最小者為最小值當(dāng)在上單調(diào)時(shí),最值必在端點(diǎn)處達(dá)到.

對(duì)實(shí)際問題求最值,往往根據(jù)實(shí)際意義斷定函數(shù)特別:該函數(shù)在區(qū)間內(nèi)部只有一個(gè)駐點(diǎn)，則該唯一駐點(diǎn)確有最大或最小值，且一定在區(qū)間內(nèi)部取得，若一定是最值點(diǎn)，不必討論是否為極值點(diǎn)。例3又解:

顯然一定取得最大值與最小值.

因?yàn)楸容^得-3-2-112342468例3例4.求函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值.解:顯然且故函數(shù)在取最小值0;在及取最大值5.實(shí)際問題求最值應(yīng)注意:(1)建立目標(biāo)函數(shù);(2)求最值;應(yīng)用問題某房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租,當(dāng)租金定為每月180元時(shí),公寓會(huì)全部租出去.當(dāng)租金每月增加10元時(shí),就有一套公寓租不出去,而租出去的房子每月需花費(fèi)20元的整修維護(hù)費(fèi).試問房租定為多少可獲得最大收入？例5.解設(shè)房租為每月x元,租出去的房子有每月總收入為（唯一駐點(diǎn)）故每月每套租金為350元時(shí)收入最高.最大收入為例