統(tǒng)考版2024屆高考數(shù)學(xué)二輪專項分層特訓(xùn)卷一客觀題專練11立體幾何文

立體幾何(11)一、選擇題(本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．一個幾何體的三視圖均為圓，則該幾何體可以是()A．正方體B．球體C．三棱柱D．四棱錐2．中國古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來，構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長方體是榫頭．若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長方體，則咬合時帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是()3．[2023·全國甲卷(文)]在三棱錐P-ABC中，△ABC是邊長為2的等邊三角形，PA＝PB＝2，PC＝eq\r(6)，則該棱錐的體積為()A．1B．eq\r(3)C．2D．34.[2023·全國高三月考]某圓柱的正視圖是如圖所示的邊長為2的正方形，圓柱表面上的點A，B，C，D，F(xiàn)在正視圖中分別對應(yīng)點A，B，C，E，F(xiàn).其中E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點，則異面直線AC與DF所成角的余弦值為()A．eq\f(1,3)B．eq\f(\r(2),3)C．eq\f(\r(3),3)D．eq\f(\r(6),3)5．[2023·惠州一調(diào)]已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，則直線DA1與直線AC所成角的余弦值為()A．eq\f(\r(3),3)B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(1,2)D．eq\f(\r(3),2)6．[2023·新疆高三模擬]已知a，b，c為三條不同的直線，α，β，γ為三個不同的平面，則下列說法正確的是()A．若a∥b，b?α，則a∥αB．若α∩β＝a，β∩γ＝b，α∩γ＝c，a∥b，則b∥cC．若b?β，c?β，a⊥b，a⊥c，則a⊥βD．若a?α，b?β，a∥b，則α∥β7.[2023·安徽高三二模]在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E是棱B1C1的中點，點F是線段CD1上的一個動點．現(xiàn)有以下命題：①三棱錐B-A1EF的體積是定值；②△AB1F的周長的最小值為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(6)＋\r(2)))a；③直線A1F與平面B1CD1所成的角是定值；④異面直線AC1與B1F所成的角是定值．其中真命題是()A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④8．[2023·湖北省重點中學(xué)高三檢測]現(xiàn)有一個三棱錐形狀的工藝品P-ABC，點P在底面ABC的投影為Q，滿足eq\f(S△QAB,S△PAB)＝eq\f(S△QAC,S△PAC)＝eq\f(S△QBC,S△PBC)＝eq\f(1,2)，eq\f(QA2＋QB2＋QC2,AB2＋BC2＋CA2)＝eq\f(1,3)，S△ABC＝9eq\r(3)，若要將此工藝品放入一個球形容器(不計此球形容器的厚度)中，則該球形容器的表面積的最小值為()A．42πB．44πC．48πD．49π9.[2023·湖北省黃岡市高三聯(lián)考]如圖是一個裝有水的倒圓錐形杯子，杯子口徑6cm，高8cm(不含杯腳)，已知水的高度是4cm，現(xiàn)往杯子中放入一種直徑為1cm的珍珠，該珍珠放入水中后直接沉入杯底，且體積不變．如果放完珍珠后水不溢出，則最多可以放入珍珠()A．98顆B．106顆C．120顆D．126顆10．[2023·漢陽區(qū)校級模擬]在棱長為4的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點M為B1C1的中點，過點D作平面α使α⊥BM，則平面α截正方體所得截面的面積為()A．4eq\r(2)B．4eq\r(5)C．8eq\r(5)D．16eq\r(2)11．[2023·廣州階段訓(xùn)練]在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝CC1＝eq\r(2)，BC＝1，點M在正方形CDD1C1內(nèi)，C1M⊥平面A1CM，則三棱錐M-A1CC1的外接球表面積為()A．eq\f(11,2)πB．7πC．11πD．14π12．[2023·湖北高三月考]《算數(shù)書》是我國現(xiàn)存最早的系統(tǒng)性數(shù)學(xué)典籍，其中記載有求“囷蓋”的術(shù)：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，該術(shù)相當(dāng)于給出了由圓錐的底面周長L與高h(yuǎn)，計算其體積V的近似公式V≈eq\f(1,36)L2h.用該術(shù)可求得圓周率π的近似值．現(xiàn)用該術(shù)求得π的近似值，并計算得一個底面直徑和母線長相等的圓錐的表面積的近似值為27，則該圓錐體積的近似值為()A．eq\r(3)B．3C．3eq\r(3)D．9[答題區(qū)]題號123456789101112答案二、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)13．[2023·四川省廣元市高三模擬]某正三棱錐正視圖如圖所示，則側(cè)視圖的面積為________．14．[2023·西安市航天城第一中學(xué)期末]給出下列說法：①和直線a都相交的兩條直線在同一個平面內(nèi)；②三條兩兩相交的直線一定在同一個平面內(nèi)；③有三個不同公共點的兩個平面重合；④兩兩相交且不過同一點的四條直線共面．其中正確說法的序號是________.15．[2023·全國乙卷(文)]已知點S，A，B，C均在半徑為2的球面上，△ABC是邊長為3的等邊三角形，SA⊥平面ABC，則SA＝________．16．[2023·廣東七校聯(lián)考]在三棱錐P-ABC中，PA＝BC＝eq\r(5)，PB＝AC＝eq\r(13)，PC＝AB＝eq\r(10)，則異面直線PC與AB所成角的余弦值為__________，三棱錐P-ABC的體積為________．立體幾何（11）1．B根據(jù)幾何體的三視圖均為圓，可得該幾何體為球體．故選B.2．A由題意知，題干中所給的是榫頭，是凸出的幾何體，求得是卯眼的俯視圖，卯眼是凹進(jìn)去的，即俯視圖中應(yīng)有一不可見的長方形，且俯視圖應(yīng)為對稱圖形．故選A.3．A如圖，取AB的中點D，連接PD，CD，因為△ABC是邊長為2的等邊三角形，PA＝PB＝2，所以PD⊥AB，CD⊥AB，所以PD＝CD＝eq\r(3)，又PC＝eq\r(6)，所以PD2＋CD2＝PC2，所以PD⊥CD，又AB∩CD＝D，AB，CD?平面ABC，所以PD⊥平面ABC，所以VP-ABC＝eq\f(1,3)×S△ABC×PD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×eq\r(3)×eq\r(3)＝1，故選A.4.D如圖所示，連結(jié)DE，EF，易知EF∥AC，所以異面直線AC與DF所成角為∠DFE.由正視圖可知，DE⊥平面ABC，所以DE⊥EF.由于AB＝BC＝2，所以EF＝eq\r(2)，又DE＝1，所以DF＝eq\r(3).在Rt△EFD中，cos∠DFE＝eq\f(\r(2),\r(3))＝eq\f(\r(6),3).故選D.5．C如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，連接A1C1，C1D，因為A1C1∥AC，所以∠DA1C1即直線DA1與直線AC所成的角或其補(bǔ)角．易知△A1C1D是邊長為eq\r(2)的正三角形，所以∠DA1C1＝60°，所以直線DA1與直線AC所成角的余弦值為eq\f(1,2)，故選C.6．B若a∥b，b?α，且a?α，則a∥α，故A錯誤；若α∩β＝a，β∩γ＝b，a∥b，則b∥α，且b?γ，由α∩γ＝c，所以b∥c，故B正確；若b?β，c?β，a⊥b，a⊥c，且b與c相交，則a⊥β，故C錯誤；若a?α，b?β，a∥b，且b與a相交，則α∥β，故D錯誤．故選B.7．B因為VB-A1EF＝VF-A1BE，又因為D1C∥平面A1BE，所以F點到平面A1BE距離不變，所以VF-A1BE為定值，從而三棱錐B-A1EF的體積是定值，所以①對；如圖所示的平面展開圖，當(dāng)F點運(yùn)動到點O時，△AB1F的周長的最小值為AB1＋AO＋OB1＝eq\r(2)a＋eq\r(2)a·eq\f(\r(3),2)·2＝（eq\r(2)＋eq\r(6)）a，所以②對；假設(shè)直線A1F與平面B1CD1所成的角是定值，則點F的軌跡是平面B1CD1上的圓弧，而不是直線CD1，所以③錯；因為AC1⊥平面B1D1C，B1F?平面B1D1C，所以AC1⊥B18．D如圖所示：作QM⊥AB與M，連接PM，因為PQ⊥平面ABC，所以PQ⊥AB，又QM∩PQ＝Q，所以AB⊥平面PQM，所以AB⊥PM，所以eq\f(S△QAB,S△PAB)＝eq\f(\f(1,2)×AB×QM,\f(1,2)×AB×PM)＝eq\f(1,2)，PM＝2QM，因為eq\f(S△QAB,S△PAB)＝eq\f(S△QAC,S△PAC)＝eq\f(S△QBC,S△PBC)＝eq\f(1,2)，由對稱性得AB＝BC＝AC，又因為eq\f(QA2＋QB2＋QC2,AB2＋BC2＋CA2)＝eq\f(1,3)，S△ABC＝9eq\r(3)，所以S△ABC＝eq\f(1,2)×AB2×sin60°＝9eq\r(3)，解得AB＝6，AQ＝2eq\r(3)，所以QM＝eq\r(3)，PM＝2eq\r(3)，PQ＝3，設(shè)外接球的半徑為r，在△AOQ中，AO2＝OQ2＋AQ2，即r2＝（3－r）2＋（2eq\r(3)）2，解得r＝eq\f(7,2)，所以外接球的表面積為S＝4πr2＝49π，即該球形容器的表面積的最小值為49π.故選D.9．D作出圓錐的軸截面圖如圖，由題意，OP＝8，O1P＝4，OA＝3，設(shè)O1A1＝x，則eq\f(4,8)＝eq\f(x,3)，即x＝eq\f(3,2).則最大放入珍珠的體積V＝eq\f(1,3)π×32×8－eq\f(1,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(2)×4＝21π因為一顆珍珠的體積是eq\f(4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3)＝eq\f(π,6).由eq\f(21π,\f(π,6))＝126.所以最多可以放入珍珠126顆．故選D.10．C作出截面CDEF，點E，F(xiàn)分別為AA1，BB1中點，四邊形CDEF的面積為CD×DE＝4×2eq\r(5)＝8eq\r(5).故選C.11．C由于C1M⊥平面A1CM，所以C1M⊥A1C，C1M⊥CM，根據(jù)長方體的性質(zhì)可知A1D1⊥C1M，如圖，連接CD1，所以C1M⊥平面A1CD1，所以C1M⊥CD1，連接C1D，則易知M是正方形CDD1C1的對角線CD1和C1D的交點．由于三角形C1MC是直角三角形，所以CC1的中點E是它的外心，設(shè)三棱錐M-A1CC1的球心為O，連接OE，則OE⊥平面CDD1C1，設(shè)OE∩BB1＝F，則F是BB1的中點．連接A1F，設(shè)OF＝x，三棱錐M-A1CC1外接球的半徑為R，則R2＝OE2＋CE2＝A1F2＋OF2，即（1＋x）2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))eq\s\up12(2)＝（eq\r(2)）2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))eq\s\up12(2)＋x2，解得x＝eq\f(1,2)，所以R2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(11,4)，故三棱錐M-ACC1外接球的表面積為4πR2＝11π.故選C.12．D先求圓周率π的近似值：已知圓錐的底面周長L與高h(yuǎn)，其體積V的近似公式V≈eq\f(1,36)L2h.設(shè)底面圓的半徑為r，則L＝2πr，可得r＝eq\f(L,2π)，所以V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(L,2π)))eq\s\up12(2)h≈eq\f(1,36)L2h，整理得，π≈3.再來計算所求圓錐體積的近似值：該圓錐的底面直徑和母線長相等，其表面積的近似值為27，設(shè)該圓錐的底面半徑為R，母線長為l，高為h′，S表＝πR2＋eq\f(1,2)·（2πR）·l≈3R2＋eq\f(1,2)·（2×3R）·2R＝27，解得R＝eq\r(3).又2R＝l，所以h′＝eq\r(l2－R2)＝eq\r(4R2－R2)＝eq\r(3)R＝3，所以所求圓錐體積V′＝eq\f(1,3)πR2·h′≈eq\f(1,3)×3×3×3＝9.故該圓錐體積的近似值為9.故選D.13．答案：6eq\r(3)解析：如圖，根據(jù)正三棱錐正視圖可繪出原圖，正三棱錐高為eq\r(52－32)＝4，底面邊長為6，結(jié)合原圖易知，△ABC即正三棱錐的側(cè)視圖，BC為底面三角形的高，則側(cè)視圖的面積S＝eq\f(1,2)×3eq\r(3)×4＝6eq\r(3).14．答案：④解析：如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1∩A1B1＝A1，AD∩AA1＝A，但是A1B1，AD異面，故①錯誤．又AA1，A1B1，A1D1交于點A1，但AA1，A1B1，A1D1不共面，故②錯誤．如果兩個平面有3個不同公共點，且它們共線，則這兩個平面可以相交，故③錯誤．如圖，因為a∩b＝D，故a，b共面于α，因為F∈a，B∈b，E∈d，故B∈α，F(xiàn)∈α，E∈α，故BF?α即c?α，而A∈c，故A∈α，故EA?α即d?α即a，b，c，d共面，故④正確．15．答案：2解析：方法一如圖，設(shè)△ABC的外接圓圓心為O1，連接O1A，因為△ABC是邊長為3的等邊三角形，所以其外接圓半徑r＝O1A＝eq\f(2,3)×eq\f(\r(3),2)×3＝eq\r(3).將三棱錐S-ABC補(bǔ)形為正三棱柱SB1C1－ABC，由題意知SA為側(cè)棱，設(shè)球心為O，連接OO1，OA，則OO1⊥平面ABC，且OO1＝eq\f(1,2)SA.又球的半徑R＝OA＝2，OA2＝OOeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋O1A2，所以4＝eq\f(1,4)SA2＋3，得SA＝2.方法二如圖，設(shè)△ABC的外接圓圓心為O1，連接O1A，因為△ABC是邊長為3的等邊三角形，所以其外接圓半徑r＝O1A＝eq\f(2,3)×eq\f(\r(3),2)×3＝eq