2023-2024學(xué)年福建省南安市實驗中學(xué)八年級上學(xué)期月考數(shù)學(xué)試題（含解析）

2023年秋實驗中學(xué)第二次階段質(zhì)量監(jiān)測初二年數(shù)學(xué)科試題（滿分：150分；考試時間：120分鐘）一、選擇題（共10小題，滿分40分，每小題4分）1．下列式子是分式的是（

）A． B． C． D．2．下列計算正確的是（

）A． B． C． D．3．若分式的值為0，則x的值為（

）A． B． C．0 D．24．等腰三角形有一個角為，則其底角是（

）A． B． C．或 D．或5．下列命題是真命題的有（

）①9的立方根是3；

②算術(shù)平方根等于它本身的數(shù)一定是1；③的平方根是；

④無理數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個6．用反證法證明“若，則a，b至少有一個不小于0．”時，第一步應(yīng)假設(shè)（）A．a(chǎn)，b都小于0 B．a(chǎn)，b不都小于0C．a(chǎn)，b都不小于0 D．a(chǎn)，b都大于07．如圖，已知，添加以下條件，不能判定的是（

）

A． B． C． D．8．不改變分式的值，使分母的首項系數(shù)為正數(shù)，下列式子正確的是（）A． B．C． D．9．如圖是一個臺階示意圖，每一層臺階的高都是，寬都是，一只螞蟻沿臺階從點A出發(fā)到點B，其爬行的最短線路的長度是（

）

A． B． C． D．10．如圖，在中，、分別是、邊上的高，在上截取，在的延長線上截取，連接、，則下列結(jié)論錯誤的是（）

A． B．C．為等腰直角三角形 D．二、填空題（共6小題，滿分24分，每小題4分）11．若分式有意義，則實數(shù)x的取值范圍是．12．如圖，所有陰影部分四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C的面積依次為6、8、9，則正方形D的面積為．13．如圖，有兩個長度相同的滑梯靠在一面墻上．已知左邊滑梯的高度與右邊滑梯的水平長度相等，那么判定與全等的依據(jù)是．14．一個正數(shù)的兩個平方根分別是和，則這個正數(shù)是．15．計算．16．如圖，線段的長度為5，點，為線段外一動點，且，，，線段長的最大值為．三、解答題（共9小題，滿分86分）17．化簡：．18．計算：(1)．(2)19．如圖，，，，垂足分別為，．求證：．20．如圖，某攀巖中心攀巖墻的頂部處安裝了一根安全繩，讓它垂到地面時比墻高多出了米，教練把繩子的下端拉開米后，發(fā)現(xiàn)其下端剛好接觸地面（即米），，求攀巖墻的高度．21．如圖，中，，，垂足為D．(1)求作的平分線，分別交，于P，Q兩點；（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）(2)求證：．22．圖1是某品牌嬰兒車，圖2為其簡化結(jié)構(gòu)示意圖．根據(jù)安全標準需滿足，現(xiàn)測得dm，dm，dm，其中與之間由一個固定為90°的零件連接（即），通過計算說明該車是否符合安全標準．23．如圖1是一個長為，寬為的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后用四塊小長方形拼成如圖2的正方形．

(1)由圖2可以直接寫出，，之間的一個等量關(guān)系是；(2)根據(jù)（1）中的結(jié)論，解決下列問題：，，求的值；(3)兩個正方形，如圖3擺放，邊長分別為．若，，求圖中陰影部分面積和．24．閱讀理解材料：為了研究分式與分母x的變化關(guān)系，小明制作了表格，并得到如下數(shù)據(jù)：x…﹣4﹣3﹣2﹣101234……﹣0.25﹣0.﹣0.5﹣1無意義10.50.0.25…從表格數(shù)據(jù)觀察，當時，隨著的增大，的值隨之減小，并無限接近0；當時，隨著的增大，的值也隨之減?。牧?：對于一個分子、分母都是多項式的分式，當分母的次數(shù)高于分子的次數(shù)時，我們把這個分式叫做真分式．當分母的次數(shù)不低于分子的次數(shù)時，我們把這個分式叫做假分式．有時候，需要把一個假分式化成整式和真分式的代數(shù)和，像這種恒等變形，稱為將分式化為部分分式．如：.根據(jù)上述材料完成下列問題：(1)當時，隨著的增大，的值（增大或減小）；當時，隨著的增大，的值（增大或減小）；(2)當時，隨著的增大，的值無限接近一個數(shù)，請求出這個數(shù)；(3)當時，求代數(shù)式值的范圍．25．如圖，在中，，點是邊上的動點，連接，以為斜邊在的下方作等腰直角三角形．（1）填空：的面積等于；（2）連接，求證：是的平分線；（3）點在邊上，且，當從點出發(fā)運動至點停止時，求點相應(yīng)的運動路程．答案與解析1．D【分析】本題考查了分式的判斷，根據(jù)分式的定義，一般地，如果、（不等于零）表示兩個整式，且中含有字母，那么式子就叫做分式，其中稱為分子，稱為分母，逐項分析判斷即可求解，掌握分式的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】、是整式，不是分式，不符合題意；、是整式，不是分式，不符合題意；、是整式，不是分式，不符合題意；、是分式，符合題意；故選：．2．A【分析】由同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方、同底數(shù)冪的除法、冪的乘方判斷分析即可．【詳解】A、，計算正確，本選項符合題意；B、，計算錯誤，本選項不符合題意；C、，計算錯誤，本選項不符合題意；D、，計算錯誤，本選項不符合題意；故選：A．【點睛】本題考查的是同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方，同底數(shù)冪的除法，掌握以上運算法則是解題的關(guān)鍵．3．B【分析】根據(jù)分式有意義的條件以及分式為零的條件即可求出答案．【詳解】解：由題意可知：，，，當時，∴即．故選：B．【點睛】本題考查分式有意義的條件以及分式值為零，本題屬于基礎(chǔ)題型．4．A【分析】根據(jù)等邊對等角，三角形內(nèi)角和定理計算即可．【詳解】∵等腰三角形有一個角為，∴底角為，故選A．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握定理和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．A【分析】根據(jù)立方根、算術(shù)平方根、平方根、實數(shù)與數(shù)軸等知識進行判斷．熟練掌握相關(guān)基礎(chǔ)知識是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：①9的立方根是，故說法錯誤，原命題是假命題；②算術(shù)平方根等于它本身的數(shù)是1和0，故說法錯誤，原命題是假命題；③的平方根是，故說法錯誤，原命題是假命題；

④實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)，故說法錯誤，原命題是假命題．綜上可知，命題是真命題的有0個，故選：A．6．A【分析】反證法的步驟中，第一步是假設(shè)結(jié)論不成立，反面成立，可據(jù)此進行解答．【詳解】解：“若，則a，b至少有一個不小于0．”第一步應(yīng)假設(shè)：a，b都小于0．故選：A．【點睛】本題考查了反證法，解此題關(guān)鍵要懂得反證法的意義及步驟．在假設(shè)結(jié)論不成立時要注意考慮結(jié)論的反面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情況，則必須一一否定．7．D【分析】本題考查了全等三角形的判定，根據(jù)選項逐項分析判斷即可求解．【詳解】解：∵在和中，，A.添加，可以根據(jù)證明，不符合題意；B.添加，可以根據(jù)證明，不符合題意；C.添加，可以根據(jù)證明，不符合題意；D.添加，沒有判定定理，不能證明，符合題意；

故選：D．8．B【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)作答，分式分母、分子和分式本身的符號任意改變兩個，分式的值不變．【詳解】解：不改變分式的值，使分母的首項系數(shù)為正數(shù)，根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分子分母同除以，A、；B、；C、；D、，故選：B．【點睛】解答此類題一定要熟練掌握分式的基本性質(zhì)無論是把分式的分子和分母擴大還是縮小相同的倍數(shù)，分式的值不變．9．C【分析】本題考查兩點之間線段最短、立體圖形展開為平面圖形求最小值問題、勾股定理等知識，根據(jù)展開成平面圖形，利用勾股定理求解即可．【詳解】解：把這個臺階示意圖展開為平面圖形得圖①：

在中，，,∴，∴一只螞蟻沿臺階從點A出發(fā)到點B，其爬行的最短線路的長度是．故選：C．10．D【分析】本題考查了等角的余角相等、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定，證明，推出，，證明，可得結(jié)論．一定要熟練掌握這些知識并能靈活應(yīng)用．【詳解】解：∵、分別是、邊上的高，∴（垂直定義），∴（同角的余角相等），∴在與中，，∴，∴，，∵，∴，即．∴是等腰直角三角形．所以選項A，B，C正確，故選：D．11．【分析】本題考查了分式有意義的條件，當分母不等于零時，分式有意義；當分母等于零時，分式無意義．分式是否有意義與分子的取值無關(guān)．根據(jù)分母不等于0列式求解即可．【詳解】解：∵分式有意義，∴．∴．故答案為：．12．23【分析】根據(jù)勾股定理可得正方形A、B的面積之和等于正方形E的面積，正方形C、E的面積之和等于正方形D的面積，即可得到結(jié)果.本題考查的是勾股定理，本題屬于基礎(chǔ)應(yīng)用題，只需學(xué)生熟練掌握股定理，即可完成．【詳解】由題意得，正方形E的面積為，則正方形D的面積.故答案為：13．【分析】根據(jù)判斷出．【詳解】解：∵滑梯、墻、地面正好構(gòu)成直角三角形，在和中，，∴，故答案為：．【點睛】本題考查的是全等三角形的判定及性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形全等的判定方法是解題．14．49【分析】根據(jù)正數(shù)的兩個平方根互為相反數(shù)列方程進行求解．【詳解】解：一個正數(shù)的兩個平方根分別是和，，，，這個正數(shù)為，故答案為：49．【點睛】此題考查了實數(shù)平方根問題的解決能力，關(guān)鍵是能準確理解并運用一個正數(shù)的平方根有兩個，這兩個互為相反數(shù)．15．1【分析】把原式變形為，再利用平方差公式計算即可得到答案，熟練掌握平方差公式是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：故答案為：116．【分析】證明線段長的最大值線段長的最大值，當在線段的延長線時，線段取得最大值，最大值，再求出答案即可．此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和利用旋轉(zhuǎn)作輔助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，由題意知，，，將繞著點順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則是等腰直角三角形，，，，線段長的最大值線段長的最大值，當在線段的延長線時，線段取得最大值，最大值，是等腰直角三角形，，線段長的最大值為．故答案為：17．【分析】利用平方差公式、單項式乘以單項式、完全平方公式展開，再合并同類項即可．此題考查了整式的混合運算，熟練掌握乘法公式是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：18．(1)1(2)【分析】此題考查了分式的混合運算，熟練掌握分式的運算法則是解題的關(guān)鍵．（1）先計算分式的乘法，再計算減法即可；（2）先計算括號內(nèi)的減法，再計算除法即可．【詳解】（1）

；（2）＝＝＝；19．見解析【分析】此題考查了全等三角形的判定，先證明，再利用即可證明．【詳解】證明：，，，在和中，∴．20．攀巖墻的高為米【分析】根據(jù)題意設(shè)攀巖墻的高為米，則繩子的長為米，再利用勾股定理即可求得的長即可．【詳解】解：設(shè)攀巖墻的高為米，則繩子的長為米，∵在中，米，∴由勾股定理得：，∴，解得，∴攀巖墻的高為米．【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，從實際問題中找出直角三角形是解答本題的關(guān)鍵．21．(1)見解析(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)角平分線的作圖方法作圖即可；（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)和對頂角相等即可證出．【詳解】（1）解：如圖所示，為所求作；（2）證明：∵平分，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴．【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)和對頂角相等，靈活運用所學(xué)知識是解題關(guān)鍵．22．符合，理由見解析【分析】先在中利用勾股定理求出,然后由以及勾股定理的逆定理得即可得答案．【詳解】解：在中，，dm，dm，由勾股定理，得因為dm，dm，所以，所以，所以，即，所以該嬰兒車符合安全標準【點睛】本題考查勾股定理及其逆定理，解題關(guān)鍵是正確運用逆定理．23．(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)大正方形的面積等于4個小長方形和小正方形面積之和，可得結(jié)論；（2）利用（1）中關(guān)系式計算可得結(jié)論；（3）利用三角形的面積公式計算出陰影部分的面積，然后整體代入即可．【詳解】（1）解：∵大正方形的面積等于4個小長方形和小正方形面積之和，∴．∴．故答案為：；（2）由（1）得：．∴∴．∴；（3）∵，為正方形，邊長分別為，∴，．∴．∴．∵，∴．∴，∴．∵，∴，∴．【點睛】本題主要考查了完全平方公式的幾何背景，利用圖形面積之間的關(guān)系得到，，之間的等量關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．24．(1)減??；減小(2)(3)【分析】（1）由、的變化情況，判斷、的變化情況即可；（2）由，即可求解；（3）由，再結(jié)合的取值范圍即可求解.【詳解】（1）解：∵當時，隨著的增大而減小，∴隨著的增大，的值減??；∵當時，隨著的增大減小，∵∴隨著的增大，的值減小.故答案為：減??；減小.（2）∵，∵當時，的值無限接近，∴的值無限接近.（3）∵，又∵，∴，∴.【點睛】本題考查分式的性質(zhì)，熟練掌握分式的基本性質(zhì)，理解題中的變量分離的方法是解題的關(guān)鍵.25．（1）；（2）證明見解析；（3）【分析】（1）根據(jù)直角三角形的面積計算公式直接計算可得；（2）如圖所示作出輔助線，證明△AEM≌△DEN（AAS），得到ME=NE，即可利用角平分線的判定證明；（3）由（2）可知點E在∠ACB的平分線上，當點D向點B運動時，點E的路徑為一條直線，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出CN=，根據(jù)CD的長度計算出CE的長度即可．【詳解】解：（1）∴，故答案為：（2）連接CE，過點E作EM⊥AC于點M，作EN⊥BC于點N，∴∠EMA=∠END=90°，又∵∠ACB=90°，∴∠MEN=90°，∴∠MED+∠DEN=90°，∵△ADE是等腰直角三角形∴∠AED=90°，AE=DE∴∠AEM+∠MED=90°，∴∠AEM=∠DEN∴在△AEM與△DEN中，∠EMA=∠END=90°，∠AEM=∠DEN，AE=DE∴△AEM≌△DEN（AAS）∴ME=NE