2023年天津市南開區(qū)翔宇學校九年級數學第一學期期末考試模擬試題含解析

2023年天津市南開區(qū)翔宇學校九年級數學第一學期期末考試模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（每題4分，共48分）1．下列方程中，關于x的一元二次方程是（）A．2x﹣3＝x B．2x+3y＝5 C．2x﹣x2＝1 D．2．方程x（x﹣1）＝0的解是（）．A．x＝1 B．x＝0 C．x1＝1，x2＝0 D．沒有實數根3．如圖，正五邊形ABCD內接于⊙O，連接對角線AC，AD，則下列結論：①BC∥AD；②∠BAE=3∠CAD；③△BAC≌△EAD；④AC=2CD．其中判斷正確的是（）A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④4．二次函數y=kx2+2x+1的部分圖象如圖所示，則k的取值范圍是（）A．k≤1 B．k≥1 C．k<1 D．0<k<15．如圖，在同一平面直角坐標系中，一次函數y1=kx+b（k、b是常數，且k≠0）與反比例函數y2=（c是常數，且c≠0）的圖象相交于A（﹣3，﹣2），B（2，3）兩點，則不等式y(tǒng)1＞y2的解集是（）A．﹣3＜x＜2 B．x＜﹣3或x＞2 C．﹣3＜x＜0或x＞2 D．0＜x＜26．要使分式有意義，則x應滿足的條件是（）A．x＜2 B．x≠2 C．x≠0 D．x＞27．如圖是由4個大小相同的小正方體擺成的幾何體，它的左視圖是（）A． B． C． D．8．下列一元二次方程中，沒有實數根的是（）．A． B．C． D．9．如圖，四邊形內接于,為延長線上一點,若，則的度數為（）A． B． C． D．10．若拋物線y=﹣x2+bx+c經過點（﹣2，3），則2c﹣4b﹣9的值是（）A．5B．﹣1C．4D．1811．如圖是二次函數y＝ax1+bx+c（a≠0）圖象的一部分，對稱軸是直線x＝﹣1．關于下列結論：①ab＜0；②b1﹣4ac＞0；③9a﹣3b+c＞0；④b﹣4a＝0；⑤方程ax1+bx＝0的兩個根為x1＝0，x1＝﹣4，其中正確的結論有（）A．1個 B．3個 C．4個 D．5個12．圖1是一個地鐵站入口的雙翼閘機．如圖2，它的雙翼展開時，雙翼邊緣的端點A與B之間的距離為10cm，雙翼的邊緣AC＝BD＝54cm，且與閘機側立面夾角∠PCA＝∠BDQ＝30°．當雙翼收起時，可以通過閘機的物體的最大寬度為()A．(54+10)cm B．(54+10)cm C．64cm D．54cm二、填空題（每題4分，共24分）13．我區(qū)某校舉行冬季運動會，其中一個項目是乒乓球比賽，比賽為單循環(huán)制，即所有參賽選手彼此恰好比賽一場.記分規(guī)則是：每場比賽勝者得3分、負者得0分、平局各得1分.賽后統(tǒng)計，所有參賽者的得分總知為210分，且平局數不超過比賽總場數的，本次友誼賽共有參賽選手__________人.14．如圖，在⊙O的內接四邊形ABCD中，∠A=70°，∠OBC=60°，則∠ODC=__________．15．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，點E是AB邊上一動點，過點E作DE⊥AB交AC邊于點D，將∠A沿直線DE翻折，點A落在線段AB上的F處，連接FC，當△BCF為等腰三角形時，AE的長為_____．16．如圖，過圓外一點作圓的一條割線交于點，若，，且，則_______．17．如圖，AB是⊙O的直徑，且AB=4，點C是半圓AB上一動點（不與A，B重合），CD平分∠ACB交⊙O于點D，點I是△ABC的內心，連接BD．下列結論：①點D的位置隨著動點C位置的變化而變化；②ID=BD；③OI的最小值為；④ACBC=CD．其中正確的是_____________．（把你認為正確結論的序號都填上）18．若關于x的一元二次方程有兩個相等的實數根，則m的值為_________．三、解答題（共78分）19．（8分）如圖，正方形ABCD的過長是3，BP＝CQ，連接AQ，DP交于點O，并分別與邊CD、BC交于點F、E，連接AE．（1）求證：AQ⊥DP；（2）求證：AO2＝OD?OP；（3）當BP＝1時，求QO的長度．20．（8分）如圖，在中，，，，點從點出發(fā)沿以的速度向點移動，移動過程中始終保持，（點分別在線段、線段上）.（1）點移動幾秒后，的面積等于面積的四分之一；（2）當四邊形面積時，求點移動了多少秒？21．（8分）某果園有果樹80棵，現(xiàn)準備多種一些果樹提高果園產量，但是如果多種樹，那么樹之間的距離和每棵樹所受光照就會減少，單棵樹的產量隨之降低，若該果園每棵果樹產果（千克），增種果樹（棵），它們之間的函數關系如圖所示．（1）求與之間的函數關系式；（2）在投入成本最低的情況下，增種果樹多少棵時，果園可以收獲果實6750千克？22．（10分）先化簡，再從中取一個恰當的整數代入求值．23．（10分）如圖，點A的坐標為（0，﹣2），點B的坐標為（﹣3，2），點C的坐標為（﹣3，﹣1）．（1）請在直角坐標系中畫出△ABC繞著點A順時針旋轉90°后的圖形△AB′C′；（2）直接寫出：點B′的坐標，點C′的坐標．24．（10分）小李在學習了定理“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”之后做了如下思考，請你幫他完成如下問題：（1）他認為該定理有逆定理：“如果一個三角形某條邊上的中線等于該邊長的一半，那么這個三角形是直角三角形”應該成立.即如圖①，在中，是邊上的中線，若，求證：.（2）如圖②，已知矩形，如果在矩形外存在一點，使得，求證：.（可以直接用第（1）問的結論）（3）在第（2）問的條件下，如果恰好是等邊三角形，請求出此時矩形的兩條鄰邊與的數量關系.25．（12分）如圖，已知拋物線經過點A（1，0）和B（0，3），其頂點為D．設P為該拋物線上一點，且位于拋物線對稱軸右側，作PH⊥對稱軸，垂足為H，若△DPH與△AOB相似（1）求拋物線的解析式（2）求點P的坐標26．如圖，AB為⊙O的直徑，AC是弦，D為線段AB延長線上一點，過C，D作射線DP，若∠D=2∠CAD=45o．（1）證明：DP是⊙O的切線．（2）若CD=3，求BD的長．

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、C【分析】利用一元二次方程的定義判斷即可．【詳解】A、方程2x﹣3＝x為一元一次方程，不符合題意；B、方程2x+3y＝5是二元一次方程，不符合題意；C、方程2x﹣x2＝1是一元二次方程，符合題意；D、方程x+＝7是分式方程，不符合題意，故選：C．【點睛】本題考查了一元一次方程的問題，掌握一元一次方程的定義是解題的關鍵．2、C【解析】根據因式分解法解方程得到x=0或x﹣1=0，解兩個一元一次方程即可.【詳解】解：x（x﹣1）＝0x=0或x﹣1=0∴x1＝1，x2＝0，故選C.【點睛】本題考查因式分解法解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的解法是關鍵.3、B【分析】根據圓的正多邊形性質及圓周角與弦的關系解題即可．【詳解】解：①∴BC∥AD，故本選項正確；②∵BC=CD=DE，∴∠BAC=∠CAD=∠DAE，∴∠BAE=3∠CAD，故本選項正確；③在△BAC和△EAD中，BA=AE，BC=DE，∠B=∠E，∴△BAC≌△EAD(SAS)，故本選項正確；④∵AB+BC>AC，∴2CD>AC，故本選項錯誤．故答案為①②③．【點睛】此題考查圓的正多邊形性質及圓周角與弦的關系，理解定義是關鍵．4、D【分析】由二次函數y=kx2+2x+1的部分圖象可知開口朝上以及頂點在x軸下方進行分析.【詳解】解：由圖象可知開口朝上即有0<k，又因為頂點在x軸下方，所以頂點縱坐標從而解得k<1，所以k的取值范圍是0<k<1.故選D.【點睛】本題考查二次函數圖像性質，根據開口朝上以及頂點在x軸下方分別代入進行分析.5、C【解析】一次函數y1=kx+b落在與反比例函數y2=圖象上方的部分對應的自變量的取值范圍即為所求．【詳解】∵一次函數y1=kx+b（k、b是常數，且k≠0）與反比例函數y2=（c是常數，且c≠0）的圖象相交于A（﹣3，﹣2），B（2，3）兩點，∴不等式y(tǒng)1＞y2的解集是﹣3＜x＜0或x＞2，故選C．【點睛】本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題，利用數形結合是解題的關鍵．6、B【解析】本題主要考查分式有意義的條件：分母不能為1．【詳解】解：∵x﹣2≠1，∴x≠2，故選B．【點睛】本題考查的是分式有意義的條件，當分母不為1時，分式有意義．7、C【分析】根據左視圖即從物體的左面觀察得得到的視圖，進而得出答案．【詳解】如圖所示，該幾何體的左視圖是：．故選C．【點睛】此題主要考查了幾何體的三視圖；掌握左視圖是從幾何體左面看得到的平面圖形是解決本題的關鍵．8、D【分析】分別計算出每個方程的判別式即可判斷．【詳解】A、∵△=4-4×1×0=4＞0，∴方程有兩個不相等的實數根，故本選項不符合題意；B、∵△=16-4×1×（-1）=20＞0，∴方程有兩個不相等的實數根，故本選項不符合題意；C、∵△=25-4×3×2=1＞0，∴方程有兩個不相等的實數根，故本選項不符合題意；D、∵△=16-4×2×3=-8＜0，∴方程沒有實數根，故本選項正確；故選：D．【點睛】本題考查了根的判別式，一元二次方程根的情況與判別式△的關系：（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數根；（2）△=0?方程有兩個相等的實數根；（3）△＜0?方程沒有實數根．9、D【分析】根據圓內接四邊形的對角互補，先求出∠ADC的度數，再求∠ADE的度數即可.【詳解】解：四邊形內接于-,．故選:．【點睛】本題考查的是內接四邊形的對角互補，也就是內接四邊形的外角等于和它不相鄰的內對角.10、A【解析】∵拋物線y=﹣x2+bx+c經過點（﹣2，3），∴-4-2b+c=3，即c-2b=7，∴2c-4b-9=2(c-2b)-9=14-9=5.故選A.11、C【分析】由拋物線的開口方向判斷a與0的關系，由拋物線與y軸的交點判斷c與0的關系，然后根據對稱軸及拋物線與x軸交點情況進行推理，進而對所得結論進行判斷．【詳解】解：∵拋物線開口向下，∴a＜0，∵，∴b＝4a，ab＞0，∴b﹣4a＝0，∴①錯誤，④正確，∵拋物線與x軸交于﹣4，0處兩點，∴b1﹣4ac＞0，方程ax1+bx＝0的兩個根為x1＝0，x1＝﹣4，∴②⑤正確，∵當x＝﹣3時y＞0，即9a﹣3b+c＞0，∴③正確，故正確的有②③④⑤．故選：C．【點睛】本題主要考查圖象與二次函數系數之間的關系，會利用對稱軸的范圍求1a與b的關系，以及二次函數與方程之間的轉換，根的判別式以及特殊值的熟練運用12、C【分析】過A作AE⊥CP于E，過B作BF⊥DQ于F，則可得AE和BF的長，依據端點A與B之間的距離為10cm，即可得到可以通過閘機的物體的最大寬度．【詳解】如圖所示，過A作AE⊥CP于E，過B作BF⊥DQ于F，則Rt△ACE中，AE=AC=×54=27（cm），同理可得，BF=27cm，又∵點A與B之間的距離為10cm，∴通過閘機的物體的最大寬度為27+10+27=64（cm），故選C．【點睛】本題主要考查了特殊角的三角函數值，特殊角的三角函數值應用廣泛，一是它可以當作數進行運算，二是具有三角函數的特點，在解直角三角形中應用較多．二、填空題（每題4分，共24分）13、2【分析】所有場數中，設分出勝負有x場，平局y場，可知分出勝負的x場里，只有勝利一隊即3分，總得分為3x；平局里兩隊各得1分，總得分為2y；所以有3x+2y=1．又根據“平局數不超過比賽場數的”可求出x與y之間的關系，進而得到滿足的9組非負整數解．又設有a人參賽，每人要與其余的（a-1）人比賽，即共a（a-1）場，但這樣每兩人之間是比賽了兩場的，所以單循環(huán)即場，即＝x+y，找出x與y的9組解中滿足關于a的方程有正整數解，即求出a的值．【詳解】設所有比賽中分出勝負的有x場，平局y場，得：由①得：2y=1-3x由②得：2y≤x∴1-3x≤x解得：x≥，∵x、y均為非負整數∴，，，……，設參賽選手有a人，得：＝x+y化簡得：a2-a-2（x+y）=0∵此關于a的一元二次方程有正整數解∴△=1+8（x+y）必須為平方數由得：1+8×（54+24）=625，為25的平方∴解得：a1=-12（舍去），a2=2∴共參賽選手有2人．故答案為：2．【點睛】本題考查了二元一次方程的應用，一元一次不等式的應用，一元二次方程的應用．由于要求的參賽人數與條件給出的等量關系沒有直接聯(lián)系，故可大膽多設個未知數列方程或不等式，再逐步推導到要求的方向．14、50°．【詳解】解：∵∠A=70°，∴∠C=180°﹣∠A=110°，∴∠BOD=2∠A=140°，∵∠OBC=60°，∴∠ODC=360°﹣110°﹣140°﹣60°=50°，故答案為50°．考點：圓內接四邊形的性質．15、2或或．【分析】由勾股定理求出AB，設AE=x，則EF=x，BF=1﹣2x；分三種情況討論：①當BF=BC時，列出方程，解方程即可；②當BF=CF時，F(xiàn)在BC的垂直平分線上，得出AF=BF，列出方程，解方程即可；③當CF=BC時，作CG⊥AB于G，則BG=FGBF，由射影定理求出BG，再解方程即可．【詳解】由翻折變換的性質得：AE=EF．∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，∴AB1．設AE=x，則EF=x，BF=1﹣2x．分三種情況討論：①當BF=BC時，1﹣2x=6，解得：x=2，∴AE=2；②當BF=CF時．∵BF=CF，∴∠B=∠FCB．∵∠A+∠B=90°，∠FCA+∠FCB=90°，∴∠A=∠FCA，∴AF=FC．∵BF=FC，∴AF=BF，∴x+x=1﹣2x，解得：x，∴AE；③當CF=BC時，作CG⊥AB于G，如圖所示：則BG=FGBF．根據射影定理得：BC2=BG?AB，∴BG，即(1﹣2x)，解得：x，∴AE；綜上所述：當△BCF為等腰三角形時，AE的長為：2或或．故答案為：2或或．【點睛】本題考查了翻折變換的性質、勾股定理、射影定理、等腰三角形的性質；本題有一定難度，需要進行分類討論．16、1【分析】作OD⊥AB于D，由垂徑定理得出AD＝BD，由三角函數定義得出sin∠OAB＝，設OD＝4x，則OC＝OA＝5x，OP＝3＋5x，由勾股定理的AD＝3x，由含30角的直角三角形的性質得出OP＝2OD，得出方程3＋5x＝2×4x，解得x＝1，得出BD＝AD＝3即可．【詳解】作OD⊥AB于D，如圖所示：則AD＝BD，∵sin∠OAB＝，∴設OD＝4x，則OC＝OA＝5x，OP＝3＋5x，AD＝＝3x，∵∠OPA＝30，∴OP＝2OD，∴3＋5x＝2×4x，解得：x＝1，∴BD＝AD＝3，∴AB＝1；故答案為：1．【點睛】本題看了垂徑定理、勾股定理、三角函數定義等知識；熟練掌握垂徑定理和勾股定理是解題的關鍵．17、②④【分析】①在同圓或等圓中，根據圓周角相等，則弧相等可作判斷；②連接IB，根據點I是△ABC的內心，得到，可以證得，即有，可以判斷②正確；③當OI最小時，經過圓心O，作，根據等腰直角三角形的性質和勾股定理，可求出，可判斷③錯誤；④用反證法證明即可．【詳解】解：平分，AB是⊙O的直徑，，，是的直徑，是半圓的中點，即點是定點；故①錯誤；如圖示，連接IB，∵點I是△ABC的內心，∴又∵，∴即有∴，故②正確；如圖示，當OI最小時，經過圓心O，過I點，作，交于點∵點I是△ABC的內心，經過圓心O，∴，∵∴是等腰直角三角形，又∵，∴，設，則，，∴，解之得：，即：，故③錯誤；假設，∵點C是半圓AB上一動點，則點C在半圓AB上對于任意位置上都滿足，如圖示，當經過圓心O時，，，∴與假設矛盾，故假設不成立，∴故④正確；綜上所述，正確的是②④，故答案是：②④【點睛】此題考查了三角形的內心的定義和性質，等腰直角三角形的判定與性質，三角形外接圓有關的性質，角平分線的定義等知識點，熟悉相關性質是解題的關鍵．18、0【分析】根據一元二次方程根的判別式的正負判斷即可.【詳解】解：原方程可變形為，由題意可得所以故答案為：0【點睛】本題考查了一元二次方程，掌握根的判別式與一元二次方程的根的情況是解題的關鍵.三、解答題（共78分）19、（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）QO＝．【分析】（1）由四邊形ABCD是正方形，得到AD＝BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，根據全等三角形的性質得到∠P＝∠Q，根據余角的性質得到AQ⊥DP．（2）根據相似三角形的性質得到AO2＝OD?OP（3根據相似三角形的性質得到BE＝，求得QE＝，由△QOE∽△PAD，可得，解決問題．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，∵BP＝CQ，∴AP＝BQ，在△DAP與△ABQ中，，∴△DAP≌△ABQ，∴∠P＝∠Q，∵∠Q+∠QAB＝90°，∴∠P+∠QAB＝90°，∴∠AOP＝90°，∴AQ⊥DP；（2）證明：∵∠DOA＝∠AOP＝90°，∠ADO+∠P＝∠ADO+∠DAO＝90°，∴∠DAO＝∠P，∴△DAO∽△APO，∴，∴AO2＝OD?OP．（3）解：∵BP＝1，AB＝3，∴AP＝4，∵△PBE∽△PAD，∴，∴BE＝，∴QE＝，∵△QOE∽△PAD，∴=∴QO＝．【點睛】本題屬于相似形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，正方形的性質，三角函數的定義，熟練掌握全等三角形或相似三角形的判定和性質是解題的關鍵．20、（1）2秒；（2）3秒.【分析】（1）證得△ABC、△ADE和△DBF都是等腰直角三角形，利用，列式計算即可；（2）根據，列式計算即可求得答案．【詳解】（1）設移動秒，的面積等于面積的四分之一，∵，，，∴△ABC為等腰直角三角形，，∵，，∴△ADE和△DBF都是等腰直角三角形，

∴，，∵，∴，即，解得：(秒)；（2）設移動秒，四邊形面積，由(1)得：，，∵，∴即解得：(秒)．【點睛】本題主要考查了列代數式以及一元二次方程的應用，等腰三角形的判定和性質，利用三角形的面積公式，找出關于的一元二次方程是解題的關鍵．21、（1）；（2）增種果樹10棵時，果園可以收獲果實6750千克.【分析】（1）設，將點（12，74）、（28，66）代入即可求出k與b的值，得到函數關系式；（2）根據題意列方程，求出x的值并檢驗即可得到答案.【詳解】（1）設，將點（12，74）、（28，66）代入，得，解得，∴y與x的函數關系式為；（2）由題意得：，解得：，，∵投入成本最低，∴x=10，答：增種果樹10棵時，果園可以收獲果實6750千克.【點睛】此題考查待定系數法求一次函數解析式，一元二次方程的實際應用，正確理解題意中的x、y的實際意義是解題的關鍵.22、，0【分析】根據分式的混合運算法則進行計算化簡，再代入符合條件的x值進行計算.【詳解】解：原式====又∵且，，∴整數．∴原式=．【點睛】考核知識點：分式的化簡求值.掌握分式的基本運算法則是關鍵.23、(1)見解析；(2)（4，1），（1，1）．【分析】（1）利用網格特點和旋轉的性質畫出B、C點的對應點B′、C′即可；（2）利用（1）所畫圖形寫出點B′的坐標，點C′的坐標．【詳解】解：（1）如圖，△ABC′為所作；（2）點B′的坐標為（4，1），點C′的坐標為（1，1）．故答案為（4，1），（1，1）．【點睛】本題考查了坐標和圖形的變化-旋轉，作出圖形，利用數形結合求解更加簡便24、（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）【分析】（1）利用等腰三角形的性質和三角形內角和即可得出結論；

（2）先判斷出OE=AC，即可得出OE=BD，即可得出結論；

（3）先判斷出△ABE是底角是30°的等腰三角形，即可構造直角三角形即可得出結論．【詳解】（1）∵AD=BD，

∴∠B=∠BAD，

∵AD=CD，

∴∠C=∠CAD，

在△ABC中，∠B+∠C+∠BAC=180°，

∴∠B+∠C+∠BAD+∠CAD=∠B+∠C+∠B+∠C=180°

∴∠B+∠C=90°，

∴∠BAC=90°，（2）如圖②，連接與，交點為，連接四邊形是矩形（3）如圖3，過點做于點四邊形是矩形，是等邊三角形，由（2）知，在中，，【點睛】此題是四邊形綜合題，主要考查了矩形是