復變函數(shù)與積分變換：5-3

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復變函數(shù)與積分變換：5-32思想方法

:封閉路線的積分

.兩個重要工作:1)積分區(qū)域的轉化2)被積函數(shù)的轉化把定積分化為一個復變函數(shù)沿某條3形如當歷經變程時,的正方向繞行一周.z沿單位圓周4z的有理函數(shù),且在單位圓周上分母不為零,滿足留數(shù)定理的條件.包圍在單位圓周內的諸孤立奇點.5例1

解故積分有意義.678因此9若有理函數(shù)R(x)的分母至少比分子高兩次,并且R(x)在實軸上無孤立奇點.一般設分析可先討論最后令即可.二、形如的積分102.

積分區(qū)域的轉化:取一條連接區(qū)間兩端的分段光滑曲線,使與區(qū)間一起構成一條封閉曲線,并使R(z)在其內部除有限孤立奇點外處處解析.(此法常稱為“圍道積分法”)1.

被積函數(shù)的轉化:(當z在實軸上的區(qū)間內變動時,R(z)=R(x))可取

f(z)=R(z).11xy..這里可補線(以原點為中心,R為半徑的在上半平面的半圓周)與一起構成封閉曲線C,R(z)在C及其內部(除去有限孤立奇點）處處解析.取R適當大,使R(z)所有的在上半平面內的極點都包在這積分路線內.12根據(jù)留數(shù)定理得:13例2計算積分解

在上半平面有二級極點一級極點1415xy..積分存在要求:R(x)是x的有理函數(shù)而分母的次數(shù)至少比分子的次數(shù)高一次,并且R(z)在實軸上無孤立奇點.與曲線C,使R(z)所有的在上半平面內的極點包在這積分路線內.同前一型:

補線一起構成封閉都三、形如的積分16由留數(shù)定理:17例3計算積分解

在上半平面只有二級極點又18注意以上兩型積分中被積函數(shù)中的R(x)在實軸上無孤立奇點.19四、小結與思考

本課我們應用“圍道積分法

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