2023年江蘇省高考數(shù)學(xué)模擬試卷及答案解析

2023年江蘇省高考數(shù)學(xué)模擬試卷

一.選擇題(共8小題，滿分40分)

1.設(shè)集合A={4r2-4W0},B={x|2x+aW0},且4n8={x|-2WxW1},則a=()

A.-4B.-2C.2D.4

2.復(fù)數(shù)z=（其中，?為虛數(shù)單位），則團(tuán)=（)

4

A.2B.-C.V2D.V5

3

3.從1,2,3,4,5中，每次任選兩個(gè)不同的數(shù)字組成一個(gè)兩位數(shù)，在所組成的兩位數(shù)中

偶數(shù)有（）

A.10個(gè)B.9個(gè)C.12個(gè)D.8個(gè)

4.數(shù)列1,1,2,3,5,8,13,21,34,…稱為斐波那契數(shù)列，是意大利著名數(shù)學(xué)家斐波

那契于1202年在他撰寫(xiě)的《算盤全書(shū)》中提出的，該數(shù)列的特點(diǎn)是：從第三項(xiàng)起，每一

項(xiàng)都等于它前面兩項(xiàng)的和.在該數(shù)列的前2020項(xiàng)中，偶數(shù)的個(gè)數(shù)為（）

A.505B.673C.674D.1010

5.已知非零向量2,b滿足值|=|b|,且向+6|=齒一百,則：與b的夾角為（）

2nnn

A.-JiB.-C.-D.一

3236

6.為加快新冠肺炎檢測(cè)效率，某檢測(cè)機(jī)構(gòu)采取合并檢測(cè)法，即將多人的拭子樣本合并檢測(cè)，

若為陰性，則可以確定所有樣本都是陰性的，若為陽(yáng)性，則還需要對(duì)本組的每個(gè)人再做

檢測(cè).現(xiàn)對(duì)20名密切接觸者的拭子樣本進(jìn)行合并檢測(cè)，每份樣本的檢測(cè)結(jié)果是陰性還是

陽(yáng)性都是相互獨(dú)立的，每人檢測(cè)結(jié)果呈陽(yáng)性的概率為p,且檢測(cè)次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為20,

則p的值為（）

A-1-喘產(chǎn)B.1一喘聲

C-1一（4向D.1一（宗向

7.已知函數(shù)+3=2皿寓；y+4,則〃冊(cè)）+,（篇）+…+/（|翳）=（）

A.2019B.2020C.4038D.4040

8.如圖，在三棱柱ABC-481。中，已知E,尸分別是線段ABi與C4上的動(dòng)點(diǎn)，異面直

線ABi與C4所成角為0,記線段EF中點(diǎn)M的軌邊為L(zhǎng),則等于（）

第1頁(yè)共23頁(yè)

A.押i|

IT2T2

B.1AB1+C/1—Q4B1?C/1）2

1

C.-|ABir|CAirsin0

4

D-2（匕BL是三棱柱ABC-A向0的體積）

二.多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）

9.已知函數(shù)/（%）=cos2x-V5SM2X,則下列說(shuō)法正確的是（）

A./（X）的周期為TT

B.%=輯/（外的一條對(duì)稱軸

C.［-J,勺是f（x）的一個(gè)遞增區(qū)間

D.［一9爭(zhēng)是/（X）的一個(gè)遞減區(qū)間

10.已知拋物線/=上的焦點(diǎn)為F,M（xi，）［）,N（%2.”）是拋物線上兩點(diǎn)，則下列結(jié)

論正確的是（）

1

A.點(diǎn)尸的坐標(biāo)為0）

B.若直線MN過(guò)點(diǎn)、F,則x）X2=—表

C.若詁=入加則|MN］的最小值為a

25

D.若|A/F|+|NF|=或，則線段MN的中點(diǎn)P到x軸的距離為一

11.設(shè)函數(shù)/（》）、g（x）的定義域都為R,且/（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則下列

結(jié)論中正確的是（)

第2頁(yè)共23頁(yè)

A.f(x)g(x)是奇函數(shù)B.\f(x)\g(x)是奇函數(shù)

C.7(x)|g(x)|是奇函數(shù)D.[f(x)gG)|是奇函數(shù)

12.下列命題中的真命題是()

A.VxGR,X22。B.VxER,2xl>0

C.3xGR,lgx<lD.3xER,sinx+cosx=2

三.填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）

XV

13.如圖，尸1、F2分別是雙曲線0-三=1的左、右焦點(diǎn)，過(guò)后的直線與雙曲線C的兩

a2bz

條漸近線分別交于4、B兩點(diǎn)，若F：1?彘=0,則雙曲線C的離心率是.

14.若不等式=+3y2>?對(duì)任意的正數(shù)x,>總成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍_____.

4k

15.在一個(gè)裝滿水的容積為1升的容器中有兩個(gè)相互獨(dú)立、自由游弋的草履蟲(chóng)，現(xiàn)在從這個(gè)

容器中隨機(jī)地取出0.1升水，則在取出的水中發(fā)現(xiàn)草履蟲(chóng)的概率為.

16.矩形ABC。的邊過(guò)B,。作直線AC的垂線，垂足分別為E,F,且E,尸分

別為AC的三等分點(diǎn).沿著AC將矩形翻折，使得二面角8-AC-。成直角，則80長(zhǎng)度

為.

四.解答題（共6小題，滿分70分）

17.（10分）已知數(shù)列｛如｝的前"項(xiàng)和為8=〃2-2”.

（1）求通項(xiàng)公式an；

（2）證明數(shù)列｛斯｝為等差數(shù)列.

第3頁(yè)共23頁(yè)

18.（12分）在電子儀器的測(cè)量中常常會(huì)混進(jìn)噪聲，下面是一批檢波器測(cè)量噪聲（噪聲電平）

的100個(gè)觀測(cè)值，試作出這些數(shù)據(jù)的頻率直方圖，判斷其是否服從正態(tài)分布，再估計(jì)噪

聲在區(qū)間［-2.5,2.5］上的概率.

0.1-1.01.9-0.10.00.3-1.20.0-0.40.1

1.50.31.0-1.30.5-1.2-3.4-3.0-0.51.9

0.20.10.71.32.4-0.50.5-3.50.40.7

2.0-0.4-1.3-1.9-0.5-1.5-0.1-1.10.00.2

-2.30.50.7-2.1-0.6-0.42.41.51.60.6

-0.10.5-0.11.12.5-2.6-0.31.2-0.8-2.4

0.71.20.50.0-0.5-0.3-1.80.2-1.9-0.8

-0.4-1.12.9-1.10.40.0-0.4-0.31.7-1.5

-1.01.10.0-1.10.91.7-0.32.10.70.7

-0.62.32.0-1.11.21.00.1-0.5-0.3-0.2

第4頁(yè)共23頁(yè)

19.（12分）如圖，在四邊形A3CZ）中，AC與8。相交于點(diǎn)O,O8?sinNA3O=OO?sinN

7T

ADB,ZABC—，AB=3BC=3.

3

(1)求sinNOAC；

2n

(2)若/AOC"求四邊形A8CD的面積.

第5頁(yè)共23頁(yè)

20.(12分)如圖，已知三棱柱ABC-481cl的所有棱長(zhǎng)都相等，側(cè)棱441J_底面ABC,E,

產(chǎn)分別是AiBi，ACi的中點(diǎn).

(I)求證：BiFlACi；

(II)求平面EFCB與底面ABC所成二面角的正切值.

第6頁(yè)共23頁(yè)

21.（12分）已知橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上,并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)。1）,離心率為？.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）動(dòng)直線/與圓0：7+丁=1相切于點(diǎn)M,與橢圓C相交于A,3兩點(diǎn)，線段的

中點(diǎn)為￡>,求△0MD面積的最大值，并求此時(shí)點(diǎn)。的坐標(biāo).

第7頁(yè)共23頁(yè)

22.(12分)已知函數(shù)/(x)=lnx+mx+\,g(x)=x*(ex-1).

(1)若/(x)的最大值是0,求函數(shù)/(x)的圖象在x=e處的切線方程;

(2)若對(duì)于定義域內(nèi)任意x,/(x)Wg(x)恒成立，求機(jī)的取值范圍.

第8頁(yè)共23頁(yè)

2023年江蘇省高考數(shù)學(xué)模擬試卷

參考答案與試題解析

選擇題(共8小題，滿分40分)

1.設(shè)集合A={x|?-4W0},8={x|2x+aW0},且ACB={x|-2WxW1},則a=()

A.-4B.-2C.2D.4

解：集合A={x*-4W0}={x|-2WxW2},8={x|2r+aW0}={x|xW-,

1

由AG3={x|-2WxW1},可得—[4=1,

則a=-2.

故選：B.

2.復(fù)數(shù)z=當(dāng)（其中i為虛數(shù)單位），則團(tuán)=（）

1—Zt

A.2B.一C.V2D.V5

3

解：設(shè)復(fù)數(shù)2=再，

i-ZI

則回=0=|言|=罔

_檸+12同

一用后飛

故選：C.

3.從1,2,3,4,5中，每次任選兩個(gè)不同的數(shù)字組成一個(gè)兩位數(shù)，在所組成的兩位數(shù)中

偶數(shù)有（）

A.10個(gè)B.9個(gè)C.12個(gè)D.8個(gè)

解：分兩步，第一步確定個(gè)位有2種，第二步確定十位，有.4種,

故共有2X4=8個(gè),

故選：D.

4.數(shù)列1,1,2,3,5,8,13,21,34,…稱為斐波那契數(shù)列，是意大利著名數(shù)學(xué)家斐波

那契于1202年在他撰寫(xiě)的《算盤全書(shū)》中提出的，該數(shù)列的特點(diǎn)是：從第三項(xiàng)起，每一

項(xiàng)都等于它前面兩項(xiàng)的和.在該數(shù)列的前2020項(xiàng)中，偶數(shù)的個(gè)數(shù)為（）

A.505B.673C.674D.1010

解：該數(shù)列第三，六，九…為偶數(shù)，以3為周期，2020=3X673+1,

第9頁(yè)共23頁(yè)

所以前2020項(xiàng)中共有673個(gè)偶數(shù),

故選：B.

5.已知非零向量￡b滿足而=|加，且|；+b|=|2；—川,貝丘與b的夾角為()

2

A.

解：設(shè)向量之康勺夾角為仇

由而=網(wǎng)，且向+b\=\2a-b\t

所以(a+b)2=(2a—b)，,

即小+2a?b+b2=4a2—4a?b4-b2,

化簡(jiǎn)得6a*b=3Q2,

TT1->

解得a?b=2a2,

TT112

所以cos0=Jbf=22—=1.

|a|x|^l|a|

又6日0,nJ,

所以8=/，

T171

即a與b的夾角為3

故選：C.

6.為加快新冠肺炎檢測(cè)效率，某檢測(cè)機(jī)構(gòu)采取合并檢測(cè)法，即將多人的拭子樣本合并檢測(cè)，

若為陰性，則可以確定所有樣本都是陰性的，若為陽(yáng)性，則還需要對(duì)本組的每個(gè)人再做

檢測(cè).現(xiàn)對(duì)20名密切接觸者的拭子樣本進(jìn)行合并檢測(cè)，每份樣本的檢測(cè)結(jié)果是陰性還是

陽(yáng)性都是相互獨(dú)立的，每人檢測(cè)結(jié)果呈陽(yáng)性的概率為p,且檢測(cè)次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為20,

則p的值為()

A-1-(*/B.1-喘聲

C.1-（好

解：隨機(jī)變量的取值只能是1,21,對(duì)應(yīng)的概率分別是(I")2。，1-(l-p)2。，由

期望的運(yùn)算公式可得，

IX(l-p)20+21X[l-(l-p)20]=20

第10頁(yè)共23頁(yè)

，p=l-喘網(wǎng)

故選：A.

7.已知函數(shù)/(x+1)=2c"x+寰:二Ze-中,財(cái)(嬴)+/(贏)+…+/(瑞)=()

A.2019B.2020C.4038D.4040

1._2cos%+%2?”一%2。-1+4_%2a一%2?一二??-.一%

解:根據(jù)題意，函數(shù)/（'+2)-cosx+2-cosx+2-cosx+2XJT+2,

則“r+分=康fx一)2+2=—怎總Xi，

11

則有7?(尤+分+f(-x+1)=4,

變形可得/(x)V(1-%)=4,即函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)弓，2)對(duì)稱，

1220191201922018

/■(5蒜)+貝品)+,??+抬粽)與(——)+/<——)V<——)+八——)+

八2020，)12020，7k2020y72020202020202020

100910111010

+f(----)+f(-----)+f(-----)=4X1009+2=4038,

2020」2020.12020

故選：C.

8.如圖，在三棱柱48C-481。中，已知E,戶分別是線段AS與C4上的動(dòng)點(diǎn)，異面直

線A3i與。］所成角為9,記線段切中點(diǎn)M的軌邊為L(zhǎng),則因等于（）

1

C.-HBiriCAipsine

4

1

D-石^皿“田（加1遇匕是三棱柱4/-489的體積）

解：當(dāng)E位于Bi,A,而尸在AC上移動(dòng)時(shí)，M的軌跡為平行于AC的兩條線段,

第11頁(yè)共23頁(yè)

當(dāng)尸位于4,C,而E在A3]上移動(dòng)時(shí)，M的軌跡為平行與A3i的兩條線段.

其它情況下，M的軌跡構(gòu)成圖中平行四邊形內(nèi)部區(qū)域.

1111

A|L|=2x^|-ABi|*|-CAi|-sin0=j|ABi|*|CAirsin6.

/22，

多選題(共4小題，滿分20分，每小題5分)

9.已知函數(shù)/(X)=cos2x-V5sin2x,則下列說(shuō)法正確的是()

A.f(X)的周期為TT

B.%=百是/(犬)的一條對(duì)稱軸

C.[-J,勺是/⑴的一個(gè)遞增區(qū)間

D.[-1，]是f(x)的一個(gè)遞減區(qū)間

解：V/(x)=cos2x—V3sin2x=-2sin(2x—5)，

：.f(x)的周期為m故4正確；

,.*/(―)=—2sin(冬一看)=—2,=亨是/(x)的一條對(duì)稱軸，故B正確；

當(dāng)xC[—看]時(shí)，級(jí)—法〔一半，函數(shù)/(x)在[—李上不單調(diào)，故C錯(cuò)誤;

當(dāng)問(wèn)一看，勺時(shí)，2x-1e[-J,1],函數(shù)/(X)在[一*g單調(diào)遞減，故。正確.

故選：ABD.

第12頁(yè)共23頁(yè)

10.已知拋物線/=分的焦點(diǎn)為F,M(XI，巾)，N(X2,”)是拋物線上兩點(diǎn)，則下列結(jié)

論正確的是()

1

A.點(diǎn)F的坐標(biāo)為1，0)

1

B.若直線MN過(guò)點(diǎn)F,則x\X2=-謳

TT1

C.若M尸=，NF,則|MN|的最小值為5

-2一5

D.若|MF|+|NF|=今則線段MN的中點(diǎn)P到x軸的距離為g

解：拋物線/=%的焦點(diǎn)為/(0,-),所以A不正確；

2-8

根據(jù)拋物線的性質(zhì)可得：MN過(guò)尸時(shí)，則xix2=-/，所以B正確；

TT一1

若MF=aNF,則的最小值為拋物線的通徑長(zhǎng)，為2P所以C正確；

拋物線的焦點(diǎn)為F(0,1),準(zhǔn)線方程為產(chǎn)一宗

過(guò)點(diǎn)“、N、P分別作準(zhǔn)線的垂線MM',NN',PP',

貝|=|MF|,|NN'|=|N尸\MM'\+\NN'\=\MF\+\NF\=

所以線段MN的中的P到x軸的距離為|PP，iTT—所以。正確；

04-00

故選：BCD.

II.設(shè)函數(shù)f(x)、g(x)的定義域都為R,且/(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下列

結(jié)論中正確的是()

A.f(%)g(x)是奇函數(shù)B.\f(x)|g(x)是奇函數(shù)

第13頁(yè)共23頁(yè)

C./(x)\g(x)|是奇函數(shù)D.\f(x)g(x)|是奇函數(shù)

解：由題意可知/(-X)=-f(x),g(-X)=g(x),

對(duì)于選項(xiàng)A，/(-x)?g(-x)=-/(x)?g(x),所以/(x)g(x)是奇函數(shù)，故4項(xiàng)正

確；

對(duì)于選項(xiàng)B,[/'(-x)|?g(-x)=卜/(x)\-g(x)=/(x)|?g(x),所以IfG)\g(x)

是偶函數(shù)，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C,/(-x)|g(-x)|=-f(x)\g(x)I，所以f(x)|g(x)|是奇函數(shù),故C

項(xiàng)正確；

對(duì)于選項(xiàng)D,\f(-x)'g(-x)|=|-/(x)g(x)1=1/■(x)g(x)I，所以，(x)g(x)|

是偶函數(shù)，故。項(xiàng)錯(cuò)誤，

故選：AC.

12.下列命題中的真命題是()

A.VxGR,/20B.VxGR,2xl>0

C.S.YGR,/gx<lD.3xGR.siar+cosx=2

解：對(duì)于A,Vx€R,f20,由非負(fù)數(shù)概念可得正確；

對(duì)于B,VxGR,2廠1>0,由指數(shù)函數(shù)的值域可得8正確；

1

對(duì)于C,lgx<1,比如x=I,/gxVOVl,可得C正確；

對(duì)于￡),sinx+cosx=V2(，sinx+孝cosx)=V2sin(x+守)<V2，故Q錯(cuò)誤.

故選：ABC.

三.填空題(共4小題，滿分20分，每小題5分)

22

XV

13.如圖，F(xiàn)i、F2分別是雙曲線0-三=1的左、右焦點(diǎn)，過(guò)乃的直線與雙曲線C的兩

a1bz

條漸近線分別交于A、8兩點(diǎn)，若=AB,=0,則雙曲線C的離心率是2.

第14頁(yè)共23頁(yè)

解：如圖所示：，

由題意可知，漸近線方程為：y=±2v,所以設(shè)8(刈，-1X0),因?yàn)辄c(diǎn)8在第二象限,

aQ

所以x()VO,

VFi(-c,0),Fi(c,0),

.TJ)Tb

；?FiB=(xo+c,--x0),F2B=(xo-c,—-x0),

?:點(diǎn)B?*=0,

,2,2

(%o+C)(%0—c)+^2%o2=0，即&2-c24-滔X()2=0,

2222222

(a+b)x0=a2c2,g[Jcx0=ac,

?22?

??XQ—CLf??X0-Cl,

1?B(-a,b).

又：點(diǎn)=易，.?.點(diǎn)A是乃B的中點(diǎn),

c-ab

???A(-,-)

22

又?.?點(diǎn)A在漸近線＞=:》上,

bbc-a

—=~x---,即ab=b(c-a),

2a2

??2ab=be.

.c

..e=/2,

故答案為：2.

第15頁(yè)共23頁(yè)

14.若不等式?+3y2z*對(duì)任意的正數(shù)x,y總成立，則實(shí)數(shù)上的取值范圍」2字&

<0

2

解：若%>0,由于不等式上+3y22W對(duì)任意的正數(shù)x,y總成立，.?.柜鐘^_,

4k各3y2

xyxyy[3

故k應(yīng)大于或等于票上一的最大值.<—1=———

彳+3*”y2丁符俄'3

故”2、~的最大值為g,故k>殍.

-3y23

當(dāng)上<0時(shí)，不等式顯然成立.綜上，kN整或k<0,

故答案為k>當(dāng)或k<0.

15.在一個(gè)裝滿水的容積為1升的容器中有兩個(gè)相互獨(dú)立、自由游弋的草履蟲(chóng)，現(xiàn)在從這個(gè)

容器中隨機(jī)地取出01升水，則在取出的水中發(fā)現(xiàn)草履蟲(chóng)的概率為0.2.

解：在一個(gè)裝滿水的容積為1升的容器中有兩個(gè)相互獨(dú)立、自由游弋的草履蟲(chóng),

現(xiàn)在從這個(gè)容器中隨機(jī)地取出0.1升水，

則在取出的水中發(fā)現(xiàn)草履蟲(chóng)的概率為°=^=0.2.

故答案為：02

16.矩形ABC。的邊A8=夜，過(guò)B,。作直線AC的垂線，垂足分別為E,F,且E,尸分

別為4C的三等分點(diǎn).沿著4c將矩形翻折，使得二面角8-AC-。成直角，則BD長(zhǎng)度

加V15

為-V—.

解：設(shè)AF=EE=EC=x,則

廣AEAB

cos血E=而=痔

D4廠2%/2

COSNB2E=&=0,

解得x=等,

,______________,______[Tc

故BD=VBF2+EF2+DF2=V4-7x2=等.

故答案為：-y-

第16頁(yè)共23頁(yè)

D

四.解答題（共6小題，滿分70分）

17.（10分）已知數(shù)列｛即｝的前"項(xiàng)和為Sn=〃2-2〃.

（1）求通項(xiàng)公式

（2）證明數(shù)列｛斯｝為等差數(shù)列.

解：（1）數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和為％=〃2-2%

==

所以anSn~Sn-1rT~2n-（?-1）~+2（n-1）=2〃-3.

當(dāng)”=1時(shí)，“1=-1（符合通項(xiàng)）.

故：如=2〃-3.

證明：（2）由（1）得：的=2〃-3,

所以an-an-\=2（常數(shù)）.

故數(shù)列伍"｝為等差數(shù)列.

18.（12分）在電子儀器的測(cè)量中常常會(huì)混進(jìn)噪聲，下面是一批檢波器測(cè)量噪聲（噪聲電平）

的100個(gè)觀測(cè)值，試作出這些數(shù)據(jù)的頻率直方圖，判斷其是否服從正態(tài)分布，再估計(jì)噪

聲在區(qū)間［-2.5,2.5］上的概率.

第17頁(yè)共23頁(yè)

0.1-1.01.9-0.10.00.3-1.20.0-0.40.1

1.50.31.0-1.30.5-1.2-3.4-3.0-0.51.9

0.20.10.71.32.4-0.50.5-3.50.40.7

2.0-0.4-1.3-1.9-0.5-1.5-0.1-1.10.00.2

-2.30.50.7-2.1-0.6-0.42.41.51.60.6

-0.10.5-0.11.12.5-2.6-0.31.2-0.8-2.4

0.71.20.50.0-0.5-0.3-1.80.2-1.9-0.8

-0.4-1.12.9-1.10.40.0-0.4-0.31.7-1.5

-1.01.10.0-1.10.91.7-0.32.10.70.7

-0.62.32.0-1.11.21.00.1-0.5-0.3-0.2

解：取組距為1,可得頻率分布表:

分組頻數(shù)

頻率

[-3.5,-2.5)4

0.04

[-2.5,-1.5)6

0.06

[-1.5,-0.5)17

0.17

[-0.5,0.5)37

0.37

[0.5,1.5)21

0.21

[1.5,2.5)13

0.13

[2.5,3.5)2

0.02

合計(jì)100

第18頁(yè)共23頁(yè)

頻率分布直方圖如圖:

頻

一

組

03

7t

21

O0.17

13

O.

0.06?

o\1234567

由圖可知，近似服從正態(tài)分布.

估計(jì)噪聲在區(qū)間［-2.5,2.5］上的概率為0.94.

19.(12分)如圖，在四邊形ABC。中，AC與BO相交于點(diǎn)O,OB^mZABD=OD'sinZ

Tt

ADB,ZABC-,AB=3BC=3.

3

(1)求sin/ZMC；

(2)若NADC~求四邊形ABC。的面積.

n

解：(1)在aABC中，NABC—,AB=3BC=3,

3

由余弦定理可得AC2^AB2+BC2-2AB-BC-cosZABC=32+l2-2x3xlx1=7,

所以AC=V7,

/Q

BC

由正弦定理可得：,=,;、,可得smZBAC=BSs聯(lián)BC=:=等,

Sinz.BACSinz-ABC4cV714

OBOA

在△AOB中，由正弦定理--------=---------,即O3?sinNAa)=OA?sinN84C,

sinZ-BACstnZ.ABD

同理，在△AOO中，由正弦定理可得：OZ)?sinNAOB=OA?sinND4C,

又因?yàn)椋篛3?sinNA3￡>=OQ?sinN4Z)3,

第19頁(yè)共23頁(yè)

所以：04?sin/8AC=0A,sinNZMC,

所以：sin/QAC=sin/BAC=穹.

14

CDACCD近

(2)在△ADC中，由正弦定理可得一~—=~~~—,即后=工,解得。。=1,

sinZ.DACsinz.ADC衛(wèi)V3

142

又由余弦定理可得cosNAZ)C=應(yīng)拼靠之，即-,J喘-7,解得AO=2,

￡AU'CULZ.AU

可得S四邊形ABCD=S&ADC+SAABC=2xADxACxsinZDAC+^xABxACxsinZBAC=

^xACxsinZDACX(AD+AB)=嬰

20.(12分)如圖,已知三棱柱ABC-AiBiCi的所有棱長(zhǎng)都相等，側(cè)棱AAiJ?底面ABC,E,

F分別是4Bi，4。的中點(diǎn).

(I)求證：BiFlACi；

(II)求平面EFC3與底面ABC所成二面角的正切值.

(I)證明：：A4i_L底面ABC,.MA」平面A向。，

：81Fu平面4BiCi，：.B\FVAA\,

又；AABC為正三角形,尸為4G中點(diǎn)，二BiFLAiCi，A\C\nAA\=A\,

...Bi尸"L面ACCiAi.V/iCicjfiACCiAi.

：.B\FLACi；

(H)解：設(shè)所有棱長(zhǎng)都為2,取EF中點(diǎn)尸，BC中點(diǎn)K,連PK,AK,PA.

易知PKJ_BC,AKLBC,

則/PKA為平面EFCB的與底面ABC所成二面角的平面角，

在APK4中，取4K中點(diǎn)。，連產(chǎn)。，有P。_1面480貝ijPO_LAK.

且P。=2,OK=亨，tanZ-PKA=

T

4-73

平面EFC8與底面ABC所成二面角的正切值：—.

第20頁(yè)共23頁(yè)

21.（12分）已知橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0,1）,離心率為

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）動(dòng)直線/與圓。：/+/=1相切于點(diǎn)例，與橢圓C相交于A,8兩點(diǎn)，線段AB的

中點(diǎn)為。，求△。例。面積的最大值，并求此時(shí)點(diǎn)。的坐標(biāo).

解：（I）由題意設(shè)橢圓的方程為1+1=1,由題意可得6=1,e=《=*,a2=b2+c2,

Mb已Qz

解得：a=2,h=l,

x2

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：—+/=1;

4

（2）設(shè)動(dòng)直線的方程為：x=my+n,（mWO）,由直線與圓相切可得廠四節(jié)=1,即/=

Vl+m2

1+蘇，

X=my4-n

x2,整理可得（4+加2）y1+2mny+^-4=0,△=4,/后-4（w2+4）（n2-4）=

（彳+y9=1

16（川+4-/?）=48>0,

設(shè)A（xi，y\）,B（X2，”），D（xo，yo）,

,?mn，,一4n-mn

則yi+）?=從而中點(diǎn)。----------）,

4+m，4+m24+m2

2222

所以SAOMD=1\OM\\MD\=i\DM\=17|OO|-|0M|=17%0+70-1=

nl

11642+評(píng)評(píng)_]_19m2_3e1i