第06講 拓展一：數(shù)列求通項(xiàng)（解析版）

第06講拓展一：數(shù)列求通項(xiàng)一、知識(shí)點(diǎn)歸納知識(shí)點(diǎn)一：數(shù)列求通項(xiàng)（法、法）1對(duì)于數(shù)列，前項(xiàng)和記為；①；②②：法歸類角度1：已知與的關(guān)系；或與的關(guān)系用，得到例子：已知，求角度2：已知與的關(guān)系；或與的關(guān)系替換題目中的例子：已知；已知角度3：已知等式中左側(cè)含有：作差法（類似）例子：已知求2對(duì)于數(shù)列，前項(xiàng)積記為；①；②①②：法歸類角度1：已知和的關(guān)系角度1：用，得到例子：的前項(xiàng)之積.角度2：已知和的關(guān)系角度1：用替換題目中例子：已知數(shù)列的前n項(xiàng)積為，且.知識(shí)點(diǎn)二：累加法（疊加法）若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“變差數(shù)列”，求變差數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，利用恒等式求通項(xiàng)公式的方法稱為累加法。具體步驟：將上述個(gè)式子相加（左邊加左邊，右邊加右邊）得：=整理得：=知識(shí)點(diǎn)三：累乘法（疊乘法）若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“變比數(shù)列”，求變比數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，利用求通項(xiàng)公式的方法稱為累乘法。具體步驟：將上述個(gè)式子相乘（左邊乘左邊，右邊乘右邊）得：整理得：知識(shí)點(diǎn)四：構(gòu)造法類型1：用“待定系數(shù)法”構(gòu)造等比數(shù)列形如（為常數(shù)，）的數(shù)列，可用“待定系數(shù)法”將原等式變形為（其中：），由此構(gòu)造出新的等比數(shù)列，先求出的通項(xiàng)，從而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.標(biāo)準(zhǔn)模型：（為常數(shù)，）或（為常數(shù)，）類型2：用“同除法”構(gòu)造等差數(shù)列（1）形如，可通過兩邊同除，將它轉(zhuǎn)化為，從而構(gòu)造數(shù)列為等差數(shù)列，先求出的通項(xiàng)，便可求得的通項(xiàng)公式.（2）形如，可通過兩邊同除，將它轉(zhuǎn)化為，換元令：，則原式化為：，先利用構(gòu)造法類型1求出，再求出的通項(xiàng)公式.（3）形如的數(shù)列，可通過兩邊同除以，變形為的形式，從而構(gòu)造出新的等差數(shù)列，先求出的通項(xiàng)，便可求得的通項(xiàng)公式.知識(shí)點(diǎn)五：倒數(shù)法用“倒數(shù)變換法”構(gòu)造等差數(shù)列類型1：形如（為常數(shù)，）的數(shù)列，通過兩邊取“倒”，變形為，即：，從而構(gòu)造出新的等差數(shù)列，先求出的通項(xiàng)，即可求得.類型2：形如（為常數(shù)，，，）的數(shù)列，通過兩邊取“倒”，變形為，可通過換元：，化簡(jiǎn)為：（此類型符構(gòu)造法類型1：用“待定系數(shù)法”構(gòu)造等比數(shù)列：形如（為常數(shù)，）的數(shù)列，可用“待定系數(shù)法”將原等式變形為（其中：），由此構(gòu)造出新的等比數(shù)列，先求出的通項(xiàng)，從而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.）知識(shí)點(diǎn)六：隔項(xiàng)等差數(shù)列已知數(shù)列，滿足，則；（其中為常數(shù)）；或則稱數(shù)列為隔項(xiàng)等差數(shù)列，其中：①構(gòu)成以為首項(xiàng)的等差數(shù)列，公差為；②構(gòu)成以為首項(xiàng)的等差數(shù)列，公差為；知識(shí)點(diǎn)七：隔項(xiàng)等比數(shù)列已知數(shù)列，滿足，則；（其中為常數(shù)）；或則稱數(shù)列為隔項(xiàng)等比數(shù)列，其中：①構(gòu)成以為首項(xiàng)的等比數(shù)列，公比為；②構(gòu)成以為首項(xiàng)的等比數(shù)列，公比為；二、題型精講題型01法（用，得到）1．（多選）（2023秋·吉林長(zhǎng)春·高三校考階段練習(xí)）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，，，，則（

）A．是等比數(shù)列 B．C． D．【答案】BD【詳解】因?yàn)椋?，，，所以，又，所以是首?xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，故D正確；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，不滿足上式，所以，故A錯(cuò)誤；因?yàn)椋蔅正確；因?yàn)?，故C錯(cuò)誤．故選：BD．2．（2023秋·上海普陀·高二上海市晉元高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，的通項(xiàng)公式為.【答案】【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，不適合上式，故的通項(xiàng)公式為，故答案為：3．（2023秋·上海徐匯·高三上海市南洋模范中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，．若是等差數(shù)列，則的通項(xiàng)公式為．【答案】【詳解】由知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，而，若數(shù)列是等差數(shù)列，則，所以，則.故答案為：.4．（2023秋·甘肅慶陽·高二校考階段練習(xí)）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由得，故兩式相減可得：，化簡(jiǎn)得，由于各項(xiàng)均為正數(shù)，所以，故（常數(shù)），又當(dāng)時(shí)，，由于，故，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列；故．（2）由（1）得：時(shí)，；所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)也符合上式，故5．（2023秋·福建廈門·高三廈門大學(xué)附屬科技中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知各項(xiàng)為正的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，，，，，…，依此類推，求的通項(xiàng)公式.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)棰?，所以②②－①兩得，即，又因，所以；?dāng)時(shí)，解得，所以.（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為.為中的n項(xiàng)之和，為中的前項(xiàng)和.，，當(dāng)時(shí)，，.6．（2023·湖北黃岡·黃岡中學(xué)?？既＃┮阎?xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)將數(shù)列和數(shù)列中所有的項(xiàng)，按照從小到大的順序排列得到一個(gè)新數(shù)列，求的前100項(xiàng)和.【答案】(1)(2)9089【詳解】（1）依題意，當(dāng)時(shí)，解得，，當(dāng)時(shí)，有，作差得：，，，數(shù)列是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，.（2）由（1）得，，又，同時(shí)，.所以的前100項(xiàng)和為9089.題型02法（將題意中的用替換）1．（多選）（2023·遼寧沈陽·東北育才學(xué)校校考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，，則下列說法正確的是（

）A．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為B．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為C．?dāng)?shù)列不是遞增數(shù)列D．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列【答案】CD【詳解】，則，即，故是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，故，即，，.對(duì)選項(xiàng)A：，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)B：，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)C：，，故數(shù)列不是遞增數(shù)列，正確；對(duì)選項(xiàng)D：，故數(shù)列為遞增數(shù)列，正確；故選：CD.2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，則．【答案】【詳解】由，得到，然后兩邊同除以得到，即，于是數(shù)列是公差為的等差數(shù)列．而，于是，進(jìn)而得到，所以當(dāng)時(shí)，有（）．綜上所述，．故答案為：3．（2023秋·貴州黔東南·高三天柱民族中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，即，由數(shù)列為正項(xiàng)數(shù)列可知，，又，即數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，即，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，成立，所以（2）由（1）可知，，則，當(dāng)時(shí)，，成立，，成立，當(dāng)時(shí)，，即.綜上可知，，得證.4．（2023春·河南許昌·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列，，其前n項(xiàng)的和為，且滿足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)椋?，即，則，又，所以數(shù)列是以3為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，所以，則，從而當(dāng)時(shí)，，顯然，不符合上式，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為（2）由（1）得，當(dāng)時(shí)，，所以，故不等式成立.5．（2023春·遼寧沈陽·高二東北育才學(xué)校?？计谥校┰O(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，當(dāng)時(shí)，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由，得，因?yàn)?，所以，所以是以為首?xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，也滿足上式，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（2）由知：當(dāng)時(shí)，，①，則②，由得：，化簡(jiǎn)得：，當(dāng)時(shí)，也滿足上式，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．6．（2023·安徽阜陽·安徽省臨泉第一中學(xué)?？既＃┮阎獢?shù)列的前n項(xiàng)和為，.(1)若，證明：數(shù)列為等差數(shù)列.(2)若，，求的最小值.【答案】(1)證明見解析(2)33【詳解】（1）（1）由已知，，，，所以，故數(shù)列為公差為1等差數(shù)列（2）因?yàn)椋粷M足條件，此時(shí)，，由（1）知數(shù)列為首項(xiàng)為1公差為1等差數(shù)列，所以，故，當(dāng)時(shí)，，由，故，即，因?yàn)椋?故滿足的n最小值為33.題型03法（已知等式中左側(cè)含有：）1．（多選）（2023秋·山東濰坊·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則（

）A．B．的前項(xiàng)和為C．的前100項(xiàng)和為D．的前20項(xiàng)和為284【答案】ABD【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，兩式相減可得：，所以，當(dāng)時(shí)，滿足，故，故A正確；的前項(xiàng)和為，故B正確；令，的前100項(xiàng)和為：，故C錯(cuò)誤；令，所以的前20項(xiàng)和為：，故D正確.故選：ABD.2．（2023秋·天津津南·高二校考期末）已知數(shù)列滿足，，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由題設(shè)且(n≥2)，故且，所以，又也滿足，故，則，所以.故選：B3．（2023秋·湖北·高三黃石二中校聯(lián)考階段練習(xí)）數(shù)列滿足，，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】(1)【詳解】（1）解：，當(dāng)時(shí)，，作差，得，即.因?yàn)?，，所以，滿足，即為常數(shù)列，即，.4．（2023春·湖北恩施·高二校聯(lián)考期中）已知數(shù)列的前項(xiàng)之積為，且．(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；【答案】(1)，【詳解】（1）①，②，①②可得也滿足上式，③．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)之積為當(dāng)時(shí)，，代入③可得，．5．（2023秋·四川眉山·高三?？奸_學(xué)考試）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】(1)【詳解】（1）數(shù)列的前項(xiàng)和為,①,當(dāng)時(shí),②,①②得：，所以,又，也滿足上式，故．6．（2023春·河南南陽·高二?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿足．(1)求的值；【答案】(1)【詳解】（1）由題意可知：數(shù)列的前n項(xiàng)和，當(dāng)時(shí)，可得，所以；當(dāng)時(shí)，可得．所以；又因?yàn)橐卜希裕}型04累加法1．（2023秋·江蘇無錫·高二江蘇省南菁高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則的通項(xiàng)公式為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】∵，∴，∴，故選：C.2．（2023春·遼寧朝陽·高二建平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足，，則取最小值時(shí)，（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【詳解】由已知可得，，…，，,將上面式子左右兩邊分別相加可得，，令，，，當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，時(shí)，為增函數(shù)，且，又，，且∴，故當(dāng)時(shí)，取得最小值.故選：B.3．（2023秋·甘肅金昌·高二永昌縣第一高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則．【答案】【詳解】因?yàn)閿?shù)列滿足，所以，，…，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，滿足上式．綜上所述，．故答案為：．4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若數(shù)列滿足：，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為．【答案】/【詳解】由，得，所以當(dāng)時(shí)，，而滿足上式，所以.故答案為：.5．（2023秋·重慶九龍坡·高三重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列{}中，，且.其中，(1)求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；【答案】(1)，；【詳解】（1）（法一）由題意知，，則，累加得：且，又，故，而符合上式，故.（法二）由題意知，則，所以則.6．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）在數(shù)列中，，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】【詳解】由題設(shè)，所以且，顯然滿足上式，所以7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若在數(shù)列中，，，求通項(xiàng)．【答案】.【詳解】由，得以上個(gè)式子相加，又，所以．題型05累乘法1．（2023秋·福建漳州·高二校考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)?，所以，上述各式相乘得，因?yàn)?，所以，?jīng)檢驗(yàn)，滿足，所以.故選：D.2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在數(shù)列中，若，，則的通項(xiàng)公式為．【答案】【詳解】由題意知，故，故，故答案為：3．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）在數(shù)列中，（n∈N*），且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】【詳解】解：由，得，則，，，，累乘得，所以.故答案為：.4．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）若數(shù)列的首項(xiàng)，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【答案】【詳解】解：數(shù)列中，，，，．故答案為：．5．（2023秋·江蘇·高二專題練習(xí)）已知：，（）求數(shù)列的通項(xiàng).【答案】.【詳解】在數(shù)列中，，當(dāng)時(shí)，，顯然，則，，也滿足上式，所以數(shù)列的通項(xiàng)是.6．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足：，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】.【詳解】由題意得，當(dāng)時(shí)，，又也滿足上式，所以.故.題型06構(gòu)造法1．（2023春·河南許昌·高二校考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則的通項(xiàng)公式（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由得，而，故是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以，即.故選：D2．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列中，，則等于（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】所以所以數(shù)列是一個(gè)以2為首項(xiàng)，以4為公比的等比數(shù)列，所以.故選：C3．（2023秋·陜西商洛·高三陜西省山陽中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則滿足的最小正整數(shù)．【答案】5【詳解】由，解得，又，所以．另一方面由，可得，所以是首項(xiàng)為，公比為3的等比數(shù)列，所以，易知是遞增數(shù)列，又，，所以滿足的最小正整數(shù)．故答案為：5．4．（2023春·江西南昌·高二南昌二中?？茧A段練習(xí)）數(shù)列中，，，則此數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】【詳解】因?yàn)?，所以，又，所以，所以是以為首?xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，則.故答案為：5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】【詳解】∵，∴，即．又，，∴數(shù)列是以3為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，∴，∴數(shù)列的通項(xiàng)公式．故答案為：.6．（2023秋·福建龍巖·高二福建省連城縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知在數(shù)列中，，，則．【答案】【詳解】因?yàn)椋?，所以，整理得，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，解得．故答案為：.題型07倒數(shù)法1．（多選）（2023春·湖南岳陽·高二?？奸_學(xué)考試）已知數(shù)列滿足，則下列結(jié)論正確的有（）A．為等比數(shù)列B．的通項(xiàng)公式為C．為遞增數(shù)列D．的前n項(xiàng)和【答案】ABD【詳解】因?yàn)椋?3，所以，又因?yàn)?，所以?shù)列是以4為首項(xiàng)，2為