一文搞定空間幾何體常考的13種外接球模型

專題01長方體的外接球問題

1.正方體的外接球的球心為其體對角線的中點，半徑為體對角線長的一半.

2.長方體的外接球的球心為其體對角線的中點，半徑為體對角線長的一半.

3.補成長方體

（1）若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，則可將其放入某個長方體內(nèi)，如圖1所示.

（2）若三棱錐的四個面均是直角三角形，則此時可構(gòu)造長方體，如圖2所示.

PA

(3)正四面體P-ABC可以補形為正方體且正方體的棱長。如圖3所示.

6

（4）若三棱錐的對棱兩兩相等，則可將其放入某個長方體內(nèi)，如圖4所示

圖1圖2圖3圖4

【例題分析】

例1.設(shè)正方體的棱長為期，則它的外接球的表面積為

3

【解析】設(shè)正方體的棱長為“，正方體外接球的半徑為R,

則由正方體的體對角線的長就是外接球的直徑的大小可知：2R=&,即/?=且=正/叵=1

223

所以外接球的表面積為：S球=4兆/?2=4萬

例2,一個正四棱柱的各個頂點在一個直徑為27n的球面上.如果正四棱柱的底面邊長為，那么該棱柱

的表面積為cm2.

【解析】由一個正四棱柱的各個頂點在一個直徑為2m的球面上.正四棱柱的對角線的長為球的直徑，

現(xiàn)正四棱柱底面邊長為

設(shè)正四棱柱的高為力，.?.2R=2=#7FV,解得〃=出，

那么該棱柱的表面積為2+4位機2

例3.一個長方體的各頂點均在同一球面上，且一個頂點上的三條棱的長分別為123,則此球的表面積

為.

【解析】長方體外接球直徑長等于長方體體對角線長，即2R==V14,

由S=4兀*=14%.

例4.已知三棱錐尸-ABC的頂點都在同一個球面上（球。），且PA=2,PB=PC=屈,當(dāng)三棱錐

P-ABC的三個側(cè)面的面積之和最大時，該三棱錐的體積與球0的體積的比值是.

【解析】由題意三棱錐P-A3C的三條側(cè)棱PA、PB、PC兩兩互相垂直，

三棱錐P-ABC的三個側(cè)面的面積之和最大，

三棱錐P-A3C的外接球就是它擴展為長方體的外接球，求出長方體的對角線的長：74+6+6=4

所以球的直徑是4,半徑為2,

所以三棱錐的體積='x』x2x6x6=2,球的體積：—x8=—,

3233

所以該三棱錐的體積與球。的體積的比值是33.

16%

【鞏固提升】

1.張衡（78年~139年）是中國東漢時期偉大的天文學(xué)家、文學(xué)家、數(shù)學(xué)家.他的數(shù)學(xué)著作有《算罔論》，

他曾經(jīng)得出結(jié)論：圓周率的平方除以十六等于八分之五.已知正方體的外接球與內(nèi)切球上各有一個動點A,

B,若線段45的最小值為利用張衡的結(jié)論可得該正方體的外接球的表面積為

【解析】設(shè)正方體的棱長為4,正方體的內(nèi)切球半徑為「=@,

2

正方體的外接球半徑/?滿足：解=（$2+（2.）2,則夫=#〃，

由題意知：R-r=^-a——=—-a=1,所以。=2,R=C，

222

該正方體的外接球的表面積為12萬，

又因為圓周率的平方除以十六等于八分之五，即f=9,所以乃=而，

168

所以外接球的表面積為12M.

2.棱長為2的正方體的外接球的體積為

【解析】正方體的體對角線，就是正方體的外接球的直徑

所以球的直徑為：V22+22+22=25/3,所以球的半徑為退

.?.正方體的外接球的體積V=%(揚3=4信

3.已知正方體的外接球的體積為二萬，則該正方體的表面積為_________

3

【解析】正方體外接球的體積是必萬，則外接球的半徑7?=2,

3

所以正方體的對角線的長為4,棱長等于空，

所以正方體的表面積為6x(#)2=32

4.已知正方體的外接球的體積是土)，則這個正方體的體積是

3

64口64^3「64「64*

AA.——B.-----C.——D.-----

279927

【解析】??,正方體的外接球的體積是二萬，正方體的外接球的半徑/?=2,

3

設(shè)這個正方體的棱長為。，則/?=遮。=2,解得竽，

2

二.這個正方體的體積V=/

5.長方體ABCD-ABCQ的表面積為208,A8+BC+A4,=18,則該長方體的外接球的表面積為

【解析】設(shè)長方體ABC。-A4GA的三條棱長分別為。，b,c.

由題意可得：2(ab+be+cd)=208,o+b+c=18.

/.a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+be+ca)=IS2-208=116,

設(shè)該長方體的外接球的半徑為R,則4代=〃2+〃+/=U6.

其表面積=4TTR2=116/r.

6.在長方體ABC。-A4GA中，AB=BC=2,Ag與平面3BCC所成的角為3。°，則該長方體的外接球

的表面積為

【解析】?.?在長方體ABCQ-AgGA中，AB=BC=2,AG與平面3片GC所成的角為30。,

.?.4?_L平面，/次:①是AG與平面8BCC所成的角，.?.NBGA=3O。,

22

ACX=2AB=4,BC,=74-2=2G,CC}=廚-》=272,

，該長方體的外接球的半徑：/?=；5方+22+(2&)2=2,

二.該長方體的外接球的表面積為：S=4乃/?2=4乃X4=16TT.

7.在長方體ABC。-A4GA中，AB=AD=④,AA,=2,則該長方體的外接球的表面積為

【解析】由題意可知，長方體的對角線長為-2+2+4=2&,

則該長方體的外接球的半徑為「=夜，因此，該長方體的外接球的表面積為4G'2=8".

8.已知矩形A8c。的周長為18,把它沿圖中的虛線折成正四棱柱，則這個正四棱柱的外接球表面積的最小

值為

【解析】設(shè)正四棱柱的底面邊長為X,高為y,則4x+y=18,0<x<4.5,

正四棱柱的外接球半徑為:&2+犬+>2=g48(x-4)2+36,當(dāng)且僅當(dāng)x=4時，半徑的最小值=3,

外接球的表面積的最小值為4乃x9=36萬.

9.已知長方體ABCA-ABCQ的體積丫=12,AB=2,若四面體4-BCR的外接球的表面積為S，

則S的最小值為

【解析】設(shè)BC=x,BB,=y,由于V=12,所以孫=6.

根據(jù)長方體的對稱性可知四面體A-gCR的外接球的即為長方體的外接球，

所以「二在三，

2

所以5=44［產(chǎn)=4（4+/+丁2）1（4+2孫）=16）（當(dāng)且僅當(dāng)x=y=n，等號成立）.

10.若正方體的外接球的體積為46乃，則此正方體的棱長為

（解析］設(shè)球的半徑為R,則-=4也兀,

3

解得：R=A/5.

另設(shè)正方體的棱長為4,則3/=（27?）2=（2百）2,

解得。=2.

11.若某正方體的表面積為6,則該正方體的外接球的體積為

【解析】?.?正方體的表面積為6,正方體的棱長為1,體對角線的長度為后，

外接球的直徑為G,所以外接球的體積為v=%x（爭=與兀,

12.已知正方體的外接球的體積為則該正方體的體積為

【解析】設(shè)正方體的棱長為“，且正方體外接球的直徑為2R,

則（2R）2=3/,解得R=*“；

所以外接球的體積為％=與.廬=4辰，解得“3=&,

所以該正方體的體積/方體=/=8.

13.正方體ABC。-AgG〃的棱長為2月，則此正方體的外接球的體積為_36萬_.

【解析】?.?正方體A8CQ-A46。的棱長為2石，.??正方體的對角線長為#26)2+(2君產(chǎn)+(2相4=6,

則此正方體的外接球的半徑為3,.?.此正方體的外接球的體積為芻畛33=36萬.

3

14.將一個長寬分別“，伙0<〃<勿的長方形的四個角切去四個相同的正方形，然后折成一個無蓋的長方體

形的盒子，若這個長方體的外接球的體積存在最小值，則，的取值范圍為

【解析】設(shè)減去的正方形邊長為X,

其外接球直徑的平方R2=0-2x)2+仍-2x)2+/

2

求導(dǎo)得(R2)'=18x—4(a+切=0:.x=-(a+b)

，9

因為有x屬于(0,0)所以0<2(q+6)<9.?.1<-<-

2,92,a4

15.如圖，長方體ABC。-A4GA中，其中A8=a,AO=b,=c外接球球心為點。，外接球體積為于，

若-V+3的最小值為？，則A,C兩點的球面距離為—.

a2b24一3一

【解析】設(shè)A、B兩點在該球面上的球面距離為"，

?.?外接球體積為生，.?./?=2,

3

球的直徑即為長方體的對角線長，即ZR/Ab'T=4,

若-V+3的最小值為2,，a2+62=4,

a2b24

在等腰三角形OAC中，OA=OC=AC

球心角乙40。=工，

3

利用球面距離公式得出：d=c^R=-[2.=—

33

故答案為:

專題02正四面體的外接球問題

1.正四面體

如圖，設(shè)正四面體的的棱長為將其放入正方體中，則正方體的棱長為交顯然正四面體和正

2

方體有相同的外接球.正方體外接球半徑為A=&巫=&,即正四面體外接球半徑為H=&.

2244

【例題分析】

例1.棱長為2的正四面體的四個頂點都在同一個球面上，若過該球球心的一個截面如圖，則圖中三角形（正

四面體的截面）的面積是.

【解析】如圖球的截面圖就是正四面體中的AA8/）,

己知正四面體棱長為2,所以AO=6，AC=],所以CD=6,

截面面積是出

B

例2.正四面體的棱長為1,則其外接球的表面積為

【解析】依題意，正四面體的外接球半徑/?=無，其表面積為S=4M?2=3乃

42

【鞏固提升】

1.棱長為1的正四面體的外接球的半徑為.

【解析】已知正四面體A-8C3的棱長為1,過B作BEJ.CO,交CD于E,

A作平面BC。，交BE于F,連結(jié)AE,設(shè)球心為。，則。在AF上，連結(jié)B。，

BE=AE=Jl2-(-)2=—,BF=ZBE=B,EF=-BE=—,AF=J(-)2-(—)2=—)

2.棱長為a的正四面體的外接球和內(nèi)切球的體積比是.

【解析】把棱長為。正四面體鑲嵌在棱長為x正方體內(nèi)，.?.外接球和內(nèi)切球的球心重合，為正方體的中心。,

???外接球的球半徑為：號=與，1X2=1X^X(72X)2X/Z,h=華,

內(nèi)切球的半徑為：—-/7=-，外接球和內(nèi)切球的半徑之比為：—：—=3:1,

223626

二.正四面體的外球和內(nèi)切球的體積比是27:1,

3.如圖所示，在正四面體A-8CD中，E是棱AO的中點，尸是棱AC上一動點，3P+PE的最小值為正,

則該正四面體的外接球的體積是（）

設(shè)正四面體的棱長為〃則8P+M的最小值為BE=--2aL-acosl200=—a=>/7,:.a=2.

'V422

在正四面體4-8C。的邊長為2,

外接球的半徑/?=直。=在外接球的體積丫=9萬興=四人選A.

423

4.表面積為8百的正四面體的外接球的表面積為（）

A.4乖）兀B.12萬C.8TD.4娓兀

【解析】表面積為8百的正四面體的棱長為2應(yīng)

將正四面體補成一個正方體，則正方體的棱長為2,正方體的對角線長為2后，

?.?正四面體的外接球的直徑為正方體的對角線長，

.??外接球的表面積的值為4加：（百了=12%.選8.

5.一個正四面體的棱長為2,則這個正四面體的外接球的表面積為（）

A.6nB.8兀C.屈兀D.1\n

【解析】將正四面體補成一個正方體，則正方體的棱長為友,正方體的對角線長為指，

?.?正四面體的外接球的直徑為正方體的對角線長，

外接球的表面積的值為4相爭=6萬.選A.

6.在棱長為立的正四面體的外接球中，相互垂直的兩個平面分別截球面得兩個圓.若兩圓的圓心距為當(dāng),

2

則兩圓的公共弦長是（）

A.-B.—C.1D.-

442

【解析】正四面體擴展為正方體，它們的外接球是同一個球，

正方體的對角線長就是球的直徑，正方體的棱長為：1；對角線長為：指，

所以球的半徑為：R=—,

2

設(shè)相互垂直兩圓的圓心分別為q、o2,球心為。，公共弦為至，其中點為E,

則OQEQ為矩形，于是對角線。02=0E,

而OE=VOA2-AE2=-AE2=冬

/.AE=~,則M=l:選C.

2

7.如圖所示，正四面體4BC￡＞中，E是棱AD的中點，P是棱4c上一動點，3P+PE的最小值為45,

則該正四面體的外接球表面積是（）

A.12"B.32萬C.8萬D.24〃

【解析】將三角形ABC與三角形AC。展成平面，BP+配最小值，即為8E兩點之間連線距離，則

設(shè)AB=2a,則NBA。=120。，由余弦定理」=加一⑶,解得“=血,

22noz

則正四面體棱長為2&,因為正四面體的外接球半徑是棱長的如倍，

4

所以，設(shè)外接球半徑為R,則R=Y^E2&=G,則表面積S=4萬尸=4乃EB=12萬.

4

選A.

8.已知正四面體的棱長為4,則此四面體的外接球的表面積是（）

A.24乃B.18"C.12乃D.64

【解析】將正四面體補成一個正方體，則正方體的棱長為2及，正方體的對角線長為2后,

?.?正四面體的外接球的直徑為正方體的對角線長，外接球的半徑為：V6,

.?.外接球的表面積的值為4ml遙＞=24萬.

選A.

9.一個棱長為6的正四面體內(nèi)部有一個任意旋轉(zhuǎn)的正方體，當(dāng)正方體的棱長取得最大值時，正方體的外接

球的表面積是（）

A.4萬B.6乃C.12乃D.244

【解析】?.?正方體可以在正四面體紙盒內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，

正方體在正四面體的內(nèi)切球中，.?.正方體棱長最大時，正方體的對角線是內(nèi)切球的直徑，

點。為內(nèi)切球的圓心，連接尸。并延長交底面ABC與點。，點。是底面三角形ABC的中心，

底面ABC,二。。為內(nèi)切球的半徑，

連接8。，則8O=OP,在RtABDP中，BD=-x—x6=2s^,PD7PB°—BD°=2后,

32

在RtABDO中，OD2=BD2+OB2=BD2+OP2=BD2+（OP-OD）2,

代入數(shù)據(jù)得。。=電，令正方體棱長為a,貝"，解得“=應(yīng)，

???正方體棱長的最大值為近，此時正方體的外接球半徑：r=&x?巫.

22

當(dāng)正方體的棱長取得最大值時，正方體的外接球的表面積是：5=4萬/=4萬、（酉）2=6乃.選8

10.如圖，在棱長為1的正四面體ABC。中，G為A8CO的重心，M是線段AG的中點，則三棱錐

M-BCD的外接球的表面積為（）

03「瓜門瓜

AA.7tB.-7TC.乃D.71

248

【解析】連接BG,四面體ABC。中，由G為ABC。的重心，

可得AG_L面BC。，M是線段AG的中點，BG=—,AG=7AB2-BG2=—

33

?.?M為線段AG的中點，；.MG=必.

6

設(shè)三棱錐M-8CO外接球的半徑為R,貝IJN=（且y+（R-遠匕；.R=邁，

364

三棱錐M-8C。外接球的表面積為4/?2=至.選B.

2

11.正四面體（四個面均為正三角形的四面體）的外接球和內(nèi)切球上各有一個動點P、Q,若線段P。長度

的最大值為飆，則這個四面體的棱長為一

【解析】設(shè)這個四面體的棱長為則它的外接球與內(nèi)切球的球心重合,

且半徑%=，“，%=若”，

依題意得曰〃+杏。=孚..a=4.

12.已知正四面體A3CO的棱長為1,M為棱CD的中點，則二面角43-。的余弦值為堂;平

一3一

面截此正四面體的外接球所得截面的面積為一.

【解析】如圖，

為棱C。的中點，..AM_LCO,BMVCD,又期0|8例=例，..CD_L平面4WB,

則N/VWB為二面角A-CO-B的平面角，由對稱性，可知二面角C-48-0的平面角等于Z4MB.

由正四面體ABCD的棱長為1,可得4M=BA/=且，則cos（-NAM8）="2廠萬=業(yè)

22B3

T

平面AA仍平分二面角C-AB-D,二面角M—AB—。的余弦值=cos（-ZAMB）=—；

23

設(shè)正四面體48C。的外接球的半徑為R,貝IJ（豐-Rf+（曰）2=齊，解得R=手.

?.?平面M4B過正四面體ABCD的外接球的球心，

平面M鉆截此正四面體的外接球所得截面的面積為乃x（里f=當(dāng).

13.己知某正四面體的內(nèi)切球體積是1,則該正四面體的外接球的體積是27.

【解析】?.?正四面體的外接球和內(nèi)切球的半徑之比為3:1正四面體的外接球和內(nèi)切球的體積比是27:1,

?.?正四面體的內(nèi)切球體積是1,.?.該正四面體的外接球的體積是27.

14.一個正四面體的展開圖是邊長為2加的正三角形，則該四面體的外接球的表面積為_3%

【解析】如圖，

?.?一個正四面體的展開圖是邊長為2應(yīng)的正三角形,

原正四面體的棱長為設(shè)底面三角形的中心為G,

正四面體的高PG=

再設(shè)正四面體外接球的球心為。，連接OA,則代=(/)?+(弓-/?尸，解得R=咚.

.?.該四面體的外接球的表面積為4"(生=3八

專題03對棱相等的外接球問題

【例題分析】

例1.三棱錐A—BCD中，已知A8=CD=&,AD=BC=屈,AC=BD=布,那么該三棱錐外接

球的表面積為（）

A.6兀B.77rC.9乃D.12冗

【解析】三棱錐A-88的三條側(cè)棱兩兩相等，所以把它擴展為長方體，

它也外接于球，且此長方體的面對角線的長分別為：后，R,石

體對角線的長為球的直徑，d=--75+6+7=3

2

.??它的外接球半徑是士，

2

外接球的表面積是4萬?（|）2=9萬，

選C.

例2.如圖所示三棱錐A—BCD,其中48=CO=5,AC=BD=6,AD=BC=7,則該三棱錐外接球

的表面積為.

【解析】如圖，Q三棱錐A-88的三條側(cè)棱兩兩相等，，把它擴展為長方體,

它也外接于球，且此長方體的面對角線的長分別為：5,6,7,體對角線的長為球的直徑,

4=，；(52+62+72)=屈.；.它的外接球半徑是手.外接球的表面積是4萬4半＞=55萬.

【鞏固提升】

1.四面體尸-4BC一組對棱分別相等，長度依次為2君，V13,5,求四面體的外接球表面積

【解析】?.?四面體尸-A8C的一組對棱分別相等，且長度依次為2石，713,5,

可將其補為一個三個面上對角線分別為2宕，屈,5的長方體，如圖所示：

.?.長方體的三邊長分別為2,3,4,

二長方體的外接球即是四面體的外接球??四面體的外接球的半徑為？在亨,

.?.四面體的外接球的表面積為：47rx=294,

2.在四面體A8C￡＞中，三組對棱棱長分別相等且依次為陰，河，5則此四面體A8c。的外接球的半徑

R為()

逑

A.5&B.5D.4

【解析】?.?四面體A8CQ中，三組對棱棱長分別相等,

故可將其補充為一個三個面上對角線長分別為南，國,5的長方體,

則其外接球的直徑2R=

則R考

選C.

3.如圖，在三棱錐P-ABC中，PA=BC=6PB=AC=2fPC=AB=S則三棱錐P-ABC外接球

的體積為（）

A.五兀B.J57rC.瓜兀D.67c

【解析】由題意，PA=BC=6,PB=AC=2,PC=A3=石，將三棱錐P-ABC放到長方體中,

可得長方體的三條對角線分別為6,2,

即yja24-/?2=A/3,Ja2+c2=2,Jc2+、=\[5,

解得：a=1,b=\/2,c=&.

外接球的半徑R=—x>/^2+/?2+c2=—.

22

4「

???三棱錐P-ABC夕卜接球的體積V=?乃/?3=#萬.

3

選C.

4.在三棱錐PA8C中，PA=BC=4,PB=AC=5,PC=AB=,則三棱錐PA8C的外接球的表

面積為__________

【解析】?.,三棱錐P-HBC中，PA=BC=4,PB=AC=5,PC=AB=4\\,

構(gòu)造長方體，使得面上的對角線長分別為4,5,JFT,

則長方體的對角線長等于三棱錐P-ABC外接球的直徑.

設(shè)長方體的棱長分別為x,y>z>則/+),2=16,y2+z2=25,x2+z2=11,

V+V+z?=26,三棱錐P-ABC外接球的直徑為726,

三棱錐P-ABC外接球的表面積為4漢早產(chǎn)=261.

5.在四面體ABCZ)中，三組對棱棱長相等且依次為取，歷,5,此四面體ABCO外接球半徑/?為

【解析】?.?四面體ABC。中，三組對棱棱長分別相等，

故可將其補充為一個三個面上對角線長分別為取，歷,5,的長方體，

則其外接球的直徑2R=[(34+41+25)=5應(yīng)，則R=巫

V22

6.已知三棱錐A-BCO,三組對棱兩兩相等，且A8=O=1,AD=BC=43,若三棱錐A-BCD的外接

球表面積為也.則AC=

2

【解析】將四面體A-BCD放置于長方體中，如圖所示.

四面體A-BCD的頂點為長方體八個頂點中的四個，長方體的外接球就是四面體A-BCD的外接球,

?/AB=CD=\,AD=BC=6,且三組對棱兩兩相等，

.?.設(shè)AC=8。=x,得長方體的對角線長為=/l(4+x2),

可得外接球的直徑2R=、口(4+f),所以7?={2(4+x-)

Y24

三棱錐A-BCD的外接球表面積為—,

2

.-.4^/?2=—,解得R=逑，即\/2(4+耳)=述,解之得x=6因即AC=8￡>=逐.

2444'

7.已知四面體A-BCD中三組對棱分別相等，且長分別為2,小,布,則四面體A-BC。的外接球的半

徑為

【解析】?.?四面體ABCZ)中，三組對棱棱長分別相等，

故可將其補充為一個三個面上對角線長分別為2,后，幣,的長方體，

則其外接球的直徑2R=Jg(4+5+7)=272,

則尺=應(yīng)

故答案為：垃

8.已知三棱錐4-BC。，三組對棱兩兩相等，即AB=CO=1,AD==?AC=BD=8,則三棱錐

A-8co的外接球表面積是—.

一2-

【解析】將四面體A-BCD放置于長方體中，如圖所示.

四面體A-8C。的頂點為長方體八個頂點中的四個，

長方體的外接球就是四面體A-BC。的外接球，

AB=CD=\,AD=BC=?AC=BD=>B,

長方體的對角線長為Jg<+3+5)=手,

可得外接球的直徑2R=坐，所以R=3&

24

因此，外接球的表面積為S=4IR2=也.

2

故答案為：—

2

R

9.在四面體ABCD中，三組對棱兩兩相等,分別為屈，屈，石，則該四面體外接球的表面積為_14萬

【解析】?.?四面體A8C。的三組對棱兩兩相等，分別為M，芯,

,構(gòu)造長方體，使得面上的對角線長分別為E,M，&

則長方體的對角線長等于四面體外接球的直徑.

設(shè)長方體的棱長分別為x,y,z,則/+^=13,y2+z2=10,x2+z2=5,

x2+y2+z2=14

???四面體外接球的直徑為四，

.??四面體外接球的表面積為4忒I半）2=14萬.

10.在四面體P-ABC中，PA=BC=3,PB=AC=2,尸C=AB=若，則該四面體外接球的體積為.

【解析】由于三棱錐相對的棱長對應(yīng)相等，放入到長方體中，可得外接球的直徑等于長方體的對角線,

由題意設(shè)長方體的棱長分別為a,b,c,外接球的半徑為R,

a2+b2=32=9

則y2+c2=22=4,解得/+〃+<?=8,

b2+c2=（百—=3

所以（2夫）2=/+從+°2=8，即汽=&，

所以外接球的體積丫=&乃*=量身，

33

11.三棱錐P-48C,PA=PB=I3C=AC=4,PC=AI3=3,則它的外接球的表面積為—n.

~2-

【解析】?.?三棱錐P-ABC中，PA=PB=BC=AC=4,PC=AB=3,

構(gòu)造長方體，使得面上的對角線長分別為4,4,3,

則長方體的對角線長等于三棱錐P-A8C外接球的直徑.

設(shè)長方體的棱長分別為x,y,z,則爐+>2=16,y2+z2=16,x2+z2=9,

2(x2+y2+z2)=41,

r.三棱錐P-ABC外接球的直徑為利,

...三棱錐p_ABC外接球的表面積為4萬爐=駟.

2

12.在三棱錐尸-ABC中，若尸4=P8=BC=4C=5,PC=AB=4夜，則其的外接球的表面積為

【解析】?.?三棱錐P-ABC中，PA=PB=BC=AC=5,PC=AB=4叵,

構(gòu)造長方體，使得面上的對角線長分別為5,5,4五,

則長方體的對角線長等于三棱錐P-ABC外接球的直徑.

設(shè)長方體的棱長分別為x，y，z,則/+〉2=25,y2+z2=25,x2+z2=32,

.-.X2+/+Z2=41三棱錐P-ABC外接球的直徑為歷

三棱錐P-ABC外接球的表面積為4mlmy=41%.

13.在三棱錐P-ABC中，PA=BC=4,PB=AC=5,PC=AB=則三棱錐P-ABC的外接球的表

面積為_26〃_.

【解析】?.?三棱錐中，PA=BC=4,PI3=AC=5,PC=AB=4v\,

???構(gòu)造長方體，使得面上的對角線長分別為4,5,而，

則長方體的對角線長等于三棱錐P-ABC外接球的直徑.

設(shè)長方體的棱長分別為x,y>z,則/+,2=[6,y2+z2=25,x2+z2=11,：.x2+y2+z2=26

三棱錐P-ABC外接球的直徑為亞，，三棱錐P-ABC外接球的表面積為4加叵)2=264.

2

專題04直棱柱的外接球問題

【例題分析】

例1.正三棱柱ABC-A4G內(nèi)接于半徑為2的球，若A,B兩點的球面距離為開，則正三棱柱的體積

為________

【解析】Q正三棱柱ABC-A向G內(nèi)接于半徑為2的，又QA,8兩點的球面距離為左，故N403=90。,

QAOAB是等腰直角三角形，,AB=2?,則A48C的外接圓半徑為,

3

則。點到平面作的距離為手.??正三棱柱高八W，又QWC的面積S"6

???正三棱柱ABC-A]B￡的體積V=S?力=8.

AB

例2.直三棱柱ABC—的各頂點都在同一球面上，若AB=AC=AA=2,440=120°,則此球的

表面積等于.

【解析】設(shè)底面三角形A8C的外心是OL(yA=O'B=O'C=r,

在A4BC中A3=AC=2,Za4C=120°,

可得3c=4AB2+AC2-2ABgACcosZBAC=722+22-2x2x2cosl200=20,

_BC

由正弦定理,2r

sinZ.BAC

可得M5C外接圓半徑，=26

2,

2sin120°

設(shè)此圓圓心為O',球心為O,在RTAOBO'中，易得球半徑R=石,

故此球的表面積為4萬肥=20萬

例3.一個正六棱柱的底面上正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上，且該

六棱柱的體積為2,底面周長為3,則這個球的體積為

8

【解析】設(shè)正六邊形邊長為a,高為力，底面外接圓的半徑為/，則〃=/?=’,

2

底面積為S=6?亙.(工了=殳叵，

428

v=sh-3"h——,解得〃=vy,

88

222

代入(2/?)?="+(2r)=(V3)+1=4,解得R=1,

所以球的體積為V=4江3=%.

33

【鞏固提升】

1.一個直三棱柱的三視圖如圖所示，其中俯視圖是一個頂角為120。的等腰三角形，則該直三棱柱外接球的

表面積為

作f視圖

【解析】由俯視圖是一個頂角為120。，腰長為2的等腰三角形，故底面外接圓半徑/'=2,

由主視圖可得幾何體的高為2,故球心到底面的距離d=l,故球半徑R=g,

故該直三棱柱外接球的表面積為20萬，

2.在直三棱柱ABC-AB|G中，AB±BC,AB=6,BC=8,若此三棱柱外接球的半徑為13,則該三棱

柱的表面積為

【解析】在直三棱柱ABC-A8cl中，ABVBC,AB=6,BC=8,，AC=>36+64=10,

構(gòu)造長方體ABC。-AqGR，，長方體A8CD-ABCQ的外接球就是直三棱柱ABC-A4G的外接球,

?.?直三棱柱ABC—A耳G外接球的半徑為13,二4。=2*13=26,=7262-102=24,

直三棱柱ABC-A4G的表面積為:

5=2SMBC++S*CC,A=2X-X6X8+8X24+6X24+10X24=624

B

3.在直三棱柱ABC-A8C中.側(cè)棱長為2若，AB=BC=CA=B則此三棱柱的外接球的半徑（

A.1B.石C.2D.4

【解析】?.?在直三棱柱ABC-ASG中.側(cè)棱長為2石，AB=BC=CA=43，

.一.取上底和下底的中心分別為〃、D,

則的中點。為三棱柱的外接球的球心，

OB為三棱柱的外接球的半徑，

?;OD=6,O3=|J（G）2_（￥）2=],：.R=yloD。+BD，=>/m=2.

此三棱柱的外接球的半徑R=2.

選C.

4.已知直三棱柱ABC-4與0的底面為直角三角形，且兩直角邊長分別為1和百，此三棱柱的高為2萬,

則該三棱柱的外接球的體積為（）

87r16432萬64萬

A?—D.C..---D.---

3333

【解析】該直三棱柱的底面外接圓直徑為2r="+（揚2=2,

所以，外接球的直徑為2R=&2r￥+川="?+（2右]=4,則/?=2,

因此，該三棱柱的外接球的體積為壯乃代=衛(wèi)》.

33

選C.

5.已知在直三棱柱ABC中，AB=2垂）,ZACB=120°,A4,=4,則該三棱柱外接球的表面積為（

)

A,但

B.64血萬C.327tD.8萬

3

【解析】由題意可知直三棱柱A3C-A4G中，底面小圓43C的半徑為“

由正弦定理得到一"一=￥=2-，所以r=2,

sinZACB上

2

連接兩個底面中心的連線，中點與頂點的連線就是球的半徑,

外接球的半徑為：V22+22=242,外接球的表面積為：4萬［（20"=32燈；選C.

6.在直三棱柱ABC—A8c中，CA=C3=2,ZACB=90°,CCX=1,則該三棱柱外接球的體積（）

19

A.—4B.47rC.—7iD.87r

22

【解析】如圖，把直三棱柱ABC-AgG補形為長方體，

9

則其外接球的半徑，"W干=3，，該三棱柱外接球的體積為丫4,3.3=選C

=『()-2-

22

7.某直三棱柱側(cè)棱長等于2,底面為等腰直角三角形且腰長為1,則該直三棱柱的外接球表面積是（）

A.九B.2乃C.47rD.6%