內(nèi)蒙古包頭市2022-2023學年高二上學期期末文科數(shù)學試題（含解析）

2022-2023學年度第一學期高二年級期末教學質(zhì)量檢測試卷文科數(shù)學一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.命題“，”的否定是（）A， B.，C.， D.，【答案】A【解析】【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱量詞命題即可得解.【詳解】因為存在量詞命題的否定為全稱量詞命題，所以命題“，”的否定是“，”.故選：A2.拋物線的焦點坐標為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由拋物線的標準方程即可求解.【詳解】由拋物線的標準方程可知：拋物線的開口向左，焦點在軸負半軸上，且，所以，，所以焦點坐標為.故選：C3.已知a，，則“”是方程“表示圓”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的概念判斷即可.【詳解】由可化為，當時，，表示圓，當表示圓時，，推不出，所以“”是方程“表示圓”充分不必要條件，故選：A4.在空間直角坐標系中，點A、B坐標分別為，．則A、B兩點的距離為（）A. B. C.10 D.50【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間兩點之間距離公式求解即可.【詳解】.故選：B5.下列雙曲線中，離心率為的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分別求得各選項的離心率即可得解.【詳解】對于A，中，則，所以A錯誤；對于B，中，則，所以B錯誤；對于C，中，則，所以C正確；對于D，中，則，所以D錯誤；故選：C.6.P是橢圓上的一點，F(xiàn)是橢圓的左焦點，O是坐標原點，已知點M是線段PF的中點，且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由三角形中位線定理，先求出，然后再根據(jù)橢圓的定義，即可算出.【詳解】設(shè)為橢圓的右焦點，連接，因為M是線段PF的中點，為的中點，所以，因為，所以，因為橢圓標準方程為，所以，又由橢圓的定義，有，所以.故選：C7.已知圓O：與圓交于A、B兩點，則（）A. B. C.2 D.4【答案】A【解析】【分析】把兩個圓的方程相減可得所在直線方程，通過半弦長，半徑，弦心距的關(guān)系，即可得到公共弦長.【詳解】圓與圓的方程相減可得所在的直線方程為，由于圓的圓心到直線的距離為1，且圓的半徑為2，故，故選：A8.若實數(shù)m滿足，則曲線與曲線的（）A.離心率相等 B.焦距相等 C.實軸長相等 D.虛軸長相等【答案】B【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)逐一分析判斷即可.【詳解】因為，所以，所以曲線與曲線都是焦點在軸上雙曲線，，所以兩曲線的焦點和焦距都相同，故B正確；因為，所以離心率不相等，故A錯誤；因為，所以實軸長不相等，故C錯誤；因為，所以虛軸長不相等，故D錯誤.故選：B.9.M是橢圓：上一點，，是橢圓的兩個焦點，若，且，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)橢圓定義及焦點三角形為直角三角形求解即可.【詳解】，，又，，即，，由，可得.故選：D10.已知命題p：橢圓的離心率e，若．則；命題q：雙曲線的兩條漸近線的夾角為，若，則．下列命題正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)橢圓的離心率判斷命題的真假，即可得的真假，根據(jù)雙曲線的漸近線方程判斷命題的真假，即可判斷的真假，從而可得出答案.【詳解】對于命題，若，則橢圓的焦點在軸上，則，因為，所以，所以，即，所以命題為假命題，則為真命題，對于命題，若，雙曲線的漸近線方程為，所以兩漸近線的傾斜角分別為和，所以兩條漸近線的夾角，所以命題為真命題，則為假命題，所以，，為假命題，為真命題.故選：C.11.、是雙曲線上關(guān)于原點對稱的兩點，、是左、右焦點．若，則四邊形的面積是（）A. B.3 C.4 D.6【答案】D【解析】【分析】判斷四邊形為矩形，設(shè)，，可得，結(jié)合雙曲線定義可得，化簡得，即可求得四邊形的面積．【詳解】解：由可知，，所以，因為，是上關(guān)于原點對稱的兩點，且，所以四邊形為矩形，設(shè)，，由雙曲線的定義可得，所以，又因為，所以，所以，所以四邊形的面積．故選：D．12.在平面直角坐標系中，，．以下各曲線：①；②；③；④中，存在兩個不同的點M、N，使得且的曲線是（）A.①② B.③④ C.②④ D.①③【答案】D【解析】【分析】求出的中垂線方程，逐項分析所給曲線是否與所求直線有兩個交點即可得解.【詳解】因為且，所以是的中垂線，又，，所以中點為，，故所在直線為，即，根據(jù)題意，直線與所給曲線有兩個交點則存在滿足題意.因為過原點，而原點在橢圓內(nèi)部，故直線與橢圓必有兩個交點，符合題意；因為的圓心為，所以圓心到直線的距離，所以直線與圓相切，只有一個交點，不符合題意；把代入，可得，顯然方程有兩非負解，符合題意；因為雙曲線的漸近線方程為，所以直線與雙曲線無交點，故不符合題意.綜上，②④錯誤，①③正確.

故選：D二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.以雙曲線的焦點為頂點,以雙曲線的頂點為焦點的橢圓方程為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意雙曲線的焦距和實軸長分別為橢圓的長軸長和焦距,依據(jù)雙曲線方程求解即可得到橢圓的方程.【詳解】設(shè)橢圓方程為,焦距為,因為雙曲線方程為,所以焦距為,即,所以,又,即,所以,所以橢圓方程為.故答案為:.14.拋物線上一點M到x軸的距離為6，則點M到拋物線焦點的距離為______．【答案】10【解析】【分析】根據(jù)拋物線的概念求解即可.【詳解】因為拋物線上一點M到x軸的距離為6，所以，則，所以點M到拋物線焦點的距離為.故答案為：15.在平面直角坐標系中，過作圓O：的兩條切線，切點分別為A、B，則直線AB的方程為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)可知四點共圓，且為直徑，求出圓的方程，兩圓方程相減即可得公共弦所在直線方程.【詳解】由切線的性質(zhì)可知，，故四點共圓，且為直徑，由中點為，,所以在圓上，即，兩圓方程相減可得，公共弦的方程為.故答案為：16.設(shè)、為橢圓：的兩個焦點，P為上一點且在第二象限．若，則點P的坐標為______．【答案】【解析】【分析】由橢圓方程求出，設(shè)出點的坐標，列出方程求解即可.【詳解】橢圓,可得.，設(shè)..聯(lián)立解得，.故答案為：.三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分17.已知圓C過，，且圓心C在直線l：上．經(jīng)過點的直線m交圓C于P、Q兩點．（1）求圓C的標準方程；（2）若，求直線m的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）由圓心在直線的垂直平分線與直線l：上求得，從而求得圓的半徑，進而得解；（2）根據(jù)題意求得圓心C到直線m的距離為，分類討論直線m的斜率存在與否兩種情況，結(jié)合點線距離公式求解即可.【小問1詳解】因為，，所以，線段中點的坐標為，所以直線AB的垂直平分線的斜率為，其方程為，即，聯(lián)立，解得，則，又圓C半徑，所以圓C的標準方程為．【小問2詳解】因為，，所以在中，，則圓心C到直線m的距離為，當直線m的斜率不存在時，直線m方程為，此時C到直線m距離為2，滿足題意；當直線m的斜率存在時，設(shè)直線m的方程為，即，所以，解得，所以直線m的方程為，即，綜上可得，直線m方程為或．18.拋物線的準線被圓截得的弦長為．（1）求p的值；（2）過點的直線交拋物線于點A、B，證明：．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)圓的弦長求出弦心距可得準線方程，據(jù)此可求出拋物線方程；（2）設(shè)直線AB方程為，，，聯(lián)立方程，消元后由根與系數(shù)的關(guān)系，向量數(shù)量積的坐標運算即可證明垂直.【小問1詳解】圓的圓心，半徑為2；所以C到準線距離1，所以準線方程為所以．【小問2詳解】由（1）得，拋物線標準方程為．設(shè)直線AB方程為，，與聯(lián)立得，由韋達定理，所以，即．19.已知橢圓的對稱中心為原點O，焦點在y軸上，長軸長是短軸長的倍．（1）求橢圓的離心率；（2）若橢圓的一個焦點為，過F且斜率為1的直線l交橢圓于兩點A、B．求橢圓的標準方程并求的面積．【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）根據(jù)長軸與短軸的關(guān)系直接求解即可；（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，求出的橫坐標，利用求解.【小問1詳解】設(shè)橢圓標準方程為則有，因為所以橢圓離心率．【小問2詳解】橢圓標準方程為，直線l的方程為設(shè)，，直線l方程代入橢圓方程得．解得所以的面積．20.在平面直角坐標系中，點A、B的坐標分別為，，直線AM、BM相交于點M，且它們的斜率之積為2．（1）求M的軌跡方程；（2）記M的軌跡為曲線，過點能否作一條直線l，與曲線交于兩點D、E，使得點P是線段DE的中點？【答案】（1）（2）不能，理由見解析【解析】【分析】（1）設(shè)，根據(jù)所給條件，列出方程化簡即可得出軌跡方程；（2）利用“點差法”求出直線方程，再聯(lián)立橢圓方程，利用判別式檢驗即可.【小問1詳解】設(shè)，則，由得整理得所以，點M得軌跡方程為．【小問2詳解】設(shè)，，可得兩式相減得由題意，，，所以直線AB方程為代入得，．∵，∴不存在這樣的直線l．21.已知橢圓：左右焦點分別為、，離心率為，斜率為k直線l交橢圓于兩點A、B，當直線l過時，的周長為8．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)OA、OB斜率分別為、，若，求證：，并求當面積為時，直線l的方程．【答案】（1）（2）證明見解析；或【解析】【分析】（1）根據(jù)焦點三角形周長求出，再由離心率求出，即可得解；（2）設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立橢圓方程，消元后由根與系數(shù)的關(guān)系及斜率公式可得，再由三角形面積求出即可得解.【小問1詳解】由題意，，，解得，，b=1，橢圓的方程為．【小問2詳解】設(shè)直線l的方程為，，，與橢圓方程聯(lián)立得，，可得所以O(shè)到直線AB的距離，三角形OAB的面積解得，或所以直線l方程為或．（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．并用2B鉛筆將所選題號涂黑，多涂、錯誤、漏涂均不給分，如果多做，則按所做的第一題計分．【選修4-4：坐標系與參數(shù)方程】22.在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系．已知直線l的極坐標方程為．（1）當時，求曲線C與x軸交點的直角坐標；（2）直線l與曲線C有唯一公共點，求實數(shù)m的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）當時，令即可得解；（2）化極坐標方程為直角坐標方程，聯(lián)立直線與曲線普通方程，利用判別式求解.【小問1詳解】，得所以曲線C與x軸交點得坐標為；【小問2詳解】，得，即為直線l的方程，曲線C的普通方程為，方程與聯(lián)立得，得．【選修4-5：不等式