專題05 全等三角形常見七大必考模型專訓(xùn)（解析版）

專題05全等三角形常見七大必考模型專訓(xùn)【模型目錄】模型一平移模型模型二軸對稱模型模型三旋轉(zhuǎn)模型模型四一線三等角模型模型五垂直模型模型六手拉手模型模型七半角模型【經(jīng)典模型一平移模型】【模型解讀】把△ABC沿著某一條直線l平行移動，所得到△DEF與△ABC稱為平移型全等三角形，圖①，圖②是常見的平移型全等三角線．【常見模型】【例1】（2023春·全國·八年級期中）如圖所示的是重疊的兩個直角三角形，將其中一個直角三角形沿BC方向平移得到△DEF．若cm，cm，cm，則圖中陰影部分面積為（

）A．47cm2 B．48cm2 C．49cm2 D．50cm2【答案】B【分析】先根據(jù)平移的性質(zhì)得到cm，≌，則，cm，求出，然后根據(jù)梯形的面積公式計算即可．【詳解】解：沿方向平移得到，cm，≌，，（cm），∴，（cm2），故B正確．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查平移的基本性質(zhì)：平移不改變圖形的形狀和大小；經(jīng)過平移，對應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行或共線且相等，對應(yīng)線段平行且相等，對應(yīng)角相等．【變式訓(xùn)練】1．（2021春·陜西咸陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，將沿方向平移得到，使點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)恰好落在邊的中點(diǎn)上，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)在的延長線上，連接，、交于點(diǎn)．下列結(jié)論一定正確的是（）A． B． C． D．、互相平分【答案】D【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)得到∠B=∠DEF，BE=CF=CE=AD，AD∥BC，DF=AC，由于只有當(dāng)∠BAC=90°時，AC⊥DE；只有當(dāng)BC=2AC時，DF=AC=BE，則可對A、B、C選項(xiàng)的進(jìn)行判斷；AC交DE于O點(diǎn)，如圖，證明△AOD≌△COE得到OD=OE，OA=OC，則可對D選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【詳解】解：∵△ABC沿BC方向平移得到△DEF，使點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)E恰好落在邊BC的中點(diǎn)上，∴∠B=∠DEF，BE=CF=CE=AD，AD∥BC，DF=AC，只有當(dāng)∠BAC=90°時，AC⊥DE；只有當(dāng)BC=2AC時，DF=AC=BE，所以A、B、C選項(xiàng)的結(jié)論不一定正確；∵AD∥BC，∴∠OAD=∠OCE，∠ODA=∠OEC，而AD=CE，∴△AOD≌△COE（ASA），∴OD=OE，OA=OC即AC、DE互相平分，所以D選項(xiàng)的結(jié)論正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平移的性質(zhì)：把一個圖形整體沿某一直線方向移動，會得到一個新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同；新圖形中的每一點(diǎn)，都是由原圖形中的某一點(diǎn)移動后得到的，這兩個點(diǎn)是對應(yīng)點(diǎn)．連接各組對應(yīng)點(diǎn)的線段平行（或共線）且相等．2．（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，點(diǎn)，，，在一條直線上，若將的邊沿方向平移，平移過程中始終滿足下列條件：，于點(diǎn)，于點(diǎn)，且．則當(dāng)點(diǎn)，不重合時，與的關(guān)系是______．【答案】BD與EF互相平分【分析】先根據(jù)DE⊥AC，BF⊥AC，AE=CF，求證△ABF≌△CDE，再求證△DEG≌△BFG，即可．【詳解】∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠AFB=∠CED=90°∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE，在Rt△ABF和Rt△CDE中，，∴Rt△ABF≌Rt△CED（HL），∴ED=BF．設(shè)EF與BD交于點(diǎn)G，由∠AFB=∠CED=90°得DE∥BF，∴∠EDG=∠GBF，∵∠EGD=∠FGB，ED=BF，∴△DEG≌△BFG，∴EG=FG，DG=BG，∴BD與EF互相平分．【點(diǎn)睛】此題主要考查學(xué)生對全等三角形的判定與性質(zhì)的理解和掌握，此題難度并不大，但是需要證明多次全等，步驟繁瑣，是一道綜合性較強(qiáng)的中檔題．3．（2023秋·山東聊城·八年級?？计谀┤鐖D（1），，，點(diǎn)C是上一點(diǎn)，且，．(1)試判斷與的位置關(guān)系，并說明理由．(2)如圖（2），若把沿直線向左平移，使的頂點(diǎn)C與B重合，此時第（1）問中與的位置關(guān)系還成立嗎？說明理由．（注意字母的變化）．【答案】(1)，理由見解析(2)成立，理由見解析【分析】（1）根據(jù)條件證明就得出，就可以得出；（2）根據(jù)可以得出，從而得出結(jié)論．【詳解】（1）解：，理由如下，理由：∵，，∴．在和中，，∴，∴．∵，∴．∵，∴，∴；（2）解：，理由如下，∵，∴，∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，平移的性質(zhì)的運(yùn)用，垂直的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時證明三角形全等是關(guān)鍵．【經(jīng)典模型二軸對稱模型】【模型解讀】將原圖形沿著某一條直線折疊后，直線兩邊的部分能夠完全重合，這兩個三角形稱之為軸對稱型全等三角形，此類圖形中要注意期隱含條件，即公共邊或公共角相等．【常見模型】【例2】（2023秋·八年級單元測試）如圖，已知，，增加下列條件：①；②；③；④．其中能使的條件有(

)A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】B【詳解】根據(jù)全等三角形的判定方法，逐一判斷即可解答．【分析】解：①，，，和不一定全等，故①不符合題意；②，，，，故②符合題意；③，，，，，，故③符合題意；④，，，，故④符合題意；所以，增加上列條件，其中能使的條件有3個，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·安徽滁州·八年級校考階段練習(xí)）如圖，已知，與交于點(diǎn)，，分別與，交于點(diǎn)，，連接，則下列結(jié)論中錯誤的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】先證明，推出，則，可判斷選項(xiàng)A、C；再證明，推出，則，利用證明，即可判斷選項(xiàng)D，沒有理由證明．【詳解】解：∵，∴，∴，即，∴，∴，則，故選項(xiàng)A、C正確；∵，∴，∴，則，∴，∴，故選項(xiàng)D正確；∴與不一定相等，故選項(xiàng)B不正確；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，靈活利用全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·八年級課時練習(xí)）在①，②，③這三個條件中選擇一個，補(bǔ)充在下面的問題中，并完成問題的解答．問題：如圖，在中，，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，連接，，與相交于點(diǎn)．若________________，求證：．【答案】見解析【分析】根據(jù)全等三角形的判定條件進(jìn)行證明即可．【詳解】解：選擇條件①的證明：在和中，，，；選擇條件②的證明：在和中，，，；選擇條件③的證明：連接，，在和，，，，在和中，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具，在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．3．（2023春·廣東佛山·七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示，、分別為，的角平分線，兩線交于點(diǎn)．

(1)若，，則______；(2)若，則______；(3)若，用表示的，寫出詳細(xì)的步驟（不用寫理論依據(jù)）；(4)，，，三條線段之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出結(jié)果，并說明理由（不用寫理論依據(jù)）．【答案】(1)130(2)125(3)，步驟見解析(4)，理由見解析【分析】（1）先根據(jù)角平分線的定義得出與的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論；（2）先根據(jù)求出的度數(shù)，再由角平分線的定義得出的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)求出的度數(shù)，再由角平分線的定義得出的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論；（4）在邊上截取，連接，只要證明，可得即可證明．【詳解】（1）∵分別為角平分線，，∴，∴，故答案為：；（2）∵，∴，∵分別為角平分線，∴，∴；故答案為：；（3）∵、分別為，的角平分線，∴，，∴，∵，∴，∴；（4）.理由如下：

在邊上截取，連接，由（3）的結(jié)論得，∴，在與中，，∴；∴，∴，∴，∴，在與中，，∴；∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的定義等知識，第（1）至（2）有具體的數(shù)，不要求學(xué)生書寫步驟，可以多角度下手解決問題，第（3）問思維的遷移，從（1）（2）特殊到第（3）的一般化，字母具有代表性；第（4）問梯度增加上升難度，在尋找全等三角形全等的條件，需要添加輔助線，屬于中考?？碱}型．【經(jīng)典模型三旋轉(zhuǎn)模型】【模型解讀】將三角形繞著公共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度后，兩個三角形能夠完全重合，則稱這兩個三角形為旋轉(zhuǎn)型三角形，識別旋轉(zhuǎn)型三角形時，涉及對頂角相等、等角加（減）公共角的條件．【常見模型】【例3】（2021秋·湖北黃岡·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）Rt中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點(diǎn)E為△ABC外一點(diǎn)，且∠CEA＝45°．求證：AE⊥BE．【答案】見解析【分析】首先過點(diǎn)作交的延長線于，易證得，即可得，繼而證得．【詳解】證明：過點(diǎn)作交的延長線于，，，，，，在和中，，，，，即．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)．此題難度較大，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出輔助線構(gòu)造旋轉(zhuǎn)全等模型．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）（1）如圖1，在四邊形中，，分別是邊上的點(diǎn)，且．求證：；（2）如圖2，在四邊形中，，分別是邊上的點(diǎn)，且；求證：，（3）如圖3，在四邊形中，，分別是邊延長線上的點(diǎn)，且，寫出之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）；理由見解析【分析】（1）延長到G，使，連接．證明，可得，進(jìn)而可得結(jié)論；（2）延長至M，使，連接．證明．可得．然后根據(jù)，證明．可得．進(jìn)而可以得到結(jié)論；（3）在上截取，使，連接．證明．可得．然后可得出，那么．【詳解】（1）證明：如圖1中，延長到G，使，連接．∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴；（2）證明：如圖2，延長至M，使，連接．∵，∴，在與中，，∴，∴，∵，在與中，，∴，∴，∴，∵，∴，∴；（3）解：．證明：如圖3，在上截取，使，連接．∵，∴．在與中，，∴．∴．∴，∴，∴．∵，∴．∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了三角形全等的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用旋轉(zhuǎn)變換的思想添加輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，解題時注意一些題目雖然圖形發(fā)生變化，但是證明思路和方法是類似的，屬于中考壓軸題．2．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）已知，如圖1，四邊形是正方形，，分別在邊、上，且，我們把這種模型稱為“半角模型”，在解決“半角模型”問題時，旋轉(zhuǎn)是一種常用的方法．(1)在圖1中，連接，為了證明結(jié)論“”，小亮將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)后解答了這個問題，請按小亮的思路寫出證明過程；(2)如圖2，當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖2位置時，試探究與、之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？【答案】(1)見解析(2)．【分析】（1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，證明即可．（2）把繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，使與重合，點(diǎn)與點(diǎn)對應(yīng)到，證明即可求得．【詳解】（1）證明：如圖1，由旋轉(zhuǎn)可得,,四邊形為正方形、、三點(diǎn)在一條直線上在和中（2）結(jié)論：．理由：如圖2，把繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，使與重合，點(diǎn)與點(diǎn)對應(yīng)，同（1）可證得,且【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用旋轉(zhuǎn)法構(gòu)造全等三角形．3．（2023春·全國·七年級期末）（1）問題引入：如圖1，點(diǎn)F是正方形ABCD邊CD上一點(diǎn)，連接AF，將ADF繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°與ABG重合（D與B重合，F(xiàn)與G重合，此時點(diǎn)G，B，C在一條直線上），∠GAF的平分線交BC于點(diǎn)E，連接EF，判斷線段EF與GE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（2）知識遷移：如圖2，在四邊形ABCD中，∠ADC+∠B＝180°，AB＝AD，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD延長線上的點(diǎn)，連接AE，AF，且∠BAD＝2∠EAF，試寫出線段BE，EF，DF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）實(shí)踐創(chuàng)新：如圖3，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，AC平分∠DAB，點(diǎn)E在AB上，連接DE，CE，且∠DAB＝∠DCE＝60°，若DE＝a，AD＝b，AE＝c，求BE的長．（用含a，b，c的式子表示）【答案】（1）EF＝GE，理由見詳解；（2）BE?DF＝EF，理由見詳解；（3）BE＝，理由見詳解【分析】（1）根據(jù)SAS直接可證△GAE≌△FAE即得GE＝EF；（2）在BE上取BG＝DF，連接AG，由∠ADC＋∠B＝180°，∠ADF＋∠ADC＝180°，得∠B＝∠ADF，從而SAS證△ABG≌△ADF，再通過SAS證△GAE≌△FAE，得GE＝EF，從而解決問題；（3）作CF⊥AD，交AD的延長線于F，取FG＝BE，連接CG，由（2）同理可兩次全等證明出DE＝GD即可．【詳解】解：（1）EF＝GE，理由如下：∵△ADF繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°與△ABG重合，∴AG＝AF，∵AE平分∠GAF，∴∠GAE＝∠FAE，在△GAE和△FAE中，，∴△GAE≌△FAE（SAS），∴GE＝EF；（2）BE?DF＝EF，理由如下：如圖2，在BE上取BG＝DF，連接AG，∵∠ADC＋∠B＝180°，∠ADF＋∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADF，在△ABG和△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴∠BAG＝∠FAD，AG＝AF，∵∠BAD＝2∠EAF，∴∠GAF＝2∠EAF，∴∠GAE＝∠EAF，在△GAE和△FAE中，∴△GAE≌△FAE（SAS），∴GE＝EF，∴BE?DF＝EF；（3）如圖，作CF⊥AD，交AD的延長線于F，取FG＝BE，連接CG，∵AC平分∠BAD，CF⊥AF，CB⊥AB，∴CF＝CB，∠EBC＝∠GFC，∵BE＝GF，∴△CBE≌△CFG（SAS），∴∠BCE＝∠FCG，CG＝CE，∵∠DAB＝60°，∴∠FCB＝120°，∵∠DCE＝60°，∴∠DCF＋∠BCE＝60°，∴∠DCG＝60°，又∵CG＝CE，∴△ECD≌△GCD（SAS），∴GD＝DE，∵Rt△ACF≌Rt△ACB（HL），∴AF＝AB，∴b＋a?BE＝c＋BE，∴BE＝．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等的判定與性質(zhì)，結(jié)合問題引入，構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典模型四一線三等角模型】【模型解讀】基本圖形如下：此類圖形通常告訴BD⊥DE，AB⊥AC，CE⊥DE，那么一定有∠B＝∠CAE．【常見模型】【例4】（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）綜合與實(shí)踐數(shù)學(xué)活動課上，老師讓同學(xué)們以“過等腰三角形頂點(diǎn)的直線”為主題開展數(shù)學(xué)探究．(1)操作發(fā)現(xiàn)：如圖甲，在中，，且，直線l經(jīng)過點(diǎn)A．小華分別過B、C兩點(diǎn)作直線l的垂線，垂足分別為點(diǎn)D、E．易證，此時，線段、、的數(shù)量關(guān)系為：；(2)拓展應(yīng)用：如圖乙，為等腰直角三角形，，已知點(diǎn)C的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為．請利用小華的發(fā)現(xiàn)直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)：；(3)遷移探究：①如圖丙，小華又作了一個等腰，，且，她在直線l上取兩點(diǎn)D、E，使得，請你幫助小華判斷（1）中線段、、的數(shù)量關(guān)系是否變化，若不變，請證明；若變化，寫出它們的關(guān)系式并說明理由；②如圖丁，中，，，點(diǎn)D、E在直線上，且，請直接寫出線段、、的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)(2)(3)①，理由見解析；②【分析】（1）由全等得到邊長關(guān)系即可．（2）分別按照（1）中情形過A、B做出軸垂線，得到三角形全等后根據(jù)邊長關(guān)系得到點(diǎn)A坐標(biāo)．（3）①將（1）中互余的角度變成計算關(guān)系，仍可得角度相等，從而得到全等的三角形，進(jìn)而得到邊長關(guān)系．②根據(jù)①可證全等，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到邊長關(guān)系．【詳解】（1）由等腰直角得，，又，又，，（2）過A、B作出軸垂線，，由（1）可得，，又得，，，，（3）①又，，②與①中同理可得分別取，中點(diǎn)，連接．，,又又在與中，【點(diǎn)睛】本題考查一線三等角模型，注重模仿推理能力，結(jié)合一個示范作遷移應(yīng)用，需要大膽參考示范進(jìn)行相同位置圖像的關(guān)系論證．對知識點(diǎn)的充分理解和遷移是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）在中，，直線經(jīng)過點(diǎn)C，且于D，于E．(1)當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時，求證：①；②．(2)當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，求證：；(3)當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，試問具有怎樣的等量關(guān)系？請寫出這個等量關(guān)系，并加以證明．【答案】(1)①見解析；②見解析(2)見解析(3)，證明見解析【分析】（1）①由垂直關(guān)系可得，則由即可證明；②由的性質(zhì)及線段和的關(guān)系即可證得結(jié)論；（2）由垂直可得，則由可證明，由全等三角形的性質(zhì)及線段差的關(guān)系即可證得結(jié)論；（3）由垂直可得，則由可證得，由全等三角形的性質(zhì)及線段的和差關(guān)系即可得到三線段間的關(guān)系．【詳解】（1）如圖①∵，∴，∴．又∵，，∴．②∵，∴，，∴．（2）∵，∴，∴．又∵，∴，∴，∴．（3）當(dāng)旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，所滿足的等量關(guān)系是（或等）．∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，互余的性質(zhì)等知識，證明兩個三角形全等是問題的關(guān)鍵．2．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）在中，，，直線經(jīng)過點(diǎn)C，且于D，于E．(1)當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如下圖所示的位置時，求證：①；②；(2)當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如下圖所示的位置時，試問、、具有怎樣的等量關(guān)系？請寫出這個等量關(guān)系，不必證明；(3)當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖的位置時，試問、、具有怎樣的等量關(guān)系？請寫出這個等量關(guān)系，不必證明．【答案】(1)①見解析；②見解析(2)(3)【分析】（1）①用證明即可；②根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得出，，進(jìn)而得出；（2）先證明，可得，，進(jìn)而得出；（3）先證明，可得，，進(jìn)而得出．【詳解】（1）證明：①∵，，∴，∵，∴，，∴，在和中，∵，∴；②∵，∴，，∴．（2）解：．∵，，∴，∵，∴，，∴，在和中，∵，∴，∴，，∴．（3）解：．∵，，∴，∵，∴，，∴，在和中，∵，∴，∴，，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，垂線的定義，余角的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵熟練掌握三角形全等的條件，證明．3．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）如圖，在中，，，點(diǎn)D在線段上運(yùn)動（D不與B、C重合），連接，作，交線段于E．(1)當(dāng)時，_______，_______，_______；點(diǎn)D從B向C運(yùn)動時，逐漸變_______（填“大”或“小”）；(2)當(dāng)DC等于多少時，，請說明理由；(3)在點(diǎn)D的運(yùn)動過程中，的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請直接寫出的度數(shù)，若不可以，請說明理由．【答案】(1)25，25，65，小(2)當(dāng)時，，理由見解析；(3)當(dāng)?shù)亩葦?shù)為或時，的形狀是等腰三角形．【分析】（1）先求出的度數(shù)，即可求出的度數(shù)，再利用三角形的外角性質(zhì)即可求出的度數(shù)，根據(jù)點(diǎn)D從B向C運(yùn)動時，逐漸增大，而不變化，，即可得到答案；（2）根據(jù)全等三角形的判定條件求解即可；（3）先證明當(dāng)時等腰三角形，只存在或兩種情況，然后分這兩種情況討論求解即可；【詳解】（1）解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴；∵點(diǎn)D從B向C運(yùn)動時，逐漸增大，而不變化，，∴點(diǎn)D從B向C運(yùn)動時，逐漸變小，故答案為：25，25，65，?。唬?）解：當(dāng)時，，理由：∵，∴，又∵，∴，∴，又∵，∴；（3）解：當(dāng)?shù)亩葦?shù)為110°或80°時，的形狀是等腰三角形，理由：∵，，∴，∴當(dāng)時等腰三角形，只存在或兩種情況，當(dāng)時，∴，∵，∴，∴；當(dāng)時，∴，∴，綜上所述，當(dāng)?shù)亩葦?shù)為或時，的形狀是等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)，全等三角形的判定，等腰三角形的性質(zhì)，熟知相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典模型五垂直模型】【模型解讀】模型主體為兩個直角三角形，且兩條斜邊互相垂直．【常見模型】【例5】（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如下圖所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于點(diǎn)E，AD⊥CE于點(diǎn)D．DE=6cm，AD=9cm，則BE的長是（

）A．6cm B．1.5cm C．3cm D．4.5cm【答案】C【分析】本題可通過全等三角形來求BE的長．△BEC和△CDA中，已知了一組直角，∠CBE和∠ACD同為∠BCE的余角，AC=BC，可據(jù)此判定兩三角形全等；那么可得出的條件為CE=AD，BE=CD，因此只需求出CD的長即可．而CD的長可根據(jù)CE即AD的長和DE的長得出，由此可得解．【詳解】解：∵∠ACB=90°，BE⊥CE，∴∠BCE+∠ACD=90°，∠BCE+∠CBE=90°；∴∠ACD=∠CBE，又AC=BC，∴△ACD≌△CBE；∴EC=AD，BE=DC；∵DE=6cm，AD=9cm，則BE的長是3cm．故選C．【點(diǎn)睛】三角形全等的判定是中考的熱點(diǎn)，一般以考查三角形全等的方法為主，判定兩個三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．【變式訓(xùn)練】1．（2023·全國·八年級假期作業(yè)）如圖，，，于點(diǎn)E，于點(diǎn)D，，，則的長是（

）A．8 B．4 C．3 D．2【答案】C【分析】根據(jù)已知條件，觀察圖形得，，然后證后求解．【詳解】解：，，于，于，，，又，，．，，．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形全等的判定方法；題目利用全等三角形的判定和性質(zhì)求解，發(fā)現(xiàn)并利用，，是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，在中，以為腰作等腰直角三角形和等腰直角三角形．連接為邊上的高線，延長交于點(diǎn)N，下列結(jié)論：（1）；（2）；（3）；（4），其中正確的結(jié)論有____________(填序號)．【答案】（1）（3）（4）【分析】根據(jù)，利用同角的余角相等即可判斷（1）；過E作于點(diǎn)H，過F作，交的延長線于點(diǎn)G，利用K字型全等，易證，從而判斷（2）；同理可證，可得，再證，即可判斷（4）；最后根據(jù)，結(jié)合全等三角形即可判斷（3）．【詳解】解：∵為邊上的高，，∴，∴，故(1)正確；如圖所示，過E作于點(diǎn)H，過F作，交的延長線于點(diǎn)G，∵為等腰直角三角形，∴，在與中，∵，∴，∴與不全等，故（2）錯誤；同理可證，∴，又∵，∴，∴，在和中，∵，∴，∴，故（4）正確；∵，∴．故（3）正確；綜上：正確的有（1）（3）（4）．故答案為：（1）（3）（4）．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定定理和性質(zhì)，掌握K字型全等，作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．3．（2023·全國·八年級假期作業(yè)）已知，中，，，直線m過點(diǎn)A，且于D，于E，當(dāng)直線m繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至圖1位置時，我們可以發(fā)現(xiàn)．(1)當(dāng)直線m繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至圖2位置時，問：與、的關(guān)系如何？請予證明；(2)直線m在繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周的過程中，、、存在哪幾種不同的數(shù)量關(guān)系？（直接寫出，不必證明）【答案】(1)，證明見解析；(2)，，．【分析】（1）利用條件證明，再結(jié)合線段的和差可得出結(jié)論；（2）根據(jù)圖，可得、、存在3種不同的數(shù)量關(guān)系；【詳解】（1）證明：如圖2，∵，，∴，∴．∵，∴，∴．在和中，，∴（AAS），∴，∵，∴．（2）直線m在繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周的過程中，、、存在3種不同的數(shù)量關(guān)系：，，．如圖1時，，如圖2時，，如圖3時，，（證明同理）【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形全等，注意證三角形全等的方法及三角形全等后的性質(zhì)．【經(jīng)典模型六手拉手模型】【模型分析】將兩個三角形繞著公共頂點(diǎn)（即頭）旋轉(zhuǎn)某一角度后能完全重合，則這兩個三角形構(gòu)成手拉手全等，也叫旋轉(zhuǎn)型全等，常用“邊角邊”判定定理證明全等．【模型圖示】公共頂點(diǎn)A記為“頭”，每個三角形另兩個頂點(diǎn)逆時針順序數(shù)的第一個頂點(diǎn)記為“左手”，第二個頂點(diǎn)記為“右手”．對應(yīng)操作：左手拉左手（即連結(jié)BD），右手拉右手（即連結(jié)CE），得．【常見模型】（等腰）（等邊）（等腰直角）【例6】（2023·全國·八年級假期作業(yè)）如圖所示，△ABC和△ADE都是等邊三角形，且點(diǎn)B、A、E在同一直線上，連接BD交AC于M，連接CE交AD于N，連接MN．

(1)求證：BD=CE；(2)求證：△ABM≌△ACN；(3)求證：△AMN是等邊三角形．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）由已知條件等邊三角形，可知AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，進(jìn)一步求證∠BAD=∠CAE，從而△ABD≌△ACE(SAS)，所以BD=CE．（2）由(1)知△ABD≌△ACE，得∠ABM=∠CAN，由點(diǎn)B、A、E共線，得∠CAN=60°=∠BAC，進(jìn)一步求證△ABM≌△ACN(ASA)．（3）由△ABM≌△ACN，得AM=AN，而∠CAN=60°，所以△AMN是等邊三角形．【詳解】（1）∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAD=∠CAE．在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴BD=CE．（2）由(1)知△ABD≌△ACE，∴∠ABM=∠ACN．∵點(diǎn)B、A、E在同一直線上，且∠BAC=∠DAE=60°，∴∠CAN=60°=∠BAC．在△ABM和△ACN中，∴△ABM≌△ACN(ASA)．（3）由(2)知△ABM≌△ACN，∴AM=AN，∵∠CAN=60°，∴△AMN是等邊三角形．【點(diǎn)睛】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)和判定、全等三角形判定和性質(zhì)；將等邊三角形的條件轉(zhuǎn)化為相等線段和等角，選擇合適的方法判定三角形全等是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2021春·廣東深圳·八年級深圳市福田區(qū)上步中學(xué)?？计谥校┰谥校?，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)（不與、重合），把線路繞著點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)至（即），使得，連接、．(1)如圖1，點(diǎn)在線段上，如果，則__________度．

(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段上，如果，則__________度．

(3)如圖3，設(shè)，，當(dāng)點(diǎn)在線段上移動時，，的數(shù)量關(guān)系是什么？請說明理由．

(4)設(shè)，，當(dāng)點(diǎn)在直線上移動時，請直接寫出，的數(shù)量關(guān)系，不用證明．【答案】(1)90(2)120(3)(4)或【分析】（1）由“”可證，得，可求的度數(shù)；（2）由“”可證，得，可求的度數(shù)；（3）由“”可證得出，再用三角形的內(nèi)角和即可得出結(jié)論；（4）由“”可證得出，再用三角形的內(nèi)角和即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，故答案為：90；（2）∵，∴，∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，故答案為：120；（3），理由如下：∵，，∴，在和中，，∴，∴，∴，∵，∴，∵，，∴；（4）如圖4，當(dāng)點(diǎn)D在的延長線上時，，

證明方法同（3）；如圖5，當(dāng)點(diǎn)D在的延長線上時，，

理由如下：∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∵，∴．綜上，或．【點(diǎn)睛】此題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理等知識，本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，證明是解題的關(guān)鍵．2．（2023·內(nèi)蒙古包頭·模擬預(yù)測）在中，，為延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)為線段，的垂直平分線的交點(diǎn)，連接，，．(1)如圖1，當(dāng)時，則______°；(2)當(dāng)時，①如圖2，連接，判斷的形狀，并證明；②如圖3，直線與交于點(diǎn)，滿足．為直線上一動點(diǎn)．當(dāng)?shù)闹底畲髸r，用等式表示，與之間的數(shù)量關(guān)系為______，并證明．【答案】(1)100；(2)①時等邊三角形，證明見解析；②．證明見解析．【分析】（1）利用線段的垂直平分線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，四邊形內(nèi)角和定理解決問題即可；（2）①時等邊三角形，證明，即可；②結(jié)論：．如圖，作點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，連接，，．當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時，的值最大，此時，利用全等三角形的性質(zhì)證明，可得結(jié)論．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)為線段，的垂直平分線的交點(diǎn)，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴，∴，故答案為：100．（2）解：①結(jié)論：時等邊三角形．理由：∵點(diǎn)是線段，的垂直平分線的交點(diǎn)，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴，∴，∴時等邊三角形；②結(jié)論：．理由：如圖，作點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，連接，，．∵則，點(diǎn)在的延長線上時，的值最大，此時，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴時等邊三角形，∴，，∴，∵，∴（SAS），∴，∵，，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學(xué)會利用軸對稱解決最短問題，屬于中考?？碱}型．3．（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，在中，，，點(diǎn)O是中點(diǎn)，，將繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，的兩邊分別與射線、交于點(diǎn)D、E．(1)當(dāng)轉(zhuǎn)動至如圖一所示的位置時，連接，求證：；(2)當(dāng)轉(zhuǎn)動至如圖二所示的位置時，線段、、之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由．【答案】(1)見解析(2)CE﹣CD＝AC．理由見解析【分析】（1）結(jié)論：．連接．證明；（2）結(jié)論：，證明方法類似（1）．【詳解】（1）證明：∵，，，∴，，∴，∵，∴，在和中，，∴．（2）解：．理由：連接．∵，，，∴，，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題．【經(jīng)典模型七半角模型】【模型分析】過等腰三角形頂點(diǎn)兩條射線，使兩條射線的夾角為等腰三角形頂角的一半這樣的模型稱為半角模型．【常見模型】常見的圖形為正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解題思路一般是將半角兩邊的三角形通過旋轉(zhuǎn)到一邊合并成新的三角形，從而進(jìn)行等量代換，然后證明與半角形成的三角形全等，再通過全等的性質(zhì)得到線段之間的數(shù)量關(guān)系．半角模型（題中出現(xiàn)角度之間的半角關(guān)系）利用旋轉(zhuǎn)——證全等——得到相關(guān)結(jié)論．【例7】（2023秋·江蘇揚(yáng)州·八年級?？计谀┚C合與實(shí)踐（1）如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)M、N分別在AD、CD上，若∠MBN＝45°，則MN，AM，CN的數(shù)量關(guān)系為．（2）如圖2，在四邊形ABCD中，BC∥AD，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，點(diǎn)M、N分別在AD、CD上，若∠MBN＝∠ABC，試探索線段MN、AM、CN有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出猜想，并給予證明．（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝180°，點(diǎn)M、N分別在DA、CD的延長線上，若∠MBN＝∠ABC，試探究線段MN、AM、CN的數(shù)量關(guān)系為．【答案】（1）MN=AM+CN；（2）MN=AM+CN，理由見解析；（3）MN=CN-AM，理由見解析【分析】（1）把△ABM繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)使AB邊與BC邊重合，則AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC，可得到點(diǎn)M'、C、N三點(diǎn)共線，再由∠MBN=45°，可得∠M'BN=∠MBN，從而證得△NBM≌△NBM'，即可求解；（2）把△ABM繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)使AB邊與BC邊重合，則AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC，由∠A+∠C＝180°，可得點(diǎn)M'、C、N三點(diǎn)共線，再由∠MBN＝∠ABC，可得到∠M'BN=∠MBN，從而證得△NBM≌△NBM'，即可求解；（3）在NC上截取CM'=AM，連接BM'，由∠ABC+∠ADC＝180°，可得∠BAM=∠C，再由AB＝BC，可證得△ABM≌△CBM'，從而得到AM=CM'，BM=BM'，∠ABM=∠CBM'，進(jìn)而得到∠MAM'=∠ABC，再由∠MBN＝∠ABC，可得∠MBN＝∠M'BN，從而得到△NBM≌△NBM'，即可求解．【詳解】解：（1）如圖，把△ABM繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)使AB邊與BC邊重合，則AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC，在正方形ABCD中，∠A=∠BCD=∠ABC=90°，AB=BC

，∴∠BCM'+∠BCD=180°，∴點(diǎn)M'、C、N三點(diǎn)共線，∵∠MBN=45°，∴∠ABM+∠CBN=45°，∴∠M'BN=∠M'BC+∠CBN=∠ABM+∠CBN=45°，即∠M'BN=∠MBN，∵BN=BN，∴△NBM≌△NBM'，∴MN=M'N，∵M(jìn)'N=M'C+CN，∴MN=M'C+CN=AM+CN；（2）MN=AM+CN；理由如下：如圖，把△ABM繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)使AB邊與BC邊重合，則AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC，∵∠A+∠C＝180°，∴∠BCM'+∠BCD=180°，∴點(diǎn)M'、C、N三點(diǎn)共線，∵∠MBN＝∠ABC，∴∠ABM+∠CBN=∠ABC＝∠MBN，∴∠CBN+∠M'BC=∠MBN，即∠M'BN=∠MBN，∵BN=BN，∴△NBM≌△NBM'，∴MN=M'N，∵M(jìn)'N=M'C+CN，∴MN=M'C+CN=AM+CN；（3）MN=CN-AM，理由如下：如圖，在NC上截取CM'=AM，連接BM'，∵在四邊形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠C+∠BAD=180°，∵∠BAM+∠BAD=180°，∴∠BAM=∠C，∵AB＝BC，∴△ABM≌△CBM'，∴AM=CM'，BM=BM'，∠ABM=∠CBM'，∴∠MAM'=∠ABC，∵∠MBN＝∠ABC，∴∠MBN＝∠MAM'=∠M'BN，∵BN=BN，∴△NBM≌△NBM'，∴MN=M'N，∵M(jìn)'N=CN-CM'，

∴MN=CN-AM．故答案是：MN=CN-AM．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，圖形的旋轉(zhuǎn)，根據(jù)題意做適當(dāng)輔助線，得到全等三角形是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）（1）如圖1，在四邊形ABCD中，，，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且．求證：；（2）如圖2，在四邊形ABCD中，，，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且，請直接寫出EF、BE、FD之間的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖3，在四邊形ABCD中，，，E、F分別是邊BC、CD延長線上的點(diǎn)，且，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】（1）見解析；（2）EF=BE+FD；（3）不成立，理由見解析．【分析】（1）可通過構(gòu)建全等三角形實(shí)現(xiàn)線段間的轉(zhuǎn)換，延長EB到G，使BG=DF，連接AG，目的就是要證明三角形AGE和三角形AEF全等，將EF轉(zhuǎn)換為GE，證得EF=BE+DF，（2）思路和輔助線方法與（1）一樣，證明三角形ABG和三角形ADF全等，（3）在BE上截取BG，使BG=DF，連接AG，用（1）中方法，可證得DF=BG，GE=EF，則EF=GE=BE-BG=BE-DF【詳解】解：（1）如圖，延長EB到G，使BG=DF，連接AG，在與中，；（2）（1）中結(jié)論EF=BE+FD仍成立，理由如下，證明：如圖，延長CB到M，使BM=DF，在與中即在與中即；（3）結(jié)論EF=BE+FD不成立，理由如下，證明：在BE上截取BG，使BG=DF，連接AG，在與中．【點(diǎn)睛】本題考查四邊形綜合題，三角形全等的判定與性質(zhì)，本題中通過全等三角形來實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)換是解題關(guān)鍵，沒有明確全等三角形時，要通過輔助線來構(gòu)建與已知和所求條件相關(guān)聯(lián)全等三角形．2．（2023春·廣東佛山·八年級校考期中）已知：邊長為4的正方形ABCD，∠EAF的兩邊分別與射線CB、DC相交于點(diǎn)E、F，且∠EAF＝45°，連接EF．求證：EF＝BE+DF．思路分析：(1)如圖1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADE'，則F、D、E'在一條直線上，∠E'AF＝度，……根據(jù)定理，可證：△AEF≌△AE'F．∴EF＝BE+DF．類比探究：(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線段CB的延長線上，探究EF、BE、DF之間存在的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程；拓展應(yīng)用：(3)如圖3，在△ABC中，AB＝AC，D、E在BC上，∠BAC＝2∠DAE．若S△ABC＝14，S△ADE＝6，求線段BD、DE、EC圍成的三角形的面積．【答案】(1)45(2)DF＝BE+EF，證明見解析(3)2【分析】（1）把繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)至，則、、在一條直線上，，再證△，得，進(jìn)而得出結(jié)論；（2）將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，再證△，得，進(jìn)而得出結(jié)論；（3）將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則，得，因此，同（2）得△，則，，得、、圍成的三角形面積，即可求解．【詳解】（1）解：如圖1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至，則F、D、在一條直線上，≌△ABE，∴＝BE，∠＝∠BAE，＝AE，∴∠＝∠EAD+∠＝∠EAD+∠BAE＝∠BAD＝90°，則∠＝∠﹣∠EAF＝45°，∴∠EAF＝∠，∴△AEF≌△（SAS），∴，∵，∴EF＝BE+DF．故答案為：45；（2）解：DF＝BE+EF

理由如下：將△ABE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△，∴△≌△ABE，∴AE＝，BE＝，∠＝∠BAE，∴∠＝∠BAE+∠＝∠+∠＝∠BAD＝90°，則∠＝∠﹣∠EAF＝45°，∴∠＝∠EAF＝45°，在△AEF和△中，，∴△AEF≌△（SAS），∴，∵，∴DF＝BE+EF；（3）解：將△ABD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△，連接，則△≌△ABD，∴CD'＝BD，∴，同（2）得：△ADE≌△（SAS），∴，，∴BD、DE、EC圍成的三角形面積為、、EC圍成的三角形面積．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及四邊形和三角形面積等知識，本題綜合性強(qiáng)，解此題的關(guān)鍵是根據(jù)旋轉(zhuǎn)的啟發(fā)正確作出輔助線得出全等三角形，屬于中考常考題型．3．（2023春·重慶南岸·八年級重慶市南坪中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）（1）如圖1，在四邊形中，，，E、F分別是邊、上的點(diǎn)，若，可求得、、之間的數(shù)量關(guān)系為________．（只思考解題思路，完成填空即可，不必書寫證明過程）（2）如圖2，在四邊形中，，，E、F分別是邊、延長線上的點(diǎn)，若，判斷、、之間的數(shù)量關(guān)系還成立嗎，若成立，請完成證明，若不成立，請說明理由．【答案】（1）；（2）．理由見解析．【分析】（1）線段、、之間的數(shù)量關(guān)系是．如圖，延長至，使，連接，利用全等三角形的性質(zhì)解決問題即可．（2）結(jié)論：．如圖中，在上截取，連接，證明，推出，，再證明，可得結(jié)論．【詳解】（1）解：線段、、之間的數(shù)量關(guān)系是．如圖，延長至，使，連接，∵，，即：，∴，在和中，，∴，∴，，∵，，∴，∴，在和中，AM=AF∠MAE=∠FAEAE=AE，∴，∴，∵，∴；故答案為：．（2）結(jié)論：．理由：在上截取，連接，∵，，∴，在與中，，∴，∴，，則，∴∵，，∴，在與中，，∴，∴，即，即，∴．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．【重難點(diǎn)訓(xùn)練】1．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）如圖，在中，為邊上的中線．

(1)按要求作圖：延長到點(diǎn)E，使；連接．(2)求證：．(3)求證：．(4)若，，求的取值范圍．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析(4)【分析】（1）根據(jù)題目中語言描述畫出圖形即可；（2）直接利用證明即可；（3）根據(jù)，得，從而得出，再根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可得出，即可得出結(jié)論；（4）根據(jù)三角形三邊關(guān)系得，又由，，，，代入即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，

（2）證明：如圖，

∵為邊上的中線，∴，在和中，，∴．（3）證明：如圖，∵，∴，∵，∴，在中，，∴．（4）在中，，由（3）得，，∵，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形三邊的關(guān)系，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角形三邊的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）（1）方法學(xué)習(xí)：數(shù)學(xué)興趣小組活動時，張老師提出了如下問題：如圖1，在中，，，求邊上的中線的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法（如圖2），①延長到M，使得②連接，通過三角形全等把、、轉(zhuǎn)化在中；③利用三角形的三邊關(guān)系可得的取值范圍為，從而得到的取值范圍是；方法總結(jié)：上述方法我們稱為“倍長中線法”．“倍長中線法”多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊之間的關(guān)系．（2）請你寫出圖2中與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明．（3）深入思考：如圖3，是的中線，，，，請直接利用（2）的結(jié)論，試判斷線段與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．【答案】（1）；（2）且，證明見解析；（3），證明見解析【分析】（1）延長到點(diǎn)M，使，連接，證明得到，由三角形三邊的關(guān)系得到，即可求出；（2）由全等三角形的性質(zhì)得到，，進(jìn)而證明；（3）如圖2，延長到M，使得，連接，同理證明，得到，則，再證明，進(jìn)一步證明，得到，由此即可證明．【詳解】解：（1）延長到點(diǎn)M，使，連接，∵是邊上的中線，∴，在和中，，∴，∴，在中，，∴，即，∴，故答案為：；（2），且，證明如下：由（1）知，，∴，，∴；（3），證明如下：如圖3，延長到M，使得，連接，由（1）知，，∴，∵，∴，由（2）知：，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，即．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，利用倍長中線法，構(gòu)造全等三角形是解本題的關(guān)鍵．3．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直線MN經(jīng)過點(diǎn)A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時，度；(2)求證：DE=CD+BE；(3)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，試問DE、CD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請寫出這個等量關(guān)系，并加以證明．【答案】(1)90°(2)見解析(3)CD=BE+DE，證明見解析【分析】（1）由∠BAC=90°可直接得到90°；（2）由CD⊥MN，BE⊥MN，得∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°，根據(jù)等角的余角相等得到∠DCA=∠EAB，根據(jù)AAS可證△DCA≌△EAB，所以AD=CE，DC=BE，即可得到DE=EA+AD=DC+BE．（3）同（2）易證△DCA≌△EAB，得到AD=CE，DC=BE，由圖可知AE=AD+DE，所以CD=BE+DE．【詳解】（1）∵∠BAC=90°∴∠EAB+∠DAC=180°-∠BAC=180°-90°=90°故答案為：90°．（2）證明：∵CD⊥MN于D，BE⊥MN于E∴∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°

∵

∠DAC+∠DCA=90°且∠DAC+∠EAB=90°∴∠DCA=∠EAB

∵在△DCA和△EAB中∴△DCA≌△EAB(AAS)∴AD=BE且EA=DC由圖可知：DE=EA+AD=DC+BE．（3）∵CD⊥MN于D，BE⊥MN于E∴∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°

∵∠DAC+∠DCA=90°且∠DAC+∠EAB=90°∴∠DCA=∠EAB

∵在△DCA和△EAB中∴△DCA≌△EAB(AAS)∴AD=BE且AE=CD由圖可知：AE=AD+DE∴CD=BE+DE．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等，對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段所夾的角等于旋轉(zhuǎn)角，也考查了三角形全等的判定與性質(zhì)．4．（2022秋·陜西延安·八年級統(tǒng)考期末）【問題提出】（1）如圖①，在四邊形中，，，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且.求證：；【問題探究】（2）如圖②，在四邊形中，，，E、F分別是邊BC、CD延長線上的點(diǎn)，且，（1）中的結(jié)論是否仍然成立?若成立，請說明理由；若不成立，請寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.【答案】（1）見解析；（2）結(jié)論不成立，應(yīng)當(dāng)是理由見解析【分析】（1）延長到點(diǎn)，使，連接，由全等三角形的判定和性質(zhì)得出，，，繼續(xù)利用全等三角形的判定得出，結(jié)合圖形及題意即可證明；（2）在上截取，使，連接，結(jié)合圖形利用全等三角形的判定得出，再次使用全等三角形的判定得出，利用全等三角形的性質(zhì)即可證明．【詳解】（1）證明：如圖①，延長到點(diǎn)，使，連接.又∵，，∴，∴，，又∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∵，∴；（2）解：結(jié)論不成立，應(yīng)當(dāng)是，理由：如圖②，在上截取，使，連接，∵，，∴，又∵，，∴，∴，，又∵，∴，∴，又∵，，∴，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】題目主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，理解題意，作出相應(yīng)輔助線是解題關(guān)鍵．5．（2022秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，和均為等腰直角三角形，，連接，，點(diǎn)、、在同一條直線上，則的度數(shù)為__________，線段、之間的數(shù)量關(guān)系__________；（2）拓展探究：如圖2，和均為等腰直角三角形，，連接，，點(diǎn)、、不在一條直線上，請判斷線段、之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由．（3）解決問題：如圖3，和均為等腰三角形，，則直線和的夾角為__________．（請用含的式子表示）【答案】（1）90°，AD=BE；（2）AD=BE，AD⊥BE；（3）【分析】（1）由已知條件可得，，進(jìn)而根據(jù)∠ACB?∠DCB＝∠DCE?∠DCB，可得∠ACD＝∠BCE，證明△ACD≌△BCE（SAS），即可求得AD=BE；∠BEC=∠CDA=135°；（2）延長交于點(diǎn)F，同理可得△ACD≌△BCE，設(shè)∠FAB=α，則∠CAD=∠CBE=45°-α，根據(jù)∠ABE=45°+45°-α=90°-α，進(jìn)而根據(jù)∠AFB=180°-∠FAB-∠ABE=180°-α-(90°-α)=90°，即可求解；（3）延長BE交AD于點(diǎn)G，方法同（2）證明△ACD≌△BCE，進(jìn)而根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求得直線和的夾角．【詳解】（1）∵和均為等腰直角三角形，，∴，，∠CDE=45°∴∠CDA=135°∵∠ACB?∠DCB＝∠DCE?∠DCB，∴∠ACD＝∠BCE．在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠BEC=∠ADC＝135°，AD＝BE∴∠AEB=90°故答案為：90°，AD＝BE（2）AD=BE，AD⊥BE，理由如下，同理可得△ACD≌△BCE，則AD=BE，延長交于點(diǎn)F，設(shè)∠FAB=α，則∠CAD=∠CBE=45°-α∴∠ABE=45°+45°-α=90°-α∴∠AFB=180°-∠FAB-∠ABE=180°-α-(90°-α)=90°∴AD⊥BE（3）如圖，延長BE交AD于點(diǎn)G，∵和均為等腰三角形，∴，，∵∠ACB=∠DCE=α，∵∠ACB+∠ACE＝∠DCE+∠ACE，∴∠ACD＝∠BCE．在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CBE=∠CAD∵∴∠CBA=∠CAB=∴∠GAB+∠GBA=，，∴∠AGB=180°-(∠GAB+∠GBA)，即直線和的夾角為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，掌握旋轉(zhuǎn)模型證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．6．（2023·全國·八年級假期作業(yè)）（1）如圖1，已知中，90°，，直線經(jīng)過點(diǎn)直線，直線，垂足分別為點(diǎn)．求證：．（2）如圖2，將（1）中的條件改為：在中，三點(diǎn)都在直線上，并且有．請寫出三條線段的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2），證明見解析【分析】（1）利用已知得出∠CAE=∠ABD，進(jìn)而利用AAS得出則△ABD≌△CAE，即可得出DE=BD+CE；（2）根據(jù)∠BDA=∠AEC=∠BAC，得出∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，根據(jù)AAS證出△ADB≌△CEA，從而得出AE=BD，AD=CE，即可證出DE=BD+CE；【詳解】（1）DE=BD+CE．理由如下：∵BD⊥，CE⊥，∴∠BDA=∠AEC=90°又∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS）∴BD=AE，AD=CE，∵DE=AD+AE，∴DE=CE+BD；（2），理由如下：∵∠BDA=∠AEC=∠BAC，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE，∴∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE=BD，AD=CE，∴BD+CE=AE+AD=DE；【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)綜合中的“一線三等角”模型：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的對應(yīng)邊相等．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)．7．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，已知中，，，是過的一條直線，且，在，的同側(cè)，于，于．（1）證明：；（2）試說明：；（3）若直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖位置（此時，在，的異側(cè)）時，其余條件不變，問與，的關(guān)系如何？請證明；（4）若直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖位置（此時，在，的同側(cè)）時其余條件不變，問與，的關(guān)系如何？請直接寫出結(jié)果，不需說明理由．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）BD=DE+CE；證明見解析；（4）BD=DE?CE【分析】（1）根據(jù)題意可得，結(jié)合，直接用AAS證明三角形全等即可；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，進(jìn)而可得；（3）方法同（1）證明，進(jìn)而可得（4）方法同（1）結(jié)論同（2）證明，進(jìn)而可得．【詳解】（1）證明：∵，∴．又∵，，∴，，∴．又∵，∴．（2）解：∵，∴，．又∵，∴．（3）解：∵，∴．又∵，，∴，，∴．又∵，∴．∴，，，∴（4）解：．理由如下：∵，∴．又∵，，∴，，∴．又∵，∴，∴，．又∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握三角形全等的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．8．（2020秋·福建三明·八年級統(tǒng)考期中）如圖1，△ABC和△ABD中，∠BAC＝∠ABD＝90°，點(diǎn)C和點(diǎn)D在AB的異側(cè)，點(diǎn)E為AD邊上的一點(diǎn)，且AC＝AE，連接CE交直線AB于點(diǎn)G，過點(diǎn)A作AF⊥AD交直線CE于點(diǎn)F．（Ⅰ）求證：△AGE≌△AFC；（Ⅱ）若AB＝AC，求證：AD＝AF+BD；（Ⅲ）如圖2，若AB＝AC，點(diǎn)C和點(diǎn)D在AB的同側(cè)，題目其他條件不變，直接寫出線段AD，AF，BD的數(shù)量關(guān)系．【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）AF＝AD+BD【分析】（Ⅰ）先判斷出∠ACF＝∠AEG，再用同角的余角相等判斷出∠CAF＝∠EAG，即可得出結(jié)論；（Ⅱ）先用ASA判斷出△ACM≌△ABD，得出AM＝AD，CM＝BD，由（Ⅰ）知，△AGE≌△AFC，得出∠AGE＝∠AFC，再判斷出CM∥AB，得出∠MCF＝∠AGC，進(jìn)而判斷出MF＝CM，即可得出結(jié)論；（Ⅲ）同（Ⅱ）的方法，即可得出結(jié)論．【詳解】解：（Ⅰ）∵AC＝AE，∴∠ACF＝∠AEG，∵AF⊥AD，∴∠DAF＝90°＝∠CAB，∴∠DAF﹣∠FAG＝∠CAB﹣∠FAG，∴∠CAF＝∠EAG，在△AGE和△AFC中，，∴△AGE≌△AFC（ASA）；（Ⅱ）如圖1，過點(diǎn)C作CM⊥AC，交AF延長線于點(diǎn)M，∴∠ACM＝90°＝∠ABD，由（Ⅰ）知，∠CAF＝∠EAB，在△ACM和△ABD中，，∴△ACM≌△ABD（ASA），∴AM＝AD，CM＝BD，由（Ⅰ）知，△AGE≌△AFC，∴∠AGE＝∠AFC，∴180°﹣∠AGE＝180°﹣∠AFC，∴∠AGC＝∠AFG，∵∠CFM＝∠AFG，∴∠AGC＝∠CFM，∵∠BAC＝90°＝∠ACM，∴∠BAC+∠ACM＝180°，∴CM∥AB，∴∠MCF＝∠AGC，∴∠CFM＝∠MCF，∴MF＝CM，∴AM＝AF+CM，∴AD＝AF+BD；（Ⅲ）AD＝AF﹣BD；過點(diǎn)C作CM⊥AC，交AF于點(diǎn)M，∴∠ACM＝90°＝∠ABD，由（Ⅰ）知，∠CAF＝∠EAB，在△ACM和△ABD中，，∴△ACM≌△ABD（ASA），∴AM＝AD，CM＝BD，由（Ⅰ）知，△AGE≌△AFC，∴∠G＝∠F，∵∠BAC＝90°＝∠ACM，∴CM∥AB，∴∠MCF＝∠G，∴∠F＝∠MCF，∴MF＝CM，∴AF＝AM+CM＝AD+BD，故答案為：AF＝AD+BD．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，結(jié)合平行線的判定與性質(zhì)證明是解題的關(guān)鍵．9．（2023春·陜西西安·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）（1）問題解決：如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝α，∠BCD＝180°﹣α，BD平分∠ABC．①如圖1，若α＝90°，根據(jù)教材中一個重要性質(zhì)直接可得AD＝CD，這個性質(zhì)是；②在圖2中，求證：AD＝CD；（2）拓展探究：根據(jù)（1）的解題經(jīng)驗(yàn)，請解決如下問題：如圖3，在等腰△ABC中，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，求證BD+AD＝BC．【答案】（1）①角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等；②見解析；（2）見解析．【分析】（1）①根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理即可解決問題；②如圖2中，作DE⊥BA于E，DF⊥BC于F．只要證明△DEA≌△DFC即可解決問題；（2）如圖3中，在BC時截取BK=BD，BT=BA，連接DK．首先證明DK=CK，再證明△DBA≌△DBT，推出AD=DT，∠A=∠BTD=100°，推出∠DTK=∠DKT=80°，推出DT=DK=CK，由此即可解決問題；【詳解】（1）①根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理可知AD＝CD．所以這個性質(zhì)是角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等．故答案為：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等．②如圖2中，作DE⊥BA于E，DF⊥BC于F．∵BD平分∠EBF，DE⊥BE，DF⊥BF，∴DE＝DF，∵∠BAD+∠C＝180°，∠BAD+∠EAD＝180°，∴∠EAD＝∠C，∵∠E＝∠DFC＝90°，∴△DEA≌△DFC，∴DA＝DC．（2）如圖3中，在BC上截取BK＝BD，BT＝BA，連接DK．∵AB＝AC，∠A＝100°，∴∠ABC＝∠C＝40°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBK＝∠ABC＝20°，∵BD＝BK，∴∠BKD＝∠BDK＝80°，∵∠BKD＝∠C+∠KDC，∴∠KDC＝∠C＝40°，∴DK＝CK，∵BD＝BD，BA＝BT，∠DBA＝∠DBT，∴△DBA≌△DBT，∴AD＝DT，∠A＝∠BTD＝100°，∴∠DTK＝∠DKT＝80°，∴DT＝DK＝CK，∴BD+AD＝BK+CK＝BC．【點(diǎn)睛】本題考查三角形綜合題、等腰三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，具體的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．10．（2021秋·山東德州·八年級統(tǒng)考期中）某中學(xué)八年級學(xué)生在學(xué)習(xí)等腰三角形的相關(guān)知識時時，經(jīng)歷了以下學(xué)習(xí)過程：（1）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖1，在中，若平分，時，可以得出，為中點(diǎn)，請用所學(xué)知識證明此結(jié)論．（2）【學(xué)以致用】如果和等腰有一個公共的頂點(diǎn)，如圖2，若頂點(diǎn)與頂點(diǎn)也重合，且，試探究線段和的數(shù)量關(guān)系，并證明．（3）【拓展應(yīng)用】如圖3，在（2）的前提下，若頂點(diǎn)與頂點(diǎn)不重合，，（2）中的結(jié)論還成立嗎？證明你的結(jié)論【答案】（1）詳見詳解；（2）DF＝2BE，證明詳見詳解；（3）DF＝2BE，證明詳見詳解【分析】（1）只要證明△ADB≌△ADC（ASA）即可；（2）如圖2中，延長BE交CA的延長線于K，只要證明△BAK≌△CAD（ASA）即可；（3）作FK∥CA交BE的延長線于K，交AB于J，利用（2）中的結(jié)論證明即可．【詳解】解：（1）如圖1中，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵DA平分∠BAC，∴∠DAB＝∠DAC，∵AD＝AD，∴△ADB≌△ADC（ASA），∴AB＝AC，BD＝DC．（2）結(jié)論：DF＝2BE．理由：如圖2中，延長BE交CA的延長線于K．∵CE平分∠BCK，CE⊥BK，∴由（1）中結(jié)論可知：CB＝CK，BE＝KE，∵∠BAK＝∠CAD＝∠CEK＝90°，∴∠ABK+∠K＝90°，∠ACE+∠K＝90°，∴∠ABK＝∠ACD，∵AB＝AC，∴△BAK≌△CAD（ASA），CD＝BK，∴CD＝2BE，即DF＝2BE．（3）如圖3中，結(jié)論不變：DF＝2BE．理由：作FK∥CA交BE的延長線于K，交AB于J．∵FK∥AC，∴∠FJB＝∠A＝90°，∠BFK＝∠BCA，由（2）可知Rt△ABC為等腰三角形∵∠JBF＝45°，∴△BJF是等腰直角三角形，∵∠BFE＝∠ACB，∴∠BFE＝∠BFJ，由（2）可知：DF＝2BE．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)；等腰三角形的判定和性質(zhì)性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，在做題時正確的添加輔助線是解決問題的關(guān)鍵．11．（2020秋·貴州遵義·八年級統(tǒng)考期末）過正方形（四邊都相等，四個角都是直角）的頂點(diǎn)作一條直線．

（1）當(dāng)不與正方形任何一邊相交時，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)如圖（1），請寫出，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．（2）若改變直線的位置，使與邊相交如圖（2），其它條件不變，，，的關(guān)系會發(fā)生變化，請直接寫出，，的數(shù)量關(guān)系，不必證明；（3）若繼續(xù)改變直線的位置，使與邊相交如圖（3），其它條件不變，，，的關(guān)系又會發(fā)生變化，請直接寫出，，的數(shù)量關(guān)系，不必證明．【答案】(1)，證明見解析；(2)；(3)【分析】（1）根據(jù)同角的余角相等可證，再證，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等進(jìn)行代換即可；（2）根據(jù)同角的余角相等可證，再證，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等進(jìn)行代換即可；（3）根據(jù)同角的余角相等可證，再證，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等進(jìn)行代換即可．【詳解】（1），證明：四邊形是正方形，又，∴在和中，（2），理由是：四邊形是正方形，又，∴在和中，∴EF=AF-AE=BE-DF（3），理由是：四邊形是正方形，又，∴在和中，EF=AE-AF=DF-BE【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形全等的判定和性質(zhì)，掌握三角形的判定方法及能利用同角的余角相等證明是關(guān)鍵．12．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）探究：如圖①，在中，，，直線經(jīng)過點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，求證：．應(yīng)用：如圖②，在中，，三點(diǎn)都在直線上，并且有．求出和的關(guān)系．拓展：如圖①中，若，梯形的面積______．【答案】探究：證明過程見詳解；應(yīng)用：，理由見詳解；拓展：【分析】探究：，，可知是等腰直角三角形，，，可知，可求出，根據(jù)角角邊即可求證；應(yīng)用：，三點(diǎn)都在直線上，，可求出，可證，可得，由此即可求解；拓展：由，可知，設(shè)，則，根據(jù)梯形面積公式即可求解．【詳解】探究：證明：∵，直線經(jīng)過點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，∴點(diǎn)三點(diǎn)都在直線上，∴，，∴，在，中，，∴；應(yīng)用：∵，三點(diǎn)都在直線上，，∴，，∴，在，中，，∴，∴，∵，∴；拓展：由探究可知，，，∴，設(shè)，則，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰直角三角形，全等三角形，梯形的綜合，掌握等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，梯形的面積計算方法是解題的關(guān)鍵．13．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）如圖，在中，．（1）如圖①所示，直線過點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，且．求證：．（2）如圖②所示，直線過點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，且，則是否成立？請說明理由．【答案】（1）見解析；（2）仍然成立，理由見解析【分析】（1）首先根據(jù)同角的余角相等得到，然后證明，然后根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等得到，，然后通過線段之間的轉(zhuǎn)化即可證明；（2）首先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到，然后證明，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等得到，最后通過線段之間的轉(zhuǎn)化即可證明．【詳解】證明：（1）∵，，∴，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴；（2）仍然成立，理由如下：∵，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，同角的與相等，三角形內(nèi)角和定理等知識，解題的關(guān)鍵是根據(jù)同角的余角相等或三角形內(nèi)角和定理得到．14．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）如圖，在ABC中，AC=2AB，AD平分∠BAC，延長CB到點(diǎn)E，使BE=BD，連接AE．（1）依題意補(bǔ)全圖形；（2）試判斷AE與CD的數(shù)量關(guān)系，并進(jìn)行證明．【答案】（1）見解析；（2），見解析【分析】（1）直接延長CB到點(diǎn)E，使BE=BD即可；（2）延長至點(diǎn)，使得，連接，可證得，則，再通過證明，可得到，從而得到即可．【詳解】（1）如圖所示：（2）如圖，判斷：證明如下：延長至點(diǎn)，使得，連接在和中，∵∴∴∵∴∵∴∵AD平分∠BAC∴在和中，∵∴∴又∵∴【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，主要涉及倍長中線的模型，熟記基本模型是解題關(guān)鍵．15．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）閱讀理解：（1）如圖1，在中，若，，求邊上的中線的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長到點(diǎn)，使得，再連接，把，，集中在中，利用三角形三邊關(guān)系即可判斷中線的取值范圍是______．（2）解決問題：如圖2，在中，是邊上的中點(diǎn)，，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，求證：．（3）問題拓展：如圖3，在中，是邊上的中點(diǎn)，延長至，使得，求證：．【答案】（1）；（2）見解析；（3）見解析．【分析】（1）如圖1延長到點(diǎn)，使得，再連接，由AD為中線，推出BD=CD，可證△ACD≌△EBD（SAS）得AC=EB，在中，由三邊關(guān)系即可，（2）如圖2延長FD到G，使DG=FD，連結(jié)BG，EG由D為BC中點(diǎn)，BD=CD可證△FCD≌△GBD（SAS）得FC=GB，由，DF=DG得EF=EG，在