專題02 二次函數(shù)（難點(diǎn)）（解析版）

專題02二次函數(shù)（難點(diǎn)）一、單選題1．對(duì)于關(guān)于x的函數(shù)，下列說法錯(cuò)誤的是(

)A．當(dāng)時(shí)，該函數(shù)為正比例函數(shù) B．當(dāng)時(shí)，該函數(shù)為一次函數(shù)C．當(dāng)該函數(shù)為二次函數(shù)時(shí)，或 D．當(dāng)該函數(shù)為二次函數(shù)時(shí)，【答案】C【分析】根據(jù)正比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義判斷即可．【解析】、當(dāng)時(shí)，該函數(shù)為正比例函數(shù)，故不符合題意；、當(dāng)時(shí)，，即，該函數(shù)為一次函數(shù)，故不符合題意；、當(dāng)時(shí)，該函數(shù)為正比例函數(shù)，故符合題意；、當(dāng)該函數(shù)為二次函數(shù)時(shí)，，故不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)、正比例函數(shù)、二次函數(shù)的定義，熟練掌握相關(guān)定義是解題的關(guān)鍵．2．拋物線與軸交于A，兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)左側(cè)，且，為軸正半軸上一點(diǎn)，拋物線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)C和點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱．當(dāng)拋物線在直線的上方時(shí)，的取值范圍是（

）A．或 B． C．或 D．【答案】A【分析】先求解拋物線為：，直線為，再求解兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合函數(shù)圖象可得答案．【解析】解：∵，∴，∵為軸正半軸上一點(diǎn)，拋物線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)C和點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱．∴D在負(fù)半軸，∴，，∴拋物線為：，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，設(shè)直線為，∴，解得，∴直線為，∴，解得或，∴直線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)拋物線在直線的上方時(shí)，的取值范圍是或；故選A．【點(diǎn)睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解拋物線的解析式，求解拋物線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，熟練的利用數(shù)形結(jié)合的方法解題是關(guān)鍵．3．已知拋物線過點(diǎn)，其中，以下結(jié)論正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】D【分析】由拋物線解析式可得拋物線對(duì)稱軸為直線，從而可得點(diǎn)B為頂點(diǎn)，由拋物線開口向上可判斷A，B選項(xiàng)，由點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離與函數(shù)值的關(guān)系可判斷C，D；【解析】解：∵，∴拋物線對(duì)稱軸為直線，頂點(diǎn)為，∵，∴為拋物線頂點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上，為函數(shù)最小值，∴選項(xiàng)A，B錯(cuò)誤．若，則拋物線開口向下，距離對(duì)稱軸越近的點(diǎn)的縱坐標(biāo)越大，∴選項(xiàng)C錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考察二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，開口向下時(shí)，圖象上的點(diǎn)離頂點(diǎn)越遠(yuǎn)，即橫坐標(biāo)到對(duì)稱軸的距離越大時(shí)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)就越小4．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為，動(dòng)點(diǎn)、同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度分別沿和的路徑向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為單位：，四邊形的面積為（單位：），則與之間函數(shù)關(guān)系可以用圖象表示為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意結(jié)合圖形，分情況討論：時(shí)，根據(jù)四邊形的面積的面積的面積，列出函數(shù)關(guān)系式，從而得到函數(shù)圖象；時(shí)，根據(jù)四邊形的面積的面積的面積，列出函數(shù)關(guān)系式，從而得到函數(shù)圖象，再結(jié)合四個(gè)選項(xiàng)即可得解．【解析】解：時(shí)，正方形的邊長(zhǎng)為，，，，時(shí)，，，，所以，與之間的函數(shù)關(guān)系可以用兩段二次函數(shù)圖象表示，縱觀各選項(xiàng)，只有B選項(xiàng)圖象符合．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，二次函數(shù)的圖象，根據(jù)題意，分別求出兩個(gè)時(shí)間段的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．5．下表按照橫坐標(biāo)由小到大列出了關(guān)于的二次函數(shù)圖像上一些不同的點(diǎn)，圖像上任意一點(diǎn)縱坐標(biāo)均不大于，下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．當(dāng)時(shí)，拋物線與坐標(biāo)軸有個(gè)交點(diǎn)B．當(dāng)時(shí)，C．若以，，為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形，則周長(zhǎng)為D．若直線，經(jīng)過，若，則和的圖像有一個(gè)交點(diǎn)【答案】D【分析】由圖象上任意一點(diǎn)縱坐標(biāo)均不大于，可得拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向，從而可得拋物線與軸有個(gè)交點(diǎn)，由可判斷選項(xiàng)，由拋物線的對(duì)稱性及對(duì)稱軸可得的值，從而判斷選項(xiàng)，由三角形為等腰直角三角形及，，三點(diǎn)坐標(biāo)可得直角三角形的邊長(zhǎng)，從而判斷選項(xiàng)，由直線經(jīng)過，及可得直線與拋物線無(wú)交點(diǎn)，從而判斷選項(xiàng)．【解析】∵圖象上任意一點(diǎn)縱坐標(biāo)均不大于，∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為且拋物線開口向下，∴拋物線與軸有個(gè)交點(diǎn)，∵拋物線與軸交點(diǎn)坐標(biāo)為，∴當(dāng)時(shí)，拋物線與坐標(biāo)軸有個(gè)交點(diǎn)，選項(xiàng)正確；∵拋物線經(jīng)過，，拋物線對(duì)稱軸為直線，∴，即，∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，∴拋物線經(jīng)過，∴當(dāng)時(shí)，，選項(xiàng)正確；∵等腰直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為，，，∴，，∴周長(zhǎng)為，選項(xiàng)正確；∵直線與軸交點(diǎn)坐標(biāo)為，∵，∴，均在拋物線頂點(diǎn)上方，∴直線與拋物線無(wú)交點(diǎn)，選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，掌握二次函數(shù)與方程的關(guān)系．6．某同學(xué)利用數(shù)學(xué)繪圖軟件探究函數(shù)的圖象，在輸入一組a，b，c的值后得到如圖所示的函數(shù)圖象（與y軸無(wú)交點(diǎn)），根據(jù)你學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，這組a，b，c的值應(yīng)滿足（

）

A． B．C． D．【答案】B【分析】從函數(shù)整體圖象來(lái)看，發(fā)現(xiàn)部分圖象有類似反比例函數(shù)，再?gòu)膟軸左側(cè)圖象，判斷圖象虛線代表的意義，即可求解．【解析】解：設(shè)虛線為（顯然，），由圖中可知，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，可得在m的左右兩側(cè)時(shí)，符號(hào)是不同的，即；當(dāng)時(shí)，，而，所以顯然另外一條分割線為，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的圖象，要求學(xué)生根據(jù)學(xué)過的反比例函數(shù)、分式等知識(shí)，通過函數(shù)圖象，大致發(fā)現(xiàn)圖象的一些特征，此類題目難度較大．7．如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，其對(duì)稱軸為直線，結(jié)合圖象給出下列結(jié)論：①；②；③，是拋物線上兩點(diǎn)，則；④若關(guān)于x的一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根，則；⑤對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，總有．其中正確的結(jié)論有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)拋物線的開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、增減性以及與軸軸的交點(diǎn)，綜合判斷即可．【解析】解：拋物線開口向上，則，對(duì)稱軸，則，，，所以①正確；拋物線對(duì)稱軸為，與軸的一個(gè)交點(diǎn)為，則另一個(gè)交點(diǎn)為，于是有，聯(lián)立，解得，，所以②正確；拋物線的解析式為，，是拋物線上兩點(diǎn)，，，即，所以③錯(cuò)誤；若關(guān)于x的一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根，，，，，，所以④正確；拋物線與軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)，因此關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以④正確；對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，總有故⑤正確．綜上所述，正確的結(jié)論有：①②④⑤．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的圖象與系數(shù)之間的關(guān)系是正確判斷的前提．8．如圖，拋物線與直線經(jīng)過點(diǎn)，且相交于另一點(diǎn)，拋物線與軸交于點(diǎn)，與軸交于另一點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交拋物線于點(diǎn)，且軸，連接，當(dāng)點(diǎn)在線段上移動(dòng)時(shí)（不與、重合），下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．四邊形的最大面積為13【答案】C【分析】】（1）當(dāng)MN過對(duì)稱軸的直線時(shí)，解得：BN=，而MN=，BN+MN=5=AB；（2）由BC∥x軸（B、C兩點(diǎn)y坐標(biāo)相同）推知∠BAE=∠CBA，而△ABC是等腰三角形，∠CBA≠∠BCA，故∠BAC=∠BAE錯(cuò)誤；（3）如上圖，過點(diǎn)A作AD⊥BC、BE⊥AC，由△ABC是等腰三角形得到：EB是∠ABC的平分線，∠ACB-∠ANM=∠CAD=∠ABC；（4）S四邊形ACBM=S△ABC+S△ABM，其最大值為．【解析】解：將點(diǎn)A（2，0）代入拋物線y=ax2-x+4與直線y=x+b解得：a=，b=-，設(shè)：M點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，則M（m，m2-m+4）、N（m，m-），其它點(diǎn)坐標(biāo)為A（2，0）、B（5，4）、C（0，4），則AB=BC=5，則∠CAB=∠ACB，∴△ABC是等腰三角形．A、當(dāng)MN過對(duì)稱軸的直線時(shí)，此時(shí)點(diǎn)M、N的坐標(biāo)分別為（，-）、（，），由勾股定理得：BN=，而MN=，BN+MN=5=AB，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、∵BC∥x軸（B、C兩點(diǎn)y坐標(biāo)相同），∴∠BAE=∠CBA，而△ABC是等腰三角形不是等邊三角形，∠CBA≠∠BCA，∴∠BAC=∠BAE不成立，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、如上圖，過點(diǎn)A作AD⊥BC、BE⊥AC，∵△ABC是等腰三角形，∴EB是∠ABC的平分線，易證：∠CAD=∠ABE=∠ABC，而∠ACB-∠ANM=∠CAD=∠ABC，故本選項(xiàng)正確；D、S四邊形ACBM=S△ABC+S△ABM，S△ABC=10，S△ABM=MN?（xB-xA）=-m2+7m-10，其最大值為，故S四邊形ACBM的最大值為10+=12.25，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，拋物線與x軸的交點(diǎn)，以及等腰三角形、平行線等幾何知識(shí)，是一道難度較大的題目．9．對(duì)于二次函數(shù)，規(guī)定函數(shù)是它的相關(guān)函數(shù)．已知點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為，，連接，若線段與二次函數(shù)的相關(guān)函數(shù)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，則n的取值范圍為（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】A【分析】根據(jù)題意可求出的相關(guān)函數(shù)解析式為：．畫出圖象，討論當(dāng)線段與二次函數(shù)的相關(guān)函數(shù)的圖象有1個(gè)公共點(diǎn)，2個(gè)公共點(diǎn)，3個(gè)公共點(diǎn)時(shí)n的值，再結(jié)合圖象，即可確定線段與二次函數(shù)的相關(guān)函數(shù)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，n的取值范圍．【解析】解：由題意可求的相關(guān)函數(shù)解析式為：．如圖，線段與的圖象恰有1個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，∴當(dāng)時(shí)，，即，解得：；當(dāng)函數(shù)的圖象向上移動(dòng)且與線段恰有3個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，由圖可知函數(shù)與y軸的交點(diǎn)為，∴，∴當(dāng)時(shí)，線段與二次函數(shù)的相關(guān)函數(shù)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)函數(shù)的圖象繼續(xù)向上移動(dòng)且又一次與線段恰有3個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，由圖可知函數(shù)與y軸的交點(diǎn)為，∴；當(dāng)函數(shù)的圖象又繼續(xù)向上移動(dòng)且與線段恰有2個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，由圖可知此時(shí)函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)，∴，解得：，∴當(dāng)時(shí)，線段與二次函數(shù)的相關(guān)函數(shù)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，理解“相關(guān)函數(shù)”的定義，并利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．10．拋物線y＝﹣x2+2x+m+1（m為常數(shù)）交y軸于點(diǎn)A，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在2和3之間，頂點(diǎn)為B．有下列結(jié)論：①關(guān)于x的方程﹣x2+2x+m+1（m為常數(shù)）＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；②﹣1＜m＜2；③將該拋物線向左平移2個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，所得拋物線解析式為y＝﹣（x+1）2+m；④點(diǎn)A關(guān)于直線x＝1的對(duì)稱點(diǎn)為C，點(diǎn)D、E分別在x軸和y軸上，當(dāng)m＝1時(shí)，四邊形BCDE周長(zhǎng)的最小值為．其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、平移的性質(zhì)、求線段和的最小值等知識(shí)依次對(duì)各結(jié)論進(jìn)行分析求解．【解析】解：①∵y＝﹣x2+2x+m+1，∴拋物線開口向下，對(duì)稱軸為直線x＝＝1，∵拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在2和3之間，頂點(diǎn)為B．∴拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，∴關(guān)于x的方程﹣x2+2x+m+1（m為常數(shù)）＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故①正確；②∵拋物線開口向下，對(duì)稱軸為直線x＝1，拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在2和3之間，∴，解得：﹣1＜m＜2，故②正確；③將該拋物線向左平移2個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，拋物線的解析式為：y＝﹣（x+2）2+2（x+2）+m+1﹣2，即y＝﹣（x+1）2+m，故③正確；④當(dāng)m＝1時(shí)，拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+2，∴A（0，2），C（2，2），B（1，3），如圖，作點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)（﹣1，3），作C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)（2，﹣2），連接，與x軸、y軸分別交于D、E點(diǎn)，則BE+ED+CD+BC＝+ED++BC，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，知最短，而BC的長(zhǎng)度一定，此時(shí)四邊形BCDE的周長(zhǎng)最小，最小為，故④正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)函數(shù)圖象與幾何變換，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，軸對(duì)稱－最短路線問題，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二、填空題11．已知二次函數(shù)當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，則二次函數(shù)的表達(dá)式為______．【答案】【分析】把代入二次函數(shù)的解析式求得的值即可．【解析】解：當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，，解得：或，有最大值，，，二次函數(shù)的表達(dá)式為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意求得的值后進(jìn)行正確的取舍．12．如圖，在正方形中，點(diǎn)，點(diǎn)，則二次函數(shù)與正方形有交點(diǎn)時(shí)，的最大值是．

【答案】【分析】根據(jù)拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)可確定其頂點(diǎn)在直線上移動(dòng)，然后再確定當(dāng)拋物線左側(cè)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，取得最大值，以此代入坐標(biāo)求解即可．【解析】解：由題意，該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴拋物線的頂點(diǎn)在直線上移動(dòng)，∵四邊形為正方形，點(diǎn)，點(diǎn)，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，如圖所示，當(dāng)拋物線左側(cè)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，取得最大值，

將代入得：，解得：或（不合題意，舍去），故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，掌握拋物線頂點(diǎn)特征及運(yùn)動(dòng)軌跡，確定取得最值時(shí)的特殊位置是解題關(guān)鍵．13．如圖，二次函數(shù)，第一個(gè)正方形，第二個(gè)正方形，第三個(gè)正方形，，點(diǎn)，，，，，點(diǎn)，，，，在二次函數(shù)上，，，，，在軸正半軸上，則第個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為．【答案】【分析】設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，，依題意，坐標(biāo)為，，根據(jù)拋物線對(duì)稱性及正方形的性質(zhì)可得的值，從而可得正方形邊長(zhǎng)，依此規(guī)律求解．【解析】解：連接設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，，依題意，坐標(biāo)為，，∵，∴，∵，∴，∴正方形邊長(zhǎng)為，同理設(shè)坐標(biāo)為，則坐標(biāo)為，∵，∴,∴，∴正方形邊長(zhǎng)，同理設(shè)坐標(biāo)為，則坐標(biāo)為，∴,解得：,∴正方形邊長(zhǎng)，……依此類推可得正方形的邊長(zhǎng)．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握正方形的性質(zhì)．14．二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)為，對(duì)稱軸為直線．下列結(jié)論：①；②過點(diǎn)平行于軸的直線與拋物線有唯一的公共點(diǎn)；③若，關(guān)于的不等式的解集為；④若，點(diǎn)，在該拋物線上，當(dāng)實(shí)數(shù)，．其中正確的結(jié)論是．【答案】②【分析】先由題意畫出圖象，再根據(jù)圖象與系數(shù)的關(guān)系求解．【解析】解：當(dāng)時(shí)，如圖，當(dāng)時(shí)，如圖，①∵拋物線的對(duì)稱軸為，∴，∵二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，∴，∴，即：，故①是錯(cuò)誤的；②當(dāng)時(shí)，，即：，∴，∴有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴過點(diǎn)平行于軸的直線與拋物線有唯一的公共點(diǎn)，故②是正確；③∵與軸相交于，對(duì)稱軸為，∴與軸相交于，對(duì)稱軸為，∴與軸相交于，，∴的解集為：，即∶，故③是錯(cuò)誤的；④當(dāng)時(shí)，如所示，當(dāng)時(shí)，，∴，即時(shí)，，故④是錯(cuò)誤的；故答案為：②．

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與系數(shù)的關(guān)系，掌握數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．15．函數(shù)（m為常數(shù)且）有下列結(jié)論：①該函數(shù)圖象與y軸交于點(diǎn)；②若，當(dāng)時(shí)，y隨著x的增大而增大；③該函數(shù)圖象關(guān)于直線軸對(duì)稱；④若方程有三個(gè)實(shí)數(shù)根，則．其中正確的結(jié)論是．（填寫序號(hào)）【答案】①③④【分析】①將代入函數(shù)再化簡(jiǎn)絕對(duì)值即可判斷；②求得時(shí)函數(shù)與軸的交點(diǎn)，再將代入函數(shù)驗(yàn)證即可；③將函數(shù)化為，根據(jù)對(duì)稱軸的特征，設(shè)，求得和的函數(shù)值驗(yàn)證即可；④利用一元二次方程根的判別式分別討論和時(shí)方程解的個(gè)數(shù)，再根據(jù)有三個(gè)實(shí)數(shù)根計(jì)算求值即可；【解析】解：令代入函數(shù)可得，∵，∴，∴該函數(shù)圖象與y軸交于點(diǎn)，故①正確；若，則函數(shù)為，可知當(dāng)或時(shí)函數(shù)值為0，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值為，此時(shí)的函數(shù)值大于的函數(shù)值，∴當(dāng)時(shí)，y不隨x的增大而增大，故②錯(cuò)誤；∵函數(shù)，設(shè)，當(dāng)時(shí)函數(shù)值為，當(dāng)時(shí)函數(shù)值為，∴到直線的距離相等的兩點(diǎn)的函數(shù)值相等，∴該函數(shù)圖象關(guān)于直線軸對(duì)稱，故③正確；方程中，當(dāng)時(shí)可化為，此時(shí)，∵，∴，即，方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)可化為，此時(shí)，方程可以有兩個(gè)不等根、兩個(gè)相等根、無(wú)根；若方程有三個(gè)實(shí)數(shù)根，則時(shí)方程有兩個(gè)相等的根，即，可得，故④正確；故答案為：①③④；【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值的化簡(jiǎn)，二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，一元二次方程根的判別式等知識(shí)；掌握分類討論的思想是解題關(guān)鍵．16．如圖拋物線與x軸交于點(diǎn)A，B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸交于C點(diǎn)，過A，B，C三點(diǎn)，P是上一動(dòng)點(diǎn)，連接則的最小值．【答案】【分析】連接DA，DB，過點(diǎn)D作DE⊥AB交AB于E，根據(jù)圓與拋物線的性質(zhì)求出A、D、B、C四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)題意構(gòu)造相似三角形，將求的最小長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化成求的最小長(zhǎng)度，然后根據(jù)三點(diǎn)共線有最小值即可求解．【解析】解：如圖所示，連接DA，DB，過點(diǎn)D作DE⊥AB交AB于E，∵拋物線與x軸交于點(diǎn)A，B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），又∵，故由二次函數(shù)的交點(diǎn)式可知A點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1，0)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為(3，0)，∵過A，B兩點(diǎn)，∴由圓的垂徑定理可知E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，D點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，y)，又∵CD=BD，，,∴即,∴,∴y=1,∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，1)．∴，∵P在圓上，∴．延長(zhǎng)DO到F使得，連接PF，PO∵直線DF經(jīng)過點(diǎn)D(1，1)、O(0，0)、F(x，y)∴直線DF的解析式是y=x，解得∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為∴，∴,∴,∴，∴，∴=，∴當(dāng)P、C、Ｆ三點(diǎn)共線時(shí)取最小值，∴==，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，圓的垂徑定理，相似三角形的判定．通過構(gòu)造相似三角形來(lái)將看似不相關(guān)的兩條線段，轉(zhuǎn)化成相關(guān)的兩條線段求最小值．解題的關(guān)鍵在于如何構(gòu)造相似三角形進(jìn)行轉(zhuǎn)化．三、解答題17．已知二次函數(shù)（m是常數(shù)，且）．(1)證明：不論m取何值，該二次函數(shù)圖象總與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；(2)若，是該二次函數(shù)圖象上的兩個(gè)不同點(diǎn)，求二次函數(shù)表達(dá)式和的值；(3)若點(diǎn)，點(diǎn)也均在此函數(shù)圖象上，且滿足，求m的取值范圍．【答案】(1)見解析(2)二次函數(shù)的解析式為，；(3)．【分析】（1）只需證明恒大于0即可；（2）由點(diǎn)，可知關(guān)于二次函數(shù)對(duì)稱軸對(duì)稱，則有二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，然后問題可求解；（3）由題意易得二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，然后根據(jù)可知，進(jìn)而問題可求解．【解析】（1）解：根據(jù)題意：∴不論m取何值時(shí)，該二次函數(shù)圖象總與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；（2）解：由題意可知點(diǎn)，關(guān)于二次函數(shù)的對(duì)稱軸對(duì)稱，∴該二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，∵該二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，∴，解得：，∴二次函數(shù)的解析式為，把點(diǎn)代入得：，解得：；（3）解：由（2）可知二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，∵，且該二次函數(shù)的圖象開口向上，∴點(diǎn)C到對(duì)稱軸的距離小于點(diǎn)D到對(duì)稱軸的距離，∴，解得：．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)及拋物線與x軸的交點(diǎn)問題，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．如圖，是某水上樂園為親子游樂區(qū)新設(shè)滑梯的示意圖，其中線段是豎直高度為6米的平臺(tái)，滑道分為兩部分，其中段是雙曲線，段是拋物線的一部分，兩滑道的連接點(diǎn)B為拋物線的頂點(diǎn)，B點(diǎn)的豎直高度為2米，滑道與水平面的交點(diǎn)D距的水平距離為8米，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，距直線的水平距離為x．(1)請(qǐng)求出滑道段y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)滑行者滑到C點(diǎn)時(shí)，距地面的距離為1米，求滑行者此時(shí)距滑道起點(diǎn)A的水平距離；(3)在建模實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，為保證滑行者的安全，滑道落地點(diǎn)D與最高點(diǎn)B連線與水平面夾角應(yīng)不大于，，求長(zhǎng)度的取值范圍．【答案】(1)滑道段y與x之間函數(shù)關(guān)系式為(2)滑行者距滑道起點(diǎn)的水平距離為米(3)【分析】（1）由B在雙曲線上，且根據(jù)題意，得到，由B為拋物線的最高點(diǎn)，可設(shè)拋物線的解析式為，滑道與水平面的交點(diǎn)D距的水平距離為8米，得到點(diǎn)D的坐標(biāo)為，把代入得，，解得，即可得到拋物線的解析式；（2）依據(jù)前面的解析式求出A、C的橫坐標(biāo)，它們的差距即為所經(jīng)過的水平距離；（3）先判斷的最小值，再根據(jù)已知求出最大值即可．【解析】（1）解：B在雙曲線上，且根據(jù)題意，∴，∵B為拋物線的最高點(diǎn)，則設(shè)拋物線的解析式為，∵滑道與水平面的交點(diǎn)D距的水平距離為8米，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為，把代入得，，解得，∴滑道段y與x之間函數(shù)關(guān)系式為；（2）令上式時(shí)，則，解得，（不合題意，舍去），∴，將代入中得，∴，∴，此時(shí)滑行者距滑道起點(diǎn)的水平距離為米；（3）解：根據(jù)上面所得，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，則D點(diǎn)不可往左，可往右，的最小值為8，又∵，∴，∴．∴長(zhǎng)度的取值范圍為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)和反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，用到了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、求函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)、等邊對(duì)等角等知識(shí)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．19．如圖1，拋物線經(jīng)過兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．

(1)求拋物線的函數(shù)解析式．(2)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)，使得的周長(zhǎng)最??？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．(3)如圖2，連接，若在下方的拋物線上存在一點(diǎn)，使得，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的橫坐標(biāo)．【答案】(1)(2)存在，(3)或【分析】（1）由于拋物線過、兩點(diǎn)，那么可以得到方程的兩根為或，然后利用根與系數(shù)即可確定、的值．（2）點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，在拋物線的對(duì)稱軸上有一點(diǎn)，要使的值最小，則點(diǎn)就是與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)，利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，把拋物線對(duì)稱軸代入即可得到點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）過P作軸，與交于Q，連接，，求出，可得，設(shè)，得到，得出，從而得到關(guān)于m的方程，解之可得結(jié)果．【解析】（1）解：拋物線過、兩點(diǎn)，方程的兩根為或，，，，，二次函數(shù)解析式是；（2）二次函數(shù)解析式是，拋物線的對(duì)稱軸為直線，．點(diǎn)、關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，點(diǎn)為與對(duì)稱軸的交點(diǎn)時(shí)，的值最?。?/p>

設(shè)直線的解析式為，則，解得：．直線的解析式為．拋物線的對(duì)稱軸為直線．當(dāng)時(shí)，．拋物線對(duì)稱軸上存在點(diǎn)符合題意，、，．，，，在拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)，使的周長(zhǎng)最小，周長(zhǎng)的最小值為；（3）過P作軸，與交于Q，連接，，∵，，，∴，∴，設(shè)，∵直線的解析式為，∴，∴，∴，解得：或，∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為或．

【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題型，主要考查了利用拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)確定函數(shù)解析式，二次函數(shù)的對(duì)稱軸上點(diǎn)的坐標(biāo)以及二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是利用拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)確定函數(shù)解析式．20．已知二次函數(shù)（a，b，c為常數(shù)，）的圖象過點(diǎn)（，）．(1)若它的圖象的對(duì)稱軸為直線，求的值；(2)若點(diǎn)（3，0），（m，p），（4，q）是圖象上的三個(gè)點(diǎn)，且，求m的取值范圍；(3)若對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有，求a的值．【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】（1）由拋物線對(duì)稱性可得拋物線經(jīng)過（3，0），從而可得的值；（2）由拋物線經(jīng)過（，），（3，0）可得拋物線對(duì)稱軸為直線，從而可得（4，q）關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求解；（3）將不等式組轉(zhuǎn)化為圖象問題，由直線及拋物線相切可得拋物線經(jīng)過（3，0）且和直線相切時(shí)符合題意．【解析】（1）∵拋物線經(jīng)過（，），對(duì)稱軸為直線，∴拋物線經(jīng)過（3，0），∴時(shí)，；（2）∵拋物線經(jīng)過（，），（3，0），∴拋物線對(duì)稱軸為直線，∴點(diǎn)（4，q）關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為（，），∵，∴拋物線開口向上，∵，∴；（3）令，整理得，解得，將代入得，∴直線與拋物線經(jīng)過點(diǎn)（3，0），如圖，∵拋物線開口向上，經(jīng)過（，），∴拋物線經(jīng)過（3，0）時(shí)滿足題意，即，令，整理得，當(dāng)時(shí)，，解得．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)與方程及不等式的關(guān)系，掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．21．【閱讀理解】：關(guān)于的函數(shù)（為常數(shù)，且），經(jīng)過某個(gè)定點(diǎn)，請(qǐng)求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．方法一：先將等式化為的形式，再根據(jù)時(shí)有無(wú)數(shù)多個(gè)解，求得定點(diǎn)的坐標(biāo)為；方法二：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；解方程組，解得，∴求得定點(diǎn)的坐標(biāo)為(1)【模仿練習(xí)】關(guān)于的二次函數(shù)（為常數(shù)，且），是否經(jīng)過定點(diǎn)，如果是，請(qǐng)選擇一種方法求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不是，請(qǐng)說明理由．(2)【嘗試應(yīng)用】某“數(shù)學(xué)興趣小組”根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)函數(shù)的圖像和性質(zhì)進(jìn)行了探究，探究過程如下，請(qǐng)補(bǔ)充完整：①計(jì)算與的幾組對(duì)應(yīng)值，其中______；列表如下：…………②如圖，在直角坐標(biāo)系中用描點(diǎn)法畫出了函數(shù)將這個(gè)圖像；③若直線與函數(shù)的圖像只有一個(gè)交點(diǎn)，請(qǐng)結(jié)合函數(shù)圖像求出的取值范圍．

【答案】(1)二次函數(shù)是經(jīng)過定點(diǎn)，且定點(diǎn)坐標(biāo)為，(2)①；②見解析；③或【分析】（1）根據(jù)材料提示的方法計(jì)算即可求解；（2）①把代入計(jì)算即可；②在平面直角坐標(biāo)系中根據(jù)表格數(shù)據(jù)描點(diǎn)，連線即可；③根據(jù)表格信息，函數(shù)圖像交點(diǎn)的計(jì)算方法即可求解．【解析】（1）解：方法一：先將等式化為的形式，再根據(jù)且時(shí)有無(wú)數(shù)多個(gè)解，求得定點(diǎn)的坐標(biāo)為，；方法二：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；解方程組，解得：，，∴求得定點(diǎn)的坐標(biāo)為，，∴二次函數(shù)是經(jīng)過定點(diǎn)，且定點(diǎn)坐標(biāo)為，．（2）解：①當(dāng)時(shí)，，∴；②如圖所示，描點(diǎn)，連線畫出函數(shù)的圖像，

③∵，即，∴直線一定過點(diǎn)，從圖像及表格信息可知，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)，，①聯(lián)立直線與拋物線解析式得，整理得：，∵線與函數(shù)的圖像只有一個(gè)交點(diǎn)，∴，解得：（不符合題意已舍去），∴當(dāng)時(shí)，過定點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖像只有一個(gè)交點(diǎn)；②把代入得，解得，∴當(dāng)時(shí)，過定點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖像只有一個(gè)交點(diǎn)；∴．綜上所述，過定點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖像只有一個(gè)交點(diǎn)，則或．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)圖像的性質(zhì)，理解材料提示信息，掌握二函數(shù)圖像的變形求定值的計(jì)算方法，函數(shù)圖形的性質(zhì)，交點(diǎn)坐標(biāo)的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．22．拋物線，（）交x軸于A，B兩點(diǎn)（A在B的左邊），C是拋物線的頂點(diǎn)．

(1)當(dāng)時(shí)，直接寫出A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖1，點(diǎn)D是對(duì)稱軸右側(cè)拋物線上一點(diǎn)，，求線段長(zhǎng)度：(3)如圖2，將拋物線平移使其頂點(diǎn)為（0，1），點(diǎn)P為直線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線，與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，問直線是否過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)，，(2)(3)直線一定結(jié)果定點(diǎn)，理由見解析【分析】（1）把代入函數(shù)解析式，令，求出x的值，可求A、B的坐標(biāo)，把解析式化為頂點(diǎn)式可求C的坐標(biāo)；（2）延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)E，先求出頂點(diǎn)，根據(jù)等邊對(duì)等角得出，設(shè)，利用兩點(diǎn)間距離公式可得，解得，利用待定系數(shù)法求解析式為，聯(lián)立方程組求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，最后再利用兩點(diǎn)間距離公式求解即可；（3）由題意知，設(shè)過點(diǎn)P的直線為，與拋物線解析式聯(lián)立方程組，利用過點(diǎn)P的直線，與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，得出a與p的關(guān)系式，則直線解析式為，直線解析式為，分別與拋物線解析式聯(lián)立，設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為，則是的根，利用根與系數(shù)的關(guān)系可求，同理可求，則，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，方程變形為，于是得到，點(diǎn)E、F是拋物線與直線的交點(diǎn)，則結(jié)論可得．【解析】（1）解：當(dāng)時(shí)，函數(shù)解析式為，當(dāng)時(shí)，，解得，，∴，，∵，∴，（2）解：延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)E，

∵，∴，∵，∴，設(shè)，則，解得，∴，設(shè)解析式為，則，解得，∴，聯(lián)立方程組，解得或，∴，∴（3）解：由題意知：平移后拋物線解析式為，∵點(diǎn)P為直線上的一點(diǎn)，∴設(shè)，設(shè)過點(diǎn)P的直線為，∴，∴，∴，聯(lián)立方程組，∴，∵過點(diǎn)P的直線，與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，∴，即，∴，，則直線解析式為，直線解析式為，聯(lián)立方程組，∴，設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為，則是的根，∵過點(diǎn)P的直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，∴有兩個(gè)相等的實(shí)根，∴，∴，同理設(shè)點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為，，∴，，∴，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，∴，即點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)滿足方程組，∴點(diǎn)E、F是拋物線與直線的交點(diǎn)，∵，∴直線一定結(jié)果定點(diǎn)．【點(diǎn)睛】題目主要考查二次函數(shù)的綜合問題，包括求二次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)問題，特殊圖形及一次函數(shù)與拋物線交點(diǎn)問題，理解題意，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．23．如圖，拋物線經(jīng)過點(diǎn)、，交x軸于另一點(diǎn)B，點(diǎn)在第二象限的拋物線上．

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，作交y軸于點(diǎn)F．①求出四邊形的周長(zhǎng)l與m的函數(shù)表達(dá)式，并求l的最大值；②當(dāng)四邊形是菱形時(shí)，請(qǐng)求出P點(diǎn)的橫坐標(biāo)；③是否存在點(diǎn)P，使得以P、E、C為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，請(qǐng)求出滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)①，②；③存在，或【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）①利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為，求出，再根據(jù)，利用平行線分線段成比例求出，證明四邊形是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出l關(guān)于m的函數(shù)表達(dá)式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值即可；②若四邊形是菱形，則，據(jù)此得出方程，解方程可得答案；③分兩種情況討論：當(dāng)時(shí)，，可得，據(jù)此得出方程，解方程求出t的值即可；當(dāng)時(shí)，，過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)H，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，求出t的值即可．【解析】（1）解：∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)、，∴，解得，∴該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；（2）解：①設(shè)，代入、得：，解得：，∴，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，l的最大值為；②要使四邊形是菱形，則有，∴，整理得，解得，（舍去），∴當(dāng)四邊形是菱形時(shí)，P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為；③存在，分兩種情況討論：（Ⅰ）如圖1，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)軸．∴，即，解得，（舍去），∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為；（Ⅱ）如圖2，當(dāng)時(shí)，，過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)H，∴，，∴，∵，∴，∴，即，解得，（舍去），∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為，綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．

【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，平行線分線段成比例，