7-2 成對數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性 課件 高中數(shù)學(xué)新北師大版選擇性必修第一冊 （2023~2024學(xué)年）

7.2成對數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性新授課給定兩個隨機(jī)變量(X,Y)的7組成對數(shù)據(jù)：利用最小二乘法，可以得到Y(jié)關(guān)于X的線性回歸方程為Y=0.143X+0.102.

這時，X和Y是否具有線性關(guān)系呢？1.了解（線性）相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計含義.2.會計算樣本相關(guān)系數(shù)，并能根據(jù)相關(guān)系數(shù)的大小判斷變量之間相關(guān)程度的強(qiáng)弱.如圖可知這7組成對數(shù)據(jù)均位于單位圓上，所以X和Y不具備線性關(guān)系.知識點1：相關(guān)系數(shù)

當(dāng)數(shù)據(jù)不多時，散點圖變量相關(guān)關(guān)系定性推斷但是對一般的情形又如何判斷呢？問題1：如何判斷兩個隨機(jī)變量是否具有線性關(guān)系呢？為了解決這個問題，引入（線性）相關(guān)系數(shù)的概念，通過計算兩個隨機(jī)變量間的（線性）相關(guān)系數(shù)，來判斷它們之間線性相關(guān)程度的大小.

以本章第1.2節(jié)為例，已知Y關(guān)于X的線性回歸方程為由可知，一定滿足線性回歸方程，∴①若X和Y的線性相關(guān)性好，則yi和(i=1,2,3)的差應(yīng)該不大，最理想的狀況應(yīng)該是②

記向量u=，v=，則③式可記為

v=u.

線性回歸方程最理想的狀況是向量u,v共線(向量u,v的夾角為0或π).因此，可以用向量u，v夾角的大小來刻畫X和Y線性相關(guān)的程度，記由①②式消去得③注：顯然|r|≤1.|r|值越接近1，說明X和Y的線性相關(guān)性越強(qiáng)；|r|值越接近0，說明X和Y的線性相關(guān)性越弱.問題2：在處理很多實際問題時，常常需要把一組數(shù)據(jù)x1,x2,...,xn,標(biāo)準(zhǔn)化，即把它轉(zhuǎn)化為均值為0、方差為1的數(shù)據(jù).如何實施呢？

令(i=1,2,...,n),不難驗證x'1,x'2,...,x'n是均值為0、方差為1的數(shù)據(jù)，稱它為原來數(shù)據(jù)x1,x2,...,xn的標(biāo)準(zhǔn)化.把x1,x2,...,xn和y1,y2,...,yn分別標(biāo)準(zhǔn)化，得到此時，向量(x'1,x'2,...,x'n),(y'1,y'2,...,y'n)的夾角余弦值與向量u=(…，)，v=的夾角余弦值相同.概念生成

一般地，設(shè)隨機(jī)變量X,Y的n組觀測值分別為(x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn),記稱r為隨機(jī)變量X和Y的樣本（線性）相關(guān)系數(shù).為了計算的方便，再給出如下式子：

顯然，樣本（線性）相關(guān)系數(shù)r的取值范圍為[-1,1].|r|值越接近1,隨機(jī)變量之間的線性相關(guān)程度越強(qiáng)；|r|值越接近0，隨機(jī)變量之間的線性相關(guān)程度越弱.當(dāng)r>0時，兩個隨機(jī)變量的值總體上變化趨勢相同，此時稱兩個隨機(jī)變量正相關(guān)；當(dāng)r<0時，兩個隨機(jī)變量的值總體上變化趨勢相反，此時稱兩個隨機(jī)變量負(fù)相關(guān)；當(dāng)r=0時,此時稱兩個隨機(jī)變量線性不相關(guān).歸納總結(jié)練一練（多選）對于線性相關(guān)系數(shù)，敘述正確的是()A.|r|∈[0,1]，|r|越大相關(guān)程度越大，反之，相關(guān)程度越小B.r∈(-∞，+∞)，r越大相關(guān)程度越大，反之，相關(guān)程度越小C.r=0.85表示的兩變量的相關(guān)程度大于r=0.80表示的相關(guān)程度D.以上說法都不對AC例1計算書上表7-1中隨機(jī)變量之間的樣本相關(guān)系數(shù)度（結(jié)果保留到小數(shù)點后的第9位），并談?wù)勍ㄟ^計算發(fā)現(xiàn)了什么.解:根據(jù)表7-1,得到表7-4.因此，由此可得由此可知，身高和體重具有很強(qiáng)的正相關(guān)性.從圖7-8可以看出，散點圖呈現(xiàn)的結(jié)果與樣本相關(guān)系數(shù)r的計算結(jié)果一致.例2計算表7-5中兩個隨機(jī)變量之間的樣本相關(guān)系數(shù)r,并談?wù)勍ㄟ^計算發(fā)現(xiàn)了什么.解:根據(jù)表7-5,得到表7-6.由此可得因此，由此可知，樣本數(shù)據(jù)不具有線性相關(guān)性，建立線性回歸方程是沒有任何意義的.從圖7-9可以看出，表格中的數(shù)據(jù)都在同一個半圓上，與樣本相關(guān)系數(shù)r的計算結(jié)果一致.注：當(dāng)r＝0時，只表明成對樣本數(shù)據(jù)間沒有線性相關(guān)關(guān)系，但不排除它們之間有其他相關(guān)關(guān)系.練一練根據(jù)下表中脂肪含量和年齡的樣本數(shù)據(jù)，畫出散點圖，判斷成對樣本數(shù)據(jù)是否線性相關(guān)，并通過樣本相關(guān)系數(shù)判斷年齡和脂肪的相關(guān)程度和變化趨勢的異同？年齡23273941454950脂肪9.517.821.225.927.526.328.2年齡53545657586061脂肪29.630.231.430.833.535.234.6參考數(shù)據(jù)：參考數(shù)據(jù)：

從散點圖可以看出樣本點都集中在一條直線附近，與r≈0.97計算結(jié)果一致，可以推斷脂肪含量和年齡這兩個變量正線性相關(guān)，且相關(guān)程度很強(qiáng).知識點2：成對數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性一名學(xué)生學(xué)習(xí)中的不同學(xué)科成績有著密不可分的關(guān)系，但它們之間的相關(guān)性如何呢？與我們的普遍認(rèn)識之間是否存在差異呢？下面以化學(xué)成績和物理成績?yōu)槔右哉f明.例3書上的表7-7中是在某校高二年級中抽取了246名學(xué)生的化學(xué)成績(單位：分)和物理成績(單位：分)，求這組成對數(shù)據(jù)中化學(xué)成績和物理成績的樣本相關(guān)系數(shù).(表7-7見書P238-239頁)解：鑒于學(xué)生人數(shù)較多,手動計算樣本相關(guān)系數(shù)工作量較大，這里借助Excel軟件進(jìn)行分析(注意:分析時,需要將數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，排成3列，246行).(1)